Opis własności dynamicznych liniowych układów ciągłych

Transkrypt

1 WOJSKOWA AKADMIA THNIZNA i. Jrołw Dąrowkiego Ćwiczeie rchukowe Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI Wrzw 7

2 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych el ćwiczei rchukowego Podcz ćwiczei poruze ędą ępujące zgdiei: zpi rówń wejście-wyjście dl proych ukłdów dyiczych; przykłdowe oliczie rfor i orygiłów fukcji zgodie z proy przekzłceie Lplce ; wyzczie ricji operorowej i widowej; zpiu odelu oieku w poci rówń u i rówi wyjści. ele ćwiczei je zdoycie uiejęości prkyczej relizcji powyżzych zgdień. Wygi wępe Przed rozpoczęcie ćwiczeń ude zoowiązy je do zpozi ię z reścią iiejzej irukcji. W zczególości ioe je poidie wiedzy eoreyczej z zkreu poruzego podcz ćwiczei rchukowego. Poo ude zoowiązy je prześledzić ze zrozuieie wzykie ziezczoe przykłdy, y wiedzieć w jki poó rozpocząć rozwiązywie zdń podcz ćwiczeń. W przypdku poidi wąpliwości po zpoziu ię z reścią irukcji w celu ich wyjśiei zlec ię koulcje ię z prowdzący przed erie ćwiczeń rchukowych. 3 Przekzłceie Lplce Rchuek operorowy je eodą rozwiązywi iekórych rówń i ukłdów rówń różiczkowych i pokrewych, polegjąc cłkowiej lu częściowej lgerizcji rozwiązywego rówi lu ukłdu rówń. Io lgerizcji poleg y, że rozwiązując z poocą rchuku operorowego de rówie, p. rówie różiczkowe zwyczje, wyzczy jpierw zw. rówie operorowe ędące rówie lgericzy. W zdzie rchuek operorowy je eodą rozwiązywi rówń liiowych. Jego zoowi w zkreie rówń ieliiowych ą jedk doąd zikoe i ogriczją ię do iewielkiej liczy zczególych przypdków. Dzięki wej proocie i efekywości, kże ze względu ie zley w porówiu ze zyi eodi, ł ię ogólą eodą di dyiki ukłdów liiowych, iezleżie od ich chrkeru fizyczego. Rchuek operorowy okzł ię zczególie dogody w zkreie eorii owodów elekryczych i eorii uoyczej regulcji w ych dziedzich zlzł jpełiejze i jrdziej wzechroe zoowie. Meody operorowe oż podzielić rzy zdicze grup: eody opre pojęciu operor różiczkowi i operor cłkowi eod operorów Heviide ; eody opre przekzłceich cłkowych eod przekzłcei Lplce ; eody opre pojęcich lgery wyżzej i lizy fukcjolej eod operorów Mikuińkiego. Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI

3 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Rozdził e w cłości poświęcoy je eodzie operorowej przekzłceiu Lplce z uwzględieie powiązń z przekzłceie Fourier. Przekzłceie Lplce określoe je zleżością: L f f e F kór fukcji f zieej rzeczywiej przyporządkowuje rforę F, ędącą fukcją zieą zepoloej = u + j; zie odgryw w cłkowiu rolę preru. łkę po prwej roie wzoru ędziey zywć cłką Lplce fukcji f. Orygiłe zywy fukcję zepoloą f = u +j zieej rzeczywiej, pełijącą ępujące wruki: f = dl < ; f je w przedzile -, + fukcję przedziłi ciągł wrz z pochodyi do rzędu ego; f je fukcją rzędu wykłdiczego, jeśli iieją łe M > i > kie, że dl wzykich wrości zchodzi ierówość: f Me Liczę ką, że dl kżdego > ierówość je pełio dl = +, ie je pełio dl = -, zywy wykłdikie wzri fukcji f. N ry.. przewioo wykre fukcji ypu wykłdiczego. Ry. Wykre fukcji ypu wykłdiczego > Jeśli fukcj f je orygiłe o wykłdiku wzri, o: cłk po prwej roie wzoru je jedoroie zież w półpłzczyźie Re > ; fukcj F określo wzore je fukcją liyczą w półpłzczyźie Re > ; li F Re Fukcję F zywy rforą orze orygiłu f, co zpiujey: Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 3 F L f 3

4 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych 3. Włości przekzłcei Lplce Prkycze zoowie przekzłcei Lplce poleg y, że prowdziy oliczei ie dych fukcjch, lecz ich orzch. Podoie, gdy y do wykoi opercję ożei, o korzyy z logryów, gdyż o prowdz ię do proych opercji dodwi. Proce odwzorowi oż uwżć z coś w rodzju przekłdu z jedego język iy, kżdeu łowu odpowid ie łowo. W rforcji Lplce kżdej fukcji orygiłowi odpowid i fukcj rfor, orz. Njwżiejze włściwości przekzłcei Lplce jące zdicze zczeie dl prkyki i zoowń, zoą ujęe w poci kilku proych wzorów i reguł, owiących w pewy eie grykę rchuku operorowego. N ich opr je echik oowi eody operorowej w kokreych prolech:. Liiowość - przekzłceie Lplce je przekzłceie liiowy, z. ępującą włość: jeśli L f F, L f F 4 o L c f c f Lc f Lc f c F c F 5 gdzie: c, c ą dowolyi liczi.. wierdzeie o podoieńwie: lu Lf F 6 F L f 7 3. rfor pochodej fukcji: df L F 4. rfor cłki fukcji >: f 8 L F f f d 9 5. przeuięcie w czie: 6. wrość począkow: L T f T T e F li f li F Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 4

5 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych 7. wrość końcow, jeżeli fukcj wyier F ieguy leżące wyłączie w lewej półpłzczyźie zieej zepoloej, o: li f li F 8. ożeie przez cz: L f df 3 d 9. zi kli czu: L f F, gdzie F Lf 4. zi częoliwości: e f F gdzie F Lf L, 5. fukcje okreowe, jeżeli f je fukcją okreową o okreie T, wedy rfor Lplce je d jko: L f F e gdzie: F = L{f } je rforą fukcji f w pierwzy okreie. wierdzeie o pochodej ilorzu fukcji, jeżeli fukcje L i M ą różiczkowle orz fukcj M je w dy pukcie róż od, wówcz yże pukcie iieje pochod ilorz fukcji L i M i wyrż ię wzore T 6 L M L M M L M 7 4 Tricj operorow ukłdu W ukłdch liiowych wyróżić oż ępujące rodzje eleeów powowych: eleey powodujące ry eergii rozprzej eergię cieplą rcie, oporość czy w ukłdch elekryczych, opór przepływu gzów i cieczy; eleey gzyujące eergię w poci kieyczej, idukcyjość w ukłdch elekryczych, ezwłdość gzów i cieczy. W dlzej części opizey zczegółowo rówi opiujące włości dyicze przewioych eleeów. Złożyy przy y, że ogriczy ię ylko do liiowego zkreu prcy, p. przyjiey, że w ukłdch elekryczych wrości oporości, idukcyjości i pojeości ą łe, iezleże od prądu i pięci. Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 5

6 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 6 O ukłdch echiczych złóży, że kłdją ię z cił idelie wrdych i pręży idelych o zikoo łej ie i że ił rci je proporcjol do prędkości w pierwzej poędze rcie lepkie. O ukłdch peuyczych złóży, że ciecze ą ieściśliwe, pdek ciśiei oporch przepływu je proporcjoly do wielkości ego przepływu, czyli że opory przepływu ją wrości łe, iezleżie od przepływu i ciśiei. Tricją operorową G jedowyirowego ukłdu liiowego cjorego zywy wielkość określoą jko ouek rfory Lplce odpowiedzi do rfory Lplce wyuzei ego ukłdu przy zerowych wrukch począkowych. Liiowy cjory ukłd dyiczy oż opić liiowy różiczkowy rówie wejści-wyjści. u du u d u d y dy y d y d 8 lu ricją operorową w dziedziie zieej zepoloej. Złożywzy w poprzedi rówiu zerowe wruki począkowe orz oując rforę Lplce : u du u d u d L y dy y d y d L 9 czyli j j j i i i gdzie: =L{u}, =L{y}. oż orzyć wyierą fukcje zieej zepoloej, zywą ricją operorową:. i i i j j j G

7 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych 5 Tricji widow ukłdu Tricją widową Gj liiowego ukłdu cjorego zywy wielkość określoą jko ouek wrości zepoloej kłdowej wyuzoej j wywołej wyuzeie iuoidly do wrości zepoloej ego wyuzei j: j G j j Tricj widow opiuje dyikę ukłdu w dziedziie częoliwości. Dl lizy przyjuje ię, że wejście eleeu lu ukłdu liiowego wprowdz ię wyuzeie iuoidle u=a i. W ki przypdku jego wyjściu, po zikięciu proceu przejściowego, uli ię ygł iuoidly o ej ej częoliwości, le o iej pliudzie i fzie iż wyuzeie o poci: y A i 3 Przechodzeie ygłu iuoidlego przez elee liiowy przewi ry.. Ry.. Przechodzeie ygłu iuoidlego przez elee liiowy. hrkeryyki częoliwościowe określ zchowie ię ukłdu przy ziie częoliwości pulcji w zkreie od do, podjąc ouek pliudy ygłu wyjściowego do wejściowego orz przeuięcie fzowe iędzy wyjście, wejście jko fukcję częoliwości. Tricję widową uzykuje ię z ricji operorowej po powieiu w iejce operor operor j: Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 7 j G j G 4 j j

8 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Tricj widow je zepoloą fukcją pulcji i oże yć przewio: w poci wykłdiczej - powijąc z j i j prę odpowidjących oie fukcji hroiczych zpiych w poci wykłdiczej: j j j A e ; j A e ; 5 wówcz ricję widow w poci wykłdiczej przewi zleżość: j A j j j j A e A e e j j 6 G j e G j e A e A e A w poci zepoloej części rzeczywiej P i części urojoej Q: G j P jq 7 gdzie: P Re G j Q I G j Związek iędzy pocią wykłdiczą, zepoloą określją ępujące zleżości: A G j P Q 8 A Q rcg 9 P Z powyżzych zleżości wyik, że oduł ricji widowej Gj określ ouek pliudy ygłu wyjściowego A do wejściowego A, oi rgue ricji określ przeuięcie fzowe iędzy ygłe wyjściowy i wejściowy. 6 Opi powowych eleeów w dziedziie czu i operorowej Zewieie opiu eleeów elekryczych dziedziie czu i w dziedziie operorowej. Lp. Nzw eleeu Zpi w dziedziie czu. Rezyor Zpi w dziedziie operorowej u R R i R R I. Kodeor 3. ewk u c I i c di u L L L L I Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 8

9 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Włściwości ukłdów elekryczych: rezycj zępcz dwóch rezyorów połączoych zeregowo wyoi: R z R R rezycj zępcz dwóch rezyorów połączoych rówolegle wyoi: R z R R R z R R R R pojeość zępcz dwóch kodeorów połączoych zeregowo wyoi: z z pojeość zępcz dwóch kodeorów połączoych rówolegle wyoi: z Zewieie opiu eleeów gzyujących eergię w poci poecjlej. Lp. Nzw eleeu Zpi w dziedziie czu Zpi w dziedziie operorowej. Kodeor u c i c I. lee prężyy w ukłdch echiczych ruchu poępowy f v f F V 3. lee prężyy w ukłdch echiczych ruchu oroowy fr fr Fr r r 4. Sprężyość gzu w koorze peuyczej p i p p p P I p p 5. Npełiie ziorik cieczą ieściśliwą w ukłdch hydruliczych p i p h p P I p h Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 9

10 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Zewieie opiu eleeów powodujących ry opory. Lp. Nzw eleeu Zpi w dziedziie czu. Rezyor Zpi w dziedziie operorowej u R R i R R I. Opór rci w ruchu poępowy F R V f R v 3. Opór rci w ruchu oroowy r F R f R r r r 4. Opór przepływu P P R I p p R i p p p p Zewieie opiu eleeów gzyujących eergię w poci kieyczej. Lp. Nzw eleeu Zpi w dziedziie czu Zpi w dziedziie operorowej. ewk elekrycz. iło wrde o ie w ruchu poępowy di u L L L L I dv F V f 3. iło wrde w ruchu oroowy r d Fr Mr f M r 4. Bezwłdość gzów i cieczy dip p P P I p p p p Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI

11 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych 7 Opi ukłdów w przerzei u Liiowy, cjory oiek oże yć opiy z poocą liiowego rówi różiczkowego, ricji operorowej orz z poocą rówń u. Opi włości ukłdów dyiczych, wykorzyujących pojęcie zieych u, je owoczey opie o wielu zlech. Opiuje zrówo ukłdy jedo-, jk i wielowyirowe, przy czy jego poć w ou przypdkch je k. Pod pojęcie zieych u rozuie ię pewie iily zew zieych, k zdefiiowych dl dego ukłdu, że zjoość zleżości ych zieych od czu określ jedozczie jego włściwości. Licz zieych, wyrczjąc do opiu ukłdu je zzwyczj rów rzędowi rówi różiczkowego, wiążącego ygł wyjściowy z ygłe wejściowy. Jeżeli koleje ziee u ą zdefiiowe w ki poó, że kżd ęp je rów pochodej poprzediej zieej, o kie ziee ą zywe zieyi fzowyi. Przykłde zieych fzowych ogą yć: drog, prędkość, przypiezeie. Ziee u oż przyjąć w ki poó, y yły koicji liiowyi zieych fzowych. Odpowiedie zdefiiowie zieych u oże prowdzić do uprozczei oliczeń orz łwiejzych ierprecji fizyczych. Przerzeią u zywy prookąy ukłd wpółrzędych, kórego oich odkłdy wrości zieych u. W irę upływu czu puk, wyzczoy przez ziee u, przeuw ię w ej przerzei wzdłuż liii zywej rjekorią. Jeżeli jko ziee u wyierzey ziee u fzowe, o przerzeń u oi zwę przerzei fzowej, rjekori je zyw rjekorią fzową. Przeieg dowolej wielkości fizyczej ędącej ośikie iforcji zywć ędziey zieą lu ygłe. Wielkości oddziływujące ukłd u, u,, u p zywć ędziey wyuzeii lu zieyi wejściowyi, iejc ich oddziływi wejścii ukłdu. Wyuzei przewiją wielkości geerowe w iy ukłdzie iż dy. Wśród wyuzeń wyróżić ędziey wielkości reprezeujące oddziływi celowe, zwe erowii, orz wielkości reprezeujące oddziływi iepożąde, zwe zkłóceii. Wielkości oddziływujące ie ukłdy y, y,,y q zywy odpowiedzii lu zieyi wyjściowyi, iejc ich oddziływi wyjścii ukłdu. Przeieg proceu dyiczego w czie zleży ie ylko od wrości wyuzeń w dej chwili, le rówież od wrości ych wyuzeń w przezłości. Moż, więc powiedzieć, że proce ukłd dyiczy pięć, w kórej ą grodzoe kuki przezłych oddziływń. Se proceu zywć ędziey jiejzy liczeie ziór wielkości,,,, określjących w pełi kuki przezłych oddziływń proce, kóry je wyrczjący do przewidywi przeiegu proceu w przyzłości. Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI

12 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Wielkości,,, określjące proce zywć ędziey zieyi wpółrzędyi u. Zjoość u proceu w chwili począkowej orz wyuzeń w przedzile [, ] wyrcz do określei przeiegów odpowiedzi i u proceu w przedzile [,. Ry.3. Sche ukłdu dyiczego Licz zieych u rów ię liczie liiowo iezleżych wruków począkowych koieczych do wyzczei jedozczego rozwiązi rówń opiujących ukłd. Rówi ukłdu w przerzei u ją ogólą poć: A B u y D u 3 gdzie: A cierz u ukłdu o wyirze, B cierz wyuzei o wyirze p, cierz odpowiedzi o wyirze q, D cierz riyj o wyirze qp. Dl ukłdów liiowych iecjorych eleey cierzy A, B,, D ą fukcji czu. Powyżzy rówio oż przyporządkowć ępujący che lokowy: Ry.4. Sche lokowy ciągłego ukłdu liiowego iecjorego. Dl ukłdów liiowych cjorych o prerch iezleżych od czu eleey cierzy A, B,, D ą łe i ie zleżą od czu. W y przypdku powyżze rówi u przyjują poć: A Bu y Du 3 Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI

13 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Dl ukłdów djących ię opić z poocą rówń różiczkowych rówie u i rówie wyjści oż opić rówie:,, F u 3 y G u Powyżze rówie u je rówie różiczkowy pierwzego rzędu, w ogóly przypdku ieliiowy i zleży jwie od czu, fukcj F je eleeową fukcją wekorową. Rówie o oż, więc rozpić zczegółowo: d d f,,,, u, u,, u f,,,, u, u,, u k k 33 d f,,,, u, u,, u k Rówie wyjści ukłdu je rówie lgericzy, przy czy G je l-eleeow fukcją wekorową. Rozpiując o rówie orzyy:,,,,,,, k,,,,,,, y g u u u y g u u u,,,,,,, y g u u u k Powyżze rówi ogą yć lieryzowe w ooczeiu puku wyrego u ukłd puku prcy. zęo wpółrzęde wekor u,, 3,, wyier ię w e poó, y: k 34 d d 3 35 d Tk wyre wpółrzęde u zywć ędziey wpółrzędyi fzowyi, wekor o kłdowych,, 3,, wekore fzowy ukłdu. Wpółrzęde fzowe,, 3,, w kżdej wyrej chwili jedozczie określją w przerzei - wyirowej położeie puku, zwego puke fzowy. Puk e przeuw ię po krzywej zwej rjekorią fzową. Trjekori fzow owi poglądową, geoeryczą ilurcję przeiegu proceu dyiczego w ukłdzie. Rodzię rjekorii fzowych zyw ię porree fzowy ukłdu, oi powyżzą wyirową przerzeń zyw ię przerzeią fzową. W przypdku, gdy = ówić ędziey o płzczyźie fzowej. Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 3

14 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 4 N ry.5 przewioo lokowo ukłd jedowyirowy, o ygle wejściowy u i wyjściowy y, dl kórego chcey wyzczyć opi w przerzei u. Ry.5. Sche lokowy jedowyirowego ukłdu liiowego. Złóży, że dl ego ukłdu ricj operorow G je zą, wyierą fukcją operor : G 36 orz, że opień wieloiu w licziku je iżzy od opi wieloiu w iowiku <. Podziely liczik i iowik ricji przez i wprowdźy owe ozczei wpółczyików: G 37 Wprowdźy ygł poociczy e o rforcie w ępujący poó: G 38 Tricję dą wzore 38 ożey przewić jko iloczy dwóch ępujących czyików: 39 4 Przekzłcjąc wzory 39 i 4 oż orzyć ępujące zleżości: 4 4

15 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych N ry.6. przewioo che lokowy, ędący ilurcją rówń 4 i 4. iezczoo i w poci rójkąów człoów cłkujących połączoych zeregowo. Trforę Lplce ygłu wejściowego pierwzego z ych człoów ozczoo. Zgodie z zdą dziłi człou cłkującego jego wyjściu uzyky ygł o rforcie -. N wyjściu oiego - ego eleeu cłkującego orzyy ygł o rforcie -. Jk widć z ego ryuku, ygł o rforcie uzykujey z wyjści pierwzego węzł ucyjego, do kórego wejść doprowdzoy ygł u ukłdu przewioego ry.6. orz ygły przężei zwroego pore z wyjść odpowiedich człoów cłkujących poprzez eleey proporcjole, zgodie z rówie 4. Wyworzeie ygłu wyjściowego y ukłdu z ry.6 wyg, zgoie ze wzore 4, zuowi odpowiedich ygłów wyjściowych człoów cłkujących, doprowdzoych do drugiego węzł ucyjego poprzez odpowiedie eleey proporcjole. Ry.6. Sche lokowy ilurujący poó wyoru zieych fzowych Zdefiiujey oecie fzowe ziee u. Jko zieą u przyjijy ygł wyjściowy oiego eleeu cłkującego. Jko drugą zie u przyjijy ygł wyjściowy przedoiego eleeu cłkującego, kóry jko ygł wejściowy oiego eleeu cłkującego oże yć pochodą poprzediej zieej u. Oi zieą u je, gdzie jk widć, ygł wyjściowy pierwzego eleeu cłkującego i ędzie rówy pochodej ygłu -. Pochod zieej u je rów ygłowi poociczeu e. Wykorzyując zdefiiowe ziee u, oż uworzyć ępujący ukłd rówń: 3 3 u 43 Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 5

16 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 6 Wprowdzjąc ępujące ozczei cierzowe: ; 3 B A 44 oż ukłd rówń 43 zpić w poci cierzowej: Bu A 45 Po wprowdzeiu zieych u rówie 44 przyjuje poć: y 46 kórą dzięki ozczeiu : c 47 oż przekzłcić do poci cierzowej: y 48 Orzyliśy w e poó cierzowy ukłd rówń ukłdu w przerzei u: y Bu A 49 kóry je opie ukłdu przewioego ry.5. 8 Przykłdy zdń rchukowych 8. Przykłd. Wyzczyć ricję czwórik przewioego ry.7, gdzie wielkością wejściową je pięcie u, wielkością wyjściową pięcie u. Ry.7. zwórik elekryczy ypu R.

17 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Zkłdjąc, że prąd ociążei czwórik je rówy zeru, zchowie owiego czwórik oż opić ukłde rówń wyikjący z eody prw Kirchoff: u Ri i u i Trforują powyżze rówi do dziedziy operorowej zgodie z opie eleeów elekryczych orzyy operorowy ukłd rówń: RI I I Powijąc powyżze rówi do wzoru ricję operorową ukłdu orzyy: G = = RI+ I I = RF+ = R+ Poduowując, czwórik przewioy ry.7. opiuje ricj operorow człou iercyjego łej czowej T=R. 8. Przykłd. Wyzczyć ricję widową ukłdu przewioego ry.8, zrówo w poci wykłdiczej, jk i zepoloe. Ry.8. zwórik elekryczy ypu R. Widząc, że ukłd e opiy je ricją operorową: G = = R+ Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 7

18 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Powijąc do powyżzej ricji zleżość =jorzyujey: G j Rj W celu wyzczei ricji widowej ukłdu leży powyżzą ricję poożyć przez wrość zepoloą do iowik, czyli: -Rj. Dokoując dlzych przekzłceń orzyy: Rj Rj Rj G j j RjRj R j R N powie powyżzej poci ricji widowej wyzczy cześć rzeczywią P i część urojoą Q, kóre przyjują poć: P R R Q R 8.3 Przykłd 3. Dy je ukłd o jedy wejściu i jedy wyjściu, opiy ricją operorową: G 3 W pierwzy korku liczik i iowik dzieliy przez i rozdziely dw czyiki: G Z podziłu ego wyik, że: 3 ; 3 Przekzłcjące e zleżości do poci zgodej z wzori 4 i 4 orzyujey: 3 Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 8

19 Opi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych N powie ych rówń oż zudowć che lokowy, przewioy ry.6 w kłd kórego wchodzą dw eleey cłkujące. Sygł wyjściu drugiego eleeu cłkującego ozczyy jko zieą, wyjściu pierwzego eleeu cłkującego jko zieą. kłdy ępie ukłd rówń dl zieych u: 3 u orz rówie dl ygłu wyjściowego: y Rówi e po przyjęciu ozczeń: ; A 3 ; B ; zpiujey w oeczej poci: A Bu y Ry.9. Model ukłdu w przerzei u o ricji G 3 9 Lierur. Zigiew WAŁAH yereyk echicz. zęść I kplocj oprzęu, Wydził Wydwiczy WAT, Wrzw 983. Juz KOWAL Powy uoyki T, czelie Wydwicw Nukowo- Dydkycze AGH, Krków 4, Sygur: Tdeuz Kczorek Teori erowi. To I kłdy liiowe ciągłe i dykree. Pńwowe Wydwicwo Nukowe, Wrzw Driuz Horl Powy uoyki. Ćwiczei rchukowe. zęść I, Wydwicwo Poliechiki Pozńkiej, Pozń 3. Powy uoyki gr iż. Broz BRZOZOWSKI 9