Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Transkrypt

1 Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd Zd Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% , , $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1 otrzymujemy & 2 2' &2 2' Jeżeli jednk chcielibyśmy to rozwiązć to okzuje się że npotykmy n spore problemy & 2 2' &2 2' możn podzielić przez & 2 2' 1 & 1 2 2' Tu okzuje się że ) i tu ciężko to obliczyć. Fktem jest że &22 2' czyli ) tk więc $ * Są jeszcze wzory Viete i one nprowdziłyby szybciej do rozwiązni. &, ' 1 orz *,,&, ', 12 2 o $ * $ - czyli $ 2 2 $ $ $ 1 2 $ z tych zleżności łtwo wywnioskowć że $ Zd >0 1>0 dl kżdego 0 wystrczy rozwiązć 2 > 0 > 2 < 2 liczb 3 nie spełni tego wrunku Zd Zd $ równnie 0 nie m rozwiązń Zd miejsce zerowe % * &,$',$ 3 1 Zd 10. Znjąc włsność funkcji kwdrtowej 6 8 9: mówiącą że wykres kżdej tkiej funkcji przecin oś Y w punkcie (0; c) oczywistym jest że c 3 co widć z wykresu. Nie wiem po co w zdniu jest podne wiele dnych nie koniecznych do podni odpowiedzi. Dne te byłyby niezbędne gdyby zdnie pytło o pełny wzór tej funkcji. Zd 11. Dl funkcji wykłdniczej 6 8 ; definicj mówi 8 > Wiemy też że dl 8 > 1 funkcj jest rosnąc co widć n tym wykresie orz mmy 2 $ 2. Zd $ stąd > 8 8 $ ? 8 1> @ 671 6@ $ 71 ()

2 Zd 13. iąg geometryczny 2; 6; 8 1 D E F $ 8 8 D 6 $ 1, ,5 8 2,5 Zd 1. G sin50 z fktu że sinl cos90 L mmy G cos0 Zd o () α O Trójkąt O jest równormienny O O więc OPQ 56 PQR L Zd D 2 Z uwgi n to że odcinki i DE są równoległe więc trójkąty i ED są podobne więc odpowiednie odcinki są proporcjonlne. Mmy ST SV $ $% 20 () TU VW ; Zd E 2 30 o ] Już uczeń gimnzjum bądź klsy VIII wie że w trójkącie prostokątnym z kątem ostrym 30 o długości boków się ksztłtują tk jk n rysunku. zyli obwód wynosi &3 3' N poziomie LO nleży skorzystć z fktu sin30 $ orz cos30 Zd 18. tnl Z ; () Zd 19. [ $ - jej współczynnik kierunkowy 8 $ $ P 2; to prostopdł do niej m współczynnik kierunkowy 8 bo 8 $ 8 1 Stąd prost prostopdłą do niej m wzór [ 9 i wstwijąc do wzoru punkt P 2; otrzymujemy 29 stąd zyli wzór funkcji o wykresie prostopdłym to [ 12 Zd 20. \ 2; 3 r 5 wstwijąc do równni okręgu 8 [ 9 > dne z zdni mmy 2 [ 3 5 czyli 2 [ 3 25 łtwo zuwżyć że punkt P 1; 7

3 spełni wrunki zdni czyli 3 25 Zd Pole powierzchni cłkowitej to pole dwóch kwdrtowych podstw i czterech ścin bocznych Zd 22. O S Trójkąt SO jest równormienny prostokątny czyli pytnie jest o sin5 Zd 23. () 12 r 6 ^ $ _> h $ _6 _ 12 _ 8_ Zd 2.,,,,;,$,$,$ 11,; Zd 25. Liczby są od 1 do 2 czyli Ωb 2 Dzielniki liczby 2 to c1; 2; 3; ; 6; 8;12; 2d czyli P 8 f P $ () Zdni otwrte Zd pierwistki równni $ 0 9 Dl wykresu z głęzimi do góry, wrtości 0 są między pierwistkmi czyli Odpowiedź: 0; 9 Zd 27. %$ %$ %$ %% %$ % $ %$ 1166 %$ 85 %$ 17 5 czyli przy podzieleniu przez 17 otrzymmy %$ 5 Zd 28. P α R β

4 Odcinek R (promień okręgu) prostopdły do prostej. OR0 90 i. Trójkąt R równormienny R R więc RO0 90 i terz z kątów przyległych przy punkcie mmy for 180 RO i90 i. Oczywiście kąt przy wierzchołku w czworokącie P jest prosty jko kąt promieni ze styczną. Terz dl czworokąt P mmy 90 i90 il 360 sum kątów w czworokącie 180 2iL 360 L i L 180 2i Zd : D 6 njwiększ wrtość Zd 30. c 26; x; b x 1 trójkąt prostokątny więc 8 9 : czyli : $ * $ 2 *, $, % 10 Rozwiąznie $ 2 nie spełni wrunków zdni bo nie m odcinków o długości ujemnej. Dl x 10 mmy: 10; b c 26. Obwód b c Zd $ 8; \ 33 ciąg rytmetyczny \ 8 $ $ 8 $ >8 $ 2> 38 $ 3> 38 $ 3> 33 8 $ > 11 > 11 8 > 3 8 $ 8 $ 8 $ 15> 8 $ 12> 8 $ 15> 8 $ 12> 3> Zd 32. P ; 0 j 2; 9 prost k [ 210 M(2; 9) ( o ; p pq) p k (-; 0) (5; 0) by wyznczyć punkt trzeb obliczyć miejsce zerowe podnej funkcji czyli rozwiązć równnie : 2 5 (5; 0) Terz wyznczymy równnie prostej n której leży punkt czyli równnie prostej M współczynnik kierunkowy 8 Z EZ F % 1,5 [ 1,59 wstwimy terz dny punkt ; E ; F j 2; 9 91, Otrzymliśmy wzór prostej M [ 1,56. Terz by obliczyć współrzędne punktu trzeb rozwiązć ukłd równń m [ 1,56 [ 210 n 1, , ,5, 1$

5 [ 1,5 $ 6 67 O 1 $ ; 7 Podstw 5 ( ) 9 Pole trójkąt f $ 9 7 $ 3 Zd 33. Wszystkie liczby dwucyfrowe to od 10 do Ωb 90 Liczby podzielne przez 3 mniejsze od 0 to P c12;15;18;21;2;27;30;33;36;39d P 10 f P $% $ % Zd h r - wysokość ściny bocznej f * $ pole powierzchni bocznej f * 3 $ 8 h r $ $ 8 8 $ 8 Fs t Fs 8 $ $ 8 2 Potrzebn jest nm wysokość ostrosłup (H), by ją policzyć trzeb wcześniej policzyć wysokość w podstwie i z trójkąt: wysokość H, wysokość ściny h s orz $ h u wyliczymy potrzebną wysokość. h u 3 $ h u $ 3 Terz z Twierdzeni Pitgors mmy: v $ h u h r v 5 3 v $ v w % % % $ v $ $ $ % $ $ $ Obliczmy objętość ostrosłup ^ $ f u v $ $ 8 h u v $ $ 2 3 % % % $ h s 2 H h s x ] y z