ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH."

Transkrypt

1 AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy zpis A [ ij ] m lub [ ij ] A lub A Pierwszy ideks elemetu mcierzy ij określ w którym wierszu mcierzy jest te elemet. Drugi ideks elemetu mcierzy ij określ w której kolumie mcierzy jest te elemet. Mcierz której wszystkie elemety są rówe zywmy mcierzą zerową. Gdy wymiry tej mcierzy wyikją z kotekstu lub są ieistote to stosujemy wtedy uproszczoy zpis A. Mcierz w której jest tylko jed kolum zywmy mcierzą kolumową lbo wektorem. Jeśli elemet mcierzy r wiersz m to mcierz zywmy mcierzą kwdrtową stopi. i j r kolumy A Elemety mcierz kwdrtow stopi... stowią przekątą tej mcierzy. Śldem mcierzy kwdrtowej A zywmy sumę elemetów jej przekątej co zpisujemy tr A... Mcierz kwdrtow [ ] ij A jest digol jeśli dl i j tz. elemety poz przekątą są rówe. Stosujemy ozczeie A dig... ). ij (

2 A mcierz digol stopi Mcierz digol jest jedostkow jeśli ii dl i... tz. wszystkie elemety przekątej są rówe. A mcierz jedostkow stopi Mcierz jedostkową stopi ozczmy I lub I (moż też spotkć ozczeie lub E ). Elemety mcierzy jedostkowej możemy zpisć z pomocą symbolu Kroecker δ ij gdzie gdy i j δ ij. Wtedy I [ δ ij ]. gdy i j Mcierz kwdrtow [ ] ij A jest (gór) trójkąt jeśli dl i > j tz. elemety pod przekątą są rówe. Alogiczie jeśli dl i < j tz. elemety d przekątą są rówe to mcierz jest (dol) trójkąt. A ij A ij E mcierz trójkąt ( gór) mcierz trójkąt ( dol) Zpis mcierzowy Przykłd (wektor produkcji) Piekri wypiek: chleb stropolski chleb bltoowski bułki pryskie i kjzerki. Pewego di I zmiie wypieczoo: szt. chleb stropolskiego szt. chleb bltoowskiego szt. bułek pryskich szt. kjzerek. Wielkości te możemy zpisć wektorowo.

3 w I i zywć wektorem produkcji (istot jest iformcj jk jest iterpretcj poszczególych skłdowych). W tej smej piekri II zmiie wektor produkcji wyglądł stępująco: w II ( trzeciej skłdowej ozcz że II zmiie ie wypieko bułek pryskich) Ntomist dl III zmiy wektor produkcji był stępujący: w III Zuwżmy że sum tych wektorów w w jest wektorem produkcji cłodobowej. I w II w III Przykłd (mcierz produkcji) I II III oddziły produkcji dej firmy A B C D produkty produkowe przez te oddziły w ciągu jedej zmiy. Niech w I wii wiii - wektory produkcji poszczególych oddziłów Jeśli wektory te zestwimy w jedą mcierz to otrzymmy mcierz produkcji cłej firmy M [ ij ] ilość i - tego produktu wytwrzego przez j - ty oddził ij p.

4 M I II III A B C D Produkt Oddz. Uwg. Np. - ozcz że II oddził ie wytworzył i jedej jedostki produktu A. Mcierz produkcji dobowej jest rów sumie mcierzy produkcji dl poszczególych zmi. Przykłd (mcierz jedostkowych kosztów trsportu) Dwie cemetowie I II zoptrują w cemet cztery wytwórie betou. Jedostkowe koszty trsportu (koszt [zł] przewozu toy) do poszczególych odbiorców dl cemetowi I wyoszą odpowiedio dl cemetowi II:. Koszty te możemy zpisć w postci mcierzy kosztów jedostkowych: k Dziłi mcierzch Możeie mcierzy przez liczbę Niech A [ ij ] m wytwórie betou (odbiorcy) c liczb rzeczywist. cemetowie (dostwcy) Wtedy ca [ c ij ] m (możymy przez c wszystkie elemety tej mcierzy). Przykłd Trspoowie mcierzy Niech A [ ij ] m T wtedy [ ji ] m ( ) ( ) A (wiersze mcierzy A zpisujemy jko kolumy mcierzy A T ). Zuwżmy że (A T ) T A. Przykłd T Dodwie (odejmowie) mcierzy Niech A [ ij ] m B [ b ij ] m (rozmiry mcierzy muszą być zgode)

5 wtedy [ ] m ij b ij B A ± ± (dodjemy (odejmujemy) odpowiedie elemety mcierzy). Przykłd 9 Przykłd Mcierze produkcji dl poszczególych trzech zmi firmy są stępujące: M M M Zuwżmy że oddził II ie prcuje trzeciej zmiie oddził III ie prcuje drugiej i trzeciej zmiie Wyzczymy mcierz M produkcji tygodiowej tej firmy (zkłdmy że w ciągu pięciu di roboczych produkcj jest idetycz). ) ( M M M M Możeie mcierzy Niech [ ] mr ik A [ ] r b kj B (liczb kolum pierwszej mcierzy musi być rów liczbie wierszy drugiej mcierzy) wtedy m r k ik b kj B A (możymy wiersze pierwszej mcierzy przez kolumy drugiej mcierzy). Niekiedy wygodie jest zpisywć możeie mcierzy w stępujący sposób (schemt Flk):

6 Przykłd Niech A B Wyzczymy iloczy tych mcierzy (możeie to jest wykole bowiem mcierz A m kolumy mcierz B m wiersze). Stosujemy zpis (schemt Flk): poszczególe elemety mcierzy AB otrzymujemy możąc odpowidjący temu elemetowi wiersz mcierzy A przez zjdującą się d im kolumę mcierzy B. p. (-)(-) 9 Przykłd Firm produkuje wyroby A B stosując trzy rodzje surowców S S S. Normę zużyci surowców moż zpisć w tbeli p. Surowiec (kg) Wyrób A Wyrób B S S S lub w postci mcierzy wyroby N surowce te wymiry muszą być rówe AB A B 9

7 Zjąc wektor plowej produkcji dobowej p. w możemy wyzczyć (możąc mcierz orm zużyci surowców przez wektor produkcji) wektor zużyci surowców. Z N w zużycie poszczególych surowców Ozcz to że by zrelizowć zplową produkcję leży codzieie zpewić kg surowc S kg surowc S i kg surowc S. Potęg mcierzy k Jeśli A jest mcierzą kwdrtową stopi to A A A... A. k Włsości ) możeie mcierzy jest łącze tz. A(BC) (AB)C dltego zpis ABC jest jedozczy b) możeie mcierzy jest rozdziele względem dodwi tz. A ( B C) AB AC ( A B) C AC BC c) możeie mcierzy ie jest przemiee d) AI A IA A o ile wymiry mcierzy umożliwiją możeie e) (AB) T B T A T f) tr(ab) tr(ba) tr(a B) tra trb (A B mcierze kwdrtowe stopi ). Obliczie wyzczik mcierzy Wyzczik obliczmy tylko dl mcierzy kwdrtowych (jest to liczb przyporządkow mcierzy kwdrtowej). Wyzcziki mcierzy iskiego stopi moż liczyć stępująco: Dl mcierzy stopi : det[] b Dl mcierzy stopi : det c d c b d d - cb Dl mcierzy stopi (metod Srrus): det d g b e h c f i det d g b e h c f d i g b e h ei bfg cdh - gec - hf - idb. Dl mcierzy dowolego stopi (>) wyzczik moż rozwijć (twierdzeie plce ) względem wybrego wiersz lub wybrej kolumy (jlepiej wybrć wiersz lub kolumę z jwiększą liczbą zer). Dopełieie lgebricze elemetu ij jest rówe ( i j ) det Aij gdzie A ij jest mcierzą otrzymą z mcierzy A przez skreśleie i tego wiersz orz j tej kolumy.

8 Uwg Jeśli w dowolej mcierzy A wybierzemy dowole k wierszy i k kolum to elemety zjdujące się ich przecięciu tworzą mcierz kwdrtową stopi k. Wyzczik tej mcierzy zywmy miorem stopi k. Ztem det A jest miorem stopi. Twierdzeie plce Wyzczik mcierzy A jest rówy sumie iloczyów elemetów dowolego wiersz (kolumy) tej mcierzy przez ich dopełiei lgebricze tj. i i i det A i ( ) det Ai i ( ) det Ai... i ( ) det Ai dl i tego wiersz j j j det A j ( ) det A j j ( ) det A j... j ( ) det Aj dl j tej kolumy Twierdzeie plce pozwl sprowdzić obliczie wyzczik mcierzy stopi do obliczi wyzczików mcierzy stopi p. rozwiięcie wyzczik czwrtego stopi względem pierwszego wiersz m postć det A ij Przykłd Obliczymy wyzczik mcierzy wiersz. rozwijjąc go względem drugiego det (-) (-) (-) () 9 Dw pierwsze skłdiki rozwiięci zostły pomiięte bo są rówe zero. Uwg Jeśli wyzczik mcierzy jest rówy zero to mcierz zywmy osobliwą. Jeśli wyzczik mcierzy jest róży od zer to mcierz jest ieosobliw. Włsości wyzczik ) deta deta T b) jeśli mcierz A jest stopi to dl dowolej stłej mmy det(a) deta c) detab detadetb

9 d) dl mcierzy ieosobliwej A mmy deta T A > e) jeśli w mcierzy A jest wiersz (kolum) złożoy z smych zer to deta f) jeśli w mcierzy A są jedkowe wiersze (kolumy) to deta g) jeśli wiersz (kolumę) mcierzy A pomożymy przez dowolą liczbę rzeczywistą to wyzczik powstłej mcierzy będzie rówy wyzczikowi mcierzy A pomożoemu przez tę liczbę h) jeśli w mcierzy A zmieimy miejscmi dw wiersze (kolumy) to wyzczik powstłej mcierzy będzie rówy deta i) wyzczik mcierzy ie ulegie zmiie jeśli do pewego wiersz (kolumy) dodmy iy wiersz (kolumę) pomożoy przez liczbę różą od zer. j) wyzczik mcierzy trójkątej (pod przekątą sme zer) jest rówy iloczyowi elemetów przekątej. Uwg ) opercje wierszch (kolumch) o których mow w puktch g) h) i) zywmy opercjmi elemetrymi b) Włsość i) pozwl uprościć liczeie wyzczik mcierzy jeśli wykomy tkie opercje elemetch wiersz (kolumy) które wyzerują pewą liczbę elemetów. Przykłd Obliczymy wyzczik mcierzy kolumie. det det zerując iektóre elemety w trzeciej (-) (-) (-) (-) - -(-) () (strzłki wskzują który wiersz jest dodwy (po ewetulym pom-ożeiu przez liczbę) do wskzego wiersz iy sposób zpisu to p. I w II w - I w III w ). Wyzczie mcierzy odwrotej Niech A będzie mcierzą kwdrtową stopi. Mcierzą odwrotą do mcierzy A jest mcierz A - spełijąc wruki: A - A A A - I Gdzie I jest mcierzą jedostkową stopi. 9

10 Włsość: tylko dl mcierzy ieosobliwych istieje mcierz odwrot. Mcierz odwrotą moż wyzczyć stępująco: Sposób I (metod dopełień lgebriczych): [ ] T A D A A det gdzie A D jest mcierzą dopełień lgebriczych elemetów mcierzy A. Uwg W szczególym przypdku gdy mmy ieosobliwą mcierz stopi : A d c b to c b d cb d A Przykłd Wyzczymy mcierz odwrotą do mcierzy A. Zuwżmy że deta więc A - istieje. A - T T Sposób II (metod przeksztłceń elemetrych) Włsość A mcierz ieosobliw I mcierz jedostkow. Jeśli [I B] otrzymmy z pomocą opercji elemetrych wierszch mcierzy [A I] to B A -. Przykłd Wyzczymy mcierz odwrotą do mcierzy A deta ztem A jest mcierzą ieosobliwą.

11 A I przeksztłceie wi wiii wii wi wii wiii wiii wi wiii wii I A - Ztem A Włsość mcierzą odwrotą do mcierzy jedostkowej jest t sm mcierz tz. I - I ( dig (... )) ( ) ( )...( ) ) dig (A - ) - A (A - ) T (A T ) - (AB) - (B) - (A) - det (A - ) (deta) -. Rząd mcierzy Niech A będzie dowolą mcierzą. Rzędem mcierzy A jest stopień jwiększej podmcierzy kwdrtowej ieosobliwej otrzymej z A przez wykreśleie pewej liczby wierszy i (lub) kolum czyli mksymly stopień ieosobliwego mior tej mcierzy. Rząd mcierzy będziemy ozczć rza lub ra. Uwg ) Rząd mcierzy jest rówy zero tylko dl mcierzy zerowej b) Rząd mcierzy jedostkowej stopi jest rówy c) Rząd mcierzy A T jest rówy rzędowi mcierzy A d) Rząd mcierzy ie może przekrczć żdego z wymirów mcierzy e) Jeśli mcierz kwdrtow jest ieosobliw to jej rząd jest rówy stopiowi tej mcierzy f) Jeśli dowoly wiersz mcierzy pomożymy przez stłą różą od zer i dodmy do iego wiersz to rząd mcierzy ie ulegie zmiie. Jeśli zmieimy dw wiersze między sobą miejscmi to rząd mcierzy ie ulegie zmiie. Podobe opercje moż wykoywć kolumch mcierzy. g) Jeśli wykreślimy wiersz (kolumę) złożoy z smych zer to rząd ie ulegie zmiie.

12 Przykłd Rząd mcierzy A jest rówy bo wykreśljąc kolumy i otrzymmy podmcierz kwdrtową stopi ieosobliwą. Przykłd Wyzczymy rząd mcierzy A Wykoując elemetre dziłi wierszch (ptrz włsość f) powyższej uwgi) dążymy do uzyski pod przekątą elemetów zerowych. rza rz rz Njpierw dodliśmy I wiersz do III wiersz stępie II wiersz pomożyliśmy przez (-) i dodliśmy do III wiersz. MACIERZE - Zdi Zdie ) Niech A B C Wyzcz mcierz A T B - C T. b) Wyzcz mcierz X wiedząc że ` ( ) T X (odp. ) b) X ) Zdie Przyjmując mcierz produkcji dobowej (ptrz przykłd) M

13 i wiedząc że wektor ce jedostkowych (tys. zł) dl produktów A B C D m postć p wykoując możeie W M T p wyzcz wektor wrtości produkcji. Który oddził m jmiejszą wrtość produkcji? (odp. W jmiejszą wrtość produkcji m oddził trzeci) Zdie ) Dl mcierzy A i B wyzcz iloczyy AB i BA b) Niech A B wyzcz AB BA (AB) T i B T A T c) Wyzcz mcierz X jeśli [ ] [ ] T T X (odp. ) AB BA ; b) AB BA ; (AB) T B T A T ; c) X ) Zuwż że możeie mcierzy ie jest przemiee. Zuwż że spełio jest włsość (AB) T B T A T Zdie Uzsdić że dl mcierzy kwdrtowych zchodzi włsość tr(ab) tr(ba) Zdie Oblicz AB i BA jeśli A

14 ) B b) B b c) B (odp. ) AB BA b) AB b b b BA b b b c) AB BA ) Zdie Oblicz ) b) c) (odp. ) b) ) ( c) ) ( ) Zdie Oblicz ) ( A f jeśli A (odp. 9 ) Zdie Oblicz wyzcziki mcierzy: A B C D (odp. deta detb detc detd )

15 Zdie 9 Oblicz wyzcziki mcierzy: A 9 9 B (odp. deta - detb -99) Zdie Sprwdź że ( ) T A T B BA ) det( dl dowolych ieosobliwych mcierzy stopi. Zdie Rozwiąż rówie: (odp. - ) Zdie Wyzcz (jeżeli istieje) mcierz odwrotą do mcierzy: ) ; b) ; c) ; d) ; e). (odp. ) b) c) d) e) )

16 Zdie Wyzcz (stosując jedą i drugą metodę) mcierz odwrotą do mcierzy: A B I. (odp. A - B - I - I) Zdie Wyzcz mcierz X jeśli ) X b) [ ] X c) X d) X e) X f) X g) T T X (odp. ) X b) [ ] X c) X d) X e) X f) X g) X ) Zdie Zleźć rząd mcierzy: ) ;b) ; c) ; d) e) f) g) ;h) [ ] ; i) [ ] ; j) (odp. ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) )

17 Zdie Wyzcz rząd mcierzy c A c w zleżości od prmetru c. (odp. rza gdy c lub c - rza dl pozostłych c) Zdie Ile powiie wyosić wyzczik mcierzy A spełijącej rówie A A T. (odp. lub ) Zdie Oblicz ) det b) det (odp. ) b)!) UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH Ukłd rówń liiowych postć mcierzow Ukłd rówń liiowych m postć ogólą:... b... b (*)... m m... m bm ij współczyiki; i iewidome; b j wyrzy wole liczb iewidomych; m liczb rówń Jeśli A [ ij ] m mcierz współczyików b X M wektor iewidomych; B M wektor wyrzów wolych b m to powyższy ukłd rówń moż zpisć w postci mcierzowej AX B Jeśli B to ukłd zywmy jedorodym. Mcierzą rozszerzoą ukłdu (*) zywmy mcierz M [A B] (do mcierzy współczyików dopisujemy kolumę wyrzów wolych)

18 Ukłd liczb (... ) spełijących kżde rówie ukłdu (*) zywmy rozwiąziem tego ukłdu. Ukłd rówń liiowych może być: ozczoy (m dokłdie jedo rozwiązie) ieozczoy (m ieskończeie wiele rozwiązń) sprzeczy (ie m żdego rozwiązi). Uwg Ukłd jedorody ie może być sprzeczy (m przyjmiej rozwiązie zerowe). Włsości ukłdu rówń liiowych chrkteryzuje podstwie rzędu mcierzy współczyików A i rzędu mcierzy rozszerzoej M twierdzeie Kroecker - Cpellego: Twierdzeie Jeśli rza rzm to ukłd (*) jest sprzeczy (ie m żdego rozwiązi). Jeśli rza rzm to ukłd (*) jest ozczoy (m dokłdie jedo rozwiązie). Jeśli rza rzm < to ukłd (*) jest ieozczoy (m ieskończeie wiele rozwiązń). W osttim przypdku iewidome dzielimy iewidome bzowe i prmetry. Rozwiązie zleży od - rza prmetrów tomist liczb iewidomych bzowych jest rów rza. Metody rozwiązywi ukłdów rówń liiowych. Metod mcierzow X A - B (moż stosowć gdy m i deta wtedy ukłd jest ozczoy). Przykłd z y z z y Rozwiązie. A deta T A B z y X Ztem rozwiąziem tego ukłdu rówń są liczby y z - fkt te możemy sprwdzić podstwijąc te liczby do rówń ukłdu i porówć stroy.

19 . Metod wyzczikow Twierdzeie Crmer Jeśli m i deta wtedy ukłd jest ozczoy (ukłd Crmer) orz: W W W W... W W gdzie W deta W j deta j j... A j mcierz otrzym z A przez zstąpieie j-tej kolumy przez kolumę wyrzów wolych. Uwg Jeśli W i co jmiej jede wyzczik W j to ukłd jest sprzeczy. Jeśli W W W... W to ukłd jest sprzeczy lub ieozczoy. Przykłd Rozwiązie. y z z y z A deta W W W W ztem y z.. Metod elimicji Guss Przeksztłcei elemetre ukłdu rówń liiowych. ) możeie rówi przez liczbę różą od zer b) zmi kolejości rówń w ukłdzie c) dodie do dowolego rówi iego rówi tego ukłdu pomożoego przez dowolą liczbę. Wykoywie przeksztłceń elemetrych dym ukłdzie rówń ie zmiei zbioru jego rozwiązń (otrzymujemy ukłd rówowży demu). W przypdku zpisu mcierzowego powyższe opercje wykoujemy wierszch mcierzy rozszerzoej. Stosując opercje elemetre wierszch mcierzy rozszerzoej przeksztłcmy mcierz rozszerzoą do postci: 9

20 gdzie ~ ~ ~ ~ ~... ~ ~ ~ ~ ~ r ~ r... ~ b ~ b... r r ~ ~ ~ rr rr... r ~ b~ r b r b ~... r ~ rr ; r rza Jeśli dl pewego i... k b ~ ri to ukłd sprzeczy ~ Jeśli dl i... k b ri i r < to ukłd ieozczoy zmiee r r... przyjmujemy że są prmetrmi (mogą przyjmowć dowole wrtości) i przy wyzcziu iewidomych bzowych przeosimy je prwą stroę trktując jk wyrzy wole iewidome... r przyjmujemy że są bzowe i obliczmy ich wrtość rozpoczyjąc od jiższego rówi różego od zer (obliczoe wrtości podstwimy do kolejych rówń). ~ Jeśli dl i... k b ri i r to ukłd ozczoy wszystkie iewidome są bzowe i obliczmy ich wrtość rozpoczyjąc od jiższego rówi różego od zer. Przykłd Rozwiązie. M Po zstosowiu przeksztłceń elemetrych otrzymmy: ~ M przyjmujemy że są bzowe przyjmujemy że są prmetrmi z rówi II obliczmy z rówi I po podstwieiu obliczmy k

21 Uwg W przypdku ukłdu ieozczoego moż rozptrywć róże ukłdy iewidomych bzowych (wszystkich tkich ukłdów jest jwyżej ). Rozwiązie ukłdu r ieozczoego jest rozwiąziem bzowym jeśli pod prmetry podstwimy wrtość zero. Rozwiązi bzowe są przydte w zgdieich optymlizcji. Rozwiązi bzowe ukłdu ieozczoego Z metody Guss wyik istieie rozwiązi bzowego (pod prmetry podstwimy zer). Rozwiązń bzowych może być wiele. Aby otrzymć ie rozwiązie bzowe leży przyjąć że w owym rozwiąziu bzowym jede z dotychczsowych prmetrów będzie zmieą bzową jed z dotychczsowych zmieych bzowych będzie prmetrem. Nstępie pod owe prmetry podstwimy wrtość i rozwiązujemy otrzymy ukłd rówń liiowych. Możliwe są dwie sytucje: otrzymy ukłd jest ozczoy i otrzymujemy owe rozwiązie bzowe otrzymy ukłd jest ieozczoy lub sprzeczy wtedy leży szukć iego rozwiązi bzowego. Wszystkich rozwiązń bzowych ie może być więcej iż. r Przykłd Rozptrzmy ukłd rówń: Mcierz rozszerzo tego ukłdu jest rów jest to ukłd ieozczoy r rza rzm. Niech zmiee bzowe; prmetry rozwiązując ukłd: otrzymmy rozwiązie bzowe ( ). Rozptrzmy owy ukłd iewidomych zmiee bzowe; prmetry wtedy odpowiedi ukłd: jest sprzeczy ztem ukłd te ie dje rozwiązi bzowego. Rozptrzmy owy ukłd iewidomych zmiee bzowe; prmetry wtedy odpowiedi ukłd: dje rozwiązie bzowe ( ). Przykłd Wyzczyć wszystkie rozwiązi bzowe dl ukłdu rówń:

22 Uwg. Wszystkie możliwości jłtwiej rozptrzyć wypełijąc tbelkę: Zmiee bzowe () () () () () () Zmie e W tym celu rozwiązujemy ukłdy rówń: () () () () () () wyiki wpisujemy do tbelki Zmiee bzowe () () () () () () Zmiee Ztem rozwiązi bzowe są stępujące: (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ). UKŁADY RÓWNAŃ - Zdi Zdie Rozwiąż ukłd rówń metodą mcierzy odwrotej: ) b) c) d) 9 e) f) (odp. ) () b) () c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( )) Zdie Rozwiąż ukłdy rówń z zdi metodą Crmer.

23 Zdie Rozwiąż ukłdy rówń metodą Crmer: ) b) (odp. ) ( ) b) ( )) Zdie Sprwdź czy stępujące ukłdy rówń są sprzecze: ) b) c) Zdie Rozwiąż ukłd rówń metodą elimicji Guss: ) b) c) d) e) 9 (odp. ) ukłd ieozczoy p. prmetr b) ukłd ozczoy c) ukłd ieozczoy p. prmetry d) ukłd sprzeczy e) ukłd ieozczoy p. prmetry ) Zdie Przelizuj rozwiązlość stępujących ukłdów rówń z prmetrem: ) k k b) k k k c) k (odp. ) ukłd ieozczoy dl k dl pozostłych k ukłd ozczoy b) ukłd ieozczoy dl k i k dl pozostłych k ukłd ozczoy c) ukłd ieozczoy dl k dl pozostłych k ukłd ozczoy) Zdie Czy dy ukłd rówń m rozwiązi iezerowe:

24 ) b) c) d) (odp. ) tk b) ie c) tk d) ie) Zdie Rozwiąż ukłdy rówń jedorodych: ) b) (odp. ) ukłd ieozczoy p. prmetr b) ukłd ozczoy ) Zdie 9 Npisz ukłd rówń którego jedyym rozwiąziem są liczby ( ). Zdie Npisz ukłd rówń ieozczoych którego jedym z rozwiązń są liczby ( ). Zdie Wyzczyć wszystkie rozwiązi bzowe dl ukłdu rówń: () (b) (odp. ) ( ) ( 9 ) ( ) ( ) ( 9) ( ) b) (; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; -) (; ; ; ; ) ( ; -; 9; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; ))

25 Zdi powtórzeiowe. Zdie. d) Niech A B wyzcz AB BA Odp. ) AB BA. Zdie. Oblicz wyzcziki mcierzy: A B C D Odp. deta detb detc detd -. Zdie. Wyzcz mcierz odwrotą do mcierzy: A B Odp. A - B - Zdie. Wyzcz rząd mcierzy: A B C Odp. ra rb rc. Zdie. Rozwiąż ukłd rówń: ) b)

26 c) d) e) ) ukł. ozczoy - b) ukł. ozczoy c) ukł. ieozczoy p. - prmetr d) ukł. sprzeczy e) ukł. ieozczoy p. - prmetr. Zdie. Wyzcz mcierz X jeśli ) X b) [ ] X Odp. ) X b) [ ] 9 X

Macierze w MS Excel 2007

Macierze w MS Excel 2007 Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

6. Układy równań liniowych

6. Układy równań liniowych 6. Ukłdy rówń liiowych 6. Podstwowe określei Defiicj 6.. (ukłd rówń liiowych rozwiązie ukłdu rówń) Ukłde rówń liiowych z iewidoyi gdzie N zywy ukłd rówń postci:...... (6..) O... gdzie ij R to tzw. współczyiki

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01

Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01 WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r. KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod

Bardziej szczegółowo

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury. Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1) etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.

Bardziej szczegółowo

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe

Bardziej szczegółowo

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY . Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi

Bardziej szczegółowo

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania

1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania Kryterium stbilości Stbilość liiowych ukłdów sterowi Ukłd zmkięty liiowy i stcjory opisy rówiem () jest stbily, jeŝeli dl skończoej wrtości zkłócei przy dowolych wrtościch początkowych jego odpowiedź ustlo

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n

Bardziej szczegółowo

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Ciąg arytmetyczny i geometryczny Ciąg rytmetyczy i geometryczy Zd. : Ciąg ( ) jest opisy wzorem = 5 + ( )(k k ), gdzie k jest prmetrem. ) WykŜ, Ŝe ( ) jest ciągiem rytmetyczym. Dl jkich wrtości prmetru k ciąg te jest mlejący? b) Dl k

Bardziej szczegółowo

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe

Ciągi i szeregi liczbowe Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Collegium Novum Akademia Maturalna

Collegium Novum Akademia Maturalna Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7 RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem

Bardziej szczegółowo

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu Rozdził. Ciągi liczbowe, gric ciągu. Rodzje i włsości ciągów liczbowych W życiu codzieym często moż spotkć się z ciągmi: ciąg smochodów ulicy (pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg ludzi w kolejce (zerowy chwilę

Bardziej szczegółowo

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1 Algebr WYKŁAD 6 ALGEBRA Ogóln postć ukłdu równń liniowych Rozwżmy ukłd m równń liniowych z n niewidomymi m m n n mn n n n b b b m o współczynnikch ik orz b i. Mcierz ukłdu równń wymiru m n m postć A m

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU MATEMATYA W EONOMII I ZARZĄDZANIU Wykłd - Alger iiow) eszek S Zre Wektore zywy iąg liz ) p 567) 5) itp W ekooii koszyk dór zpisuje się jko wektory Np 567) jko koszyk dór wyspie Hul Gul oŝe ozzć 5 jłek

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:

Bardziej szczegółowo

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb. Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce

Bardziej szczegółowo

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012. Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Działania wewnętrzne i zewnętrzne

Działania wewnętrzne i zewnętrzne Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.

Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe. Wyzczie prędkości i przyspieszeń cił w ruchu posępowym, obroowym i płskim orz chwilowych środków obrou w ruchu płskim. Ruch korbowodu część II Zdie.. Prę o długości L ślizg się jedym końcem (puk po podłodze,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Rchuek prwdopodobieństw MA5 Wydził Elektroiki, rok kd. 20/2, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 7: Zmiee losowe dwuwymirowe. Rozkłdy łącze, brzegowe. Niezleżość zmieych losowych. Momety. Współczyik

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony Dorot oczek, roli Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy i rozszerzoy Ozczei: wymgi koiecze; wymgi podstwowe; R wymgi rozszerzjące; D wymgi dopełijące; W

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-) Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuow bezpłtie Dostęp stroie: Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,

Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel, utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Równn lnowe Nech V W będą przestrzenm lnowym nd tym smym cłem K T: V W przeksztłcenem lnowym Rozwżmy równne lnowe T(v)w Powyższe równne nzywmy równnem

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI

MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A.

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

WZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B )

WZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B ) . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A. Kżdy ziór jest wyzczoy przez swoje elemety.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.

Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów. Zestw wzoów mtemtyzy zostł pzygotowy dl potze egzmiu mtulego z mtemtyki oowiązująej od oku 00. Zwie wzoy pzydte do ozwiązi zdń z wszystki dziłów mtemtyki, dltego może służyć zdjąym ie tylko podzs egzmiu,

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo