= dt. dt gdzie n > m. Większość układów fizycznych jest nieliniowa i musi być opisywana przez nieliniowe równania różniczkowe.

Transkrypt

1 kdemi Mork w dyi Kedr omyki Okręowej Teori erowi Rówi dymicze Mlb Mirołw Tomer Złożoe obieky erowi zzwyczj mją kilk wejść i kilk wyjść, omiędzy kórymi mogą wyęowć złożoe rzężei krośe by dl kich obieków rzerowdzić lizę kłdów erowi, ioe je ię zredkowie złożoości wyrżeń memyczych i orządkowie ich celem wykoi koieczych i żmdych obliczeń Z ego k widzei liz w rzerzei ów je jdogodiejz odcz gdy kowecjol eori erowi oier ię zleżościch wejściowo-wyjściowych lb rmicji o owocze eori erowi oier ię oiie kłd rzy życi rówń różiczkowych ierwzego rzęd, kóre mogą być ołączoe w rówi różiczkowe wekorowo-mcierzowe Użycie ocji wekorowo-mcierzowej wydie rzcz oi memyczy kłdów modelowych rzy wykorzyi rówń różiczkowych zwyczjych cjorych METODY OISU UKŁDÓW LINIOWYCH, STCJONRNYCH RÓWNNIE RÓŻNICZKOWE Ukłdy erowi mogą być modelowe rzez rówi różiczkowe Ogólie, kłd je oiy rówiem różiczkowym -ego rzęd d y d d y dy y = d d m m d d d bm bm b b m m d d d gdzie > m Więkzość kłdów fizyczych je ieliiow i mi być oiyw rzez ieliiowe rówi różiczkowe TRNSMITNCJ OERTOROW orzez zdefiiowie oeror jko k k d, k =,,, k d orz zii ygłów wejści i wyjści y w oci oerorowej, rówie może zoć zie ęjąco: m m Y bm m b b U Widć ąd, że dl kłd oiego rówiem różiczkowym w łwy oób może być wyzczo rmicj oerorow Oi klizcj:-- M Tomer

2 Teori erowi Rówi dymicze Mlb Y U b m m m bm b b RÓWNNI DYNMICZNE Możliwe je rówież rzekzłceie oi kłd do oci rówń dymiczych Może o być zrelizowe zrówo odwie rmicji jk i rówi różiczkowego, bądź rówi dymicze mogą zoć zdefiiowe eie modelowi kłd erowi Rówie różiczkowe -ego rzęd może być zdekomoowe rówń różiczkowych ierwzego rzęd Rówi różiczkowe ierwzego rzęd ą łwiejze do rozwiązi iż rówi wyżzego rzęd i je o owodem dl kórego ą oe oowe w lizowi kłdów erowi Dl kłd liiowego, cjorego rówi dymicze ą ziywe w oci wekorowo-mcierzowej jko: Rówi d B 5 d Rówi wyjści y C D gdzie: je wekorem, wekorem wejści, y wekorem wyjści, mcierzą, B mcierzą wejści, C mcierzą wyjści orz D mcierzą rzężei bezośrediego, liczbą zmieych, liczbą wejść, q liczbą wyjść y y y q y q b b b b b b b B b c c q c c q c c c c C q c q d d q d d q d d d d D q W dziedziie zmieych może być rówież wyzczo rmicj oerorow, kór wyrż ię ęjącym wzorem: dj I C I B D C B D I d q rzykłd Dl kłd oiego ęjącym rówiem różiczkowym dy d dy d dy d dy d y d d ziz rmicję oerorową, ęie wyzcz rówi dymicze Oi klizcj: -- M Tomer

3 Teori erowi Rówi dymicze Mlb Rozwiązie: o zdefiiowi dl kłd oiego rówiem różiczkowym oeror wedłg wzor i wykoi odowiedich rzekzłceń, zykje ię ęjącą rmicję oerorową Y U Rówi dymicze moż zykć defiijąc dl rówi odowiedie zmiee lb dokojąc dekomozycji rmicji Tj rówi dymicze wyzczoe zoą odwie rmicji rzy życi fkcji f ochodzącej z biblioeki MTLB >> m = [ -]; >> de = [ ]; >> [, B, C, D] = f m, de = B = C = D = - Oczywiście odwie oidych rówń dymiczych możliwe je rówież wyzczeie rmicji oerorowej rzy życi komedy f >> [m, de] = f, B, C, D m = de = RÓWNNIE CHRKTERYSTYCZNE, WRTOŚCI WŁSNE I WEKTORY WŁSNE RÓWNNIE CHRKTERYSTYCZNE Dl kłd oiego rmicją oerorową, rówie chrkeryycze zykiwe je rzez rzyrówie do zer wielomi miowik 8 Dl kłd oiego rówimi dymiczymi, rówie chrkeryycze rówież zykje ię orzez rzyrówie miowik rmicji do zer I 9 Oi klizcj: -- M Tomer

4 Teori erowi Rówi dymicze Mlb i rowdzi do ego mego rówi jk w rówi 8 Wżą włością rówi chrkeryyczego je o, że jeśli wółczyiki mcierzy ą rzeczywie o rówież wółczyiki rówi 9 ą rzeczywie WRTOŚCI WŁSNE ierwiki rówi chrkeryyczego 9 ą częo rzyjmowe jko wrości włe mcierzy oiżej zebre zoły ewe wże włości wrości włych i ą oe ęjące: Jeśli wzykie wółczyiki mcierzy ą rzeczywie, wówcz wrości włe ą rówież rzeczywie lb zeoloe rmi rzężoe Jeśli i, i =,,, je wrością włą mcierzy o je o rówież wrością włą T mcierzy Jeśli mcierz ie je mcierzą jedokową z wrościmi włymi i, i =,,, wówcz WEKTORY WŁSNE i, i =,,, ą wrościmi włymi mcierzy Wekory włe ełiją brdzo wżą rolę w owoczeej eorii erowi i ą wykorzyywe do rzekzłci mcierzy rzez odobieńwo ewie iezerowy wekor i ełijący rówie mcierzowe I i i gdzie i, i =,,,, ozczją wrości włe mcierzy, zywy je wekorem włym mcierzy i je owiązy z wrością włą i Jeśli mcierz m róże wrości włe, wówcz wekory włe mogą być wyzczoe bezośredio z rówi Trzeb rówież zzczyć, że jeśli mcierz m wielokroe wrości włe i je ieymerycz o wówcz ie wzykie wekory włe mogą być zlezioe orzez zoowie rówi Złóżmy, że ośród wrości włych mcierzy, q < wrości włych je jedokroych Wekory włe, kóre odowidją q jedokroym wrościom włych wyzcze ą w zwykły oób z zleżości ośród ozołych wrości włych wyżzego rzęd, rzyjmijmy, że j będzie m-ego rzęd m q ; odowidjące wekory włe mogą być wyzczoe z m ęjących rówń wekorowych j j j j I I I I q q q q m -q -q -q m rzykłd Dl mcierzy wyzcz wekory włe Rozwiązie: Wrości włe mcierzy wyzcz ię z zleżości 9, omi wekory włe dl wrości włych jedokroych w orci o zleżości orz dl wrości włych wielokroych w orci o zleżość W biblioece MTLB zjdje ię Oi klizcj: -- M Tomer

5 Teori erowi Rówi dymicze Mlb fkcj eig, kór łży do wyzczi zrówo wrości włych jk i odowidjących im wekorów włych dl dowolej mcierzy kwdrowej Korzyjąc z ej fkcji i zijąc ją dl mcierzy zykje ię >> [V, E]= eig V = E = W mcierzy E zwre ą wrości włe mcierzy, omi w mcierzy V kolmmi odowidjące im zormlizowe wekory włe W cel orówi zykych wyików, rzerowdzoe zoie wyzczeie wekorów włych wedłg wzorów orz Wrości włe mcierzy oiej zleżością ą ęjące: =, =, = = Mcierz m wrość włą drgiego rzęd w Wekor wły owiązy z = wyzczy je w orci o rówie mcierzowe [ I ] W kłdzie rówń zjdją ię ylko rzy iezleże rówi, rbirlie rzyjęy zoł = i wyzczoe zoły ozołe rzy kłdowe 9 Wekor wły owiązy z = je rówież wyzczy w orci o rówie mcierzowe [ 5 I ] W kłdzie rówń rówież zjdją ię ylko rzy iezleże rówi, rbirlie rzyjęy zoł = i wyzczoe zoły ozołe rzy kłdowe 8 5 Oi klizcj: -- M Tomer 5

6 Teori erowi Rówi dymicze Mlb Dl ozołych wrości włych drgiego rzęd = =, wekory włe wyzcze ą w orci o wzór Njierw odwio zoie wrość = do ierwzego rówi Orzymje ię [ I ] odwijąc rbirlie = moż wyzczyć ozołe rzy kłdowe Wrość włą = odwi ię do drgiego rówi i orzymje ię I ] 8 [ Uljąc rbirlie =, zykje ię ęjący wekor wły 9 Oeczie zyk mcierz V kłdjąc ię z wekorów włych mcierzy V [ ] = 9 8 orówjąc mcierz ze zormlizową mcierzą V zyką rzy życi fkcji eig z biblioeki MTLB, widć ewe różice w czwrej kolmie, gdzie ie ą zchowe roorcje między wółczyikmi Okzje ię, że fkcj eig ie wyzcz orwych wekorów włych dl drgiej i wyżzych kroości wielokroych wrości włych RZEKSZTŁCNIE RÓWNŃ STNU RZEZ ODOBIEŃSTWO Mjąc de rówi dymicze dl kłd z ojedyczym wejściem i z ojedyczym wyjściem SISO w oci zleżości 5,, gdzie je wekorem o rozmirze, = orz y = y ą odowiedio klrym wejściem i wyjściem Czmi kiedy rowdzi ię lizę i rojekowie w dziedziie, częo leiej je rzekzłcić rówi do owej brdziej odowiediej oci Dl rzykłd, oć koicz erowlości m wiele ierejących włości, kór je dogod do rwdzi erowlości i rojekowi erowi od rzężei Oi klizcj: -- M Tomer

7 Teori erowi Rówi dymicze Mlb Rówi 5 i mogą być rzekzłcoe iy zbiór rówń o ym mym rozmirze rzez ęjące rzekzłceie gdzie je mcierzą ieoobliwą o rozmirze, czyli Trformowe rówi mogą być zie ęjąco d d B y C D 5 Wykojąc obroą różiczkę ochodą rówi względem cz, orzymje ię d d B B d d orówjąc rówie z orzymje ię B B Wykorzyjąc rówie, wówcz rówie moż zić w oci orówjąc rówi 9 z 5 widć, że 8 y C D 9 C C D D Oi owyżej rformcj zyw je rzekzłceiem rzez odobieńwo OSTĆ KNONICZN STEROWLNOŚCI Dl rówń dymiczych oiych wzormi 5 i, rówie chrkeryycze mcierzy je ęjące I = Rówi dymicze 5 orz mogą być rzekzłcoe do oci koiczej erowlości oiych wzormi i 5 orzez rzekzłceie, z mcierzą gdzie S [ B B SM B B] i wówcz M Oi klizcj: -- M Tomer

8 Teori erowi Rówi dymicze Mlb 5 B Mcierze C i D oie wzormi ie rzedwiją zczególego rozkłd rzekzłceie do oci koiczej erowlości wymg by iił mcierz, co ozcz, że mcierzy S zwej mcierzą erowlości mi iieć mcierz odwro B rzykłd Dokoj rzekzłcei do oci koiczej erowlości ęjące mcierze zwierjące wółczyiki rówń 5 B C [ ] D [] Rozwiązie: Rówie chrkeryycze mcierzy je ęjące I Wobec ego wółczyiki rówi chrkeryyczego ą ęjące: =, =, =, = orz = Z rówi M = Mcierz erowlości S [ B B B B] = oiewż mcierz S je mcierzą ieoobliwą, więc kłd może być rzekzłcoy do oci koiczej erowlości odwijąc S orz M do rówi, orzymje ię Oi klizcj: -- M Tomer 8

9 Teori erowi Rówi dymicze Mlb SM = N odwie rówń 5 i moż rzedwić model w oci koiczej erowlości 5 B B C C [ ] co może być zyke jeśli ze ą wółczyiki rówi chrkeryyczego Wyiki e zyke zoły rzy życi ęjącego kod rogrm: cler = [ ; ; ; ]; B = [ ; ; ; ]; C = [ -]; D = ; % m, de - liczik i miowik rmicji [m, de] = f, B, C, D; %,,, - wółczyiki rówi chrkeryyczego = de; = de; = de; = de5; M = [ ; ; ; ]; % S - mcierz erowlości S = crb, B; % WS - wyzczik mcierzy S WS = de S; if WS ~=, = S*M; c = iv**; Bc = iv*b; Cc = C*; ed; OSTĆ KNONICZN OBSERWOWLNOŚCI Dlą formą rzekzłcei oci koiczej erowlości je oć koicz oberwowlości Ukłd oiy rówimi 5 i je rformowy do oci koiczej oberwowlości rzez rzekzłceie Q Rówi rformowe ą oie rówimi i 5, rzy czym gdzie Q Q B Q B C CQ D D 8 Oi klizcj: -- M Tomer 9

10 Teori erowi Rówi dymicze Mlb Q Q 9 C CQ [ ] Elemey mcierzy B orz D ie ą ogriczoe do żdej oci Zwż, że mcierze i C ą roowymi mcierzmi i B odowiedio z rówń 5 i Mcierz rformcji Q do oci koiczej oberwowlości, d je wzorem gdzie mcierz M je oi wzorem, orz Q MV C C V C C - Mcierz V je brdzo częo zyw mcierzą oberwowlości i by możliw był rformcj do oci koiczej oberwowlości mi iieć mcierz V rzykłd Wółczyiki mcierzy kłd oiego rówimi 5 i ą ęjące B C [ ] D [] Z ego owod, że mcierz je ideycz do ej z rzykłd o rówież i mcierz M będzie k m jk Mcierz oberwowlości C C V = C C 8 Moż okzć, że mcierz V je ieoobliw i dlego kłd może być rzekzłcoy do oci koiczej oberwowlości odwijąc V i M do rówi, orzymje ię mcierz rformcji do oci koiczej oberwowlości Q MV = Więc z rówń 8 model w oci koiczej oberwowlości Oi klizcj: -- M Tomer

11 Teori erowi Rówi dymicze Mlb Q Q C CQ [ ] B Q B Widć w, że mcierze i C ą w oci koiczej oberwowlości oiej odowiedio rówimi 9 i i mcierz B ie m określoej oci Wyiki e zyke zoły rzy życi ęjącego kod rogrm: cler = [ ; ; ; ]; B = [ ; ; ; ]; C = [ -]; D = ; % m, de - liczik i miowik rmicji [m, de] = f, B, C, D %,,,, - wółczyiki rówi chrkeryyczego = de = de = de = de5 M = [ ; ; ; ] % V - mcierz oberwowlości V = obv, C % WV - wyzczik mcierzy V WV = de V if WV ~= Q = iv M*V o = ivq**q Co = C*Q Bo = ivq*b ed; OSTĆ KNONICZN DIONLN Ukłd oiego rówimi 5 i, jeśli mcierz m jedokroe wrości włe, wówcz iieje rzekzłceie T kóre rformje e rówi do oci oiej rówimi i 5, gdzie T T B T B C CT D D Mcierz je mcierzą digolą, T T 5 gdzie,,,, i =,,, ą jedokroymi wrościmi włymi mcierzy Wółczyiki mcierzy B, C orz D de w rówi 8 ie mją jkiejś zczególej formy Zleą digolej oci mcierzowej je o, że rówi ą rformowe do oci odrzężoej i dlego mogą być rozwiązywe idywidlie Oi klizcj: -- M Tomer

12 Teori erowi Rówi dymicze Mlb Mcierz rformcji T rówń do digolej oci koiczej może być worzo rzez zoowie wekorów włych mcierzy jko jej kolm, czyli T ] [ gdzie i, i =,,,, ozcz wekor wły owiązy z wrością włą i W mcierzy i-y wekor wły i je rówy i-ej kolmie rzykłd 5 Rozwż mcierz rówi dymicze oci 5 i wyzcz oć koiczą digolą B C [ ] D [] 5 kór m wrości włe rówe =, =, = Trformcj do oci koiczej digolej zoie wyko rzy życi mcierzy kłdjącej ię kolmmi z wekorów włych zykych rzy życi fkcji eig Fkcj eig leżąc do biblioeki MTLB wyzcz wekory włe mcierzy w oci zormlizowej T = Mcierz wekorów włych T 5 w oci iezormlizowej może być zi jko 5 T = 9 5 Uzyky model 5 w oci koiczej digolej T T = B B T C CT [ 9] 5 Wyiki e zyke zoły rzy życi ęjącego kod rogrm: cler = [ ; ; - - -]; B = [; ; ]; C = [ ]; % E - blic zwierjąc wrości włe mcierzy [V, E] = eig %,, - wrości włe mcierzy = E,; = E,; = E,; % T - mcierz rformcji do oci koiczej digolej T = V; WT = de T; if WT ~=, d = ivt**t; Bd = ivt*b; Cd = C*T; ed: Oi klizcj: -- M Tomer

13 Teori erowi Rówi dymicze Mlb OSTĆ KNONICZN JORDN W rzydk kiedy mcierz m wielokroe wrości włe, iieje rzekzłceie rzez odobieńwo w formie i wówcz mcierz je rwie digol Mcierz zyw je ocią koiczą Jord Tyow oć koicz Jord okz je oiżej = w kórej złożoo, że mcierz oid wrość włą rzeciego rzęd włe i oć koicz Jord m ęjące włości i jedokroe wrości Elemey główej rzekąej ą wrościmi włymi Wzykie elemey oiżej główej rzekąej ą rówe zero ewe elemey owyżej wielokroych wrości włych zjdjących ię główej rzekąej ą rówe, jk okzo o w mcierzy Jedyki, rzem z wrościmi włymi worzą zw rmkę Jord Jk okzo o w mcierzy, rmk Jord ozczo zoł liią rzerywą 5 Liczb rmek Jord je rów liczbie r iezleżych wekorów włych Liczb jedyek owyżej główej rzekąej je rów r by wykoć rzekzłceie rówń do oci koiczej Jord, mcierz T je formow orzez zoowie wekorów włych jko jego kolm rzykłd Dl mcierzy oiej rówiem, dokoj rzekzłcei do oci digolej Rozwiązie: W rzykłdzie wyzczoe zoły wrości włe i wekory włe, kóre zoły zebre w oci mcierzy oiej wzorem, kóre ołżą do worzei mcierzy T 8 T V [ ] = Uzyk oć digol 9 T T dl mcierzy oidjącej ierwiki wielokroe oi zwę oci digolej Jord Oi klizcj: -- M Tomer

14 Teori erowi Rówi dymicze Mlb ĆWICZENI W MTLBIE M oiżze rówi różiczkowe oiją kłdy liiowe cjore Ziz rówi dymicze rówi i rówi wyjści w oci wekorowo-mcierzowej d y d y dy y d d d d y d y dy d b 5 y d d d d c d y d y dy d 5y 5 d d d d d y d y dy d d d 9 d d d d d d y d y dy d d e 8 d d d d d d y d y dy d d f 8 8 d d d d d d y d y dy g 5 y y d d d d d y d y dy d h y y d d d d d M Dl kłd liiowego, cjorego oiego rówimi dymiczymi Ziz e rówi w oci wekorowo mcierzowej d B d y C Zjdź rówie chrkeryycze i wyzcz wrości włe mcierzy Określ rmicję omiędzy Y/U y b y c y Oi klizcj: -- M Tomer

15 Teori erowi Rówi dymicze Mlb Oi klizcj: -- M Tomer 5 d y e y f y g y h y i y j y

16 Teori erowi Rówi dymicze Mlb 5 5 k 5 y l y M Dl kłdów oiych w zdi M, Zjdź rzekzłceie, kóre zmiei rówi w oć koiczą erowlości M Dl kłdów oiych w zdi M, zjdź rzekzłceie Q, kóre rformje rówi do oci koiczej oberwowlości M5 Dl kłdów oiych w zdi M, zjdź rzekzłceie T, kóre rformje rówi do oci koiczej digolej, jeśli ą ierwiki jedokroe lb do oci koiczej Jord, jeśli ą o ierwiki wielokroe ODOWIEDZI DO WYBRNYCH ĆWICZEŃ M b c d e f, 5,,,, 8, 5 B, C [ ], D B, C [ ], D B, C [ 5 ], D B, C [ 9 ], D B, C [ 8], D B, C [ 8], D Oi klizcj: -- M Tomer

17 Teori erowi Rówi dymicze Mlb Oi klizcj: -- M Tomer g , B, ] 5 [ C, D h, B, ] [ C, D M M ; =, = ; 5 b 5 M ; = 5 + j58, = 5 j58; c M ; =, = ; d M ; =, =, = ; e M ; =, =, = ; f M ; =, =, = ; 9 g M ; =, =, = ; h M ; =, = + j 5, = j 5; i M ; =, =, = ; j M ; =, = +j5, = +j5 k M ; = 5, = 5, = 5; l M ; = +j9, = j9 5, = 9 M 5 5 b c d e f 5 9 g

18 Teori erowi Rówi dymicze Mlb h i j k l M Q b Q c Q d Q e Q f Ukłd ieoberwowly Mcierz Q ie iieje g Q h Q i Ukłd ieoberwowly Mcierz Q ie iieje j Q 5 k Ukłd ieoberwowly Mcierz Q ie iieje 9 l Q M5 T V b T V = c T V = d e f T T T V V V j j9 g Mcierz je jż w oci koiczej Jord 8 j95 8 j95 h T V j j 89 9 j 9 j 95 Oi klizcj: -- M Tomer 8

19 Teori erowi Rówi dymicze Mlb i T V 8 j95 8 j95 j T V j j 89 9 j 9 j 95 k Mcierz je jż w oci koiczej Jord 9 j8 9 j8 889 l T V 8 j59 8 j LITERTUR Dorf RC, Biho RH Moder Corol Syem ddio-weley Logm, 998 Hoeer, CJ Sv, RT Sefi RT Deig of Feedbck Corol Syem, Sder College blihig, 989 Ko B C omic Corol of Dymic Syem, h ed, ddio-weley & So Ic, 995 Og K, Moder Corol Egieerig, reice Hll, Oi klizcj: -- M Tomer 9