Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Transkrypt

1 Estymacja rzedziałowa - rzedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej arametrami ( x, s, s ). SłuŜą oe do ocey wartości iezaych arametrów oulacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami uktowymi iezaych arametrów oulacyjych. Niezay arametr oulacji (θ) moŝa teŝ szacować rzy omocy rzedziału ufości. Estymacja rzedziałowa olega a kostrukcji rzedziału liczbowego, który z określoym z góry (bliskim ) rawdoodobieństwem będzie zawierał iezaą wartość szacowaego arametru oulacji. Twórcą metody estymacji rzedziałowej był statystyk olskiego ochodzeia Jerzy Sława-Neyma (894-98). Postać rzedziału ufości jest astęująca: { g Θ g }, α P W4 -

2 Stwierdzamy, Ŝe z rawdoodobieństwem -α rzedział ufości (g,g ) zawiera szacoway arametr oulacyjy Θ. W tym zaisie Θ jest wielkością stałą, choć iezaą, g i g zaś są wartościami liczbowymi wyzaczoymi z róby. Są oe zmieymi losowymi elemetów róby, statystykami z róby. Wielkość α to oziom istotości (lub ryzyko błędu), zaś -α to oziom ufości. Przedział ufości dla średiej oulacji m ma ostać: m s s ( x tα, ; x + tα, ), P Wartość t α,- odczytujemy z tablic rozkładu t-studeta. W4 - α ZaleŜy am a tym, by rzedział ufości dla wartości średiej m był jak ajkrótszy. MoŜemy osiągąć to: orzez zwiększeie liczebości róby, zwiększając arametr α, a więc zmiejszając oziom ufości - α.

3 W4-3 Długość rzedziału dla średiej m wyraŝa formuła: S t s t d ) ; (, α α Podobie moŝa skostruować rzedział ufości dla oulacyjych charakterystyk rozroszeia: wariacji i odchyleia stadardowego. Są oe oarte o rozkład χ Pearsoa i mają ostać: α σ α χ α χ,, var var X X P α σ α χ α χ,, var var X X P

4 Określają oe graice losowych rzedziałów obejmujących iezaą wartość odowiedio: wariacji i odchyleia stadardowego w oulacji. Jeśli cecha X ma rozkład dwuuktowy, to jej charakterystyką jest wskaźik struktury (frakcja). Dysoujemy róbą: x, x,...,x, gdzie x i ( sukces ) lub x i ( oraŝka ). k X i ozacza liczbę sukcesów i (jedyek). Estymator uktowy frakcji : k ˆ PrzybliŜoy rzedział ufości dla : ( ( ) ( ) u ; u ), α / + α / W4-4

5 gdzie oziom ufości P - α, a u α jest kwatylem rzędu α rozkładu ormalego N(, ), w rzybliŝeiu moŝa go zastąić wartością t(α, + ). Przedziały ufości mogą teŝ być jedostroe. Przykład: Badao stoień rozowszechieia telefoów komórkowych w środowisku studetów ewej uczeli. Stwierdzoo, Ŝe wśród 6 losowo rzebadaych studetów telefo komórkowy osiadało 54 osób. k 54 ˆ,9 6 t(α, ), dla α,5, ma wartość,96 (tablice statystycze, rozkład t Studeta). Stąd zgodie ze wzorem: W4-5

6 czyli ( ) ( ) ( ) u ; + u α α / α / P ( ),9(,9,96,9),9(,9) ;,9 +,96 P, (,9,4 ;,9 +,4), 95 P (,876 ;,94) P, 95 Z rawdoodobieństwem,95 mamy rawo oczekiwać, Ŝe rawdoodobieństwo osiadaia rzez ojedyczego studeta telefou komórkowego będzie ie miejsze iŝ,876, ale ie większe iŝ,94. Z rawdoodobieństwem,95 mamy rawo oczekiwać, Ŝe frakcja studetów badaej uczeli, osiadających telefo komórkowy będzie ie miejsza iŝ 87,6 %, ale ie większa iŝ 9,4 %. W4-6

7 Hiotezy statystycze i ich weryfikacja, testy statystycze Drugim, obok estymacji (szacowaia wartości arametrów lub rozkładu zmieej losowej w oulacji a odstawie rozkładu emiryczego dla róby), odstawowym rodzajem wioskowaia statystyczego jest weryfikacja (testowaie) hiotez statystyczych, czyli srawdzaie określoych rzyuszczeń (załoŝeń) wysuiętych w stosuku do arametrów lub rozkładu oulacji geeralej. Hiotezy statystycze to odowiedio sformułowae rzyuszczeia dotyczące rozkładu oulacji. Mogą oe mieć róŝą ostać, w zaleŝości od ierwotych hiotez badawczych. Najczęściej stosuje się hiotezy arametrycze, recyzujące wartości arametrów oulacyjych. W4-7

8 Weryfikacja hiotezy statystyczej olega a stosowaiu secjalego arzędzia, zwaego testem statystyczym. Jest to reguła ostęowaia, która kaŝdej moŝliwej róbie losowej rzyorządkowuje decyzję odrzuceia lub rzyjęcia weryfikowaej hiotezy. Istota kaŝdego testu olega a tym, aby uchroić się rzed oełieiem błędu I rodzaju olegającym a odrzuceiu hiotezy rawdziwej, jak i rzed oełieiem błędu II rodzaju olegającym a ie odrzuceiu (rzyjęciu) hiotezy fałszywej. Hioteza H odrzuceie rzyjęcie rawdziwa α - α fałszywa - β β Jako oziom istotości α wybiera się ajczęściej wartości:,5 i,, choć W4-8

9 moŝa rzyjąć dowole liczby z rzedziału <, >. W teorii weryfikacji hiotez statystyczych większe zaczeie rzyisywae jest błędowi ierwszego rodzaju. Od testu statystyczego wymaga się więc, by błąd te był rzadko oełiay. Stąd zawsze arzuca się z góry ewe małe rawdoodobieństwo oełieia błędu ierwszego rodzaju (α). Z testem statystyczym związae jest takŝe ojęcie mocy testu. Mocą testu azywamy rawdoodobieństwo ie odrzuceia hiotezy alteratywej H, gdy w rzeczywistości jest oa rawdziwa (lub rawdoodobieństwo odrzuceia fałszywej hiotezy zerowej). Prawdoodobieństwo to rówe jest -β. Moc testu to iaczej rawdoodobieństwo ie oełieia błędu drugiego rodzaju. Im większe jest to rawdoodobieństwo, tym leszy jest day test jako arzędzie do W4-9

10 róŝicowaia między hiotezą rawdziwą i fałszywą. Test statystyczy moŝe być słaby lub mocy: test mocy - w większości rzyadków jesteśmy w staie odrzucić fałszywą hiotezę zerową test słaby - gdy istieje duŝa szasa a to, Ŝe ie odrzucimy hiotezy zerowej, omimo jej ierawdziwości. Od testu owiiśmy wymagać, by był o jak ajmociejszy, tz. by jak ajłatwiej odrzucał hiotezę zerową, jeśli jest oa ierawdziwa. Test mocy:. rezetuje mały błąd II rodzaju (β),. rzadko myli się odrzucając H (raczej ie odrzuca H rawdziwej), 3. jeśli odrzuca H to jest wysoka szasa (rówa mocy testu), Ŝe H była fałszywa. W4 -

11 Wszystkie omawiae a wykładzie testy to testy w ewym sesie ajmociejsze. Hioteza o średiej oulacyjej Niech oulacja geerala ma rozkład ormaly N(m,σ ), rzy czym oba arametry są iezae. W oarciu o elemetową róbę losową aleŝy zweryfikować hiotezę zerową H : m m, wobec hiotezy alteratywej H : m m Dla weryfikacji tej hiotezy zerowej stosujemy test t Studeta, który daje am wartość statystyki t em obliczoej z róby: x m x m tem s sx Symbol s x ozacza błąd średiej. JeŜeli zajdzie ierówość t em t α, -, to hiotezę H aleŝy odrzucić a korzyść hiotezy alteratywej H. Natomiast gdy W4 -

12 zajdzie ierówość rzeciwa, tz. t em < t α, -, to ie mamy odstaw do odrzuceia hiotezy H, czyli rzyjmujemy ją. Jeśli cecha X ma rozkład N(m;σ ), to hioteza zerowa: H : mm moŝe być testowaa róŝie, w zaleŝości od ostaci hiotezy alteratywej H. Hioteza alteratywa H : m > m H : m < m H : m m Fukcja testowa tem sx Obszar krytyczy x m ( ) t α, ;+ x m ( ) ; t α, tem sx x m ( ) tem sx ;, t α, t α ( ) ;+ Dwa ierwsze rzyadki to hiotezy (i testy) jedostroe. W4 -

13 Hioteza o wartości wskaźika struktury Zmiea losowa dwuuktowa, zero jedykowa. H : (H : ) gdzie ˆ k z em ( ) Jeśli z em t α,, to hiotezę H aleŝy odrzucić a korzyść H. Natomiast gdy z em < t α,, to ie mamy odstaw do odrzuceia hiotezy H, czyli rzyjmujemy ją. Przykład: Zweryfikujmy a oziomie α,5 rzyuszczeie, Ŝe wskaźik wyosaŝeia studetów ewej uczeli w rzeośe komutery jest rówy.4, jeśli w losowej W4-3

14 róbie 8 studetów fakt osiadaia mobilego komutera zadeklarowało 35 osób. H : z em k 35 ˆ, z em,4375,4,4(,4) 8 (,65 PoiewaŜ t(,5, + ),96, a więc odrzucamy hiotezę zerową H :,4 a korzyść hiotezy alteratywej H :,4. MoŜa zarooować jako alteratywą hiotezę jedostroą,. H : >,4, ale zmiaa ta włyie a rzebieg testowaia. ) W4-4