Temat: Wybrane zagadnienia kinematyki mechanizmów. Ruch punktu: prostoliniowy, krzywoliniowy (np. po okręgu, elipsie, dowolnej krzywej)

Transkrypt

1 Tem: Wybre zgdiei kiemyki mechizmów Ruch puku: prosoliiowy, krzywoliiowy (p. po okręgu, elipsie, dowolej krzywej) Ruch bryły: posępowy, obroowy, płski, kulisy, śrubowy, dowoly. Liczbę iezleżych współrzędych (współrzędych uogólioych) porzebych do określei położei puku lub bryły w przesrzei zywmy liczbą sopi swobody RUCH POSTĘPOWY RYŁY Ruch posępowy człou zchodzi wówczs, jeżeli dowoly odciek A związy szywo z człoem zchowuje położeie rówoległe w kolejych położeich mechizmu: A A Rys. Twierdzeie: Jeżeli brył porusz się ruchem posępowym o wszyskie puky bryły poruszją się po orch przysjących i w kżdej chwili mją e sme prędkości i przyspieszei. A A = = A A = = Rówi ruchu posępowego: x = x( ), y = y( ), z = z( ) x,y,z - współrzęde uogólioe Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.

2 Przykłd. Rówoległobok przegubowy Rozkłd prędkości i przyspieszeń puków człou w ruchu posępowym. Rys. Tory puków, C, K, M są rówoległe ich prędkości i przyspieszei rówe. = C = K = M = C = K = M ε = ω = RUCH OROTOWY RYŁY rył wykouje ruch obroowy, jeżeli wszyskie puky ej bryły poruszją się po orch kołowych leżących w płszczyzch do siebie rówoległych. Środki geomerycze orów (okręgów) leżą jedej prosej, kór jes osią obrou bryły. Rys. rył w ruchu obroowym m jede sopień swobody, ϕ( ) ϕ ( ) - współrzęd uogólio Ką obrou bryły: ϕ = ϕ( ), Prędkość kąow: ω = ϕ =, dϕ d Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.

3 Przyspieszeie kąowe: dω ε = = d ϕ d d Prędkość liiow dowolego puku bryły: = ω r, = ω r Przyspieszeie liiowe sycze dowolego puku bryły: = ε r, = ε r Przyspieszeie liiowe ormle dowolego puku bryły: = ω = ω ω r, = ω r Przykłd. Czło mechizmu płskiego w ruchu obroowym = ω A Rys. 4 = ω A, = ε A gα = ω = A = M AM RUCH PŁASKI RYŁY ε A ε gβ = = = ω A ω = A 4 ω + ε rył wykouje ruch płski, jeżeli wszyskie puky bryły poruszją się w płszczyzch rówoległych do pewej płszczyzy ieruchomej. Rys. 5 Rówi ruchu płskiego: x = x ( ), y = y ( ), ϕ = ϕ( ). Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.

4 Twierdzeie: Jeżeli figur płsk porusz się w swej płszczyźie o z kżdego położei dje się przesuąć w ie położeie poprzez obró dookoł puku leżącego w płszczyźie, zwego chwilowym środkiem obrou. Przykłd. De: prędkość puku -, orz kieruek prędkości puku C. Nleży wyzczyć wrość prędkości puku C leżącego człou, kóry wykouje ruch płski. W celu wyzczei chwilowego środk obrou człou rysujemy prosą prosopdłą do wekor prędkości puku w jego począku orz logiczie rysujemy prosą prosopdłą do wekor prędkości puku C. N przecięciu obydwu prosych zjdujemy puk O sowiący chwilowy środek obrou człou. Nsępie obliczmy prędkość kąową ω. Zjąc prędkość kąową ω obliczmy prędkość dowolego puku ego człou, p. puku C i K. = ω A Rys. 6 Wyzczie prędkości i przyspieszeń meodą grfoliyczą zywej rówież meodą plów prędkości i przyspieszeń lub meodą superpozycji Prędkości i przyspieszei puków człoów mechizmów są wyzcze podswie skłdi ruchu uoszei i ruchu względego Meod plów prędkości i przyspieszeń jes meodą grfoliyczą, co ozcz, że iekóre wielkości (prędkości i przyspieszei liiowe i orz prędkości i przyspieszei kąowe) obliczmy z rówń lgebriczych pozosłe prędkości i przyspieszei liiowe wyzczmy z rówń wekorowych. Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 4

5 Przykłd 4 Wyzczyć prędkość i przyspieszeie puków, C, D mechizmu korbowo-suwkowego grfoliyczą meodą plów. De: ω = cos, wymiry mechizmu A, C, D. Zdie rozwiązć dl zdego położei kąowego człou pędzjącego ϕ. Rówi plu prędkości Obliczmy: = ω A, sępie piszemy rówie wekorowe: C = + C AC A C Rys. 7 (P4.) Przyjmujemy puk bieguowy π i rozwiązujemy wykreślie w podziłce rówie (), rysując zw. pl prędkości, (rys. 8). Z plu prędkości orzymmy wrość prędkości: C, C Rys. 8 Prędkość kąową dźwigi obliczymy po odczyiu z plu prędkości wrości wekor C (odciek bc) : ω = C ; C W celu wyzczei prędkości puku D piszemy rówi: D = = ω + D D D Prędkość względą - D moż rówież wyzczyć korzysjąc z proporcji: C cb C = = db D D sępie leży zzczyć plie puk d (koiec wekor D ). (P4.) Po połączeiu biegu π z pukem d z orzymmy wekor prędkości puku D j. D Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 5

6 Rówi plu przyspieszeń: Rówi przyspieszeń piszemy podobie jk rówi prędkości. = + = = poiewż ε = A C = + C + C AC A C C C (P4.) gdzie: C = = ω C C Rozwiązujemy wykreślie w podziłce rówie (), rysując zw. pl przyspieszeń z dowolie przyjęego biegu π (rys. 9), Orzymmy przyspieszei: i C C Przyspieszeie kąowe dźwigi obliczymy po odczyiu wrości wekor C z plu C przyspieszeń (odciek bc): ε =. C Nsępie zjdziemy przyspieszeie puku D podswie rówń: D = + D + D gdzie: D = ε D, Przyspieszeie względe - z proporcji: C cb C = =. db D D D = ω D D = D + D, moż eż wyzczyć korzysjąc orz Rys. 9 Wyzczjąc w e sposób położeie puku d plie przyspieszeń i łącząc sępie biegu π z ym pukem zjdziemy wykreślie przyspieszeie D. (P4.4) Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 6

7 Aliz kiemycz mechizmów dźwigiowych meodą wieloboku wekorowego W opisywej meodzie łńcuch kiemyczy dowolego płskiego mechizmu dźwigiowego przedswi się w posci zmkięego wieloboku wekorowego (Rys. ), kóry określ chwilowe położeie człoów. Kżdy z wekorów I i ego wieloboku zdefiiowy jes we współrzędych bieguowych przez dw prmery: długość wekor określjący jego kieruek. I i = Ii orz ką ϕ i Rys.. Mechizm dźwigiowy jko wielobok wekorowy Rys.. Określie kąów w meodzie wieloboku wekorowego Dodi ką ϕ i jes o ki ką o jki leży obrócić oś x ukłdu współrzędych Oxy w kieruku przeciwym do ruchu wskzówek zegr w prwoskręym ukłdzie współrzędych by jej dodi zwro pokrył się z dodim zwroem wekor I i co przedswioo Rys.. Przy kiej umowie współrzęde wekor Ii (Iix,Iiy ) wyoszą zwsze: I ix = Ii i, Iiy = Ii siϕi () zki współrzędych są określoe poprzez zki fukcji si ϕ i i cos ϕ i. Mechizm płski zdefiiowy jes przez zmkięy wielobok skłdjący się i = i = z wekorów, co zpisujemy sępująco: I () Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 7

8 Wielobok wekorowy zbudowy człoch mechizmu posid prmerów. Ii = i= () Rys. powórzoy. Mechizm dźwigiowy jko wielobok wekorowy Wielobok wekorowy opisy rówiem () po zrzuowiu go osie płskiego ukłdu współrzędych odpowid dwóm rówiom sklrym: lix =, li i = () i = i = liy =, li si = i = i = ϕ i (4) Poiewż ukłd rówń (), (4) musi być ozczoy, jego podswie moż wyzczyć dw szuke prmery geomerycze p. dwie długości, długość i ką lub dw kąy. Pozosłe - prmery muszą być zem ze i leży je przyjąć jko de w momecie defiiowi mechizmu. Po zróżiczkowiu rówń (), (4) względem czsu orzymujemy ukłdy rówń: dl d i = ix =, dl d i = iy = d l d l ix iy orz =, = i = d i = d (5) (6) Z ukłdu rówń (5) wyzcz się dwie szuke prędkości liiowe lub kąowe podswie (6) dw szuke przyspieszei liiowe lub kąowe. Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 8

9 Przykłd 5. Mechizm korbowo-suwkowy Mechizm moż zpisć rzem wekormi w sposób pokzy Rys.. Nleży zem przyjąć = 4 prmery. De: ϕ = ϕ( ), ϕ = π, A = l, C = l Szuke: = x ( ), ϕ = ϕ ( ), = ( ), ω = ω ( ), = ( ), ε = ε ( ) Rozwiązie xc C C C C C Dw wekory l, l mją słą długość. Wekor l zmiei swoją długość w czsie ruchu mechizmu. Wpisujemy wielobok wekorowy w kour mechizmu i ozczmy położei kąowe poszczególych wekorów względem osi Ox z pomocą kąów skierowych. Rys. Opisujemy wielobok wekorowy rówiem wekorowym: l l + l + = (P5.) Nsępie piszemy odpowiedie rówi sklre: l cos + l cos ϕ l ϕ = (P5.) l si + l siϕ ϕ = (P5.) l Przyjmując ozczeie λ = mmy z (P5.) mmy: l l si ϕ siϕ = λ siϕ l = P5.4) i sąd ϕ = rc si( λ siϕ) (P5.5) Dlej ozczymy: A = = si ϕ = λ si ϕ (P5.6) Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 9

10 W celu wyzczei prędkości liiowej orz przyspieszei liiowego puku C koiecze jes wprowdzeie wekor promiei wodzącego ego puku r C. Wekor promień wodzący dowolego mechizmu płskiego lub przesrzeego prowdzoy jes zwsze od począku ukłdu współrzędych do dego puku, kórego prędkość lub przyspieszeie chcemy obliczyć. C C = l = l l (P5.7) r ( x, ) + Rys. powórzoy Współrzęd wekor promiei wodzącego określjąc położeie suwk wyosi: = l + l = l cos + l = l + l A xc x x ϕ P5.8) W celu obliczei prędkości kąowej różiczkujemy (P5.5) względem czsu: ϕ& ω = ϕ& = λϕ& = λϕ& = λϕ& A (P5.9) Nsępie różiczkując (P.8) względem czsu obliczymy prędkość liiową puku C: = x& = l ϕ (siϕ,5 λ & + A si ϕ ) (P5.) C C W celu obliczei przyspieszei kąowego różiczkujemy (P5.9) względem czsu: λ λ ε = && ϕ = ϕ& siϕ cos ϕ si ϕ & ϕ cos ϕ A A (P5.) Nsępie różiczkujemy (P5.) i orzymmy przyspieszeie liiowe puku C: (P5.) λ λ λ = x&& = C l && ϕ siϕ si ϕ lϕ& si ϕ cos ϕ A 4A A C Jeżeli korb A = I obrc się ze słą prędkością kąową, wedy jej przyspieszeie ϕ& & d = = = ω d kąowe jes rówe zero czyli ε, co leży uwzględić w rówich. Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.

11 Przykłd 6. Mechizm czworoboku przegubowego W e mechizm wpisujemy czery wekory (Rys. ). Nleży zem przyjąć 4 = 6 prmerów. Wszyskie wekory w przypdku ego mechizmu mją słą długość. De: ϕ, l, l, l, l ϕ = π, Szuke: ϕ, ϕ, ω, ω, ε, ε. Rozwiązie Mechizm zpisujemy wielobokiem wekorowym: l + l + l l + = (P6.) Rys. Po rzuowiu rówi (P.) osie ukłdu współrzędych orzymmy: l l siϕ + l + l siϕ + l + l siϕ l = = (P6.) Przekszłcmy ukłd rówń (P.) do posci: l + l l = l l siϕ + l siϕ = l siϕ Po wprowdzeiu ozczeń: = l l, = l si, orzymmy: A + l + l A ϕ siϕ = l = l siϕ Rówi (P6.4) podosimy do kwdru i dodjemy sromi A Rówie (P6.5) dzielimy przez Al (P6.) (P6.4) + Al + + l siϕ + l l = (P6.5) A + Al + l l + + siϕ = (P6.6) A Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.

12 Przyjmiemy ozczei: C A + + l l = Al, D =, A C + + Dsiϕ = (P6.7) zem (P.6) przyjmie posć: Po podiesieiu (P.6) sromi do kwdru orzymujemy: ( + D )cos ϕ + C + (C D ) = (P6.8) Po podswieiu w = orzymmy rówie kwdrowe w posci: ( + D )w + Cw + (C D ) = (P6.9) z kórego wyzczymy dw pierwiski w, w, sępie dwie wrości ką ϕ, j. kąy ϕ (), ϕ( ). Dw rozwiązi rówi kwdrowego (P6.9) odpowidją dwóm wriom położei człoów mechizmu czworoboku przegubowego przy usloym położeiu człou pędzjącego ϕ co pokzo Rys.. Ką ϕ zjdziemy z rówi (P6.4). Orzymmy odpowiedio: ϕ (), ϕ( ). W celu wyzczei prędkości kąowej człoów i różiczkujemy pierwsze z rówń (P6.) i orzymujemy: l siϕ + ωl siϕ + ωl siϕ ω = (P6.) gdzie: d ϕ dϕ d, ϕ ω = ω =, ω =, d d d - pochode kąów, W celu wyzczei prędkości kąowej ω obrcmy ukłd współrzędych o ką ϕ. Rówie (P6.) przyjmie posć: l si( ϕ ϕ ) + ωl si( ϕ ϕ ) + ωl si( ϕ ϕ ) ω = (P6.) poiewż wyrżeie ω si( ϕ ϕ ) o orzymmy: l = ω ωl si( ϕ ϕ ) l si( ϕ ϕ ) = (P6.) Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.

13 Alogiczie obrcjąc ukłd współrzędych o ką ϕ mmy: l si( ϕ ϕ ) + ωl si( ϕ ϕ ) + ωl si( ϕ ϕ ) ω = (P6.) Poiewż si( ϕ ϕ ) o prędkość kąow człou : = ω l si( ϕ ϕ ) = ω l si( ϕ ϕ ) (P6.4) W celu obliczei przyspieszeń kąowych różiczkujemy rówie (P6.) ω l + εl siϕ + ω l + εl siϕ + ω l + εl siϕ = (P6.5) Przyspieszeie kąowe człou - ε orzymmy obrcjąc ukłd współrzędych o ką ϕ ε ω l cos( ϕ ϕ ) + εl si( ϕ ϕ ) + ω l + ω l cos( ϕ ϕ ) = l si( ϕ ϕ ) (P6.6) Przyspieszeie kąowe człou - ε orzymmy obrcjąc ukłd współrzędych o ką ϕ ε ω l cos( ϕ ϕ ) + εl si( ϕ ϕ ) + ω l cos( ϕ ϕ ) + ω l = l si( ϕ ϕ ) (P6.7) Rówi (P6.5), (P6.6) i (P6.7) ulegą uproszczeiu jeżeli prędkość kąow ω cos, wówczs przyspieszeie ε. = = Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr.

14 Wspomgie kompuerowe lizy kiemyczej mechizmów Progrmy:. Aliz kiemycz mechizmów AKM WIN,5 (glxy.uci.gh.edu.pl\~kmmip). Simulio d Alysis of Mechisms SAM 4. ( Workig Model AKM WIN,5: liz kiemyczą płskich mechizmów dźwigiowych i krzywkowych SAM: Aliz kiemycz i kieosycz (siłow) mechizmów płskich Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 4

15 ZADANIA DO ROZWIĄZANIA NA ĆWICZENIACH Mechizm moż rówież zmodelowć w progrmie SAM Oprcowli: J. Felis, H. Jworowski sr. 5