Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Transkrypt

1 met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe w posti szeregu potęgowego u ( Poiewż fukj d rówiem ( m yć rozwiąziem rówi (, to po jej podstwiiu do ( powiiśmy otrzymć tożsmość. Pohode fukji u( moż olizyć różizkują szereg ( wyrz po wyrzie du d ( d u d ( Jeżeli współzyiki rówi (, tz. fukje f(, g( orz h( moż tkże rozwiąć w szereg posti ( w otozeiu puktu fukji f(, g(, h( do ( dostjemy, to po podstwieiu rozwiięć (, (, ( orz rozwiięć k k ( k gdzie współzyiki k k,, zleżą od,,, k, Jeżeli rówie ( m yć słusze dl wszystkih wrtośi (z rozptrywego przedziłu zmieośi, to wszystkie współzyiki k k,, muszą yć jedoześie rówe zeru. Przyrówie, k tyh współzyików do zer pozwl wyzzeie wrtośi współzyików,, poszukiwego rozwiązi (., / --

2 met_szer_potegowyh-.doowyh Moż udowodić, że jeżeli współzyiki rówi (, tz. fukje f(, g( orz h( moż rozwiąć w szereg potęgowy w otozeiu puktu może yć rozwiięte w szereg potęgowy w otozeiu tego puktu., to rówież rozwiązie rówi ( u( Przykłdy Przykłd CM- Zleźć rozwiązie rówi różizkowego y y y os ( z wrukmi pozątkowymi y ( ( y ( ( w otozeiu puktu. Rozwiązie Rówie ( jest rówiem liiowym o zmieyh współzyikh, o ogólej posti y p( y q( y r( ( Rozwiiemy współzyiki rówi ( w szeregi potęgowe w otozeiu puktu p( ( q ( ( r ( os (!!! Poszukujemy rozwiązi rówi ( w posti stępująego szeregu potęgowego y (7 / --

3 met_szer_potegowyh-.doowyh Wyzzmy z (7 pierwszą i drugą pohodą fukji y y ( y ( ( Szeregi (-( podstwimy do rówi ( [ [ ( ] [ ]!!! ] ( Przyrówujemy do sieie współzyiki stojąe przy jedkowyh potęgh po ou stroh rówi ( ( ( (d (e (f 7 (g 7 Podstwimy wruek pozątkowy ( do rówi (7 y( ( stąd ( / --

4 met_szer_potegowyh-.doowyh Wruek pozątkowy ( podstwimy do ( otrzymują y ( ( zyli ( Z rówi ( dostjemy ( z ( ( z ( ( z (d (d z (e (e z (f 7 (f z (g (g / --

5 met_szer_potegowyh-.doowyh Podstwimy terz współzyiki (, ( i ( do rówi (7 otrzymują przyliżoe rozwiązie zgdiei pozątkowego (-( w posti szeregu potęgowego y( (7 Przykłd MM-7 Zleźć rozwiązie ogóle w posti szeregu potęgowego stępująego rówi różizkowego, w otozeiu puktu =. d u u d ( Poszukujemy rozwiązi w posti u ( ( Drug pohod prwej stroy rówi ( m postć d u d ( Podstwimy ( i ( do ( ( Grupujemy wyrzy, w któryh występuje w tej smej potędze ( ( ( Rówie ( m yć spełioe tożsmośiowo dl dowolego, dltego współzyiki stojąe przy, dl =,,,..., muszą yć rówe zeru ( ( / --

6 met_szer_potegowyh-.doowyh / -- ( (d Wyzzmy z rówń ( współzyiki i, dl i =,,,..., w zleżośi od współzyików orz (7 (7 7 (7 7 (7d itd. Podstwimy terz współzyiki (7 do rozwiązi ( ( u ( Rozwiązie ogóle ( zwier dwie stłe dowole i, które wyzz się z dwóh wruków grizyh. Rozwiązie to moż przedstwić w ieo iej formie!!!! ( u ( Zuwżmy, że

7 met_szer_potegowyh-.doowyh si (!! os (!! Otrzymujemy w te sposó dokłde rozwiązie rówi ( u( Asi B os ( gdzie stłe A, B wyzz się z dwóh wruków grizyh. Przykłd MS- Metodą szeregów potęgowyh zleźć rozwiązie rówi y os y e y ( spełijąe wruki pozątkowe y ( ( y ( Rozwiązie Dl, fukje os orz -e są rozwijle odpowiedio w stępująe szeregi potęgowe os (!!! e!!! ( Poszukujemy rozwiązi w posti szeregu y ( ( 7/ --

8 met_szer_potegowyh-.doowyh / -- Z ( olizmy ( y ( orz ( y (7 Zleżośi (-(7 podstwimy do (!!!!! ( Stąd po wymożeiu i uporządkowiu ( Rówie ( jest spełioe dl kżdego wtedy i tylko wtedy, gdy kżdy z wisów stojąyh po lewej stroie ( jest rówy zeru. Z wruków pozątkowyh ( dostjemy ( ( Wykorzystują ( dostjemy kolejo z ( ( ( stąd (

9 met_szer_potegowyh-.doowyh (d stąd (e (f stąd (g Rozwiązie szzególe rówi ( z wrukmi pozątkowymi ( m wię postć stępująego szeregu y ( ( / --