Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny!

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny!"

Magda Witek
7 lat temu
Przeglądów:

1 TEZA CHURCHA-TURINGA Mzyn Turing: m końzenie wiele tnów zpiuje po jenym ymolu n liniowej tśmie Co możn zroić z pomoą mzyny Turing? Wzytko! Mzyn Turing potrfi rozwiązć kży efektywnie rozwiązywlny prolem lgorytmizny! Różne inne moele komputer uniwerlnego: rhunek lm (Churh) ytem proukji l ymoli (Pot) kl funkji rekurenyjnyh (Kleen)... i wiele innyh Wzytkie moele ą równowżne w enie kly prolemów lgorytmiznyh, które rozwiązują! Ominy mzyny Turing: mzyn z tśmą tylko jenotronnie niekońzoną mzyny z wielom tśmmi i głowimi mzyny z tśmmi(?) wuwymirowymi mzyny nieeterminityzne Przykł ymulji jenej mzyny n rugiej mzyn M - tśm niekońzon z ou tron mzyn M p - tśm niekońzon tylko z prwej trony mzyn M nie jet ilniejz o mzyny M p wytrzy pokzć, że n mzynie M p możn ymulowć ziłnie mzyny M 1. złożenie tśmy niekońzonej z ou tron w tśmę niekońzoną tylko z prwej trony tśm mzyny M... # 5 7 #... Tez CT 7 # # 5 $ $ 7 #... 5 # $ $ 5 7 # #... tśm mzyny M p 2. moyfikj przejść mięzytnowyh w nowym igrmie, który kł ię z wóh igrmów mzyny M / P / P $ / $ PPP / P / L t ymuluj mzynę M poruzją ię po wie komórki n rz t / P $ / $ P t ymuluj mzynę M poruzją ię po wie komórki n rz w kierunku przeiwnym t / L WSTĘP DO INFORMATYKI (10) J.Sikorki Stron 1 / 5

.. i wiele innyh Wzytkie moele ą równowżne w enie kly prolemów lgorytmiznyh, które rozwiązują!

2 Progrmy liznikowe (łkiem inny moel olizeń) zmienne przehowują nieujemne lizy łkowite (tzw. lizniki) trzy rozje elementrnyh operji: X 0, X Y + 1, X Y - 1 (przyjmujemy, że X = 0 l Y = 0) wie intrukje terująe: prote ntęptwo i kok wrunkowy jeśli X = 0 koz-o L (L jet etykietą pewnej intrukji) progrm liznikowy ztrzymuje ię wtey, gy: - wytępuje pró wykonni nieitniejąej intrukji - wytępuje pró przejśi o nieitniejąej etykiety - wyzerpn zotje lit intrukji Przykł progrmu liznikowego mnożenie wóh liz Z = X Y U 0 Z 0 A: jeśli X = 0 koz-o L X X - 1 V Y + 1 V V - 1 B: jeśli V = 0 koz-o A V V - 1 Z Z + 1 jeśli U = 0 koz-o B Dw triki: V Y + 1 orz V V - 1 ztępują V Y U 0 orz jeśli U = 0 koz-o B ztępują koz-o B Dwie pętle: wewnętrzn (o B: o koz-o B) - zwiękz Z o Y zewnętrzn (o A: o koz-o A) - wykonuje pętlę wewnętrzną X rzy Progrmy liznikowe ą równowżne mzynom Turing w enie kly prolemów lgorytmiznyh, które rozwiązują 1. Tśmę i położenie głowiy mzyny Turing możn zkoowć z pomoą wóh liz, kże przejśie w igrmie reprezentowć opowienim lozkiem progrmu liznikowego. np. l lfetu #,!,,,,,, e, f, g koujemy ymole # f - 8! e - 7 g - 9 położenie głowiy... # # e! # g # #... tśm mzyny ko ymolu wizinego przez głowię 2. Wrtośi wzytkih lizników możn rozmieśić n tśmie mzyny Turing, rozzielją je ymolmi, intrukje progrmu liznikowego reprezentowć w poti pejlnyh tnów w igrmie przejść Mzyny Turing i progrmy liznikowe tły ię uniwerlnymi moelmi zięki wykorzytniu niekońzonej ilośi pmięi: w mzynh Turing ilość informji w pojeynzej komóre jet końzon i ogrnizon, le liz komórek jet potenjlnie niekońzon w progrmh liznikowyh liz zmiennyh-lizników jet końzon, le w kżej możn przehowć owolnie użą lizę, z pomoą której możn zkoowć potenjlnie niekońzoną ilość informji WSTĘP DO INFORMATYKI (10) J.Sikorki Stron 2 / 5

progrm liznikowy ztrzymuje ię wtey, gy: - wytępuje pró wykonni nieitniejąej intrukji - wytępuje pró przejśi o nieitniejąej etykiety - wyzerpn zotje lit intrukji Przykł progrmu liznikowego mnożenie

3 Konekwenją tezy CT jet itnienie lgorytmów uniwerlnyh lgorytm A progrm P relizująy lgorytm A npiny w uniwerlnym języku L 2 progrm P ne X uniwerlny progrm U npiny w języku L 1 - ymuluje wynik progrmu w języku L 2 n jego nyh wykonj progrm P n nyh X wyniki (jeśli ą) możn zuowć uniwerlną mzynę Turing, któr może ymulowć ziłnie owolnej mzyny Turing n owolnyh nyh (trze opić n tśmie zlineryzowny igrm przejść, reprezentują kże przejśie jko prę tnów z poną etykietą przejśi) możn tkże kontruowć uniwerlny progrm liznikowy Mzyny Turing i progrmy liznikowe ą wielominowo równowżne, tzn. kl prolemów łtwo rozwiązywlnyh jet tk m l ou moeli Rozwijją tezę CT możn ojść o wnioku, że: jeśli jkiś (zyki) komputer rozwiązuje pewien prolem w zie O(f(N)), to itnieje równowżn mu mzyn Turing, któr potrzeuje n rozwiąznie tego prolemu nie więej niż O(p(f(N))) zu, l pewnej utlonej funkji wielominowej p Ztem: kl prolemów olizlnyh (roztrzyglnyh) jet iln tj. niewrżliw n zminę moelu olizeń lu język zpiu lgorytmu kl prolemów łtwo rozwiązywlnyh P jet tkże iln (tzw. tez olizni ekwenyjnego, zyli wykonywnego krok po kroku) kl NP jet iln kl prolemów o wykłnizej złożonośi zowej jet iln kl prolemów o liniowej złożonośi zowej nie jet iln tzn. złożoność tyh prolemów może zleżeć o przyjętego moelu olizeń np. prolem porównni lizy wytąpień wóh różnyh ymoli w nyh wejśiowyh wymg: O(N 2 ) lu O(N logn) n protej mzynie Turing, O(N) n mzynie Turing z otkowym liznikiem. Formlnie kly prolemów P i NP efiniuje ię w ktegorih olizeń n mzynie Turing: prolemy z kly P ą rozwiązywlne przez zwykłe mzyny Turing w zie wielominowym prolemy z kly NP ą rozwiązywlne przez nieeterminityzne mzyny Turing w zie wielominowym / P? / L przejśie nieeterminityzne Gyy nieeterminityzne mzyny Turing pełniły kryterium ekwenyjnośi, to prolem P = NP yły rozwiązny pozytywnie, le nie pełniją, gyż wyór lepzego przejśi jet mgizny, ez mgii oznz koniezność równozenego wypróowywni różnyh możliwośi! N moy tezy CT wytrzyło y pokzć, że pewien prolem NP-zupełny nie może yć rozwiązny z pomoą mzyny Turing w zie krótzym niż wykłnizy, y wykzć, że P NP. WSTĘP DO INFORMATYKI (10) J.Sikorki Stron 3 / 5

przejść, reprezentują kże przejśie jko prę tnów z poną etykietą przejśi) możn tkże kontruowć uniwerlny progrm liznikowy Mzyny Turing i progrmy liznikowe ą wielominowo równowżne, tzn.

4 y wyznzyć górne ogrnizenie prolemu lgorytmiznego powinno ię użyć njogtzego i njilniejzego formlizmu (z kontrukjmi terująymi wyokiego poziomu i rozwiniętymi trukturmi nyh) y uowonić olne ogrnizenie nleży użyć możliwie njprotzego moelu olizeń, zyli np. mzyny Turing lu progrmu liznikowego Mzyny Turing touje ię powzehnie o owozeni olnyh ogrnizeń l złożonośi prolemów lgorytmiznyh Pewne kly prolemów możn efiniowć nrzują ogrnizeni n ziłnie mzyny Turing np. Ppe - kl prolemów rozwiązywlnyh przez mzynę Turing, któr może korzytć tylko z wielominowo ronąej lizy komórek n tśmie: NP Ppe Automty końzenie tnowe (końzone) (tkie jky jenokierunkowe mzyny Turing) ogrnizmy ruh głowiy mzyny T. tylko o jenego kierunku igrm przejść głowi zytją e! g # #... kż komórk może yć ozytn tylko rz nie możn wróić o zpiywnyh komórek, zyli w prolemh eyzyjnyh nie jet potrzen l głowiy funkj zpiu poz ną ekwenją utomt zwier n tśmie tylko ymole pute, zyli może ztrzymywć ię po oiągnięiu koń nyh wejśiowyh (npotkniu putej komórki) wytrzą tny końowe tylko z opowiezią n TAK, gyż ztrzymnie ię utomtu n końu nyh w kżym innym tnie możn interpretowć jko opowieź n NIE etykiet przejśi zwier ztem tylko ymol-wyzwlz (nie jet potrzeny złon kji, o jet on tylko jen - przejź o ntępnej komórki w kierunku ruhu głowiy) Przykł utomtu końzonego zefiniownego n lfetem {, } i jąego przytość wytąpień ymolu : TAK Ten utomt nie lizy, le o przytośi potrfi roztrzygć. A o potrfi ten utomt? TAK Automt końzony nie potrfi lizyć! Tez: Żen utomt końzony nie potrfi roztrzygnąć, zy pon ekwenj wejśiow zwier tką mą lizę ymoli i. WSTĘP DO INFORMATYKI (10) J.Sikorki Stron 4 / 5

mzyny Turing lu progrmu liznikowego Mzyny Turing touje ię powzehnie o owozeni olnyh ogrnizeń l złożonośi prolemów lgorytmiznyh Pewne kly prolemów możn efiniowć nrzują ogrnizeni n ziłnie mzyny Turing

5 Dowó: (nie wprot) Złóżmy, że pewien utomt F potrfi roztrzygnąć pony prolem eyzyjny. Nieh liz tnów utomtu F wynoi N. Rozwżmy ekwenję wejśiową X, któr zwier njpierw okłnie N + 1 ymoli, potem N + 1 ymoli. ekwenj X : opowieź TAK W trkie przeuwni ię głowiy wzłuż tśmy muzą pojwić ię wie komórki, w któryh utomt ęzie w tym mym tnie, gyż liz komórek z tym mym ymolem jet więkz o lizy tnów. ekwenj X : utomt w tnie utomt w tnie opowieź TAK uuwmy W nowej ekwenji Y uuńmy komórki, tk y tn ył oiągny tylko rz przy trzeiej komóre. ekwenj Y : utomt w tnie opowieź wiąż TAK utomt ził okłnie tk jk l ekwenji X Ztem itnieje ekwenj zwierją różną lizę ymoli i, l której utomt je opowieź TAK. Przezy to złożeniu, że utomt je tką opowieź tylko l ekwenji z tką m lizą ymoli i! Przykł utomtu opiująego zegrek yfrowy toper z tę ntw uzik ntw z ntw minuty ntw goziny ntw 10 min. Etykiety przejść w igrmie utomtu końzonego nzywne ą zęto ygnłmi lu zrzenimi Rol trkyjnyh moeli olizeń ni n złożonośią olizeniową i nieroztrzyglnośią teori utomtów teori języków formlnyh utomty ze toem w lingwitye trukturlnej i w kontruowniu kompiltorów nie iły nieeterminizmu np. nieeterminityzny utomt ze toem ni nieroztrzyglnośi prolemów eyzyjnyh otyząyh myh moeli olizeń: - równowżność lgorytmizn wóh mzyn Turing jet nieroztrzygln, - równowżność lgorytmizn wóh utomtów końzonyh jet roztrzygln, - o roztrzyglnośi prolemu równowżnośi lgorytmiznej wóh utomtów ze toem ni nie wiomo ( prolem m itotne znzenie l uowy języków progrmowni i kompiltorów) zgnienie olizlnego zpytni o zy nyh - jk powinny wygląć mzyny Turing l z nyh lu z wiezy WSTĘP DO INFORMATYKI (10) J.Sikorki Stron 5 / 5

ekwenj X : opowieź TAK 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 W trkie przeuwni ię głowiy wzłuż tśmy muzą pojwić ię wie komórki, w któryh utomt ęzie w tym mym tnie, gyż liz komórek z tym mym ymolem jet więkz o

Podobne dokumenty

ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZESPOŁU SZKÓŁ

ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZEOŁU SZKÓŁ Bni nkietowe zostły przeprowzono w rmh relizji projektu eukyjnego Nie wyrzuj jk lei. Celem tyh ń yło uzysknie informji n temt świomośi ekologiznej uzniów