Spis treści. Rozdział III. Zadania statycznie niewyznaczalne Rozdział VI. Stany graniczne konstrukcji

Transkrypt

1 Wę ycze ziory zdń ze yki ukłdów ręowyc zwężoe ą rdycyjie do ukłdów Ceyro. e o kyczy krą zdień meciki korukcji kzłujący wyorźię rzyzłyc iżyierów. Brk w im jedk miejc roemy ierężye, czkowiek oę eciki komuerowej dje od dw zę wrowdzeie izy ierężyej, ym rdziej, iż udeci korzyją jczęściej z yc rormów oiczeń umeryczyc. Wydje ię jedk, iż korzyie z oowyc rormów owio yć orzedzoe rozwiąziem jrozyc zdń ierężyyc, co eż rooujemy czyeikowi. Sądzimy, iż zczeóie ouczjące je orówie rozwiązń yc myc zdń rzy różyc modec meriłów. Uzykujemy u zę orówie wływu rzyjęeo częo ririe modeu rozwiązie zdi. W ej formie ode ą eż zdi w ziorze. Czyeik w ierwzej koejości może ię oriczyć do rozwiązi zdń iiowo rężyyc. omi w mirę ozwi meciki może e rozwiązi orówć z ekorężyymi, czy eż różymi oimi roceów ełzi meriłów. Zdi ą odzieoe rozdziłmi zodie z kyczym ujęciem meciki meriłów od royc zdń o złożoe rzydki wyrzymłościowe. W ęej koejości izowe ą rzemiezczei ukłdów, zdi yczie iewyzcze o roemy ów riczyc i ury eczości. W odej formie zdi e yły od kikuu rzerie ćwiczeic z meciki meriłów i korukcji rzez moic udeów z Giwic i Oo. o orówie zdń kyczyc z ierężyymi royc rzykłdc yło wiodącą ideą wykłdu i kzłowi wyorźi rzyzłyc iżyierów. oeczą formę orcowi miły duży wływ uwi i ueie receze rcy rof. Sef iecik, kóremu eżą ię zczeóe odziękowi. Orcowie zoło rzyoowe do druku rzy zczym udzie rcowików kedry, z co im jeem rdzo wdzięczy.. uik 7

2 Si reści Wykz wżiejzyc ozczeń... 5 Wę... 7 Rozdził I. roe rzydki wyrzymłościowe... 9 Rozdził II. rzemiezczei ukłdów ręowyc... 6 Rozdził III. Zdi yczie iewyzcze... 9 Rozdził IV. Ur eczości... 7 Rozdził V. Złożoe rzydki wyrzymłościowe... Rozdził VI. Sy ricze korukcji... 5 Rozdził VII. Hioezy wyężeiowe Rozdził VIII. wierdzeie o wzjemości...

3 Wykz wżiejzyc ozczeń i, - wółrzęde krezjńkie uków,,, τ - cz - wółrzęd krzywoiiow, V, - oe owierzci, ojęość, oe rzekroju orzeczeo i - i- wółrzęd wekor rzemiezczei u i, u, u, u - wółrzęde wekor rzemiezczeń δ u i,δϕ - rzemiezczeie i oró wiruy ε - wółrzęde eor odkzłceń ij ε, ε ε - odkzłcei orme wydłużei,, ε, ε, ε, ε ε - odkzłcei ociowe ε - wydłużei łówe ij,,,,, - wółrzęde eor rężeń, - rężei orme - rężei ycze - rężei łówe - kłdowe iły owierzciowej i i ij j ρ - ęości iły mowej q - ociążei rówomierie rozłożoe, G, ν - moduł rężyości You, ircoff i wółczyik oio, G - fukcje rekcji R, k, - wyrzymłość, rężeie zredukowe, ric yczości,, - ił oiow i iły orzecze,, - mome kręcjący i momey zijące - ieuowy mome ezwłdości, - momey ezwłdości wzędem oi i S, S - momey ycze o. wzędem oi i, - wykłdiki oę w ieiiowyc rówic fizyczyc ε ε ε dzie ε >, > ε dzie >, > - iiowy wółczyik rozzerzości cieej ε, 5

4 - emerur f d - ioczy oowy fukcji f i f d f τ d τ, f d df, f dh f, f δ f dzie τ d τ [, ] orz τ d τ [, ] H, δ - fukcj Heviide i de Dirc f - rform cłkow Lce f L [ f ] f e d, i f L - [ f ] f πi i e d 6

5 Rozdził I roe rzydki wyrzymłościowe rzedwioe zoą zdi doyczące ściki, kręci i zii ręów wykoyc z meriłów rężyyc i ekorężyyc. W rozwżic ędziemy rówież uwzędić roe modee ieiiowości fizyczej meriłu w formie oęowej. W kżdym zdiu jierw zoą ode rozwiązi iiowo-rężye, oem ieiiowe u ekorężye. orówie yc rozwiązń ozwoi uzmyłowić czyeikowi ceowość rzyjmowi różyc modei fizyczyc roemu. W rozwżic doyczącyc roeo rozciąi ry.. ołuujemy ię zeżościmi między wydłużeimi iłmi oiowymi. ją oe oć: - iiow rężyość ε, ε ąd - ieiiow rężyość o rwie oęowym ε, ε ąd - iiow ekorężyość dε, ε - d ąd * d dzie f df f df f df τ - ieiiow ekorężyość τ, d δ ε d, ε db * db 5 9

6 dzie B * d δ 6 c φ τ ρ G, Ry.. Ry.. W zdieic kręci ry.. zeżość między momeem kręcjącym, kąem orou rzekroju ϕ rzyjmuje formę: - iiow rężyość G ε, Gε, τ Gγ, γ τ ϕ 7 G G o dzie ρ o [ ] d, τ 8 - ieiiow rężyość G ε, ε ϕ G 9 dzie [ ] d, - iiow ekorężyość o

7 G * dε, τ G dγ, γ G G dε, dτ ϕ - * dg dzie G dg δ - ieiiow ekorężyość ε dg, ε ϕ * dg dzie G d G * dg δ W odyc wzorc ozczoo ymomi: -rężeie orme, ε - odkzłceie orme,,, τ -rężei ące, ε, ε, γ -odkzłcei ociowe,,, G, G -moduły You i ircoff w zdic rężyyc iiowyc i ieiiowyc,,, G, G,, B, G, G - fukcje rekcji i ełzi w zdic iiowo i ieiiowo ekorężyyc,,5,7,... -wykłdik oiujący ieiiowość,, - ieuowy mome ezwłdości rzędu i, - wydłużeie rę, ϕ - ką kręcei rzekroju rę, - dłuość rę, - cz, δ - de Dirc, - ił oiow, - mome kręcjący. ZDI.. Ouroie uwierdzoy rę o łym rzekroju i dłuości ode dziłiu iły oiowej rzyłożoej w ukcie ry... eży wyzczyć iły oiowe w ręcie, rzy czym zeżość rężeie-odkzłceie eży rzyjąć jierw jko iiowo rężyą, óźiej ieiiowo rężyą i ekorężyą. ozukuje ię wrości rekcji R i R B.

8 R R B B R R B Ry.. Rozwiązie: Zdie je jedokroie yczie iewyzcze. Rówowże zdie yczie wyzcze orzymmy o odrzuceiu więzów w uwierdzeiu B ry... D zcowi rówowżości ou zdń wymmy, y rzemiezczeie δ B w ukcie B yło rówe zeru δ B R R B B Ry.. δ B Z wruku rówowi umy rzuów ił oś wyik, że R R B R B R Dodkowe rówie rekcje R i R B orzymmy wykorzyując wruek ierozdzieości W zdiu iiowo rężyym wydłużei rę oiuje rówie

9 Sąd wruek ierozdzieości rowdzi do recji R R R R B δ Z wruku umy rzuów ił orzymmy R R R B B W zdiu ieiiowo-rężyym wydłużeie rę de je rówiem Sąd wruek ierozdzieości rowdzi do recji B R R R R R R R R δ Z wruku umy rzuów ił orzymmy B B R R R c W zdiu iiowo ekorężyym wydłużeie rę oiuje zeżość

10 * d Sąd o odwieiu do wruku ierozdzieości ędzie R d R d R R d ęie odwie wierdzei icmrc wierdzjąceo, iż jeżei ioczy oowy ry fukcji je rówy zeru, o jed z fukcji wcodzącyc w jeo kłd mui yć rów zeru, orzymmy rozwiązie zdi. R R R Wyik w zdiu ekorężyym je więc ideyczy jk w zdiu rężyym. ZDI.. Ściky rę kłd ię z kiku wrw o różyc rzekrojc i modułc You ry... eży d zej iły oiowej, rmerów eomeryczyc i fizyczyc wrw okreśić rężei wyęujące w ozczeóyc kłdikc rę. Rozwiązie eży zeźć w zkreie iiowo i ieiiowo rężyym orz iiowo i ieiiowo ekorężyym. Rozwiązie: Zdie je wewęrzie yczie iewyzcze. rężei w ozczeóyc kłdikc rę wyzczymy wykorzyując złożeie, iż odkzłcei wzykic wrw ą oie rówe ε ε... ε... ε ε m orz z wruku rówowżości ukłdów ił zewęrzyc i wewęrzyc

11 ε ε ε m m m ε ε,,..,m m ε Ry.. W rzydku iiowo rężyym d kżdej z wrw moż zić rówie fizycze ε,,,...,m Sąd orzymmy wruek rówowi wewęrzej ε ε ε Zjąc wrości odkzłcei ε możemy wyzczyć rężeie w dowoej wrwie ε ε Zuwżmy, iż rówym odkzłceiom ozczeóyc wrw odowidją w oóości koki rężeń ykc wrw. 5

12 6 W rzydku ieiiowo rężyym d kżdej z wrw moż zić rówie fizycze m,,..., ε, Sąd orzymmy wruek rówowi wewęrzej ε ε ε Zjąc wrości wyrżei ε możemy wyzczyć rężeie w dowoej wrwie ε ε c W rzydku iiowo ekorężyym d kżdej z wrw moż zić rówie fizycze m d,...,,, ε Sąd orzymmy wruek rówowi wewęrzej dε ε ε d d dzie δ rężeie w wrwie wyiczymy z rówi * ε ε d d W zczeóym rzydku, kiedy fukcje rekcji wrwy ą oci

13 7 f orzymmy ε ε ε ε * * * d f d f d f d f i dej ε ε * d f d f Wyik e je więc oiczy, jk w rzydku iiowo rężyym. d W rzydku ieiiowo ekorężyym d kżdej z wrw moż zić rówie fizycze oci m d,,,..., ε Sąd orzymmy wruek rówowi wewęrzej ε ε ε d d dzie δ d d rężeie w wrwie wyiczymy z rówi ε ε d d d d * * W zczeóości zś, d df d orzymujemy roą zeżość

14 8 ε ε ε ε * * df df df df i dej Z orówi rozwiązń yc myc zdń w zkreie iiowo i ieiiowo rężyym wyik ozcowie różicy Wyik e ozw m.i. okreśeie wływu rzyjęyc łyc meriłowyc w ou zdic. ZDI.. izowć ędziemy rężei i odkzłcei w ręcie zrojoym, rozciąym iłą oiową ry... rę kłd ię z mrycy o zywości i zrojei o łączej zywości. W ukłdzie ym eży jezcze wydzieić wrwę kokową wyęującą między mrycą zrojeiem, kór m zewić ciąłość deformcji. Okreśeie włości meciczyc ej wrwy, j. modułu rężyości je ceem zdi. erił mrycy, zrojei i wrwy kokowej eży rzyjąć jko iiowo rężyy.

15 wrw kokow mryc Ê zęczy ośrodek jedorody ε,, zrojeie ε ε ε Ry... Deformcje w ręcie wrwowym i jedorodym ukłdzie zęczym Rozwiązie: Orócz wyjścioweo zdi, w kórym wyęują rzy kłdiki,,, izowć ędziemy jezcze ewe rówowże zdie w zęczym ośrodku jedorodym o zywości k dorej, y od wływem yc myc ociążeń wyąiły kie me odkzłcei i ε ε Siłę oiową w ręcie okreś recj ε,,, Wówcz wruek ierozdzieości odkzłceń ozczeóyc kłdików 9

16 ε ε rowdzi do zeżości W rówowżym ręcie jedorodym ędzie zcodzić ε dej ε Wruek kic myc odkzłceń ε ε i ociążeń rowdzi do rówości ε ε Sąd ozukiwy moduł wrwy kokowej wyoi o o ZDI.. izowć ędziemy jk orzedio zdie.. zkłdjąc, iż kłdiki rę ą ieiiowo rężye, dej iiowo ekorężye Rozwiązie: W zdiu ieiiowo rężyym iłę oiową okreś wyrżeie ε

17 Zś wruek ierozdzieości odkzłceń kłdików rowdzi do recji ε ε ozczeóyc ε ε W rówowżym ręcie jedorodym zcodzić ędzie ε dej ε Wruek kic myc odkzłceń rówości ε ε Z orówi zywości wyzczyć rmer ˆ ε ˆ ε i ociążeń ˆ rowdzi do wrwy kokowej z umą zywości moż W oiczym zdiu ekorężyym iłę oiową okreś zeżość dε Zś wruek ierozdzieości rzyroów odkzłceń d ε dε

18 rowdzi do recji ε ε d d dzie δ W rówowżym ręcie jedorodym zcodzić ędzie ε d dej [ ] * * d ε Z rzyrówi rzyroów odkzłceń ε ε d d i ociążeń ˆ orzymmy [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ d d ε ε Z orówi zywości z umą zywości moż wyzczyć ozukiwą fukcje rekcji wrwy kokowej ] ˆ [ ZDI.5. eży okreśić rężeń w wrwie rozdziejącej dw ręy ścike rówomierie rozłożoym ociążeiem ry..5. eriły rę i wrwy jjącej ą iiowo rężye.

19 ε ε ε ε ν ε ν ε ε ν ε ν rężei i odkzłcei w ręc rężei i odkzłcei w wrwie rozdziejącej Ry..5. Rozwiązie: Okreśimy jierw z oo rężei i odkzłcei w wrwie rozdziejącej i w ręc. W ręc rężei i wydłużei wyozą ν ; ε ; ε ε ; ν ν ε ; ε w wrwie rozdziejącej

20 ; ; ; ; ν ε ν ε ν ε ε ε Różice rzyroów dłuości wyozą v v v v ; eżei złożymy ciąłość odkzłceń ykc wrw o różice odkzłceń ie owiy wyąić, woec eo owie dodkow ił oziom dziłjąc w kieruku oi orz dziłjąc w kieruku oi zewijąc ciąłość oziomyc odkzłceń. W rzydku > w wrwie rozdziejącej wyąią iły ścikjące w ręc rozciąjące. Siły i w ręc i rozdziejącej je wrwie wywołują ęujące wydłużei i krócei: - kieruku oi ν ν ąd ν ν - kieruku oi

21 5 ν ν ąd ν ν ożemy erz wyzczyć dodkowe rężei oziome, i,, kóre wyozą,,, ode rozwżi oidją rzyiżoy crker. ozwją oe jedk okreśić wrość rężeń wyęującyc w łzczyźie roodłej do dziłi iły ścikjącej, wyikjącą z różicy włości rężyyc modułów i w ręc i wrwie rozdziejącej. ZDI.6. W ukłdzie ręowym rzedwioym ryuku.6 eży wyzczyć iły w ręc ukośyc, wykoyc z iioweo orz ieiioweo meriłu rężyeo.

22 q /i /i co co β β coβ coβ β β /iβ /iβ i β iβ Ry..6. Rozwiązie: Zdie je jedokroie yczie iewyzcze. Z uwi ymerię zdi oziom ek ieodkzłc rzemieści ię ioowo o ewą wrość, omi w ręc ukośyc ową rzemiezczei o wrości i i i β W zdiu iiowo rężyym oiym rówimi fizyczymi ε, ε wydłużei i iły w ręc wyozą odowiedio i i i i i β i β i β Wruek umy rzuów ił kieruek ioowy oiy je zeżością co β co q 6

23 7 Siły i wyzczymy więc z ukłdu rówń q β β co co i i i ąd co co co i β q dzie co i β D ukłdu wykoeo z meriłu ieiiowo rężyeo, oieo rówimi fizyczymi, ε ε wydłużei ręów ukośyc wyozą odowiedio β β β i i i i i i i Wruek umy rzuów wzykic ił kieruek ioowy oiy je zeżością co co q β Wedy iły i moż wyzczyć z ukłdu rówń q β β co co i i i ąd co co co i β q dzie

24 i i β / Z orówi ił i w zdiu iiowym i ieiiowym wyik recj u co β co β co co i ZDI.7. ukłd ręów ołączoyc w ukcie, ymeryczyc wzędem oi ioowej dził ociążeie ioowe ry..7. eży okreśić iły w ozczeóyc ręc ukłdu w rzydku iiowo i ieiiowo rężyym. m m ω ω ω m ω m ω ω,,...,m ω ω V V iω /iω Viω Ry..7. Rozwiązie: Wruek ierozdzieości rzemiezczeń węzł iezeżie od włości meriłu rowdzi do rówń oci V i ω 8

25 9 W zdiu iiowo rężyym oiym rówimi fizyczymi ω ε i ił oiow w dowoym ręcie wyoi ω ω i i V Z wruku rówowi umy rzuów ił kieruek ioowy orzymmy i i i ω ω ω V V ąd i i ω ω W zdiu ieiiowo rężyym oiym rówimi fizyczymi ω ε i ił oiow w dowoym ręcie wyoi V ω ω i i Z wruku rówowi - umy rzuów ił kieruek ioowy orzymmy i i i i i ω ω ω ω ω V V

26 ąd i ω i ω i ω Orzyme wzory ą łuze d dowoej iości ręów rzy zcowiu ymerii ukłdu orz ic zywości orz. ZDI.8. W zdiu o kofiurcji jk w orzedim rzykłdzie uk dził ił oziom ry..8.. eży wyzczyć iły w ozczeóyc ręc ukłdu w rzydku iiowo i ieiiowo rężyym. m m ω ω ω m ω m ω ω ω,,...,m /iω coω V ω Vcoω V Ry..8. Rozwiązie: Scem yczy zdi wrz z rzemiezczeimi rzedwi ry..8. Wruek ierozdzieości rzemiezczeń węzł rowdzi do rówń oci V co ω W zdiu iiowo rężyym oiym rówimi fizyczymi

27 ω ε i ił oiow w dowoym ręcie wyoi ω ω ω co i i V Z wruku rówowi umy rzuów ił kieruek oziomy orzymmy co i co i co ω ω ω ω ω V V ąd co i co i ω ω ω ω W zdiu ieiiowo rężyym oiym rówimi fizyczymi ω ε i ił oiow w dowoym ręcie wyoi V ω ω ω co i i Z wruku rówowi umy rzuów ił oś oziomą orzymmy co co i co co i co ω ω ω ω ω ω ω V V ąd

28 iω coω iω coω coω Orzyme wzory ą łuze d dowoej iości ręów rzy zcowiu ymerii ukłdu ręów orz ic zywości orz. ZDI.9. iekończeie zyw ek oziom B je rzeuowo odr w ukcie. Do eki ej w rówyc odęc rzymocowo odciąi z i owyc ry..9.. eży wyzczyć iły w odciąc rkując je jko iiowo orz ieiiowo rężye. C C,,...,m /iω m m q ω iω ω ω ω m B β δ β> β β > δ β δ ω δ iω Ry..9. Rozwiązie: W wyiku odkzłceń odciąów zyw ek B oróci ię o ką β wzędem rzeuu, uk zmocowi iy o dłuości z eką B rzemieści ię ioowo o wrość δ β,,,...,m

29 Wówcz wydłużeie iy o dłuości de ędzie zeżością ω β ω δ i i Zkłdjąc, że odciąi wykoe ą z meriłu iiowo rężyeo ω ε i orzymmy wzór iłę oiową w dowoym ręcie ω β ω i i Wrość iezeo ką orou β wyzczymy z wruku rówowi umy momeów ił iczoyc wzędem rzeuu ω i m q ąd i i ω β ω β qm m q Zjąc ką orou β wyzczmy iły oiowe w ozczeóyc odciąc. Zkłdjąc, że odciąi wykoe ą z meriłu ieiiowo rężyeo ω ε i orzymmy wzór iłę oiową w dowoym ręcie ω β ω i i

30 ąd Bez zmi ozoje wruek rówowi momeów q m i β q m ω β iω i ω q m iω i ω o wyiczeiu wrości wyrżei ozczeóyc odciąc. β wyzczymy iły oiowe w ZDI.. Ouroie uwierdzoy rę kołowy o zywości G w części ewej i G w rwej oddy je dziłiu momeu kręcjąceo rzyłożoeo w ukcie w oi eki ry... eży zeźć momey uwierdzei i B. Zdie eży rzeizowć w zkreie iiowo rężyym orz iiowo ekorężyym. φ G G B B B Ry..

31 5 Rozwiązie: Zdie je jedokroie yczie iewyzcze. Rówowży ukłd yczie wyzczy orzymmy o odrzuceiu uwierdzei B ry... y rówowżość ou zdń ył zcow, wymmy, y ką orou w ukcie B ył rówy zero B ϕ Z wruku rówowi umy rzuów momeów oś wyik, że B B Dodkowe rówie ozwjące oiczyć momey wierdzei i B orzymmy wykorzyując wruek ierozdzieości. Ry.. W zdiu iiowo rężyym ką orou rzekroju kręceo okreś wzór G ϕ Wówcz wruek ierozdzieości rowdzi do zeżości B G G G G G G G G ϕ Z wruku orzymmy B φ B

32 6 B B B G G G G G G W zdiu iiowo ekorężyym ką orou rzekroju kręceo okreś wzór dg ϕ Wówcz wruek ierozdzieości rowdzi do zeżości * * * * * B G d G d G d G d G d ϕ Orzymiśmy u rówie yu ou, z kóreo eży wyzczyć ozukiwy, zmiey w czie mome uwierdzei. W rzydku zczeóym, kiedy i f G G f G G zdie iiowo ekorężye okryw ię z iiowo rężyym j. i B G G G G G G ZDI.. eży okreśić rozkłd momeów kręcjącyc w jedorodym ręcie kołowym ouroie uwierdzoym oddym dziłiu momeu kręcjąceo rzyłożoeo w ukcie ry... Zdie eży

33 rzeizowć w zkreie iiowo i ieiiowo rężyym orz ekorężyym. φ B G B B Ry.. Rozwiązie: Zdie je jedokroie yczie iewyzcze. Rówowży ukłd yczie wyzczy orzymmy o odrzuceiu uwierdzei B ry... y rówowżość ou zdń ył zcow, wymmy, y ką orou w ukcie B ył rówy zero ϕ B φ B B B Ry.. Z wruku rówowi- umy rzuów momeów oś wyik, że B Dodkowe rówie ozwjące oiczyć momey wierdzei orzymmy wykorzyując wruek ierozdzieości. B i B 7

34 8 W zdiu iiowo rężyym ką orou rzekroju kręceo okreś wzór G ϕ Wówcz wruek ierozdzieości rowdzi do zeżości ϕ G G B dzie Z wruku umy rzuów momeów orzymmy B B W zdiu ieiiowo rężyym ką orou rzekroju dy je zeżością G ϕ Wówcz wruek ierozdzieości rowdzi do zeżości G G ϕ W rzydku zczeóym d i

35 9 orzymmy Sąd ierwzy z rzec ierwików eo rówi wyoi Z wruku umy rzuów momeów orzymmy B B c W zdiu iiowo ekorężyym ką orou rzekroju dy je zeżością - * dg ϕ Wówcz wruek ierozdzieości rowdzi do zeżości ϕ * * * dg dg dg B dzie Z wruku umy rzuów momeów orzymmy

36 B B Orzymy wyik je ideyczy, jk w zdiu iiowo rężyym. d W zdiu ieiiowo ekorężyym ką orou rzekroju dy je zeżością dg * ϕ Wówcz wruek ierozdzieości rowdzi do zeżości * * * * dg dg dg dg ϕ B W rzydku zczeóym d i orzymmy * * * * * * dg dg dg dg dg dg ąd [ ] * * * dg dg dg Z wruku umy rzuów momeów orzymmy B B Orzymy wyik je ideyczy, jk w zdiu ieiiowo rężyym.

37 ZDI.. eży okreśić rozkłdy rężeń yczyc w kręcym ręcie kołowym, złożoym z ukłdu m wółśrodkowyc wrw o włościc fizyczyc okreśoyc rówimi τ G γ, dzie τ, G i γ ą koejo rężeiem yczym, modułem ircoff i kąem odkzłcei ocioweo wrwy ry...,,...,m ρ R τ φ wrw wrw m ρ R R r wrw, G, Ry.. Skręcie rę wrwoweo Rozwiązie: W kręcym ręcie kołowym jedorodym zeżość między momeem kręcjącym, kąem orou w rzekrojc oddoyc o od uku uwierdzei m oć G u G ϕ ϕ dzie R ρ d - ieuowy mome ezwłdości omi rozkłd rężeń yczyc okreśy je rówiem

38 ρ τ W izowym ręcie wrwowym mome kręcjący je umą momeów kręcjącyc wrw rzy czym część momeu kręcjąceo rzeozoeo rzez wrwę okreś zeżość R ϕ G, r ρ d dzie - ieuowy mome ezwłdości wrwy. Zdie je -kroie wewęrzie yczie iewyzcze. Zcodzi wruek ϕ G ϕ G o wyzczeiu ką orou ϕ mome cząkowy G ϕ G G rężeie ące w wrwie okreś recj τ dzie r < ρ R G ρ G wyoi Z rówi wyik, że jeśi ozczeóe wrwy rzekroju zoą wykoe z meriłów o różyc modułc ircoff yc wrw ojwią ię koki rężeń ry... G, o ricc

39 ,,...,m wrw τ R τ R r τ m wrw, G, wrw m Ry.. Rozkłdy rężeń ącyc ZDI.. rę o zywości oddo dziłiu momeu zijąceo ry... eży okreśić w rzekroju rę rozkłdy rężeń ormyc. Zdie eży rzeizowć w zkreie iiowo rężyym, ieiiowo rężyym, iiowo ekorężyym, ieiiowo ekorężyym orz w werji rzyroowej. ρ d κ ε κ κ ε Ry..

40 Rozwiązie: ukem wyjściowym yc zdń ą z jedej roy rówi fizycze z druiej recje łączące wiekości oe mome zijący z krzywizą rę κ. W zdiu iiowo rężyym zcodzą wruki ε, ε κ, κ, d ąd rozkłd rężeń w rzekroju rę m oć ry.. κ W ieiiowo rężyym rzydku orzymmy ε, ε κ, κ, ąd rozkłd rężeń w rzekroju rę m oć ry..c d κ Ry.. Ry..c c W zdiu iiowo ekorężyym ędzie

41 dε, ε κ, dκ ąd rozkłd rężeń w rzekroju rę m oć κ d * d W zdiu ieiiowo ekorężyym zcodzi ε d, ε κ, κ ąd rozkłd rężeń w rzekroju rę m oć d κ d d * d Ze wzorów owyżzyc wyik odoieńwo rozkłdów rężeń w zdic rężyyc i ekorężyyc. Wyzczymy jezcze ezwymirowy ouek rężeń wywołyc ym mym momeem w zdic iiowyc i ieiiowyc e D rzyroów rężeń, odkzłceń ε, krzywizy κ i momeów zcodzą związki ε ε, ε κ, κ ε ąd rozkłd rzyroów rężeń w rzekroju rę m oć ε ε ε κ 5

42 ZDI.. eży wyzczyć rzeiei rężeń ormyc w rzekroju zieo rę o dwóc oic ymerii. rę wykoo z meriłu ieiiowo rężyeo oieo rówiem fizyczym ε ε d -ε ε ε ε ε - Ry.. Rozwiązie: W ierwzej koejości wyzczymy łą meriłową z wruku, y ycz do wykreu ε w ukcie, ył oziom d dε ε ε odwijąc ε / ε ε ε do rówi wyjścioweo orzymmy / 7 ε / ε Orzymiśmy u dwie zeżości łączące ε, z rmerem. Wyzczymy erz zeżość mome - krzywiz ~ κ d izowyc rówń fizyczyc. rężeie w rzekroju wyrżoe rzez krzywizę rzedwi ię u rówiem 6

43 κ κ Wruek rówowi rzuu ił oś rowdzi do recji d κ d κ d κs κ S dzie S d, S d Wruek e ędzie ełioy ożmościowo S S w ukłdzie oi, okrywjącyc ię z oimi ymerii rzekroju. Wruek rówowi umy momeów oś rowdzi do recji d κ d κ d κ dzie d, κ d Zjąc mome eży wyzczyć krzywizę κ i rężeie z ukłdu rówń κ κ i κ κ W ierwzej koejości oiczymy κ i κ κ, κ rzyrówując do ieie wrości krzywizy κ wyiczoe z yc rówń orzymmy ozukiwą zeżość [ ] 7

44 Z zeżości ej d zej wrości momeu, łyc meriłowyc orz wółrzędej włók w rzekroju możemy wyzczyć rozkłd rężeń ormyc. ZDI.5. eży wyzczyć rozkłdy rężeń ormyc w rzekroju rę oddeo dziłiu momeu zijąceo. Rozwżi eży rzerowdzić d rę o rzekroju rookąym orz d rury o średicy wewęrzej d i zewęrzej D ry..5. erił, z kóreo wykoo rę je ieiiowo rężyy oiy rówiem fizyczym ε eży rzeizowć kże rzydek zczeóy iiowo rężyy d. Rozkłd rężeń ormyc w rzekroju rookąym d dρ ρ d/ ρ D/ Rozkłd rężeń ormyc w rzekroju ierścieiowym D Ry..5 8

45 9 Rozwiązie: Rozkłd rężeń ormyc w ziym ręcie okreś rówie dzie d Zś w rzydku iiowo rężyym rozkłd rężeń ormyc urzcz ię do oci dzie d Oiczymy oecie wrości momeów ezwłdości rzędu. W rzydku rzekroju rookąeo zcodzi, / d w rzydku rury dy d dy D d D / / o odwieiu owyc zmieyc d D, β β wyiczymy ozukiwą cłkę

46 5, I D d D dzie β β β d I Cłkę I oiczymy odwijąc d d / β β czyi / / d I e o cłk uer I rodzju. Cłkę ą moż rzedwić w oci komicji Γ - fukcji I Γ Γ Γ o dzyc rzeiczeic orzymmy [ ] I Γ Γ Oeczie mome ezwłdości rury wyoi D d D dzie [ ] Γ Γ

47 W rzydku zczeóym, ełeo rzekroju kołoweo d orzymmy D Wykrey zeżości i ;, ;, rzedwioo ry..5, ;,6,6 ;,, ;, Ry..5 Oeczie rozkłd rężeń w rzekroju rookąym okreś wzór, omi w rzydku iiowo rężyym zcodzi, Z orówi rozkłdów rężeń w rzydku ieiiowym i iiowym wyik możiwość zcowi różicy ów rężeń w zdic iiowyc i ieiiowyc. Rozkłd rężeń w rzekroju rurowym m oć 5

48 5 D d D dzie [ ] Γ Γ omi wrość momeu ezwłdości d rzekroju ruroweo w zdiu iiowym oiczymy w oó odmiey rzez orówie momeów ezwłdości i z ieuowym momeem ezwłdości. Zcodzi d d d,, Wyzczymy erz ieuowy mome ezwłdości wrowdzjąc ową zmieą ρ πρ ρ d d, zmieijąc wówcz cłkę odwóją ojedyczą / / / / d D d D d D d π ρ π ρ πρ ρ Z uwi ymerię rzekroju orzymmy d D π Oeczie rężeie oiczymy z wzoru d D π

49 ZDI.6. eży okreśić rozkłdy rężeń ącyc w kręcym momeem ręcie kołowym o romieiu r ry..6, wykoym z ieiioweo meriłu rężyeo o rówiu fizyczym i ε i, dzie ρ r τ ρ r U i Ry..6 ε i i S ij eije S, S ij ij, e ij ij ij εij ε kk kk δ. ij δ, ij W owyżzyc wzorc ymoe i i ε i ą ieywościmi rężeń i odkzłceń, S ij i eij - dewiormi rężeń i odkzłceń. Rozwiązie: oe rzemiezczeń rzyjmiemy w oci u, u, u Odkzłcei ε ij u i, j u j, i 5

50 wyozą ε ε, ε, ε ε ε ε ε e, ii ij ij Wyik ąd, iż w ym rzydku woec ε eor odkzłceń okryw ię z dewiorem odkzłceń. omi ieywość odkzłceń ε i wyęuje w rówiu fizyczym oiczymy z zeżości ε i ε ij ε kkδ ijε ij ε kkδ ij ąd ε i 6 ε ε ε ε ε ε ε ε ε W zym rzydku ε i wyoi ε ε ε ρ i 6 ii, kór Zjąc ieywość odkzłceń ε i wyzczymy z rówi fizyczeo ieywość rężeń i i ij kkδ ij ij kkδ ij ąd i 6 W zym zdiu wyęuje jedyie i ąd dzie i τ τ Z rówń fizyczyc orzymujemy wzór rężeie ycze τ 5

51 i ε i τ ρ τ B dzie B ρ Zjąc rężeie τ moż okreśić mome kręcjący B τ ρd τ ρπ ρdρ B r ρ r πdρ π B r ρ ρπρdρ r B Z zeżości ej wyzczymy iezy rmer π Br Oeczie ozukiwy rozkłd rężeń ącyc w ieiiowo rężyym ręcie m oć τ π r ρ ρ rężeie o rzyjmie jwiękzą wrość w krjyc włókc ρ r. ZDI.7. izowć ędziemy włości ów rężeń w ziym ręcie wykoym z ekorężyej mrycy o ou rzekroju części ścikej i fukcji rekcji zrojoej rężyymi ręmi o ou rzekroju i modue rężyości ry..7. ręy e wzmciją łówie refę rozciąą ieodoreo ciąieie komozyu, w kórej ojwiły ię ryy. Z yucją ką oykmy ię zrówo w izie korukcji żeeowyc jk i komozyów z yków wzmciyc rzyowierzciowo. 55

52 rężei i iły w rzekroju Odkzłcei w rzekroju ε κ κ ε κ Ry..7 Rozwiązie: Skłdik ierwzy mryc je ciłem ekorężyym, drui zrojeie - rężyym. Cłość ędzie oidł cecy ekorężye i je jedokroie wewęrzie yczie iewyzcz. Okreśimy erz zeżość mome zijący - krzywiz z zeżości eomeryczyc ε κ, ε κ co fizyczyc dε, ε H * dε wyrżeń momey zijące w mrycy d orz w zrojeiu Sąd dκ d dκ H dκ [ H ] dκ Zuwżmy, że zmiy momeu jko komicje fukcji ry..7 oci 56

53 [ ] B owodują, iż krzywiz ędzie ł B [ ] Bκ κ B H [ ] dκ /B - /B Ry..7 Wyik e ozcz, iż łe deformcje orzymmy rzy mejącej w czie wrości momeu. Wówcz rężei w mrycy ędą meć B B d dh κ /B - /B Ry..7c zś w zrojeiu rężyym ędą łe ry..7c 57

54 58 H B dh H B d H κ c Wyzczymy z koei recję między krzywizą κ, momemi cząkowymi i, korzyjąc, z odwroyc rówń fizyczyc i ε ε d H G d C odwijąc do ic rówi eomerycze orz cłkując eemere momey uzykmy wzory krzywizy d C d C d d C d κ κ κ orz ' ' ', d H G κ κ κ κ ε rzyrówując do ieie krzywizy ` κ κ orzymmy zeżość d H G d C ome zijący je umą momeów cząkowyc, ąd rozdził momeów orzymmy z rozwiązi ukłdów rówń cłkowyc [ ] d H G d C i z kóreo d zeo zewęrzeo momeu zijąceo eży wyiczyć i.

55 d Zuwżmy, iż zmiom C C ąd d w zrojeiu owrzyzy [ ] G C dh [ ] G H H C H Ry..7d Wyik więc, iż mome mui yć ły w czie, umryczy mome m oć H C w kórej łe i [ ] G owiąze ą recją rzeizowiśmy u drui zczeóy roce, w kórym rężei w mrycy ą łe or. orzedie rzykłdy, omi rężei w zrojeiu rją zodie z zeżością C, oiczą do fukcji ełzi mrycy. e Bdiśmy uj dw zczeóe rocey reooicze w ręcie ekorężyym wzmocioym zrojeiem. W ierwzym rzydku yło łe rężeie w zrojeiu, zś w druim - w mrycy. omi mome zewęrzy ył mejący u roący. W rzydku łeo momeu zewęrzeo eży rozwiązć ukłd rówń z uku c. ode w ym zdiu rozumowie o uzuełieic może ołużyć do okreśi ów rężeń w ziyc ekc żeeowyc, w kóryc 59

56 docodzi do redyryucji rężeń w zrojeiu i eoie. rzykłdowo, łej wrości momeu w rzekroju owrzyzy wzro z uływem czu rężeń w zrojeiu orz ic dek w eoie. ZDI.8. W iiowej ekorężyości o rówiu fizyczym momeu zijąceo od krzywizy m oć dε zeżość dκ eży zeźć recję odwroą j. wyrżeie okreśjące krzywizę w zeżości od momeu. Rozwiązie: Z rówń fizyczyc ε d o odwieiu rówń eomeryczyc ε κ i uwzędieiu wruków rówń wewęrzyc d orzymmy d d κ d d κ d d κ d dzie d H e o ozukiw zeżość krzywizy od momeu. eżei erz owimy yie jk owio ię zmieić ociążeie ym mym mome u, dzie,, y rzemiezczei eki yły u u je de, o odowiedź wyik ze wierdzei, że d u κ u κ κ ąd zś ąd d κ κ d f 6

57 κ d f f d ZDI.9. Zeżości między iłą oiową w ręcie, jeo wydłużeiem λ mją oć λ ε d eży zeźć recję odwroą j. wyrzić iłę oiową rzez wydłużeie Rozwiązie: Wzór wydłużeie orzymo z rówi fizyczeo d * d ε d ε Z uku widzei memyczeo mmy do czyiei z rówiem cłkowym, kóreo rozwiązi czyi fukcji odcłkowej ozukujemy. Rozwżmy erz odwroe do ierwzeo rówi fizyczeo ε d kóre je ozukiwym rozwiąziem ierwzeo rówi fizyczeo. Sróujmy fizyką ierrecję rzeieść zeżości ił oiow - wydłużeie. o cłkowiu o owierzci rzekroju zcodzi dε ε d λ d orz λ ε d d d λ d Z yc wzjemyc recji dε dλ 6

58 ε d λ d wyik, iż ą oe wzjemymi rozwiązimi recji ił oiow-wydłużeie. 6

59 Rozdził II rzemiezczei ukłdów ręowyc. W rozdzie ym rzedwioe zoą ooy wyzczi rzemiezczeń w ziyc ukłdc ręowyc. Zdi z eo zkreu orzedzją w ucziu meciki meody rozwiązywi zdń yczie iewyzczyc wśród ic meodę ił i rzemiezczeń. W oóym ujęciu roemu odmy ooy oiczeń rzemiezczeń d zerokiej ky meriłów. Rozwżi e ędą więc łuze zrówo w zdic rężyyc, ekorężyyc, różyc modec reooiczyc, eorii rężeń cieyc i. Wyjściowym ukem rozwżń ędzie rówie rc doełijącyc jko recj między iłmi δ i, rężeimi δ rzemiezczeimi u i i odkzłceimi ε ij, miowicie: δ u d i i V δ ij ε dv ij kóre w ziym ręcie rowdzą do zeżości dd v d iuid δ κ dd δ κ d dzie ε κ eżei erz δi i δ wyieie i ui κ d ij dzie δ je deą Dirc, o rzemiezczeie u i i d δ co. d κ ε ε κ ε Ry.. rężei i deformcje zieo rę 6

60 Uzyky związek je iezeży od kokreej oci rówń fizyczyc i ędzie wykorzyywy do wyzczi rzemiezczeń w ukłdc ręowyc wykoyc z różyc meriłów. W zdieic yki oi o zwę cłki or δ, κ, i u i i i d i je wyrowdzoy odwie eomerii odkzłcoeo rę. We wzorze ym je momeem zijącym ocodzącym od uoóioej iły jedokowej i i iły u momeu rzyłożoej w miejcu i kieruku ozukiweo rzemiezczei u orou. oż wykzć, iż w rzydku zii i rozciąi rę, kiedy ε ε o κ dzie ε o je wydłużeiem oi rę ędzie i i, d o i i, κ κε i u i dzie i je iłą oiową od i i. od w ej formie cłk or je iiową recją między rzemiezczeimi ukłdu jeo odkzłceimi. Z iiowości ej wyikją recje κ κ d κd κ d δ δ dzie δ κd, δ κ d, ą oerormi iiowymi iezeżymi od wółrzędej rzerzeej. Z zeżości ej ędziemy częo korzyi umując ueroując krzywizy i rzemiezczei ocodzące od różyc wływów κ e κ c κ d κ ed κ cd κ d δ e δ c δ δ dzie ymoe e, c,, rzy κ i δ ozczją rężye, ekie i ermicze kłdowe krzywiz i rzemiezczeń. odoie w zdic ekorężyyc, dzie w rówic fizyczyc wyęują ioczyy oowe d 6

61 * f df f τ f d τ [, ] τ d τ [, ] zcodzą recje, τ i ui κ d orz i f dui f dκ d odmy erz zeżości między iłmi rzekrojowymi momeem zijącym, iłą oiową krzywizą κ u wydłużeiem oi oojęej ε o w różyc meriłc - zdi iiowo-rężye ε, ε ąd κ i ε o orz z d dzie, ε,,, ą koejo rężeiem, odkzłceiem, modułem rężyości orz oem i momeem ezwłdości rzekroju orzeczeo. - zdi ieiiowo rężye w Bc ε rowdzą do zeżości, κ, εo d, d - rzyroowe zdi ieiiowe ε d, d ε dε, z d, d d dκ d, o ε. d ε dε d ąd dκ d, dε d / 65

62 & & rowdzą - zdiei ekieo łyięci meriłu ε B, do recji & κ & κ o B & ε & εo B,,, z d - iiow ekorężyość dε u ε G d, dg H dzie,g i H ą fukcjmi rekcji, ełzi i Heviide rowdzi do zeżości κ G d, ε G d, dκ dε orz / - ieiiow ekorężyość ε d rowdzi do rówi κ κ / d, d, d H odo w rzydku iioweo o wyokości rzekroju rozkłdu o emerur o o d, wyąią wydłużei ermicze ε orz zmiy krzywiz κ okreśoe rówimi ε d, κ d dzie d,,,, ymoe ozczją koejo emerurę doeo i óreo włók rzekroju, emerurę średią, iiowy wółczyik rozzerzości cieej orz wyokość rzekroju. Wrowdzjąc do cłki or wyrżei krzywizę κ κ κ i wydłużei ε ε ε jko umy odkzłceń meciczyc i cieyc 66

63 zodie z fizyczymi włościmi meriłu,. ieiioweo rężyeo, orzymmy wzory u i κ κ i d ε ε i d d d i d d d d z kóryc ędziemy wyzczi rzemiezczei. owyżzy wzór doyczy zdi ieiiowo rężyeo ε, kóreo rzydkiem zczeóym, ą wzory rzemiezczeie w zdic rężyyc. oiczie orzymmy wzory d iyc yów meriłów. ełzi i wływów iemeciczyc. oą oe rówież uec rozzerzeiu w wyiku uwzędiei kręci, ił orzeczyc orz iyc. Wyęujące we wzorc rzemiezczei cłki doyczą ioczyów fukcji momeów od ociążeń i ił jedokowyc. odoie je z iłmi oiowymi. oół ą o cłki z ioczyów fukcji ciąłyc i iiowyc iezeżie od yu meriłu. W rzydku ym oujemy urozczoy oó oiczi cłki oejący zw. rzemżiu wykreów. orzymy u z wierdzei: eżei fukcj je fukcją ciąłą wrz z ierwzą i druą ocodą, je fukcją iiową o dzie d η, d, η je rzędą wykreie od środkiem ciężkości o fukcji. W oiczeic ouje ię rówież ie meody wyzczi cłek or. ok oęowi rzy wyzcziu rzemiezczeń.. Oiczeie rekcji w więzc orz orządzeie wykreów ił rzekrojowyc momeów, ił oiowyc i.. ą część zdi uwżmy z 67

64 zą, zś wykrey momeów zijącyc odkłdmy o roie włókie rozciąyc, iły oiowe rozciąjące ozczmy jko dodie.. Sorządzeie fukcji momeów zijącyc i ił oiowyc od iły jedokowej i rzyłożoej w miejcu i kieruku ozukiweo rzemiezczei.. Wyzczei rozkłdów krzywiz κ i wydłużeń ε ocodzącyc od rzyczy iemeciczyc. emerury, kurczu, dyfuzji.. rzemożeie wykreów ił wewęrzyc i orz wykreów od ił jedokowyc. odoie eży oąić z κ i ε. W rezeowyc rzykłdc ie ędziemy rozwiązywi ukłdu rówń rówowi i wyzczi rekcji, jedyie oimy ic wrości uwżjąc, iż zdiei e ą ze czyeikom z węeo kuru meciki. ZDI.. W ukłdzie ręowym o cemcie yczym i ociążeiu jk ry.. eży oiczyć ką orou ϕ w rzekroju rzywęzłowym B. Oiczei eży rzerowdzić w zkreie: iiowo-rężyym ε ε ieiiowo-rężyym ε ε ε ε c eorii rzei ϕ? B Ry.. De:,,,,,,,,, Rozwiązie: 68

65 orzyć ędziemy z cłki or z uwzędieiem wływów ermiczyc ϕ κ d ε d κ d W zeżości ej κ, κ, ε, ε ą odowiedio krzywizmi wywołymi wływmi meciczymi i cieymi orz wydłużeimi meciczymi i cieymi. Róże ocie rówń fizyczyc wrowdzją uj jedyie zmiy w wyrżeic odkzłcei mecicze κ i ε, omi wyrżei, ozoją iezmiee w cłym zdiu. ukcje, ą rozkłdmi momeów i ił oiowyc od dziłi jedokoweo momeu kuioeo rzyłożoeo w rzekroju rzywęzłowym B. omi wyrżei odkzłcei ermicze ą ęujące ε d κ, ε Wykrey fukcji,,κ, ε mją w rozwżym rzydku oć ry.., zem wrości cieyc kłdików w cłce or de ą zeżościmi κ d ε d 69

66 κ ε Ry.. ożemy okreśić erz wrość orou ϕ w rzydku różyc meriłów. erił iiowo rężyy okreśją ęujące wyrżei wydłużei i zmiy krzywiz ε, κ Wykrey fukcji i ą ęujące Ry..c Oeczie oró ϕ wyrzi ię zeżością 7

67 7 d d ϕ erił ieiiowo-rężyy Wzory zmiy krzywiz i wydłużeń meciczyc mją oć [ ] ε κ, ukcje i wyrżją ię ęująco, Oró ϕ wyiczymy z wzoru [ ] [ ] [ ] d d d d o o o o ϕ c eori rzei Wzór okreśjący oró ϕ w ukłdzie ełzjącym w/ eorii rzei m oć S d d d d d d ε κ ϕ

68 7 d d o o ϕ Z orówi uięć eo meo uku w zdiu iiowym i ieiiowym wyik z oceę wływu rzyjęeo w modeu meriłu. Wływ e okreś wyrżei ezwymirowe oci [ ] e e ϕ ϕ ϕ ZDI.. W ukłdzie ręowym o cemcie yczym i ociążeiu jk ry.. eży oiczyć ką orou ϕ w ukcie. Ry.. ϕ? >

69 Oiczei eży rzerowdzić w zkreie: ε ε iiowo-rężyym ieiiowo-rężyym ε ε ε ε c eorii rzei De:,,,,,,, Szuke: wrość ką orou ϕ uku Rozwiązie: ozukiwy ką orou ϕ wyzczmy uwzędijąc jedyie człoy iemecicze w cłce or κ d ε d κ d ϕ ε d dzie κ, κ, ε, ε ą odowiedio krzywizmi orz wydłużeimi wywołymi wływmi meciczymi i cieymi. W zym rzydku rk je ociążei zewęrzeo, więc κ i ε wyozą zero. Wyrżei,,κ, ε ozoją iezmiee w cłym zdiu, ie zeżą od rodzju meriłu. ukcje, ą odowiedio fukcjmi momeów zijącyc i ił oiowyc od dziłi momeu jedokoweo w ukcie. omi wyrżei odkzłcei ermicze ą ęujące κ, ε Wykrey fukcji,,κ, ε mją oć / 7

70 κ ε Ry.. Wrości cieyc kłdików w cłce or de ą recjmi ϕ κ d ε d oiewż w zym zdiu ie wyęuje ociążeie zewęrze więc ie m fukcji momeów zijącyc i ił oiowyc. Wyik ąd, że ką orou ϕ we wzykic rzydkc,, c, m ką mą wrość i wyoi ϕ Oóie, rzemiezczei w zdic yczie wyzczyc zeżą rzy rku ociążeń jedyie od rozkłdów emerury u iej rzyczyy iemeciczej, ą omi iezeże od rodzju meriłu z jkieo je wykoy ukłd. ZDI.. W ukłdzie rzedwioym ry.. eży oiczyć oró ϕ w rzekroju rzywęzłowy B. Oiczei eży rzerowdzić w zkreie: - iiowo-rężyym ε, - ieiiowo-rężyym ε. De:,,,,,,,, Szuke: wrość orou ϕ rzekroju B. 7

71 > B ϕ? Ry.. Rozwiązie: W ukłdzie ie wyąią momey zijące i iły ące, jedyie iły oiowe. ą orou ϕ wyzczymy z rówi dzie ϕ ε d κ d ε d κ, ε, ε ą odowiedio krzywizą wywołą wływmi cieymi orz wydłużeimi meciczymi i cieymi, rzy ym,, κ orz ε ozoją w cłym zdiu iezmiee. ukcje, ą rozkłdmi momeów i ił oiowyc od dziłi jedokoweo momeu kuioeo w ukcie. Wyrżei odkzłcei ermicze mją oć κ, ε Wykrey fukcji,, κ i ε ą ęujące ry... Wrości κ odkłdmy o roie włókie rozciąyc. Wyzczymy erz wrości cieyc kłdików w cłce or. κ d ε d 75

72 / / κ ε Ry.. ęie rzecodzimy do okreśi wrości orou ϕ w rzydku różyc yów meriłów. erił iiowo-rężyy ε. Wyrżei wydłużei i zmiy krzywiz mją oć ε, κ Wykrey fukcji i ą ęujące ry..c Oró ϕ wyrzi ię zem zeżością ϕ d 76

73 Ry..c erił ieiiowo-rężyy ε. Zmiy krzywiz i wydłużeń meciczyc wyrżją ię uj wzormi κ, ε [ ] zem oró ϕ uku okreś ię recją ϕ d orówując o wyiki możemy oiczyć ic wzędą różicę ϕ e ϕ, e ϕ / ym mym ozcowć wływ rzyjęeo modeu oiczeń rzemiezczeń wyiki. 77

74 ZDI.. W ukłdzie rzedwioym ry.. eży oiczyć oró ϕ w ukcie B. Oiczei eży rzerowdzić w zkreie: iiowo-rężyym, ieiiowo-rężyym, c iiowym ekorężyym. B ϕ? > Ry.. De:,,,,,,,, Szuke: wrości orou ϕ uku. Rozwiązie: D rozwiązi eo zdi korzyć ędziemy z cłki or z uwzędieiem wływów ermiczyc. Wyrżei odkzłcei ermicze ą ęujące κ, ε Wykrey fukcji,,κ, ε mją oć / / 78

75 / κ ε Ry.. Wrości krzywiz κ odkłdmy o roie włókie rozciąyc, omi wydłużei ermicze mją zk dodi krócei ujemy. Skłdiki ermicze w cłce or mją oć κ d ε d W merie iiowo-rężyym wyrżei wydłużei ε i zmiy krzywiz ε κ, κ Wykrey fukcji i mją oć Ry..c 79

76 Oró ϕ wyrzi ię zeżością ϕ d erił ieiiowo-rężyy Wzory zmiy krzywiz i wydłużeń meciczyc mją oć κ, ε [ ], ukcje i mją e m kzł co w rozwiąziu iiowym. Wedy zodie z oró ϕ wyrzi ię zeżością ϕ d ąd o odwieiu orzymmy wrość orou ϕ ϕ d Rozrywe zdie je o ye zczeóe, iż wyęujący w ukłdzie rozkłd momeów zijącyc je ez wływu wrość ką orou ϕ. c Rozwiązie ekorężye Wzory krzywizę i wydłużeie mją oć κ G d, ε G d ąd ϕ G d d G τ d τ d τ d τ G d, 8

77 G fukcj ełzi. W cwii ocząkowej G ϕ co rowdzi do zeżości ZDI.5. W odym ukłdzie yczie wyzczym oddym dziłiu ociążeń i zmieyc o wyokości rzekroju emerur eży oiczyć rzemiezczeie oziome δ uku. Oiczei eży rzerowdzić w zkreie: iiowo rężyym ε ε, ieiiowo rężyym ε, ε c eorii rzei ε ε. δ? > Ry..5 De:,,,,,,,,. Szuke: wiekość rzemiezczei δ w ukcie. Rozwiązie: rzemiezczeie uku wyiczymy z wzoru 8

78 δ κ d ε d κ d ε dzie κ, κ, ε, ε ą odowiedio krzywizmi wywołymi wływmi meciczymi i cieymi orz wydłużeimi meciczymi i ermiczymi. Wykrey fukcji,, κ i ε mją oć d κ ε Ry..5 ęie wyzczmy wrości ermiczyc deformcji w cłce or: d κ 8

79 ε d erz okreśimy wrość rzemiezczei δ w rzydku iiowo - rężyym. erił iiowo rężyy okreśją ęujące wyrżei wydłużei i zmiy krzywiz ε, κ Wykrey fukcji i ą ęujące Ry..5c k widć w rozwżym rzykłdzie fukcj momeów zijącyc je fukcją zerową. Oeczie rzemiezczeie δ wyrzi ię zeżością δ d d erił ieiiowo rężyy Wzory zmię krzywiz i wydłużeń meciczyc mją oć κ, ε [ ] 8

80 rzemiezczeie δ uku wyzczymy z wzoru δ d c eori rzei Wzór okreśjący rzemiezczeie uku d ukłdu ełzjąceo w eorii rzei m oć δ ε d d κ d d d d ZDI.6. W ece wooodrej o dłuości ociążoej rówomierie ociążeiem q eży oiczyć ką wzjemeo orou krjyc rzekrojów eki. Zdie eży rzeizowć d iiowyc i ieiiowyc rówń fizyczyc. q Ry..6 Rozwiązie: ą wzjemeo orou końców eki wyzczymy umując oró odory ewej φ i rwej φ, czyi φ φ φ. rzy oiczeic kąów φ i φ korzymy z cłki or. ukcj momeu zijąceo m oć q q, W zdiu iiowym kąy φ i φ wyozą 8

81 q q ϕ ϕ ąd ϕ q q -/ / Ry..6 Zwróćmy uwę, iż wyik e woec iiowości cłki or moż uzykć z recji ϕ ϕ ϕ d d d rzyoczoy wyik je łuzy rówież w oóym rzydku, oiewż ϕ κ d κ d κ d W zdiu ieiiowo rężyym ε o krzywiźie κ ϕ κ d zcodzi q d 85

82 ZDI.7. W rmie rójrzeuowej ociążoej iłą oziomą eży oiczyć ką wzjemeo orou części rzyodorowyc. Ry..7 Rozwiązie: ą wzjemeo orou φ uzykmy odoie jk orzedio o zumowiu oroów φ i φ. ukcje momeów zijącyc i ic rozkłdy rzedwioo wykrec. Ry..7 Rówi rówowi H H V V - H V V 86

83 V -V H H ukcje momeów V, ą wzjemeo orou φ oiczymy z cłki or ϕ κ d κ d Cłk zik d dowoeo wyrżei krzywizę κ z uwi fk, iż wykre momeów zijącyc je ymeryczy, zś wykre ymeryczy. Woimy ąd, iż ką wzjemeo orou φ iezeżie od yu meriłu je rówy zeru. ie ozcz o oczywiście, iż kąy orou φ i φ rówież ziką. ZDI.8. eży okreśić w łuku kołowym ociążoym w zworiku iłą kuioą ką wzjemeo orou rzekrojów rzyodorowyc. roem eży rzeizowć w iiowym i ieiiowym zkreie odkzłceń rężyyc. r Ry..8 87

84 Rozwiązie: ą wzjemeo orou φ oiczymy wykorzyując cłkę or d rd d ds / / r rco Ry..8 ukcj momeów zijącyc m oć r r r co co, ą wzjemeo orou φ w zdiu iiowym wyoi π / π / r ϕ co κ rd d r r π π [ i] W zdiu ieiiowym oiczy wzędy oró wyoi ε / o krzywiźie κ π / π / r r ϕ rd co d 88

85 ZDI.9. eży okreśić w łuku kołowym rzedwioym ry..9 ką wzędeo orou odór. Zdie eży rozwiązć w zkreie rężyym ieiiowym i iiowym, uzyke wyiki orówć. Ry..9 Rozwiązie: ukcj momeów zijącyc je ł co odoie jk fukcj co ry..9. ąy wzjemeo orou oiczymy z cłki or. Ry..9 W zdiu iiowym ędzie ϕ π rd πr / W zdiu ieiiowym ε zcodzi ϕ π rd πr 89

86 Z orówi rozwiązń ou zdń wyik, że ϕ ϕ Souek oroów w ou zdic ieiiowym zeży od ouku zywości i momeu. ZDI.. eży okreśić rzemiezczeie i ką orou uku B łuku kołoweo yczie wyzczeo oddeo dziłiu ierówomiereo orzewi. ϕ B? > B u B? Ry.. De:,,,,,,, Szuke: φ B, u B Rozwiązie: Szuke rzemiezczei uku B wyiczymy ze wzoru δ κ d ε d κ d ε dzie κ, κ, ε, ε ą odowiedio krzywizmi i odkzłceimi wywołymi wływmi meciczymi i cieymi. Z owyżzeo wzoru wyiczymy zuke rzemiezczeie iiowe u B orz oró φ B. W miejce zukeo rzemiezczei możemy wwić jedokową iłę d d 9

87 rzemiezczei iioweo u B, d rzemiezczei kąoweo φ B wwimy jedokowy mome. ko, że w owyżzym zdiu mmy yko oddziływi ermicze, wzór d rzemiezczei u B rzyjmie oć u B κ d ε d, d rzemiezczei kąoweo φ B ędziemy miei zeżość ϕ B κ d ε d, iezeżie od rówi fizyczeo, krzywizy i wydłużei ocodzące od rzyrou emerury mją oć κ, ε Wykrey fukcji,,, mją ęującą oć i i co co / / / / / / Ry.. 9

88 odwijąc wyrżei κ, ε i iły od wływów jedokowyc uzykmy π π ub i d d, d d i orz π π ϕ B co d co d o wyiczeiu cłek i rzekzłceic zuke rzemiezczei rzyjmą oć ub π ϕ B Wyik e je rwdziwy zrówo d rozwiązi iiowo i ieiiowo rężyeo, jk rówież d eorii rzei. Oóie je o łuzy d kżdeo rówi eorii rężeń cieyc. Ioie, w oóym wyrżeiu rzemiezczei ziką cłki or od ociążeń meciczyc, ozoją jedyie człoy wyikjące z odkzłceń ermiczyc. Dzieje ię k deo, dyż różic między zdiem iiowym ieiiowym kwi w ooie defiiowi yko deformcji meciczyc, kóryc u ie m. 9

89 Rozdził III Zdi yczie iewyzcze W rozdzie ym zoą rzedwioe oukowo roe zdi yczie iewyzcze w rzydkc ukłdów ekowyc i rmowyc. Zwrócoo rzy ym zczeóą uwę orówie rozwiązń j. ił wewęrzyc wyikjącyc z różyc rzyjęć modei meriłu ukłdu, w ym ieiiowyc rężyyc i ekorężyyc, czy eż eorii ekieo łyięci. ru zdń o oukowo roej kofiurcji dje wyorżeie o koekwecjc rzyjmoweo częo ririe modeu oiczeioweo. W rkyce iżyierkiej domiują owiem d rwie wyłączie ukłdy iiowo-rężye, mimo że rozwój meod umeryczyc oiczeń korukcji ozw uwzędić rdzo złożoe modee meriłowe. Sądzę więc, że zdym je orówć rozwiązi yc myc roemów rzy różyc modec meriłowyc, k y mieć wyorżeie o ki łędu wyikjąceo z rzyjęeo modeu. Różice ą oukowo jmiejze w rzydkc ociążeń czyo meciczyc, zś roą zczie, kiedy orówujemy wływy iemecicze emerur, oidie odór, kurcz, ąd ru zdń je zerzej rezeow w ym orcowiu. odwowe w rozwżic rówi meody ił orzymujemy z izy rzec ru zeżości, miowicie: - recji łączącyc rzemiezczei w ukłdzie δ k z odkzłceimi κ, ε: δ k d κ ε d z kóryc wyikją odwowe recje eomerycze, czyi wruki zodości rzemiezczeń w ukłdc yczie iewyzczyc, d ε d δ u u κ c, dzie δ [ δ ], u [ u,... u ], [,... ] δ,... ą koejo uorządkowymi ziormi rzemiezczeń w ukłdzie odwowym, rzemiezczeimi zymi w zdiu yczie iewyzczym orz ziorem fukcji momeów zijącyc i ił oiowyc ocodzącyc od ił ieryczyc,,,... r; - zeżości mome krzywiz orz ił oiow wydłużeie, kóre wyikją z fizyczyc włości meriłu, - związków okreśjącyc iły rzekrojowe i w zeżości od ił ieryczyc i ociążeń 9

90 , c d, dzie,, c, d, ą wekormi, kóryc wółrzęde ą uorządkowymi rozkłdmi momeów zijącyc od ociążeń jedokowyc, odowiedio,. W wyiku rzekzłceń orzymujemy oóe ocie rówń meody ił w rzydku zdń: - iiowo rężyyc ε, κ ąd u d u B u d dzie d, [ ij ] i jd, d ąd - ieiiowo rężyyc ε [ ] u [ ] d B, [ B ir ], κ - iiowej ekorężyości dε, dκ du dκ d du B du - ieiiowej ekorężyości dε d κ u d d [ ] d, d H d i r 9

91 ąd [ ] u [ * d] d - ekieo łyięci & ε B, & κ B ąd u & B & κ d u& B d W rzyoczoyc rówic rmery meriłowe,, B,,, ą kie me w cłym ukłdzie ie ą fukcjmi wółrzędej. W rzydku wływów iemeciczyc eży uwzędić dodkowo, że κ κ m κ i do orzedio odyc rówń dodć cłkę ocodzącą od o krzywizy iemeciczej o κ, ąd u m κ d κ d. o ZDI.. eży wykzć, że d rm o zmkięym kourze wykoyc z ieiiowo rężyeo meriłu ε orz d d, kóryc rzykłdy rzedwioo ry.. dowoeo ociążei, zcodzi: Ry.. Rmy o kourze zmkięym. Rozwiązie: Rozeijmy myśowo zmkięą rmę. Z wruku ciąłości odkzłceń wyik, iż ką wzjemeo orou ϕ w ym miejcu owiie yć rówy zero. 95

92 ϕ ϕ Ry.. Wruek ϕ w rzydku meriłu ieiioweo o rówiu fizyczym ε i wyrżeiu krzywizę κ ϕ d d rowdzi do recji Zuwżmy, iż zeżość je łuz d kżdej zmkięej rmy o dowoym kzłcie zw. oczko. W rzydku iiowej rężyości zcodzi d. Zeżość je rwdziw rówież w iiowej ekorężyości, kiedy dε i ε d orz κ d. Wedy wruek ϕ rowdzi do zeżości d d d d d omi yko d ił oci f, j. ociążeń rjącyc wedłu ej mej fukcji zcodzi: ąd ε d d κ, d H 96

93 ϕ d f d d d d W rzydku ieroorcjoeo ri ociążeń kiedy f, oi z cłek je ierwdziw. ZDI.. eży wykzć, że w zdic ieiiowo-rężyyc, ieiiowo ekorężyyc orz w yce ekieo łyięci, w kóryc wyęują yko ociążei mecicze, iły wewęrze ą zeże jedyie od wykłdików w rwie oęowym. Siły e ą zś iezeże od ozołyc rmerów meriłowyc wyęującyc w rówic fizyczyc. Rozwiązie: izowć ędziemy ęujące rówi fizycze i rzyorządkowe im recje mome - krzywiz ε κ d ε τ d τ κ, d H m m & ε B & κ B L m, L W kżdym z izowyc rzydków rówi meody ił orzymmy z u u u,... u izy zyc w zdiu rzemiezczeń o wekorze [ ] u, u κ d odwijąc z koei wyrżeie : - ieiiową krzywizę rężyą uzykmy, d d d 97

94 - ieiiową krzywizę ekorężyą f d f d u - krzywizę w eorii ekieo łyięci orzymmy uzykmy d d m d B m m u B d d m d L L Wykziśmy, iż wyzczeie ił ieryczyc wym rozwiązi rówi mcierzoweo oci d d w kórym ieiiowość związ je jedyie z wykłdikiem. Wyik e je omi iezeży od rmerów,, B, i momeów. Wyjąek u owią zdi ekorężye, kiedy, f. Z uwi fk, że o wiekościc wewęrzyc decydują yko ociążei orz iły w wiązc możemy wierdzić, że wiekości e ędą iezeże od fukcji, i B. Oczywiście, w rzydku wływów iemeciczyc iły e w zdiczy oó zeżą od wzykic rmerów rówń fizyczyc. ZDI.. W ukłdzie rmowym jk ry.. eży wyzczyć iłę ieryczą orz orządzić wykrey ił rzekrojowyc. Zdie eży rzeizowć w zkreie ieiiowo-rężyym i ekorężyym. Ry.. δ 98

95 Rozwiązie: rzyjmiemy jko wiekość diczową rekcję ioową w odorze. Wykrey momeów zijącyc od ociążeń i ił jedokowyc mją oć Ry.. Sełijąc wruek δ z wykorzyiem cłki or w zdic ieiiowyc ε κ orzymmy δ d d ąd [ ] Sił ierycz w zdiu ieiiowo-rężyym wyoi 99

96 izując roem w zkreie ekieo łyięci, z rówń fizyczyc m & B i krzywizy ε orzymmy δ & δ B m κ& B orz wruku eomeryczeo L δ& m m d B d L L Wrość iły ieryczej c w ukłdzie c m m m Z orówi ou wyików woimy, że iły ierycze rzy rku wływów iemeciczyc ą iezeże od fukcji i B, zeżą omi od wykłdików oęi w rówic fizyczyc. oż ię rzekoć, że włość rzeoi ię ukłdy o dowoej yczej iewyzczości. ZDI.. eży okreśić iły rzekrojowe w ece ouroie uwierdzoej ociążoej jk ry... erił eki je ieiiowy fizyczie. Ry.. De:,, ε, κ,

97 Rozwiązie: W ou uwierdzeic eki zcodzi. ϕ ϕ Wyik ąd oó rozwiązywi zdi rzez ząieie wiązów momemi Ry.. Cłk or wyikjąc z wruku ϕ ϕ m oć / / / d d ϕ ierwzy z ierwików wyoi 8 / / d d ϕ o urozczeic orzymmy cłki oci / / / d d d ąd, ' '

98 / / d roe wyiczei rowdzą do zeżości icz rzy W rzydku zdi iioweo wruek ϕ dje 8 ϕ W zdiu ieiiowym d zcodzi 8 i i Ideyczość ou rozwiązń je wyjąkiem, ie reułą. ZDI.5. eży okreśić iły rzekrojowe w ukłdzie ręowym, ociążoym iłmi oziomymi i. Rozwżi eży rzerowdzić w zkreie iiowo- i ieiiowo - rężyym. Ry..5

99 De:,,,, ε,κ, ε Rozwiązie: Zdie je jedokroie yczie iewyzcze, iłą diczową ędzie ił w ryc. o ząieiu ukłdu rzem odukłdmi: łuy, rye orz wykorzyiu wruku ierozdzieości δ δ orzymmy w iiowo-rężyym zdiu δ - δ δ δ, Ry..5 Z izy rówowi ił w węźe wyik, że, więc ąd i i i i, i, i W zdiu ieiiowym rzemiezczei δ, δ, i mją oć

100 ,, d δ d, δ Z wruku ierozdzieości orzymmy dej [ ] [ ] [ ] [ ] dzie W rzydku zczeóym orzymmy zczie roze rówie ericze [ ] [ ] kóre rowdzimy do oci [ ] [ ] W rzydku moż uzykć wro rozwiązie [ ] [ ][ ],, ± ZDI.6. W ieiiowej ekorężyej rmie rzedwioej ry..6 dził oziom ił f, dzie f je zą fukcją czu. eży okreśić rozkłd ił rzekrojowyc w rmie.

101 Ry..6 De: f,,, [ ε τ ] d τ Zeżość mome-krzywiz κ d d H Rozwiązie: W zkreie iiowo-rężyym mmy u do czyiei z ociążeiem ymeryczym dziłjącym ymeryczą rmę. Wykrey momeów zijącyc ą wówcz ymerycze jedyymi recjmi w odorc, ą iły oziome H H. owje yie czy włość rzeoi ię zdi ieiiowe. rzeizujemy w ym ceu ęujące rówowże zdie yczie wyzcze ry..6. rzyjmując jko wiekość diczową mome w środku rozięości ry wyizemy wruek rówowżości ou ukłdów. o oć ϕ d ϕ d d d / / d d d d eżei erz rzyjmiemy, że ił ierycz zmieić ię ędzie w czie odoie jk ociążeie j. f dru cłk zikie 5

102 6 Ry..6 / / d o rówie ϕ rowdzi do zeżości Z uwi fk, iż je iczą ierzyą, oiewż -ε -ε o ąd. Wro jedk zuwżyć, że o ie w zdic kyczej meciki rezu e je oczywiy o w zyc rozwżic rze złożyć, iż zmiy iły ą kie, że f, jed z cłek mui zikąć. ϕ - -

103 ZDI.7. Wyzczyć iły rzekrojowe w ukłdzie ręowym jk ry..7 w zkreie ieiiowo-rężyym i ekorężyym. co Ry..7 De:,,, ε κ ε d κ d Rozwiązie: Zdie je jedokroie yczie iewyzcze. Wykrey ił rzekrojowyc rzedwiją ryuki i co Ry..7 7

104 8 Wruek δ w zdiu iiowym rowdzi do recji δ co i co i d V c c co co i V V W zdiu ieiiowym ekorężyym zcodzi i co i co d d δ ąd d f i f zcodzi co co i d co c i c c e o rzykłd zdi dzie iiowe rozwiązi ię okrywją z ieiiowymi i o zrówo w zkreie rężyym jk i ekorężyym. ZDI.8. W odym ukłdzie yczie iewyzczym eży okreśić iły rzekrojowe w zdiu iiowym orz ieiiowym rężyym.

105 9 Ry..8 De:,,, ε, ε,, κ κ Rozwiązie: rzyjęy ukłd odwowy wrz z wykremi momeów zijącyc,, rzedwioo ryuku Ry..8 Rozwiązie zdi iiowo-rężyeo rowdzi do zeżości ϕ, δ δ δ δ ąd δ δ

106 W zdiu ieiiowym wruek ϕ rowdzi do recji d κ ϕ d d d ϕ Orzymmy ąd rówie ericze oci dzie Z uwi fk, iż je iczą ierzyą o i orzymmy dzie, β β W rzydku zczeóym orzymmy rozwiązie oci β β β β i β β i β Rzeczywiy ierwiek eo rówi rowdzi do zeżości β β β

107 W zdiu ieiiowym ekorężyym, kiedy ε d, d κ woec wykzej orzedio zeżości rozwiązń w rzydku ociążeń meciczyc od fukcji rekcji wyik ędzie ideyczy jk w ieiiowo-rężyym. ZDI.9. eży okreśić iły rzekrojowe wyęujące w ukłdzie ręowym rzedwioym ry..9 ociążoym iłą oziomą. Ry..9 De:,,, ε, κ, ε Rozwiązie: Zdie je jedokroie yczie iewyzcze, jko iłę diczową rzyjmiemy iłę oiową w ryu. Ukłd rozijemy odukłdy: ryie - orz łuy - i -. żdy z eemeów je ieiiowo-rężyy. - Ry..9

108 Wruek ierozdzieości ukłdu m oć δ δ dzie δ, δ i ą koejo uięciem łuów - i - orz króceiem ry -. Ry..9c W zdiu iiowo-rężyym ε zcodzi δ δ ąd, Sił oiow w ryu wyoi W rzydku ieiiowo rężyym rzemiezczei wyozą d δ

109 d δ odwijąc do wruków ierozdzieości orzymmy ęie Wyzczeie iły diczowej wym rozwiązi rówi ericzeo yu - -. odmy erz rozwiązie kiedy. Zcodzi dzie, ± Orzymmy ąd rzy ierwiki,, ± ± Zuwżmy, iż ierwiek rowdzi do iły o zwrocie rzeciwym od złożoeo, więc rzeczeo z fizyczym eem zdi. Wyęując w ym zdiu wiekość ujmuje wływ ieiiowyc rmerów wyęującyc w rówic fizyczyc. ZDI.. eży wyzczyć iły rzekrojowe w ukłdzie rmowym wykoym z meriłu iiowo i ieiiowo-rężyeo.

110 Ry.. De:,,, ε κ ε κ Rozwiązie: Zdie je jedokroie yczie iewyzcze. W zdiu iioworężyym ukłd odwowy wrz z wykremi ił rzekrojowyc rzedwiją ryuki

111 5 Ry.. δ δ δ δ dzie, δ δ ąd W zdiu ieiiowym wruek δ rowdzi do cłek d d δ d d ąd

112 6, [ ] W rzydku zcodzi ąd [ ] [ ] Rówie o oid ęujący rzeczywiy ierwiek omi rozwiązie rówi woec ujemeo wyróżik < rowdzi do zeooyc wrości ił ieryczyc ie oidjącyc ierrecji fizykej. ZDI.. W odym ukłdzie ręowym jedokroie yczie iewyzczym eży wyzczyć rozkłdy fukcji momeów zijącyc, ił orzeczyc i ił oiowyc wywołyc dziłiem cjoreo o emerur. Scem zdi orz oe emerur rzedwioo ry...

113 > Ry.. Oiczei eży wykoć d meriłu iiowo-rężyeo ε ieiiowo-rężyeo ε c iiowo-ekorężyeo R dε Wyiki oiczeń eży ze oą orówć. De: -dłuość, -emerur wyżz, -emerur iżz, - wółczyik rozzerzości cieej,,, R, -wółczyik i fukcje crkeryzujące włściwości mecicze w odym ukłdzie różyc meriłów. Rozwiązie: W zdiu iłę ieryczą i iły rzekrojowe wyzczmy korzyjąc z cłki or δ κ κ d ε ε d dzie δ je rzemiezczeiem w ukłdzie wywołym rzyroem emerury. Zodie z wrukiem ierozdzieości wzjeme rzemiezczeie uków i je rówe wydłużeiu rę - co zizemy w ęujący oó κ κ d ε ε d 7

114 dzie: κ, ą zmimi krzywiz wywołymi odowiedio rzez κ rężeń i rzyro emerury, ε, ε ą wydłużeimi wywołymi rzez oe rężeń i średią wrości emerury w rzekroju. Wyęujące w cłce or fukcje i ą momemi zijącymi i iłmi oiowymi w izowym ukłdzie ręowym, kóre wywołe ą dziłiem iły jedokowej rzyłożoej w miejcu i kieruku ozukiweo rzemiezczei. rzedwioe zdie je rówowże ęującemu yczie wyzczemu zdiu. > Ry.. eży jedk rzucić wruek ierozdzieości δ W wyrżeiu ym δ rzyjmuje róże wrości w zeżości od izoweo meriłu. Wóą częścią oiczeń d wzykic rozwżyc rzydków iezeżie od oiu meriłu ą fukcje i kóryc wykrey mją oć Ry..c Wóą częścią oiczeń ą rówież: wydłużeie orz zmiy krzywiz wywołe dziłiem o ermiczeo 8

115 κ ε Ry..d d erił iiowo-rężyy erił iiowo-rężyy oiy je rówiem fizyczym ε. Rówie o rowdzi do ęującyc wyrżeń krzywizę κ i wydłużeie ε κ, ε dzie: fukcj momeów zijącyc wywołyc dziłiem wzykic ił w ukłdzie, fukcj ił oiowyc od wzykic ił w ukłdzie. W wyiku odwień orzymujemy d d d d κ ε ukcje i moż rzedwić w ęujący oó, więc d d dzie δ κ d ε d ' ' δ δ δ δ, ε d ' ' d δ d, δ κ d, δ 9

116 ' Wrości wółczyików δ, δ, δ, δ wyzczmy korzyjąc z urozczoeo oou or Werezczi. W wyiku rzeiczeń orzymujemy ' δ ' δ δ, δ ' Uzyke wyiki wwimy do rówi [ ] Wyzczo ił ierycz ozw orządzeie wykreów ił wewęrzyc w zdym ukłdzie ręowym. -

117 - d erił ieiiowo-rężyy Ry..e Wykrey ił oiowyc i momeów od iły jedokowej orz wykrey ermiczyc wydłużeń i zmi krzywiz ą ideycze jk w zdiu iiowo-rężyym. Wydłużeie i zmiy krzywiz wywołe iłą ieryczą oiują wyrżei ε, κ kóre wyikją z rówi fizyczeo oci ε W ukłdzie zdym, kóry rozrujemy erz jko wykoy z meriłu ieiiowo-rężyeo d oowiązuje wruek ierozdzieości δ Wrość δ wyzczmy z cłki or δ [ ] d d δ dzie:,, ęie wwimy do [ ' d ] d δ δ δ '