WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

Transkrypt

1 Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x, x,, x n.. mx m x mn xn bm Mcierzą ukłdu równń nzywmy tbelę, w której wpisne są współczynniki ukłdu równń = m m n n mn Mcierzą wyrzów wolnych ukłdu równń nzywmy tbelę postci b = b b m Mcierzą rozwiązń ukłdu równń nzywmy tbelę X w postci x X = x x n Ukłd równń liniowych w postci mcierzowej X = Przykld x y z x y z x y z /9

2 Mtemtyk I =, =, X = x y. z x y z = X = Mcierzą liczbową rzeczywistą lub zespoloną) o wymirze m x n nzywmy funkcję odwzorowującą iloczyn krtezjński,.,m),, n) w zbiór K, liczb rzeczywistych gdy K = R; lub liczb zespolonych, wtedy K = C), co zpisujemy i, k),, m),, n), i, k) ik K lub też = m m n n mn i tym wierszem mcierzy nzywmy tki ciąg jej elementów jest jedną z liczb,,, m.,, i, i, i in, w którym i k tą kolumną mcierzy nzywmy tki ciąg jej elementów jedną z liczb,,,n.,, k, k nk, w którym k jest Wymir mcierzy pr uporządkown mn, gdzie: m - ilość wierszy mcierzy n - ilość kolumn mcierzy /9

3 Mtemtyk I Mcierz kwdrtow stopni n mcierz o wymirze nn. Mcierz kolumnow mcierz jednokolumnow) mcierz o wymirze m. Mcierz wierszow mcierz jednowierszow) mcierz o wymirze n. Mcierz jednostkow wymiru n I n Mcierz kolumnow o wymirze Mcierz wierszow o wymirze [ 7 ] Mcierz o wymirze Mcierze i nzywmy równymi, co zpisujemy =, jeżeli mją ten sm wymir mn i jeżeli b dl i =,, m orz k =,, n. ik ik /9

4 Mtemtyk I /9, = z y x, = x = -, y =, z = Mcierzą zerową, oznczoną symbolem, nzywmy kżdą mcierz, której wszystkie elementy są zermi. Mcierzą digonlną nzywmy mcierz, któr m wszystkie elementy, poz tymi które znjdują się n przekątnej, równe. DODWNIE MCIERZY Sumą mcierzy i b wymiru mn, nzywmy mcierz C = c wymiru mn tką, że n j m i b c,, ; = = 9 7 )

5 Mtemtyk I MNOŻENIE MCIERZY PRZEZ LICZĘ Dl mcierzy i liczby rzeczywistej c, c. Mnożąc mcierz przez liczbę c, mnożymy kżdy wyrz mcierzy przez c. c Ukłd równń liniowych nn możemy zpisć w postci x x n xn n nn n b bn MNOŻENIE MCIERZY x y z Jeżeli = jest mcierzą wymiru mp orz = b jest mcierzą wymiru pn to iloczynem mcierzy i nzwiemy mcierz C=c jk wymiru mn określoną jko c b b b, gdzie i m, j n i j i j ip pj p inczej = b jk j mn Prktyczny sposób mnożeni mcierzy Wybiermy i - ty rząd mcierzy tzn.,,, ) orz j - tą kolumnę mcierzy tzn. b b,, b ). j, j pj i i ip Mnożymy kolejno odpowiednie wyrzy wybrnego wiersz i wybrnej kolumny przez siebie i otrzymne iloczyny dodjemy. Otrzymujemy wyrz c mcierzy C. /9

6 Mtemtyk I /9 Wżne! mnożenie mcierzy w ogólnym przypdku nie jest przemienne nie zwsze możn pomnożyć dwie mcierze =, = = = = 9 ) ) 7 ) 9 ) ) 7 ) = WŁSNOŚCI DZIŁŃ N MCIERZCH wierdzenie Dziłni dodwni i mnożeni mcierzy mją nstępujące włsności: i) + =+ przemienność dodwni) ii) +)+C=++C) łączność dodwni) iii) + = + gdzie = iv) C) = ) C łączność mnożeni)

7 Mtemtyk I v) vi) + C) = + C + ) C = C + C vii) Dl = nn i I = d nn i j gdzie d i j mmy: I = = I Dowód: Włsności i)-vii) wynikją z definicji dziłń n mcierzch. Jeżeli = jest mcierzą wymiru mn, wtedy mcierz wymiru nm, oznczoną przez. gdzie, i m, j n, nzywmy mcierzą trnsponowną do mcierzy ji wierdzenie Dl mcierzy i zchodzi Mcierz symetryczn 7/9

8 Mtemtyk I /9 Mcierz symetryczn Odejmowniem mcierzy nzywmy dziłnie odwrotne do dodwni, tzn.: mxn ik mxn b ik mxn ik b ik wierdzenie Niech ozncz mcierz przeciwną do mcierzy. Dl dowolnych mcierzy i zchodzą nstępujące związki ) ) ) ) ) Szczególne mcierze kwdrtowe n ik Mcierz symetryczn Mcierz skośnie symetryczn ntysymetryczn)

9 Mtemtyk I 9/9 Mcierz digonln przekątn) mcierz kwdrtow, której wszystkie elementy poz przekątną są równe, tzn. dl której ik dl k i Mcierz sklrn mcierz sklrn o równych elementch n przekątnej Mcierz jednostkow mcierz sklrn o jedynkch n głównej przekątnej