Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)
|
|
- Magda Bednarek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych. etody itercye podą oszcowie poszukiwego rozwiązi z pewym przybliżeiem. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
2 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych Przykłd 6.. Rozwiązć ukłd czterech rówń liiowych z czterem iewidomymi: y z 6y 0z 0 y 8z 8. Rozwiązie Krok : y z y z 8y 9z. Krok : y z y z z. Krok : y z y z z. y y ( ) ( ) z. y y z. y y z () () y y y. z. z. z. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
3 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych Te sposób postępowi zywy est metodą elimici Guss. Wykorzystuemy włściwość rówń liiowych zgodie z którą kombic liiow dwóch rówń posid tkie smo rozwiązie k rówi wyściowe. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
4 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etod elimici Guss Sposób postępowi:. : : : b b b K K K (6.) b A (6.) gdzie: K O K K A (6.) ( T K ) ) (6.) ( T b b b K b. (6.5) riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
5 etody Numerycze i Progrmowie Stro 5 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (5) etod elimici Guss Ze względów formlych mcierz A łączy się z wektorem b otrzymuąc mcierz: [ ] ~ K O K K b A A. (6.6) Zkłdmy że 0 i dl kżdego i... przeprowdzmy opercę elimici: ( ) i i i (6.7) mące celu wyelimiowie współczyików i występuących przy wyrzie w kżdym z wierszy mcierzy A czyli z kżdego z rówń ~ K O K K A. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
6 etody Numerycze i Progrmowie Stro 6 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (6) etod elimici Guss Zkłdmy że 0 i dl kżdego i... przeprowdzmy opercę elimici: i (6.7) i ( ) i mące celu wyelimiowie współczyików i występuących przy wyrzie w kżdym z wierszy mcierzy A czyli z kżdego z rówń.... K ~ 0 K A. O 0 0 K riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
7 etody Numerycze i Progrmowie Stro 7 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (7) etod elimici Guss W te sposób elimiuemy w koleych wierszch z koleych kolum... - współczyiki występuące przy zmiee : i i i (6.8) ( ) dl kżdego i... zkłdąc kżdorzowo że 0. W efekcie uzyskmy mcierz trókątą górą: K 0 K A ~ 0 K. (6.9) O O 0 0 K 0 UWAGA: lemety digoli główe muszą być róże od zer! riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
8 etody Numerycze i Progrmowie Stro 8 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (8) etod elimici Guss cierz t przedstwi liiowy ukłd rówń postci:. : : : O K K (6.0) Te ukłd rówń rozwiązuemy metodą koleych podstwień:. Rozwiązuemy te rówie uzyskuąc: (6.). Podstwimy do rówi obliczoe i rozwiązuemy e względem - otrzymuąc: (6.). Te proces obliczeiowy kotyuuemy dl koleych rówń i... otrzymuąc: ii i i i ii i i i i i i i K (6.) riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
9 etody Numerycze i Progrmowie Stro 9 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (9) etod elimici Guss Przykłd 6.. Stosuąc metodę elimici Guss rozwiązć ukłd rówń:. 0 8 : : : : Rozwiązie cierz rozszerzo dl powyższego ukłdu rówń liiowych: () ~ ~ A A. Przeprowdząc koleo operce: orz elimiuemy elemety pierwsze kolumy otrzymuąc: ( ) ( ) ) ) ( ) ( ( ) ( ( ) ~ A. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
10 etody Numerycze i Progrmowie Stro 0 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (0) etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. Przeprowdzmy opercę ( ) ( ) otrzymuąc ową mcierz: 8 ~ ( ) ( ) ~ 0 6 A A Wykouąc opercę ( ) ( ) otrzymmy mcierz trókątą postci: 8 ~ ( ) 0 6 A Nleży terz przez kolee podstwiei obliczyć iewidome: ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 8 7. Tki sposób postępowi zyw się: metod elimici Guss z wyborem elemetu główego riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
11 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etod elimici Guss Przykłd 6.. ) y 6 ± 0. 5y 9 ± 0.. b) 5y 9 ± 0. y 6 ± 0.. Rozwiązie dokłde dl ieobciążoego błędmi ukłdu rówń wyosi y. Obliczei przeprowdzić w czterocyfrowe rytmetyce mszyowe. Rozwiązie Ad ) 5 y () y () y Rysuek 6.. Iterpretc geometrycz rozwiązi ie zburzoego ukłdu rówń z przykłdu 6.. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
12 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. Zburzoy ukłd rówń rozptruemy ko cztery ukłdy rówń: y y y y y y y y Kżde z tych ukłdów rówń geerue edo rozwiązie:.076 y y y y.908. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
13 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. 5 y () y () y Rysuek 6.. Iterpretc geometrycz rozwiązi wyściowego zburzoego ukłdu rówń z przykłdu 6. potrktowych ko cztery iezleże rówi.. Pole powierzchi rówoległoboku Poszukiwe rozwiązie wyściowego zburzoego ukłdu rówń zdue się wewątrz rówoległoboku którego wierzchołkmi są rozwiązi powyższych czterech ukłdów rówń liiowych: riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
14 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. Formlie stosuąc metodę elimici Guss wyściowy ukłd rówń y 6 ± 0. 5y 9 ± 0.. przeksztłcmy do ukłdu rówń z trókątą mcierzą współczyików postci: y 6 ± y 0.5 ± 0.5. Jko rozwiązie drugiego z tych rówń otrzymuemy y ± Podstwiąc to rozwiązie do rówi pierwszego:.076 y y y y.908. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
15 etody Numerycze i Progrmowie Stro 5 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (5) etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. 5 y () y () y Rysuek 6.. Iterpretc geometrycz rozwiązi zburzoego ukłdu rówń z przykłdu 6. po przeprowdzeiu elimici Guss. Pole powierzchi rówoległoboku riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
16 etody Numerycze i Progrmowie Stro 6 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (6) etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. Ad b) 5y 9 ± 0. y 6 ± 0.. y 5 y () y () Rysuek 6.. Iterpretc geometrycz rozwiązi ie zburzoego ukłdu rówń z przykłdu 6.. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
17 etody Numerycze i Progrmowie Stro 7 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (7) etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. Stosuąc metodę elimici Guss otrzymuemy ukłd rówń o mcierzy trókąte: 5y 9 ± 0. y ±. Rozwiązuąc drugie z tych rówń otrzymuemy że y ± (idetyczie k w przykłdzie ). Podstwiąc to rozwiązie do rówi pierwszego otrzymmy cztery róże rozwiązi wyzczące wierzchołki rówoległoboku:.076 y y y y.908. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
18 etody Numerycze i Progrmowie Stro 8 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (8) etod elimici Guss Przykłd 6.. cd. y 5 5 y () y () Rysuek 6.. Iterpretc geometrycz rozwiązi zburzoego ukłdu rówń z przykłdu 6.b po przeprowdzeiu elimici Guss. Pole powierzchi rówoległoboku 0.5. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
19 etody Numerycze i Progrmowie Stro 9 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (9) etod elimici Guss Przykłd 6.5. ). 6 5 b). Rozwiązie Stosuąc metodę elimici Guss po pierwszym kroku otrzymue się: ). b). W rytmetyce dokłde ko rozwiązie pierwszego ukłdu rówń otrzymmy tomist ko rozwiązie drugiego ukłdu rówń otrzymmy orz 0. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
20 etody Numerycze i Progrmowie Stro 0 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (0) etod elimici Guss UWAGI:. Do elimici zmieych z koleych rówń leży zwsze brć to rówie w którym przy elimiowe zmiee est większy współczyik.. etod elimici Guss prcue poprwie w tych przypdkch gdy elemety digoli główe mcierzy współczyików A są silie domiuące to zczy gdy ii > i i. Gdy rozwiązie ukłdu rówń est czułe iewielkie zburzei współczyików to mówimy o zdiu umeryczie źle uwrukowym. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
21 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () Psmowe ukłdy rówń liiowych Psmowe ukłdy rówń liiowych: Chrkteryzuą się tym że mcierz współczyików est mcierzą psmową częście tródigolą lub pięciodigolą. Przykłd 6.6. Stosuąc metodę elimici Guss rozwiązć stępuący ukłd czterech rówń liiowych:. 0 0 Rozwiązie: Kolee kroki elimici wykouemy w te sposób by współczyik występuący digoli główe był rówy ede Używąc pierwszego rówi elimiuemy z rówi drugiego zmieą :. 0 riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
22 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () Psmowe ukłdy rówń liiowych Przykłd 6.6. cd. Dokouemy trsformci drugiego rówi otrzymuąc:. 0 limiuemy z rówi trzeciego zmieą otrzymuąc:. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
23 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () Psmowe ukłdy rówń liiowych Przykłd 6.6. cd. odyfikuemy rówie trzecie:. limiuemy zmieą z rówi czwrtego:. 5 5 riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
24 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () Psmowe ukłdy rówń liiowych Przykłd 6.6. cd. Przeprowdzmy trsformcę osttiego czwrtego rówi:. Stosuąc kolee podstwiei obliczmy:. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
25 etody Numerycze i Progrmowie Stro 5 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (5) Psmowe ukłdy rówń liiowych lgorytm Thoms. r d b r d b r d b r d b r d L (6.7) Przeksztłcmy pierwsze rówie:. d r r d (6.8) Kolee rówi... -:. dl t r b r r t b d t K (6.9) Ostie rówie :. b d r b r r (6.0) Rozwiązie uzyskuemy w ciągu obliczeń:. dl K r r (6.) riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
26 etody Numerycze i Progrmowie Stro 6 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (6) etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych Dy est ukłdów rówń liiowych w postci mcierzowe: A b (6.) Przeprowdzmy trsformcę tego ukłdu rówń do ukłdu rówowżego: ( k ) ( k ) C d k L. (6.) Wychodząc z początkowego przybliżei (0) geeruemy kolee przybliżei: () ().... etody tkie zkwlifikowć moż do wcześie omwie metody iterci proste zstosowe do rozwiązywi rówń ieliiowych. Kryterium przerwi obliczeń: ( k ) ( k ) ( k ) ε (6.5) gdzie ε est pewą młą liczbą będącą dokłdością obliczeń. Ze metody: Jcobiego Guss Seidler orz SOR (g. successive overreltio). riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
27 etody Numerycze i Progrmowie Stro 7 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (7) etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego Przykłd 6.7. : 0 : : : ( ) T Jko pukt strtowy przyąć 0 ( ). Rozwiązie dokłde ( ) T Rozwiązie. Ukłd rówń A b przeksztłcmy do postci C d riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
28 etody Numerycze i Progrmowie Stro 8 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (8) etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego Przykłd 6.7. cd. Korzystąc z puktu strtowego obliczmy pierwsze przybliżeie rozwiązi: () ( 0) ( 0) 5 0 () ( 0) ( 0) ( 0) () ( 0) ( 0) ( 0) 8 () ( 0) ( 0) Tbel 6.. Kolee przybliżei rozwiązywego metodą itercyą w przykłdzie 6.7 ukłdu rówń. k ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
29 etody Numerycze i Progrmowie Stro 9 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (9) etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego Przykłd 6.7. cd. Kryterium przerwi obliczeń: dl 0 te iterci otrzymmy: ( 0) ( 9) ( 0) < 0. Porówuą uzyske rozwiązie z rozwiąziem dokłdym otrzymmy: ( 0) riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
30 etody Numerycze i Progrmowie Stro 0 z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych (0) etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego. Zkłdmy że ii 0.. Rozwiązuemy kżde z i rówń wyściowego ukłdu A b ze względu zmieą i i bi. Otrzymuemy ukłd rówń w postci: i dl i K ii ii i. Geeruemy kolee przybliżei i (k) ( ) k i ( k ) bi i dl i K ii ii i stosuąc rówie: riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
31 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego Przykłd 6.8. y 6 y 6. Jko wrtości strtowe przyąć ( 0). T Rozwiązie y y. Pierwsze przybliżeie poszukiwego rozwiązi wyosi: y y () ( 0) () ( 0). Drugie przybliżeie: y y ( ) () ( ) () Trzecie przybliżeie: y y ( ) ( ) ( ) ( ) riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
32 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etod Jcobiego Przykłd 6.8. cd 5 y () y y () y (0) (0) () () () Rysuek 6.5. Iterpretc geometrycz koleych rozwiązń uzyskych metodą Jcobiego. Rozwiązie ukłdu rówń z przykłdu 6.8. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
33 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody Guss Seidel Przykłd 6.0. Korzystąc z metody Guss Seidel rozwiązć ukłd rówń z przykłdu : 0 : 5 : 6 0 : Rozwiązie ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k k k k k k k k riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
34 etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody itercye rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody Guss Seidel Przykłd 6.0. cd Tbel 6.. Kolee przybliżei rozwiązywego metodą itercyą Guss - Seidel ukłdu rówń z przykłdu 6.8. k 0 5 ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) Jko kryterium przerwi obliczeń wykorzystuemy rówie (6.5). Dl 5 te iterci otrzymmy: ( 5) ( ) ( 5) co przy zstosowe dokłdości obliczeń est kceptowlą dokłdością. riusz B. Bogcki Stro Zkłd Iżyierii Procesowe Wydził Techologii Chemicze PP
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.
ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Bardziej szczegółowoProgramowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.
Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,
Bardziej szczegółowoMATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Bardziej szczegółowo[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ
I UKŁAD RÓNAŃ Defiicj Ukłd rówń liiowych z iewidoyi,,., : Defiicj Postć cierzow ukłdu rówń: A, lu krócej A, gdzie: A,,. Mcierz A zywy cierzą ukłdu rówń, wektor zywy wektore wyrzów wolych (koluą wyrzów
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowoMetoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Bardziej szczegółowo- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Bardziej szczegółowoNiech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej
Rozwiązywie ułdów rówń liiowych Metod elimicji Guss 2 Postwieie zgdiei Niech dy będzie ułd rówń postci b x x x b x x x b x x x 2 2 2 2 2 22 2 2 2 Powyższy ułd rówń liiowych z iewidomymi moż zpisć w postci
Bardziej szczegółowoMacierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Bardziej szczegółowo4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.
4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj
Bardziej szczegółowo1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wykład nr 3. dr hab. Piotr Fronczak
Metody erycze Wykłd r dr h. Piotr Froczk Pojęci podstwowe Rozwiązywie kłdów gericzych rówń iiowych. Ukłd gericzych rówń iiowych Ukłd iiowy rówń z iewidoyi postci + + = + + = + + = Postć cierzow A = . Mcierz
Bardziej szczegółowoGENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
Bardziej szczegółowo6. Układy równań liniowych
6. Ukłdy rówń liiowych 6. Podstwowe określei Defiicj 6.. (ukłd rówń liiowych rozwiązie ukłdu rówń) Ukłde rówń liiowych z iewidoyi gdzie N zywy ukłd rówń postci:...... (6..) O... gdzie ij R to tzw. współczyiki
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Bardziej szczegółowoALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.
AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
Bardziej szczegółowoWykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
Bardziej szczegółowoGłówka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.
Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
Bardziej szczegółowo5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Koputerowe wspogie decyzi 008/009 Liiowe zgdiei decyzye Nottki do tetu Metody poszukiwi rozwiązń edokryterilych probleów decyzyych etody dl zgdień liiowego progrowi tetyczego Liiowe zgdiei decyzye część
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoELEMENTÓW PRĘTOWYCH. Rys.D3.1
DODATEK N. SZTYWNOŚĆ PZY SKĘANIU ELEMENTÓW PĘTOWYH Zgdieie skręci prętów m duże zczeie prktycze. Wyzczeie sztywości pręt przy skręciu jest iezęde do określei skłdowych mcierzy sztywości prętów rmy przestrzeej
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1
METODY NUMERYCZNE Wykłd 5. Cłkowie umeryze dr. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Met.Numer. wykłd 5 Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rirdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss
Bardziej szczegółowoStruna nieograniczona
Rówie sry Rówie okreś rch sry sprężysej kórą ie dziłją siły zewęrze Sł okreśo jes przez włsości izycze sry Zkłdmy że w położei rówowgi sr pokryw się z pewym przedziłem osi OX Fkcj okreś wychyeie z położei
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowo3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych
Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Wprowdzenie Przypomnimy podstwowe zleżności związne z zstosowniem metody nmnieszych kwdrtów do proksymci fnkci dyskretne Podstwowe równnie m nstępącą postć: +
Bardziej szczegółowoi interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,
Bardziej szczegółowoTechnika Obliczeniowa i Symulacyjna - wykład
Techik Obiczeiow i Symcyj - wykłd kierek EiT, sem., stdi pierwszego stopi, r. k. 8/9 Krt przedmiot Prowdzący wykłd część : Metody merycze Prowdzący: dr iż. Brbr Stwrz-Grczyk Pokój: 449 EA E-mi: bstwrz@eti.pg.ed.p
Bardziej szczegółowo5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowo1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania
Kryterium stbilości Stbilość liiowych ukłdów sterowi Ukłd zmkięty liiowy i stcjory opisy rówiem () jest stbily, jeŝeli dl skończoej wrtości zkłócei przy dowolych wrtościch początkowych jego odpowiedź ustlo
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH
METODY NUMERYCZNE Wykłd. Cłkowie umeryze dr h. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rihrdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss Cłkowie umeryze -
Bardziej szczegółowo7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki w klasie II LO
Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi
Bardziej szczegółowoMATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoa a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n
CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowon 3 dla n = 1,2,3,... Podać oszacowania
Zestw r : Ciągi liczbowe włsości i gric.. Niech dl =.... Sprwdzić cz jest ciągiem mootoiczm rtmetczm... Sprwdzić cz stępując ciąg jest ciągiem geometrczm. Wpisć pierwszch pięć wrzów ciągu stępie dl ciągu
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoDowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01
WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r
Bardziej szczegółowoALGORYTMY PRZELICZANIA WSPÓŁRZĘDNYCH KARTEZJAŃSKICH NA GEODEZYJNE
Mteriły dydktyce eodej geometryc Mrci Ligs, Ktedr eomtyki, Wydił eodeji óricej i Iżyierii Środowisk ALORYMY PRZELICZANIA WSPÓŁRZĘDNYCH KAREZJAŃSKICH NA EODEZYJNE Predstwioe poiżej metody trsformcji ostą
Bardziej szczegółowoRozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.
Wyzczie prędkości i przyspieszeń cił w ruchu posępowym, obroowym i płskim orz chwilowych środków obrou w ruchu płskim. Ruch korbowodu część II Zdie.. Prę o długości L ślizg się jedym końcem (puk po podłodze,
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab
Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Bardziej szczegółowo3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są
Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości
Bardziej szczegółowoCollegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Rchuek prwdopodobieństw MA5 Wydził Elektroiki, rok kd. 20/2, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 7: Zmiee losowe dwuwymirowe. Rozkłdy łącze, brzegowe. Niezleżość zmieych losowych. Momety. Współczyik
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Bardziej szczegółowoBadanie regularności w słowach
Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,
Bardziej szczegółowoModele linii elektroenergetycznych
Pls p. z o.o. emil:pls@pls.com.pl tel. 6 59 76 eri: Wykłdy ystemy elektroeergetycze Wykłd Autor: dr iż. igiew du dr iż. Krzysztof Księżyk mgr iż. Tomsz du Wrszw, 9 pis treści....4.. mpedcje wzdłuże liii...
Bardziej szczegółowoMetoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoAnaliza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski
Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A i III B Liceum Plastycznego 2019/2020
Wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie III A i III B Liceum Plstyczego 019/00 Zkres rozszerzoy Kryteri Zjomość pojęć, defiicji, włsości orz wzorów objętych progrmem uczi. Umiejętość zstosowi wiedzy teoretyczej
Bardziej szczegółowoWykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne
Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoPODEJMOWANIE OPTYMALNYCH DECYZJI PRODUKCYJNYCH W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI. E. ZIÓŁKOWSKI 1 Wydział Odlewnictwa AGH, ul. Reymonta 23, Kraków
5/ Archives o Foudry Yer 6 Volume 6 Archiwum Odlewictw Rok 6 Roczik 6 Nr PAN Ktowice PL ISSN 6-58 PODEJMOWANIE OPTYMALNYCH DECYZJI PRODUKCYJNYCH W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI E. ZIÓŁKOWSKI Wydził Odlewictw AGH
Bardziej szczegółowocz. 2 dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykłd 11: Elektrosttyk cz. 2 dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://lyer.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Pole elektryczne przewodnik N powierzchni metlicznej (przewodzącej) cły łdunek gromdzi się n
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. 1. Numeryczna reprezentacja liczb w maszynie cyfrowej
3-59 Krów, Al. Miciewicz 3 http://home.gh.edu.pl/~horzy pw. H6/35, C3/4 tel.: -67-439, 394 e-mil: horzy@gh.edu.pl Metody umerycze Litertur:. Z. Fortu, B. Mcuow, J. Wąsowsi, Metody umerycze, WNT, Wrszw,
Bardziej szczegółowoWartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone i wielomiany
/5 Liczby zespoloe i wielomiy Rówie x ie m rozwiązi w zbiorze liczb rzeczywistych. Tk więc ie kżdy wielomi o współczyikch leżących do posid miejsce zerowe (zwe iczej pierwistkiem) w tym zbiorze. Okzuje
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk rtości i ektory łse ektorem łsym mcierzy A [ ] zymy kżdy iezeroy ektor V, który zchoue kieruek po ykoiu
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia
1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze 1 + + 3 = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej
Bardziej szczegółowoWykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.
Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnik Gdńsk Wydził Elektrotechniki i Automtyki Ktedr Inżynierii Systemów Sterowni Teori sterowni Sterowlność i obserwowlność liniowych ukłdów sterowni Zdni do ćwiczeń lbortoryjnych termin T Oprcownie:
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoWYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Bardziej szczegółowoW praktycznym doświadczalnictwie, a w szczególności w doświadczalnictwie polowym, potwierdzono występowanie zależności pomiędzy wzrastającą liczbą
W prktyczym doświdczlictwi, w zczgólości w doświdczlictwi polowym, potwirdzoo wytępowi zlżości pomiędzy wzrtjącą liczą oiktów doświdczlych w lokch, wzrotm orwowgo łędu ytmtyczgo. Podcz plowi doświdczń
Bardziej szczegółowo