Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Transkrypt

1 kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej złożone wyrżeni mtemtyczne. Zzwyczj notcj mcierzow umożliwi łtwiejsze posługiwnie się ziorem równń. W celu wprowdzeni notcji mcierzowej, rozwżmy nstępujący ziór n równń lgericznych: n n + + n n nn n n n = y = y = y Równni te możn zpisć w postci równni mcierzowego n n n n lu w nstępującej formie uproszczonej y nn y = y n yn n Symole, orz y są mcierzmi zwierjącymi współczynniki i zmienne zioru pojedynczych równń (). W równniu () iloczyn mcierzy orz jest równy y. Te trzy mcierze zdefiniowne są nstępująco: n n n n nn () () () (4) = n (5) Osttni ktulizcj: 4--7 M. Tomer

2 Teori sterowni lger mcierzow y y y = y n (6).. DEFINICJE MCIERZY Mcierz jest ziorem (kolekcją) elementów uporządkownych w tlicę prostokątną lu kwdrtową. Nwisy kwdrtowe, tkie jk te z równń (), (4), (5), (6) używne są do oznczni mcierzy. Wżne jest rozróżnienie pomiędzy mcierzą i wyzncznikiem. Poniżej zerne zostły podstwowe włsności mcierzy i wyzncznik. MCIERZ Tlic pewnej liczy elementów zwrtych w n wierszch i m kolumnch Nie posid pojedynczej wrtości, nwet gdy jest kwdrtow. WYZNCZNIK Tlic pewnej liczy elementów zwrtych w n wierszch i n kolumnch (zwsze kwdrtow) M pojedynczą wrtość. Elementy mcierzy. Kiedy mcierz zpisn jest nstępująco: ij jest elementem mcierzy w i tym wierszu i j tej kolumnie. Pierwszy indeks odnosi się do wiersz, drugi do kolumny. Rozmir mcierzy. Rozmir mcierzy odnosi się do cłkowitej liczy wierszy i kolumn. Dl przykłdu mcierz (7) m trzy wiersze i trzy kolumny i nzywn jest mcierzą (trzy n trzy). Mcierz z n wierszmi i m kolumnmi określn jest n m. Mcierz kwdrtow. Mcierz kwdrtow m tką smą liczę wierszy i kolumn. Mcierz kolumnow. Skłd się z jednej kolumny i więcej niż jednego wiersz i określn jest mcierzą n, n >. Brdzo często mcierz kolumnow nzywn jest wektorem kolumnowym. Mcierz wierszow. Posid jeden wiersz i więcej niż jedną kolumnę i jest mcierzą m >. Mcierz wierszow rdzo często nzywn jest wektorem wierszowym. Mcierz digonln. Jest mcierzą kwdrtową z elementmi ij =, dl wszystkich Przykłdmi mcierzy digonlnej są B = 4 (7) m, gdzie i j. Mcierz jednostkow. Mcierzą jednostkow jest mcierzą digonlną ze wszystkimi elementmi n i = j równymi. Mcierz jednostkow jest rdzo często oznczn jki I. głównej przekątnej ( ) I = (8) Osttni ktulizcj: 4--7 M. Tomer

3 Teori sterowni lger mcierzow Mcierz zerow. Jest mcierzą, której wszystkie elementy są równe zero. Mcierz symetryczn. Jest mcierzą symetryczną, której elementy spełniją nstępujący wrunek ij = ji dl wszystkich i orz j. Mcierz symetryczn m tką włsność, że jeśli wiersze zmienine są z kolumnmi to uzyskiwn jest tk sm mcierz. Dw przykłdy mcierzy symetrycznej B = 6 4 Wyzncznik mcierzy. Dl kżdej mcierzy kwdrtowej może yć zdefiniowny jej wyzncznik. Wyzncznik mcierzy kwdrtowej określny jest jko det = (9) = Dl przykłdu wyzncznikiem mcierzy (7) jest () Dopełnienie elementu wyzncznik. ij ędący dopełnieniem pewnego elementu ij wyzncznik n tego rzędu, jest wyzncznikiem uzysknym po wyeliminowniu wszystkich elementów i tego wiersz i j tej kolumny pomnożonym przez ( ) i+ j. Dl przykłdu dopełnienie elementu wyzncznik z równni () jest nstępujące + ( ) = () Ogólnie wrtość wyzncznik może zostć wyrżon w postci dopełnień. Przyjmijmy, że jest mcierzą n n, wówczs wyzncznik mcierzy może yć wyrżony w postci sumy iloczynów elementów pewnej kolumny lu wiersz i ich dopełnień. lu m det ij ij (i =, lu,, lu n) () j= n det ij ij (j =, lu,, lu m) () i= Przykłd Wrtość wyzncznik z równni () jest nstępując: det = + + = ( ) ( ) + ( ) (.) Mcierz osoliw. O mcierzy mówi się, że jest osoliw jeśli wrtość jego wyzncznik jest równ zero. Jeśli mcierz kwdrtow m niezerowy wyzncznik, wówczs nzywn jest mcierzą nieosoliwą. Kiedy mcierz jest osoliw, ozncz to, że nie wszystkie wiersze i kolumny są Osttni ktulizcj: 4--7 M. Tomer

4 Teori sterowni lger mcierzow niezleżne od sieie. Jeśli mcierz reprezentuje ziór równń lgericznych, to osoliwość mcierzy ozncz, że równni te nie są niezleżne od sieie. Przykłd Rozwżmy nstępujący ziór równń: = = = Trzecie równnie jest równe sumie dwóm pierwszym. Więc te trzy równni nie są niezleżne od sieie. W formie mcierzowej te równni mogą zostć zpisne nstępująco: gdzie = (.) (.) = (.) Wyzncznik mcierzy jest równy zero, więc mcierz jest mcierzą osoliwą. W tym przypdku wiersze mcierzy są zleżne. Mcierz trnsponown. Mcierz trnsponown definiown jest jko mcierz, któr uzyskn zostł przez zminę odpowidjących soie wierszy i kolumn w mcierzy. Przypuśćmy, że mcierz n m, wyrżon jest nstępująco: [ ij ] n, m (4) Trnspozycj mcierzy, oznczn jko T jest dn wzorem Mcierzy m rozmir T = trnspozycj mcierzy [ ij ] m, n n m, lecz rozmir mcierzy T jest m n. = (5) Przykłd Rozwżmy mcierz o rozmirze 5 Trnspozycj mcierzy jest uzyskiwn przez zminę wierszy i kolumn. T = 5 (.) (.) Osttni ktulizcj: 4--7 M. Tomer 4

5 Teori sterowni lger mcierzow Włsności trnsponowni mcierzy. ( T ) = (6). (k T ) = k T, gdzie k jest sklrem (7). ( + B) T = T + B T (8) 4. (B) T = T B T (9) Mcierz dopełnień. Przypuśćmy, że mcierz kwdrtow m rozmir n. Mcierz dopełnień mcierzy jest oznczn jko dj i definiown nstępująco: gdzie dj [ ij wyzncznik ] n, n ij ozncz dopełnienie elementu ij. (4) Przykłd 4 Rozwżmy mcierz o wymirch Dopełnienimi są =, mcierzy jest nstępując: = (4.) = orz =. Więc mcierz dopełnień T dj = = T (4.). LGEBR MCIERZOW.. RÓWNOŚĆ MCIERZY Dwie mcierze orz B są soie równe jeśli spełnione są nstępujące wrunki. Mją ten sm rozmir.. Odpowidjące soie elementy są soie równe; tzn. ij = ij dl kżdego i orz j () Przykłd 5 Mcierze i B są soie równe = B = ozncz to, że =, =, =, =. (5.) Osttni ktulizcj: 4--7 M. Tomer 5

6 Teori sterowni lger mcierzow.. DODWNIE I ODEJMOWNIE MCIERZY Dwie mcierze orz B mogą yć dodwnie lu odejmownie w formie ± B jeśli mją tki sm rozmir. gdzie [ ij ] ± [ ij ] = = [ cij ] n, m n, m n, m ± B = C c ij = ij ± ij dl wszystkich i orz j () Rozmir mcierzy pozostje ez zmin zrówno po dodwniu jk i odejmowniu. () Przykłd 6 Rozwżmy mcierze 4 B = (6.) które mją ten smej rozmir. Więc sum mcierzy i B + C = + B = = (6.). ŁĄCZNOŚĆ I PRZEMIENNOŚĆ DODWNI ( + B) + C = + ( B + C) + B + C = B + C + + C + B () (4).4. MNOŻENIE MCIERZY Mcierze i B mogą yć mnożone przez sieie do postci iloczynu B jeśli licz kolumn mcierzy jest równ liczie wierszy mcierzy B. Przyjmijmy Iloczyn mcierzy orz B [ ij ] [ ] n, p = ij q, m C = B = [ ij ] [ ] [ c ] n, p ij q, m ij n, m B (5) = (6) jest możliwy tylko wówczs gdy p = q. Mcierz C ędzie mił tką smą liczę wierszy jk mcierz i tką smą liczę kolumn jk mcierz B. Nleży pmiętć, że mcierze orz B mogą spełnić wrunki do wykonni iloczynu B, nie spełnić ich do iloczynu B poz wyjątkiem gdy n jest równe m. W przypdku mnożeni nie m przemienności, zzwyczj B B. Kiedy mcierze ( n p ) orz B ( p m ) spełniją wrunki do wykonni iloczynu C = B, wówczs ij ty element mcierzy C, p [ cij ] = k= ik kj, dl i =,,, n orz j =,,, m (7) Osttni ktulizcj: 4--7 M. Tomer 6

7 Teori sterowni lger mcierzow Przykłd 7 Dne są dwie mcierze [ ij ], = [ ij ], B (7.) Spełniją wrunki do wykonni iloczynu B le nie do iloczynu B. Więc B = = (7.) Przykłd 8 Dne są mcierze B = (8.) N tych mcierzch może yć wykonne mnożenie zrówno B jk i B B = = (8.) B = 6 Nwet jeśli istnieje B jk i B nie są soie równe. W tym przypdku uzyskne iloczyny nie mją tkich smych rozmirów. (8.).5. ODWRCNIE MCIERZY W lgerze sklrnej, kiedy zpiszemy mcierzowej, jeśli y to = y y =, to zpis = y / jest prwdziwy. W lgerze (8) gdzie ozncz mcierz odwrotną. Wrunkmi w których istnieje mcierz odwrotn. jest mcierzą kwdrtową. musi yć nieosoliw. Jeśli istnieje to jest on wyznczn z zleżności = dj (9) Osttni ktulizcj: 4--7 M. Tomer 7

8 Teori sterowni lger mcierzow Przykłd 9 Mjąc dną mcierz mcierz odwrotn jest opisn wzorem dj = (9.) (9.) Mcierz ędzie nieosoliw,, lu. Równnie (9.) pokzuje, że mcierz odwrotn o rozmirch jest uzyskiwn przez zminę dwóch elementów n głównej przekątnej i zminę znków n elementch znjdujących się poz tą przekątną digonlną mcierzy. Przykłd Dl mcierzy mcierz odwrotn jest opisn wzorem dj = = ( ) ( ) ( ) ( ) (.) (.) Wyzncznik mcierzy + + (.) Pewne włsności odwrcni mcierzy. = I (). ( ) = (). W lgerze mcierzowej, ogólnie B = C nie koniecznie prowdzi do wrunku B = C. Jeśli mcierz kwdrtow jest nieosoliw to możn oustronnie pomnożyć równnie B = C przez. Wtedy B = C () co prowdzi do B = C. 4. Jeśli mcierze kwdrtowe orz B są mcierzmi nieosoliwymi, wówczs (B) = B () Osttni ktulizcj: 4--7 M. Tomer 8

9 Teori sterowni lger mcierzow.6. RZĄD MCIERZY Rząd mcierzy jest mksymlną liczą niezleżnych liniowo kolumn mcierzy ; lu jest rozmirem njwiększej mcierzy nieosoliwej zwrtej w. Przykłd Wyznczenie rzędów mcierzy 9 6 rnk = rnk = (.) ZGDNIENI KONTROLNE. Podj definicję rzędu mcierzy?. Czy dnie rzędu mcierzy może yć zstosowne do mcierzy, któr nie jest kwdrtow?. Czy mcierz niekwdrtow może yć symetryczn? ZDNI Z. Wyzncz nstępujące sumy i różnice mcierzowe. 5 6 ) + ) Z. Wyzncz, nstępujące iloczyny mcierzowe *B, B*. Wykonj tylko te dziłni dl których mcierze skłdowe mją odpowiednie rozmiry, pozwljące n wykonnie iloczynu mcierzowego. ) B = [ 6 ] ) B = Z. Rozwż nstępujące dwie mcierze 4 π 6 j π, B = 6 j + j π 6 Korzystjąc z oprogrmowni nrzędziowego MTLB, wykonj nstępujące dziłni: ) + B ) *B c) d) T e) B f) B T T g) + B *B Z4. Znjdź, jeśli istnieją, odwrotności nstępujących mcierzy. Njpierw wykonj te dziłni ręcznie, nstępnie jeśli msz tkie możliwości, przy użyciu komputer. 5 ) ) c) 4 Osttni ktulizcj: 4--7 M. Tomer 9

10 Teori sterowni lger mcierzow d) 5 Z5. Wyrź ziór nstępujących równń lgericznych w formie mcierzowej, B. ) + = + = 5 = ) + = + = = c) = = 7 + = Sprwdź, czy te równni są liniowo niezleżne. Znjdź mcierz odwrotną, ręcznie i przy użyciu MTLB. Jeśli równni nie są liniowo niezleżne, czy możn je rozwiązć i wyznczyć, orz? Z6. Wyzncz rzędy nstępujących mcierzy: ) 6 ) c) 6 d) 5 Z7. Korzystjąc z MTLB wygeneruj dne do nstępujących wykresów:.5 ) y( ) = e sinω 4 4 ) y( ) = cosω + cosω π 9π y( ) = + 5e cos ω +.5 c) ( ) gdzie ω jest zmienną wejściową wprowdzną z klwitury. sekund. Wygeneruj wektor z krokiem.. Zstosuj trzy wrtości ω =,, rd/s. LITERTUR. Dorf R.C., R.H. Bishop, Modern Control Systems, ddison Wesley Longmn, Inc., Kuo B. C. utomtic Control of Dynmic Systems, 7 th ed, ddison-wesley & Sons Inc., 995. Osttni ktulizcj: 4--7 M. Tomer