Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych (1101-4FS22) Michał Baj

Transkrypt

1 Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych -4FS Mchał Baj Załad Fzy Cała Stałego Istytut Fzy Dośwadczalej Wydzał Fzy Uwesytet Waszaws Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3

2 Pla wyładu 3 Elemety teo gup sończoych w zastosowau do gup putowych Elemety mecha watowej w cele stałym: lasyczy model Dudego pzyblżee Boa-Oppehemea weloeletoowe ówae Schödgea pzyblżee jedoeletoowe Hatee potecjał peodyczy yształ twedzee Blocha fucja Blocha stefy Blloua wau peodyczośc Boa-Kamaa Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3

3 Gupy putowe Zbó wszystch putowych opeacj symet daego obetu waz z dzałaem polegającym a sładau tych opeacj twozą gupę Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 3

4 Gupa według: P. Kowalczy Fzya cząstecze Zbó elemetów G oaz dzałae możee gupowe twozą gupę jeśl: w zboze G steje elemet jedostowy e ta że e a a e a ażdy elemet zbou a ma w tym zboze elemet odwoty a - ta że a - a a a - e możee gupowe jest łącze: a b c a b c Możee gupowe e mus być pzemee. Jeśl jest gupa azywa sę pzemeą lub abelową Lczba elemetów gupy azywa sę zędem gupy Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 4

5 Tabela gupowa ząd tej gupy wyos 6 gupa jest epzemea p.: c a d a c f P. Kowalczy Fzya cząstecze Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 5

6 Pzeształcee pzez podobeństwo lasa elemetów spzężoych Jeśl x z są dowolym elemetam gupy to pzeształcee podobeństwa y z - x z powadz do elemetu y spzężoego do x za pomocą elemetu z Peły zbó elemetów gupy tóe są ze sobą wzajeme spzężoe za pomocą dowolych elemetów gupy azywa sę lasą Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 6

7 Gupa symet cząstecz amoau C 3v Tabela gupowa gupy C 3v Cząstecza H 3 otacja Schöflesa P. Kowalczy Fzya cząstecze ząd tej gupy wyos 6 gupa jest epzemea gupa zawea 3 lasy: {E} lasa elemetu eutalego {C 3 C 3 } oboty {s s s 3 } odbca Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 7

8 Maceze opeacj symet Putowe opeacje symet są zometam a węc ażdej z ch moża pzypsać jaąś macez otogoalą M tz. taą że M - M T oaz detm W oczywsty sposób maceze te będą spełały eguły możea gupowego: jeśl: to: a b c Ma Mb Mc Zbó tach macezy z dzałaem możea macezy taże będze staowł gupę jedą z możlwych epezetacj gupy opeacj symet G Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 8

9 9-3-3 Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 9 Maceze opeacj symet cos s s cos C z M a pzyład: macez obotu woół os z o ąt M macez wesj xz M s macez odbca w płaszczyźe y

10 epezetacje gupy epezetacją gupy azywa sę zbó macezy o wymaze pzypoządowaych elemetom gupy ta żeby to pzypoządowae zachowywało dzałae w gupe tz.: jeśl zachodz to mus być spełoe a b c Ma Mb Mc ząd macezy M azywa sę wymaem epezetacj Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3

11 epezetacje gupy epezetacj daej gupy może być dowole dużo. Węszość jeda z tych epezetacj daje sę popzez pzeształcee podobeństwa tóąś z wybaych macezy daej epezetacj spowadzć do postac bloowej z bloam detyczych ozmaów dla ażdej z macezy: ' M M ' ' M Poeważ możee macezy zbloowaych polega a ezależym możeu bloów same blo a wec maceze o mejszym wymaze ż maceze wyjścowej epezetacj też staową dobe epezetacje. epezetacje spowadzale w powyższy sposób do postac bloowej azywają sę pzywedle lub eduowale M ' Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3

12 epezetacje epzywedle Jeśl pzeształcee pzez podobeństwo żadą z macezy ależącą do gupy e spowadza jedocześe wszystch macezy do postac bloowej z detyczym ozmaem bloów to taa epezetacja azywa sę epzywedla lub eeduowala. epezetacj epzywedlych daej gupy jest tyle le las w gupe p. gupa C 3v mus meć 3 epezetacje epzywedle. Jeśl gupa ma elemetów jest zędu zaś jest wymaem -tej epezetacj epzywedlej to: poeważ gupa C 3v ma 3 epezetacje epzywedle 6 elemetów to e ma ej możlwośc ż epezetacje - wymaowe jeda -wymaowa: Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3

13 epezetacje epzywedle epezetacje epzywedle gupy C 3v E P. Kowalczy Fzya cząstecze Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 3

14 Chaatey epezetacj Chaatey epezetacj to ślady macezy epezetacj Dla wszystch wzajeme spzężoych elemetów gupy chaatey są tae same tz. dla wszystch elemetów daej lasy Chaatey wszystch macezy I A B daej epezetacj G twozą weto chaateów epezetacj: G I A B Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 4

15 Chaatey epezetacj Własośc wetoów chaateów epezetacj. Dla ażdej epezetacj epzywedlej tylo dla epzywedlej G wadat długośc wetoa chaateów tej epezetacj jest ówy zędow gupy : G. Wetoy chaateów dwóch óżych epezetacj epzywedlych są otogoale G G użytecze yteum epzywedlośc epezetacj!!! Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 5

16 Chaatey epezetacj 3. Wśód epezetacj epzywedlych zawsze steje jedowymaowa epezetacja jedostowa dla tóej weto chaateów złożoy jest z samych jedye ajczęścej azywaa jest oa epezetacją A 4. ozładu epezetacj pzywedlej a epzywedle G moża dooać popzez ozład wetoa chaateów epezetacj pzywedlej a wetoy chaateów epezetacj epzywedlych G : G oeśla le azy w bloowej postac wystąp blo macezy epezetacj G Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 6

17 Chaatey epezetacj Tabela chaateów epezetacj epzywedlych gupy C 3v lub ócej: Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 7

18 Teoa gup a mechaa watowa ówae Schödgea opsujące day uład fzyczy jest ezmecze względem opeacj symet tego uładu. Ta węc dzałae tych opeacj symet e może zmeać eeg uładu e wypowadza poza day pozom eegetyczy Fucje falowe zwązae z daym pozomem eegetyczym uładu pzy opeacjach symet pzechodzą awzajem a sebe czyl wyzaczają pewą epezetację epzywedlą! gupy symet uładu. Wyma epezetacj oeśla lczbę óżych fucj falowych o tej samej eeg a węc degeeację stau. Badzo często stay azywa sę azwam epzywedlych epezetacj według tóych tasfomują sę ch fucje falowe Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 8

19 Teoa gup a mechaa watowa Teoa gup pozwala p.:. pzewdzeć zeowae sę elemetów macezowych opeatoów z fucjam falowym óżych staów a węc zaleźć p. eguły wybou pzejść optyczych. pzewdzeć schemat ozszczepeń staów zdegeeowaych pod wpływem zabuzea obżającego symetę hamltoau Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 9

20 Elemety mecha watowej cała stałego Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3

21 Klasyczy model Dudego awy obaze: sztywe ul eletoy zdezają sę ze sztywym ulam dzeam atomowym; ozposzee jest zotopowe cystallo_flueta.svg Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3

22 Klasyczy model Dudego śeda doga swoboda l ś zędu odległośc mędzyatomowych śed czas pomędzy zdezeam: t ś lasycze ówae uchu: l v ś ś d p p ee dt t ś w stae ustaloym dostajemy: p e j evu e m m t ś E se lczymy t ś dla medz: s 3 K /W m 85 8 m -3 m 9-3 g t ś 5 4 s Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3

23 Klasyczy model Dudego ja oblczyć v ś? ta ja Dude gaz dosoały ozład Boltzmaa T3K: 3 5 T v ś m / s l m ś 3 m 3Å ta ja Sommefeld zdegeeoway gaz Femego ozład Femego-Daca: v EF 6 6 m m l ś 4 m 4Å F / to już jest zacze węcej ż odległość mędzy atomam a w sch tempeatuach czystych metalach l ś może być jeszcze zacze węsze zędu mlmetów s lasyczy obaz załamuje sę Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 3

24 Dygesja pawo Wedemaa-Faza s LT pzewodctwo ceple s pzewodctwo eletycze L lczba Loetza Dude: L Dude 3 B e Sommefeld: L Sommefeld 3 B e Model Dudego omplete źle opsywał eletoowy wład do cepła właścwego Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 4

25 9-3-3 Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 5 Pzyblżee Boa-Oppehemea Peły eelatywstyczy hamltoa uładu jąde eletoów: współzęde obu poduładów eletoowego jądowego joowego są etywale pzemeszae sugeując że sepaacja zmeych eletoowych jądowych jest emożlwa możlwe ozwązae: pzyblżee adabatycze Boa-Oppehemea : gdze G V e M P m p e Z Z e Z e M P m p H j j K K K j j

26 Pzyblżee Boa-Oppehemea H. Joy seć dgają powol w poówau z częstoścam chaateystyczym dla eletoów; moża wobec tego pzyjąć że dla ażdego chwlowego położea joów eletoy zajdują sę w staach watowych odpowadających potecjałow atualej ofguacj joów.. Zamażamy węc joy w ch chwlowych położeach ozwązujemy eletoowe ówae Schödgea: el p el ; + m 4 j e j + V ; otzymujemy weloeletoowe fucje falowe el zależe od położeń wszystch eletoów spaametyzowae chwlowym położeam wszystch jąde joów. Wsaź epezetuje zbó lczb watowych weloeletoowego stau watowego. Eege E el taże zależą od paametów. el ; ; E el el Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 6

27 9-3-3 Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład ozwązaa dla pełego hamltoau uładu eletoów jąde joów poszuujemy teaz w postac ewetuale w postac ombacj lowej tach ozwązań odpowadających óżym możlwym fucjom : 4. Pamętając że opeatoy pędu dla joów będą dzałały taże a otzymujemy: ; el ; el ; el ; ; ; M G E M P G E M P H el el el el el Pzyblżee Boa-Oppehemea

28 Pzyblżee Boa-Oppehemea 5. Jeśl moża zaedbać dugą lję powyższego wzou óżczowaa weloeletoowej fucj falowej po współzędych joów patz J.M. Zma Wstęp do teo cała stałego to otzymujemy ówae a fucję w fome ówaa Schödgea: P M + E el + G tz. ma ses fucj falowej opsującej uch jąde joów w potecjale wzajemego ch oddzaływaa oaz adabatyczego władu eletoów w eegę uchu jąde/joów eegę sec G 6. Człoy zaedbae dają spzężee pomędzy poduładam eletoów jąde joów spzężee eleto-foo E E el Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 8

29 uch joów dgaa sec pzyblżee hamocze ówowagowy uład położeń jąde/joów ówowagowa watość stałej sec odpowada mmum efetywego potecjału: U eff w tóym pouszają sę jąda joy ozwjając U eff woół położea ówowag czło lowy ze U E + G eff el U eff ' + U otzymujemy eegę potecjalą sec jao fucję zaweającą człoy co ajmej wadatowe we względych pzesuęcach joów. Ogaczee sę do człoów wadatowych daje am obaz dgań sec jao zbou spzężoych oscylatoów hamoczych; dołożee wyższych człoów ozwęca daje efety ahamocze p. ozszezalość temczą oddzaływae foo-foo Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 9

30 9-3-3 Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 3 Weloeletoowe ówae Schödgea ; ; 4 ; E V e m p H el el el j j el el + + Ja je ozwązać?

31 9-3-3 Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 3 Jeda z metod: LCAO-MO z pzyblżeem Hatee-Foca metoda samouzgodoa ozwązaa teacyje -eletoowa fucja falowa w postac pojedyczego wyzacza Slatea automatycze zapewającego atysymetyczość fucj falowej ze względu a pzestawee dwóch dowolych eletoów: ażdy z jedoeletoowych spobtal mus być y dwa spobtale mogą p. meć tę samą część obtalą ale wtedy muszą sę óżć spem: ! sp sp sp sp sp sp sp sp sp s s s s s s s s s s s s s Weloeletoowe ówae Schödgea sp s

32 Weloeletoowe ówae Schödgea W metodze oddzaływaa ofguacj poszuuje sę ozwązaa zagadea weloeletoowego w postac ombacj lowej óżych możlwych wyzaczów Slatea jeszcze tudejsza achuowo Dla dużej lczby eletoów metody te są ewyoale! Sposób a efetywe zmejszee uładów p. metoda supe-cell: elatywe eduży uład peodycze powtazay co mtuje uład duży p. pozbywamy sę w te sposób wpływu bzegów zewae wązaa etc. achu defetów w yształach stutu pasmowych yształów meszaych etc Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 3

33 Metoda supe-cell achu eeg twozea defetów w Al O Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 33

34 Teoa fucjoału gęstośc DFT Hohebeg-Koh the goud state popetes of a may-electo system ae uquely detemed by a electo desty that depeds o oly 3 spatal coodates Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 34

35 Pzyblżee jedoeletoowe Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 35

36 9-3-3 Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 36 Pzyblżee Hatee pzyblżee jedoeletoowe Poszuujemy ozwązaa w postac: Załadamy że a ażdy eleto dzała śed potecjał pochodzący od joów pozostałych eletoów: Stąd mamy: Jeśl ażdy z potecjałów jest w pzyblżeu ta sam to tot E V m p + E V m p + tot E E... V V V V

37 Jedoeletoowe ówae Schödgea p m + V E Jedoeletoowe ówae Schödgea gdze zbó lczb watowych umeujących jedocząstowe stay watowe o eegach E stay jedocząstowe mogą być obsadzae pzez oleje eletoy zgode z zasadą Paulego tzeba pamętać że jeśl p. zmemy stote lczbę eletoów w daym paśme to możemy spodzewać sę modyfacj potecjału V zmay wdma jedocząstowego! patz p. eomalzacja pzewy eegetyczej Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 37

38 Potecjał peodyczy yształ twedzee Blocha Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 38

39 Potecjał peodyczy yształ twedzee Blocha dla fucj peodyczych z oesem sec: f + s f gdze: s a + a + 3a3 3 Z jest dowolym wetoem sec Bavas dobą bazą ozwęca a szeeg Fouea są fucje postac: gdze: exp G * * * G m a + ma + m3a3 m m m3 g G weto sec odwotej Z zeczywśce: exp G + s exp G exp Gs exp G exp m + m + 3m3 exp G Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 39

40 9-3-3 Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 4 jedoeletoowe ówae Schödgea: ozwęce potecjału: ozwęce fucj falowej: exp G V V G G exp C exp exp exp ' ' ' C E G V C C m G G + + Potecjał peodyczy yształ twedzee Blocha E V m p +

41 Potecjał peodyczy yształ twedzee Blocha ' po pzemaowau wsaźów sumowaa + G otzymujemy: exp E + C V C G G m G soo powyższe ówae ma być spełoe dla dowolego to: E + C V C G G m G A węc dla ażdego z osoba będą stały ozwązaa C exp zaweające współczy C ozwęca óżące sę od o dowoly weto sec odwotej. Ozacza to że weto jest dobą lczba watową umeującą zaówo stay ja ch eege Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 4

42 ozwązae umeowae lczba watową : odpowadające eeg własej ażde jest ówe dobe do umeowaa staów; wygode jest wybać weto ajótszy ależący do pewszej stefy Blloua aczej: Potecjał peodyczy yształ twedzee Blocha C exp[ G ] G G E E G C exp exp G G G exp u Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 4

43 Fucja Blocha u exp fucja Blocha. weto falowy ależy do pewszej stefy Blloua jest dobą lczbą watową; umeuje óże ozwązaa odpowadające temu samemu des pasm u Własośc fucj Blocha. fucja ampltuda blochowsa jest fucją peodyczą z oesem sec: u u + s Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 43

44 9-3-3 Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 44 Fucja Blocha 3. : 4. wya z putu popzedego G + exp '' exp exp ' exp '' '' ' ' G C G G C G G G G G G G E E +

45 Fucja Blocha 5. Z ezmeczośc hamltoau względem wesj czasu bez pola magetyczego: E E 6. Jeśl opeacja wesj pzestzeej ależy do gupy putowej yształu to ezależe od spu: E E Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 45

46 Fucja Blocha Pzypade tywaly stały potecjał a węc taże peodyczy! + V m E ozwązaem są fale płase też fucje Blocha z u exp exp E + V m z wdmem eeg: W tym pzypadu A u jest watoścą własą opeatoa pędu cost: Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 46

47 Pęd ystalczy wazpęd Czy zawsze fucja Blocha opsuje eleto o dobze oeśloym pędze? pˆ u exp u exp u u p u exp exp fucja Blocha w ogólośc e opsuje eletou o dobze oeśloym pędze e jest w ogólośc watoścą własą opeatoa pędu u wyjątem jest pzypade edy jest fucją stałą a węc fucją oesową dla tóej ażdy oes jest doby azywa sę wazpędem lub pędem ystalczym Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 47

48 Pęd ystalczy wazpęd pzy oddzaływau z ym wazcząstam eletoy fooy magoy etc. uwęzoym w ysztale pawdzwym cząstam pzeającym pzez yształ p. fotoy eutoy pawo zachowaa pędu ależy zastąpć pawem zachowaa wazpędu: ' ' p + p + + pawo zachowaa eeg e ulega w ysztale zmae: ' E E G Fzya mate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 3 48