Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski

Transkrypt

1 Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski

2 Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz Sochsycze rówi różiczkowe Przykłd Silesi Uiversiy of Techology

3 Klsyfikcj modeli sygłów Modele Ukłdy i sygły deermiisycze Ukłdy i sygły losowe Ukłdy i sygły fuzzy Silesi Uiversiy of Techology 3

4 Modele sochsycze sygłów Zbiór wszyskich relizcji dego mechizmu zjwisk i zdrzeń losowych urlych lub echiczych jes ieskończeie liczy. Podswowym modelem kiego zbioru sygłów losowych jes proces sochsyczy, czyli ieskończoy ciąg zmieych losowych, R, N Silesi Uiversiy of Techology 4

5 Proces sochsyczy x Relizcje procesu sochsyczego zbiór relizcji ieskończoy Fukcje gęsości prwdopodobieńsw dl usloej chwili czsu zdrzeń x,x,... Z b i ó r, p r z e s r z eń x x x x x U s lo e z d r z e i e le m e r e lu b z d r z e i Z b i ó r z m i e y c h l o s o w y c h d oś w i d c z eń c z y l i p r ó b Silesi Uiversiy of Techology 5

6 Opis zmieej losowej dysrybu fukcj rozkłdu prwdopodobieńsw zmieej losowej: F x = P{ x} fukcj gęsości prwdopodobieńsw: f x = df x/dx momey zmieej losowej: k k k = E[ ] = x f x dx k k k E[ m ] = x m f x m µ = dx Silesi Uiversiy of Techology 6

7 Opis zmieej losowej jwżiejsze momey zmieej losowej: mome zwykły rzędu wrość oczekiw/średi mome zwykły rzędu wrość średiokwdrow mome cerly rzędu wricj pierwisek momeu cerlego rzędu odchyleie sdrdowe Silesi Uiversiy of Techology 7

8 Opis dwóch zmieych losowych łącz fukcj gęsości prwdopodobieńsw: f x,y momey łącze: m kl k l k l = E[ ] = x y f x, y = dxdy µ kl k l = E[ m m ] = x m y m f x, y dxdy k l Silesi Uiversiy of Techology 8

9 Opis dwóch zmieych losowych jwżiejsze momey łącze: mome zwykły rzędu wrość oczekiw iloczyu zmieych losowych korelcj zmieych losowych mome cerly rzędu kowricj zmieych losowych Silesi Uiversiy of Techology 9

10 Opis procesu sochsyczego łącz -wymirow fukcj gęsości prwdopodobieńsw: f,,, x, x, x momey zwykłe, cerle i łącze wrość oczekiw, wrość średiokwdrow, wricj, ukorelcj,korelcj wzjem Silesi Uiversiy of Techology 0

11 Proces sochsyczy? Procesy ergodycze ergodycze µ = [ ] = T xfx x, dx = lim x T T T E d Procesy scjore µ = µ = cos R E [ ] = cos, = R τ, τ = Procesy dowole Silesi Uiversiy of Techology

12 Modele sochsycze sygłów proces słowrościowy {}={x}, R, x R proces z prmerem losowym qusi-deermiisyczy, w ym: procesy okresowe złożoe z ielosowych fukcji okresowych, w kórych zbiorze sąpiło losowe uzmieieie fzy począkowej {}={xβ} procesy ieokresowe powsłe poprzez losowe uzmieieie iych prmerów drgń okresowych procesy sychroicze, kóre sowią modele sygłów dyskreych impulsowych, w ym cyfrowych procesy cłkowicie losowe pozbwioe jkiejkolwiek regulrości i dyskreości w dziedziie rgumeu i fukcji modele szumów flukucyjych Silesi Uiversiy of Techology

13 Modele sochsycze sygłów Przykłd procesu z losowym prmerem 6,00 6,00 4,00 4,00,00,00 Ampliu ude 0,00 0,0 5,0 0,0 5,0 Ampliude 0,00 0,0 5,0 0,0 5,0 -,00 -,00-4,00-4,00-6,00 ime, ms -6,00 ime, ms f c,, A h, = cos; = 0 h= A h si πhf ϕ ϕ h zmie losow o rozkłdzie rówomierym c h Silesi Uiversiy of Techology 3

14 Przekszłcie procesów sochsyczych w ukłdch T losowy Kżdej relizcji x procesu przyporządkowujemy pewą fukcję y. Zbiór ych fukcji worzy owy proces : = T[] Losowość wyik z wyboru jedej z relizcji procesu wejściowego, ie sposobu odpowiedzi ukłdu sygł wejściowy: x,θ = x,θ y,θ = y,θ Operor T deermiisyczy Współczyiki rówi różiczkowego opisującego ukłd są zdeermiowe Silesi Uiversiy of Techology 4

15 Ukłdy liiowe L E[] = L{E[]} = L{} wrość oczekiw procesu wyjściowego jes rów odpowiedzi ukłdu wrość oczekiwą procesu wejściowego Silesi Uiversiy of Techology 5

16 Ukłdy liiowe L = L{} Auokorelcj R, : R, = L {R, } R, = L {R, } dl przekszłceń liiowych ie moż wyzczyć f.g.p. procesu podswie f.g.p. możliwe jes wyzczeie momeów rzędu k procesu podswie momeów rzędu k procesu Silesi Uiversiy of Techology 6

17 Ciągłość i różiczkowlość sochsycz L = L{} proces sochsyczy = rodzi fukcji kżd z fukcji może być ciągł i różiczkowl w klsyczym ujęciu ciągłość i różiczkowlość sochsycz jes zdefiiow ie dl kżdej fukcji osobo, le dl cłej rodziy jeśli kżd fukcj jes cłkowl def. cłki sochsyczej= zwykłej def. cłki w zwykłym sesie Silesi Uiversiy of Techology 7

18 Ciągłość i różiczkowlość sochsycz L = L{} Jeżeli kżd relizcj procesu sochsyczego jes ciągł w pukcie, o proces sochsyczy jes ciągły w ym pukcie. Jeżei lim xε=x dl ε 0 dl prwie wszyskich relizcji procesu, o proces jes ciągły z prwdopodobieńswem. Jeżei E[xτ-x ] 0 dl τ 0, o proces jes ciągły średiokwdrowo w pukcie Silesi Uiversiy of Techology 8

19 Ciągłość i różiczkowlość sochsycz L = L{} Z ciągłości średiokwdrowej procesu wyik ciągłość wrości oczekiwej E[] ego procesu. Z ciągłości średiokwdrowej procesu scjorego wyik ciągłość fukcji uokorelcji R τ ego procesu Silesi Uiversiy of Techology 9

20 Ciągłość i różiczkowlość sochsycz L = L{} Pochod procesu sochsyczego : ' = d d = lim ε 0 ε ε Silesi Uiversiy of Techology 0

21 Ciągłość i różiczkowlość sochsycz = L{} L Wruek isiei pochodej w sesie średiokwdrowym dl procesu sochsyczego : Silesi Uiversiy of Techology procesu sochsyczego : 0 ' lim 0 = E ε ε ε 0 lim 0, = ε ε ε ε ε ε E

22 Ciągłość i różiczkowlość sochsycz L = L{} Wrość oczekiw procesu : E[ ' ] = Auokorelcj procesu : R ', ', ] = de[ x ] d R,, Silesi Uiversiy of Techology

23 Sochsycze rówi różiczkowe = L{} L... = Silesi Uiversiy of Techology = Wrość oczekiw procesu :... 0 m m m m =

24 Sochsycze rówi różiczkowe = L{} L... = Silesi Uiversiy of Techology = Fukcj uokorelcji R,, procesu :,,...,,, 0, R R R =,,...,,, 0, R R R = rozwiązie względem - prmer rozwiązie względem - prmer

25 Exmple I=? U L I R di U L RI = U L d E[] = L{E[]} E[I] = L{E[U]} E[I] = m I E[U] = m U dmi L RmI = m d Silesi Uiversiy of Techology 5 U

26 Exmple u E[U] E[I] i Ampliude,0,5,0 0,5 0,0-0,5 -,0 -, ,0 ime, ms Silesi Uiversiy of Techology 6