METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.
|
|
|
- Elżbieta Skrzypczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6
2 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6
3 Ukłd rówń liiowych Ukłd rówń liiowych: gdzie: A b A mcierz o m wierszch i kolumch wektor o iewidomych b wektor m dych liczb możliwe rozwiązi: Nieskończeie wiele rozwiązń Dokłdie jedo rozwiązie Brk rozwiązi (ukłd sprzeczy) et.numer. wykłd 6
4 Pojęcie ormy W przestrzei R [ ], której elemetmi są wektory:..., T ,, ( ) /... {,,..., } m Dl dowolego wektor є R, obowiązują ierówości: et.numer. wykłd 6 4
5 etody rozwiązywi ukłdów lgericzych rówń liiowych etody dokłde - defiicj Jeśli rozwiązie ukłdu rówń Ab poleg tkim przeksztłceiu dych A i b, że przy złożeiu dokłdie wykoywych dziłń rytmetyczych po skończoej liczbie dziłń otrzymujemy rozwiązie, to tką metodę rozwiązi zywmy metodą dokłdą. et.numer. wykłd 6
6 etody dokłde etody dokłde - cechy ł liczb obliczeń potrzebych do wyzczei rozwiązi Jeśli zdie jest źle uwrukowe umeryczie, to wyzczoe rozwiązie może być obrczoe dużym błędem. ogą być iestbile ze względu błędy zokrągleń Przeksztłceie mcierzy A obciąż w dużym stopiu pmięć mszyy, zwłszcz jeśli początkowe de A i b leży przechowć celem ostteczego sprwdzei et.numer. wykłd 6 6
7 etody dokłde - przykłd Przykłd wzory Crmer + + b b b b Sposób : b b Zkłdmy dokłdość do cyfr dziesiętych, kżdy wyik przed dlszymi obliczeimi jest zokrągly,99,7 +,7 +,,99,,7,7,4,8,49,49,,49,,49, et.numer. wykłd 6 7
8 etody dokłde - przykłd b b,,4,7,8,7,66,7,7 b b,99,8,7,4,76,78,8,8,, Dokłde rozwiązie tego ukłdu rówń dje wyik:,8, 6 et.numer. wykłd 6 8
9 etody dokłde przykłd cd. Sposób : metod elimicji Guss,7,77,99,99,7,7 +,7 +,,4,8 Elimiujemy iewidomą z drugiego rówi ukłdu rówń. W tym celu możymy pierwsze rówie przez: Otrzymujemy:.7,7 +,4949 +, Odejmując rówi stromi po wcześiejszym zokrągleiu do cyfr:,,8,,88 czyli ukłd ieozczoy, posidjący ieskończeie wiele rozwiązń. et.numer. wykłd 6 9
10 Ukłdy rówń z mcierzą trójkątą cierz trójkąt defiicj cierz trójkątą zywmy mcierzą trójkątą dolą (górą), jeżeli wszystkie elemety d (pod) digolą są rówe zeru. cierz trójkąt dol cierz trójkąt gór et.numer. wykłd 6
11 Ukłdy rówń z mcierzą trójkątą Obliczeie wyzczik mcierzy trójkątej sprowdz się do wymożei elemetów leżących główej przekątej: det( L ) li, i l, l,... l, i det( U ) ui, i u, u,... u, i et.numer. wykłd 6
12 Ukłdy rówń z mcierzą trójkątą Jeżeli mcierz A ukłdu rówń z iewidomymi Ab jest mcierzą trójkątą (dolą lub górą), to rozwiązie tkiego ukłdu rówń moż uzyskć wykoując młą liczbę dziłń rytmetyczych i przy młych błędch zokrągleń + Ogólie b ,,, + + +, et.numer. wykłd i i ii+ i i ii i b b b b,,..., b
13 Ukłdy rówń z mcierzą trójkątą Koszt obliczeiowy: Dl wyzczei wektor leży wykoć możeń i dzieleń orz D dodwń: D + + et.numer. wykłd 6
14 etod elimicji Guss Etp pierwszy (zwy etpem elimicji do przodu zmieych) b b b Wymgych jest - kroków elimicji 4 et.numer. wykłd 6 4
15 etod elimicji Guss Krok. Od drugiego wiersz odejmujemy pierwszy podzieloy przez i pomożoy przez b b b b b et.numer. wykłd 6 Otrzymujemy:
16 etod elimicji Guss Podobie postępujemy z pozostłymi wierszmi: b gdzie: b b et.numer. wykłd 6 6 b
17 et.numer. wykłd 6 7 etod elimicji Guss... b Krok. Powtrzmy procedurę kroku dl trzeciego wiersz... b b Otrzymujemy:... b b + +
18 Po kroku otrzymujemy etod elimicji Guss b " " " b b " " "... et.numer. wykłd 6 8
19 etod elimicji Guss Pod koiec kroku - ukłd rówń przybier postć: b b " " " b ( ) ( ) b... et.numer. wykłd 6 9
20 et.numer. wykłd 6 etod elimicji Guss ) ( " ) ( " " b b b b L L L L Po przeprowdzeiu - kroków elimicji zmieych otrzyme rówi możemy zpisć w postci mcierzy: Otrzym mcierz jest mcierzą trójkątą!
21 etod elimicji Guss Etp drugi zwy postępowiem odwrotym (podstwieiem wsteczym) Poiewż otrzym mcierz jest mcierzą trójkątą korzystmy ze wzorów: b ( ) ( ) i b ( i) ( i) ( i) ( i) i i, i+ i+ i, i+ i+... i, ( ) dl i,..., i ii i b ( i) ( i) i j i+ ii ij j ( ) dl i,..., i et.numer. wykłd 6
22 etod elimicji Guss etod elimicji Guss koszt obliczeiowy Łącz ilość możeń i dzieleń: + Łącz ilość dodwń: D + 6 et.numer. wykłd 6
23 etod elimicji Guss - przykłd Przykłd: Czs t (s) Prędkość (m/s) Prędkość rkiety zostł przybliżo wielomiem: v() t t + t +, t. Zleźć współczyiki,, metodą elimicji Guss i prędkość w chwili t 6 s et.numer. wykłd 6
24 et.numer. wykłd 6 4 etod elimicji Guss - przykłd (). t, t t t v + + v v v t t t t t t s m v s t /,8 6 ( ), s m v s t /, 77 ( ), 8 s m v s t /, 79 ( ),
25 etod elimicji Guss - przykłd [ 6.8]. 6 Odjąć wyik od rówi r Otrzymujemy Podzielić rówie przez i pomożyć przez 64 [ ] [ ] [ ] et.numer. wykłd 6 64 [ ].6
26 etod elimicji Guss - przykłd [ 6.8]. 76 Podzielić rówie przez i pomożyć przez [ ].76 Odjąć wyik od rówi r. [ ] [ ] [ ] Po pierwszym kroku elimicji et.numer. wykłd 6 6
27 etod elimicji Guss - przykłd [ ]. Odjąć wyik od rówi r Po drugim kroku elimicji Podzielić rówie przez -4.8 i pomożyć przez [ ] [ ] [.7.76] et.numer. wykłd [ ].
28 etod elimicji Guss - przykłd Elimicj wstecz Obliczie et.numer. wykłd 6 8
29 etod elimicji Guss - przykłd Obliczie et.numer. wykłd 6 9
30 etod elimicji Guss - przykłd Obliczie et.numer. wykłd 6
31 et.numer. wykłd 6 etod elimicji Guss - przykłd Rozwiązie: ().87, t t t t t t v ( ) ( ) ( ) m/s v
32 etod elimicji Guss Wdy metody: oże stąpić ztrzymie procesu obliczeń w powodu dzielei przez zero. Jest szczególie podt rstie błędu zokrąglei. Zlety metody: Liczb wykoywych dziłń w metodzie elimicji Guss jest bez porówi miejsz iż przy pomocy wzorów Crmer W przypdku rówń: 4 możeń w metodzie elimicji Guss i dl wzorów Crmer szy cyfrow wykoując 6 możeń sekudę:, s w metodzie elimicji Guss i pod rok dl wzorów Crmer et.numer. wykłd 6
33 et.numer. wykłd 6 etod elimicji Guss Dzieleie przez zero może wystąpić podczs kżdego kroku elimicji zmieych w stępym kroku, dzieleie przez zero
34 et.numer. wykłd 6 4 etod elimicji Guss Ukłd rówń: Rozwiązie dokłde Rozwiązie z dokłdością 6 cyfr dziesiętych w kżdym kroku Rozwiązie z dokłdością cyfr dziesiętych w kżdym kroku
35 etod elimicji Guss etod elimicji Guss-Crout (g. prtil pivotig) -z częściowym wyborem elemetu podstwowego Zpobieg dzieleiu przez zero. Zmiejsz błąd umeryczy. Elemetem podstwowym zywmy te elemet mcierzy A, z pomocą którego elimiujemy zmieą z dlszych rówń. Dotychczs jko elemety podstwowe wybierliśmy elemet leżący digoli kk Stosując częściowy wybór elemetu podstwowego wybiermy te z elemetów k-tej kolumy w k-tej mcierzy, który m jwiększy moduł. Przez zmię kolejości wierszy w mcierzy moż uzyskć elemet podstwowy leżący digoli et.numer. wykłd 6
36 etod elimicji Guss Przykłd : Wrtości w pierwszej kolumie to:, 64, Zmi wiersz trzeciego z pierwszym et.numer. wykłd 6 6
37 etod elimicji Guss Przykłd : Wrtości w pierwszej kolumie to:, 64, Zmi wiersz trzeciego z pierwszym et.numer. wykłd 6 7
38 etod Guss Crout w oblicziu wyzczików Obliczyć wyzczik mcierzy [A] Po elimicji Guss [ B] [ A] Użytecze twierdzeie: Jeżeli mcierz B powstje z mcierzy A przez dodie lub odjęcie od jedego wiersz iego wiersz pomożoego przez liczbę to ie zmiei to wyzczik det(a)det(b) (-4,8) (.7)-84, et.numer. wykłd 6 8
39 etod Guss Crout w oblicziu wyzczików Po zstosowiu metody częściowego wyboru elemetu podstwowego otrzymliśmy mcierz[c] [ C] Użytecze twierdzeie: Jeżeli mcierz B powstje z mcierzy A przez przestwieie jedego wiersz z drugim to zmiei się tylko zk wyzczik det(c)(-)(-)det(b)44 (.97) (-.)-84, tu wystąpiło dwukrote przestwieie wierszy et.numer. wykłd 6 9
40 etod elimicji Guss [ ].4444 [ ] Odjąć rezultt od rówi r Podzielić rówie przez 44 i pomożyć przez 64 [ ] [ ] [ ] et.numer. wykłd
41 etod elimicji Guss [ ].76 [ ] Odjąć rezultt od rówi r Podzielić rówie przez 44 i pomożyć przez [ 6.8] [ ] [ ] et.numer. wykłd
42 Nie moż obecie wyświetlić tego obrzu. etod elimicji Guss Wrtości w drugiej kolumie drugiego i trzeciego wiersz to:.667,.97 ksimum to.97 w trzecim wierszu Zmi wiersz trzeciego z drugim et.numer. wykłd 6 4
43 etod elimicji Guss Podzielić rówie przez.97 i pomożyć przez.667 [ ].94 [ ] [ ] Odjąć rezultt od [ ] rówi r [..] et.numer. wykłd
44 etod elimicji Guss Obliczie et.numer. wykłd 6 44
45 etod elimicji Guss Obliczie et.numer. wykłd 6 4
46 et.numer. wykłd 6 46 etod elimicji Guss Rozwiązie to:
47 etod Guss Seidl Ukłd rówń z iewidomymi: b b b et.numer. wykłd 6 47
48 et.numer. wykłd 6 48 etod Guss Seidl b KK,,,,,, b b b KK KK KK Przeksztłceie rówń do postci: z rówi z rówi z - z rówi
49 etod Guss Seidl Postć ogól dl i - tego rówi i b i j j i ii ij j, i,, K,. Jest to metod itercyj et.numer. wykłd 6 49
50 etod Guss Seidl Zkłdmy początkowe wrtości od do i podstwimy je do wcześiej przeksztłcoych rówń Obliczmy błąd względy uzyskych owych wrtości: i ew i ew i old i - Procedurę powtrzmy itercyjie ż do uzyski odpowiediego wrtości o zdwljącym błędzie. et.numer. wykłd 6
51 etod Guss - Seidl Przykłd: Czs t (s) Prędkość (m/s) Prędkość rkiety zostł przybliżo wielomiem: v() t t + t +, t. Zleźć współczyiki,, metodą Guss-Seidl i prędkość w chwili t 6 s et.numer. wykłd 6
52 et.numer. wykłd 6 etod Guss Seidl v v v t t t t t t Postć rówi: Po wstwieiu dych: Wrtości przyjęte do pierwszej itercji:
53 etod Guss Seidl Przeksztłceie rówń: et.numer. wykłd 6
54 etod Guss Seidl Pierwsz itercj: 6.8 () () (.67) ( ) (.67) ( 7.8).6 et.numer. wykłd 6 4
55 etod Guss Seidl Zjdowie błędu względego pierwszej itercji: i ew i ew i old i % Wyiki pierwszej itercji: % %.6 ksymly błąd względy to.47% et.numer. wykłd 6
56 etod Guss Seidl Drug itercj: 6.8 ( 7.8) Wyiki pierwszej itercji:.6 ( ) ( ) ( 4.88) et.numer. wykłd 6 6
57 etod Guss Seidl Zjdowie błędu względego drugiej itercji: %.6 ( 7.8) (.6) % 8.4% ksymly błąd względy to 8.7% et.numer. wykłd 6 7
58 etod Guss Seidl % % Itercj % Wyiki kolejych itercji różią się zczie od prwidłowych: Kiedy ztem t metod jest zbież? et.numer. wykłd 6 8
59 etod Guss Seidl Jeżeli mcierz jest silie digolie domiując to metod Guss-Seidl jest zbież ii ij j, j i dl wszystkich i ii > ij j, j i przyjmiej dl jedego i et.numer. wykłd 6 9
60 etod Guss Seidl Przykłd mcierzy digolie domiującej et.numer. wykłd 6 6
61 Rozkłd LU Rozkłd LU to kolejy sposób rozwiązie ukłdu rówń z iewidomymi A b cierz A moż przedstwić jko: A LU gdzie: L dol mcierz trójkąt U gór mcierz trójkąt et.numer. wykłd 6 6
62 Rozkłd LU Zpisując ukłd rówń: Zkłdjąc że: [ A ] [ L][ U ] [ A ][ X ] [ C] [ L ][ U ][ X ] [ C] ożąc przez: le: [ ] [ L ] [ L] [ I ] L [ ] [ ][ ][ ] [ ] L L U X L [ C] [ ][ ][ ] [ ] I U X L [ C ] [ L ] [ C] [ Z ] [ L ][ Z] [ C] mcierz jedostkow le: ztem: [ I ][ U ] [ U ] [ ][ ] [ ] U X L [ C] [ U ][ X] [ Z] et.numer. wykłd 6 6
63 Rozkłd LU [ ][ ] [ ] U X L [ C] oż zpisć [ U ][ X] [ Z] [ ] L [ C] [ Z ] [ L ][ Z] [ C] et.numer. wykłd 6 6
64 Rozkłd LU Jeśli dy jest ukłd rówń: [ A ][ X ] [ C] Nleży dokoć dekompozycji mcierzy A mcierze L orz U Rozwiązć ukłd rówń w poszukiwiu mcierzy Z: [ L][ Z ] [ C] Rozwiązć ukłd rówń w poszukiwiu mcierzy X: [ U ][ X] [ Z ] et.numer. wykłd 6 64
65 Rozkłd LU Dekompozycj mcierzy A L orz U: [ A] [ L][ U ] l l l u u u u u u U jest mcierzą wyzczą podczs pierwszego etpu elimicji Guss L jest mcierzą współczyików użytych podczs pierwszego etpu elimicji Guss et.numer. wykłd 6 6
66 et.numer. wykłd 6 66 Rozkłd LU (64) wiersz wiersz (44) wiersz wiersz Zjdowie mcierzy U:
67 Rozkłd LU Zjdowie mcierzy U cd: wiersz wiersz ( 6.8) [ U ] et.numer. wykłd 6 67
68 Rozkłd LU Zjdowie mcierzy L: l 64 l. 6 l l z pierwszego kroku zjdowi 44 mcierzy U l.76 z drugiego kroku zjdowi mcierzy U l et.numer. wykłd 6 68
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Układy równań liniowych Macierze rzadkie
5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -
Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.
Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.
AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy
Macierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ
![[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ](/thumbs/96/127543761.jpg "[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ")
I UKŁAD RÓNAŃ Defiicj Ukłd rówń liiowych z iewidoyi,,., : Defiicj Postć cierzow ukłdu rówń: A, lu krócej A, gdzie: A,,. Mcierz A zywy cierzą ukłdu rówń, wektor zywy wektore wyrzów wolych (koluą wyrzów
Metody numeryczne. Wykład nr 3. dr hab. Piotr Fronczak
Metody erycze Wykłd r dr h. Piotr Froczk Pojęci podstwowe Rozwiązywie kłdów gericzych rówń iiowych. Ukłd gericzych rówń iiowych Ukłd iiowy rówń z iewidoyi postci + + = + + = + + = Postć cierzow A = . Mcierz
MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
![MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic](/thumbs/26/7422983.jpg "MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic")
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Plan Rozwiązywanie układów równań liniowych
-4-4 METODY NUMERYCZNE Wykłd 6. Rozwązywe ukłdów rówń lowych dr h. ż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH Met.Numer. wykłd 6 Pl Metody dokłde Metod elmcj Guss Metod Guss-Sedl Rozkłd LU Metod Kryłow Metod LR QR Zdefowe
- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.
Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,
Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej
Rozwiązywie ułdów rówń liiowych Metod elimicji Guss 2 Postwieie zgdiei Niech dy będzie ułd rówń postci b x x x b x x x b x x x 2 2 2 2 2 22 2 2 2 Powyższy ułd rówń liiowych z iewidomymi moż zpisć w postci
Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab
Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w
6. Układy równań liniowych
6. Ukłdy rówń liiowych 6. Podstwowe określei Defiicj 6.. (ukłd rówń liiowych rozwiązie ukłdu rówń) Ukłde rówń liiowych z iewidoyi gdzie N zywy ukłd rówń postci:...... (6..) O... gdzie ij R to tzw. współczyiki
Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
MACIERZE I WYZNACZNIKI
MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)
4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.
4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj
METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1
METODY NUMERYCZNE Wykłd 5. Cłkowie umeryze dr. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Met.Numer. wykłd 5 Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rirdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
Operacje elementarne na macierzach. Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa. Badanie rozwiązalności układów równań
WYKŁAD 3 Opecje elemete mciezch Rozwiązywie ukłdów ówń metodą elimicji Guss Bdie ozwiązlości ukłdów ówń Wcmy tez do ukłdów ówń liiowych lgeiczych A53 (Defiicj) Ukłdem m ówń liiowych z iewidomymi zywmy
1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01
WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH
METODY NUMERYCZNE Wykłd. Cłkowie umeryze dr h. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rihrdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss Cłkowie umeryze -
Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.
Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,
PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY
PODSTWY LGEBRY LINIOWEJ LGEBR MCIERZY Mcierzą prostokątą o m ierszch i kolumch zymy tblicę m liczb rzeczyistych ij (i,,...,m; j,,...,) zpisą postci ujętego isy kdrtoe prostokąt liczb M m M m Liczby rzeczyiste
1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania
Kryterium stbilości Stbilość liiowych ukłdów sterowi Ukłd zmkięty liiowy i stcjory opisy rówiem () jest stbily, jeŝeli dl skończoej wrtości zkłócei przy dowolych wrtościch początkowych jego odpowiedź ustlo
7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO
Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi
MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są
Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości
i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego
Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Wykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona
Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży
Struna nieograniczona
Rówie sry Rówie okreś rch sry sprężysej kórą ie dziłją siły zewęrze Sł okreśo jes przez włsości izycze sry Zkłdmy że w położei rówowgi sr pokryw się z pewym przedziłem osi OX Fkcj okreś wychyeie z położei
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
![I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.](/thumbs/91/106925407.jpg "I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.")
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Układy równań liniowych Macierze rzadkie
wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..
Ciągi i szeregi liczbowe
Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją
Liczby zespolone i wielomiany
/5 Liczby zespoloe i wielomiy Rówie x ie m rozwiązi w zbiorze liczb rzeczywistych. Tk więc ie kżdy wielomi o współczyikch leżących do posid miejsce zerowe (zwe iczej pierwistkiem) w tym zbiorze. Okzuje
ELEMENTÓW PRĘTOWYCH. Rys.D3.1
DODATEK N. SZTYWNOŚĆ PZY SKĘANIU ELEMENTÓW PĘTOWYH Zgdieie skręci prętów m duże zczeie prktycze. Wyzczeie sztywości pręt przy skręciu jest iezęde do określei skłdowych mcierzy sztywości prętów rmy przestrzeej
Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.
Wyzczie prędkości i przyspieszeń cił w ruchu posępowym, obroowym i płskim orz chwilowych środków obrou w ruchu płskim. Ruch korbowodu część II Zdie.. Prę o długości L ślizg się jedym końcem (puk po podłodze,
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu
Rozdził. Ciągi liczbowe, gric ciągu. Rodzje i włsości ciągów liczbowych W życiu codzieym często moż spotkć się z ciągmi: ciąg smochodów ulicy (pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg ludzi w kolejce (zerowy chwilę
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Collegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Koputerowe wspogie decyzi 008/009 Liiowe zgdiei decyzye Nottki do tetu Metody poszukiwi rozwiązń edokryterilych probleów decyzyych etody dl zgdień liiowego progrowi tetyczego Liiowe zgdiei decyzye część
a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n
CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły
CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.
Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Wyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia
Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n
Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski
Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz
WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie
3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych
Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Wprowdzenie Przypomnimy podstwowe zleżności związne z zstosowniem metody nmnieszych kwdrtów do proksymci fnkci dyskretne Podstwowe równnie m nstępącą postć: +
A A A A11 A12 A1. m m mn
DODTEK NR. GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy ajważiejsze defiicje rachuku macierzowego i omówimy iektóre fukcje i trasformacje macierzy ajbardziej przydate w zastosowaiach umeryczych a w szczególości w
Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Wprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)
![D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)](/thumbs/98/136777750.jpg "D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)")
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assigmet Problem) Bliskim "krewiakiem" ZT (w sesie podobieństwa modelu decyzyjego) jest zagadieie
V. CIĄGI LICZBOWE. V.1-4. Ciągi liczbowe. Maria Kielar, Tomasz Kielar
V. CIĄGI LICZBOWE Mri Kielr Tomsz Kielr Wszelkie prw zstrzeżoe. Kopiowie i rozpowszechiie cłości lub frgmetu iiejszej publikcji w jkiejkolwiek postci jest zbroioe. Autorzy orz Wydwictwo Dobry ebook dołożyli
Rzwiązie ) Trpez jest pisy kle Z włsści czwrkąt piseg kle mmy: AB + CD AD + BC + r+ r+ 8 Pdt w trójkącie EBC: ( r) + Otrzymliśmy ukłd rówń: r+ 8 (r) +
Siedem zdń iterutów Zdie - pzim wymgń: pdstwwy Współczyiki fukcji kwdrtwej f(x) x + bx+ c twrzą w klejści,b, c ciąg gemetryczy Wyzcz wrtść współczyików b i c, jeżeli widm, że sią symetrii wykresu fukcji
Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce
Wyre rozkłdy prwdopodoieństw żytecze w sttystyce Rozkłd chi-kwdrt o stopich swoody - to rozkłd sy kwdrtów iezleżych zieych losowych o stdryzowy rozkłdzie orly N tz iid N = i i rozkłd y o kcji gęstości
Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4
Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM klasa 2F 1. FUNKCJA LINIOWA
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM kls 2F 1. FUNKCJA LINIOWA Uczeń otrzymuje oceę dopuszczjącą, jeśli: rozpozje fukcję liiową podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Technika Obliczeniowa i Symulacyjna - wykład
Techik Obiczeiow i Symcyj - wykłd kierek EiT, sem., stdi pierwszego stopi, r. k. 8/9 Krt przedmiot Prowdzący wykłd część : Metody merycze Prowdzący: dr iż. Brbr Stwrz-Grczyk Pokój: 449 EA E-mi: bstwrz@eti.pg.ed.p
Działania wewnętrzne i zewnętrzne
Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem