n 3 dla n = 1,2,3,... Podać oszacowania

Transkrypt

1 Zestw r : Ciągi liczbowe włsości i gric.. Niech dl =.... Sprwdzić cz jest ciągiem mootoiczm rtmetczm... Sprwdzić cz stępując ciąg jest ciągiem geometrczm. Wpisć pierwszch pięć wrzów ciągu stępie dl ciągu geometrczego obliczć sumę S 0. 5! b c... Sprwdzić któr z stępującch ciągów jest ciągiem rtmetczm 7 b! c 7. Dl ciągu rtmetczego obliczć sumę S 0... Niech dl =.... Sprwdzić cz: 0 b 6 dl =... c ciąg jest rosąc..5. Niech 6 dl =.... Sprwdzić cz b ciąg jest mlejąc.6. Niech dl =... Sprwdzić cz ciąg jest mootoicz i cz wszstkie jego wrz spełiją wruek..7. Ciąg m wrz ogól d wzorem 0 6 dl =... Podć oszcowi pierwszch dziesięciu wrzów tego ciągu z dokłdością do dwóch miejsc po przeciku. Zbdć cz jest to ciąg rtmetcz. 5 *.8. Niech dl =... Wkzć że 5 ciągiem geometrczm i cz jest mootoicz. 5 orz sprwdzić cz jest *.9. Ciąg jest ciągiem rtmetczm tkim że orz. Wkzć że jest o ciągiem mlejącm podto:

2 5 b 6 dl =... *.0. Ciąg jest ciągiem geometrczm tkim że orz q. Wzczć wzór ogól tego ciągu orz wkzć że dl = Obliczć gricę ciągu jeśli:. 5 b. 8 7 c d. *d. 8 7 *e *g. h. 5 7 i. j. k. 5 l. 5 ł. 5 m.. 5 o. p. r. 7 *s. *t. Zestw r : Podstwowe włsości ukcji jedej zmieej gric i ciągłość...w ukłdzie współrzędch O rsowć wkres ukcji = R orz g = R {} stępie wzczć zbiór {εr: g} b pukt w którch kżd z ukcji m ekstrem. *c obrz A i ga jeśli A =

3 *d przeciwobrz B i g B jeśli B =... W ukłdzie współrzędch O rsowć wkres ukcji stępie = 9 orz g = e R wzczć zbiór {εr: < g} b wzczć pukt w którch kżd z ukcji m ekstrem. c dl kżdej z tch ukcji wzczć przedził w którch ukcji jest rosąc d zbdć różowrtościowość kżdej z tch ukcji... W tm smm ukłdzie współrzędch O rsowć wkres trzech ukcji określoch wzormi Wzczć zbior = g = i h = R Z = { R: g} b T = { R: g = h } c U = { R: h }..Dl podć wkres określić zbiór wrtości orz wzczć zbiór X = { R: 0 } jeśli * = b = log c = l.5. Widomo że lim = + lim g = lim h = 0 orz lim k = Wzczć o ile istieją stępujące grice lim h k k lim g g lim h lim g lim h lim g k.6. Obliczć grice: lim 0 + lim e lim e e lim 0 + e lim e lim l +.7. Dl podch ukcji wzczć dziedzię stępie grice wszstkich końcch przedziłów określoości

4 = b g = e c h = 9 d k = l+e.8. W zleżości od wrtości prmetru β gdzie βεr wzcz wrtość gric lub gric jedostroch ukcji lim β + β β b lim β β β c lim β.9. Nrsowć wkres ukcji dl ε < + = { dl ε < 0 dl ε 0 Określić przedził mootoiczości i ekstrem ukcji. b Wzczć zbiór D = {εr: ε0 }.0.Stosując deiicję ciągłości ukcji zbdć ciągłość dl ε < + = { dl ε < 0 dl ε 0.. W ukłdzie współrzędch O rsowć przkłdow wkres ukcji któr jest ciągł w R {0} orz spełi stępujące wruki: lim = i lim = i lim 0 = 0 i lim 0 + = + + b lim = i lim = i lim 0 = i lim 0 + = + c Ile jmiej miejsc zerowch m ukcj w kżdm z przpdków i b? + dl 0.. Zbdć ciągłość ukcji w pukcie 0 = 0 jeśli = { + dl > 0.. Zbdć ciągłość ukcji w pukcie 0 = 0 jeśli = { dl 0 dl = 0 *.. Dl jkiej wrtości prmetru α gdzie αεr ukcj jest ciągł w R jeśli = { e dl α dl > Po ustleiu poszukiwej wrtości prmetru α rsowć wkres tej ukcji stępie wzczć przedził mootoiczości i ekstrem ukcji. *.5. Dl jkiej wrtości prmetru θ gdzie θεr ukcj jest ciągł w R jeśli

5 = { θ + dl < 0 lub > dl 0 Po ustleiu wrtości prmetru θ rsowć wkres tej ukcji stępie wzczć przedził mootoiczości i ekstrem ukcji..6. Wzczć smptot pioowe i poziome wkresu ukcji określoej wzorem: = + b g = c h= e+ d k= Zestw r : Pochod I-go rzędu.. N podstwie deiicji pochodej ukcji w pukcie 0 : 0 = lim Wzczć o ile istieje pochodą ukcji = w pukcie 0 = 0 orz w pukcie 0 = b ukcji = w pukcie 0 = orz w pukcie 0 =.. N podstwie deiicji por. zd. wzczć pochode stępującch ukcji w dowolm pukcie 0 leżącm do dziedzi tch ukcji = 7 + gdzie D = R b g = gdzie D g = R {} c h = + gdzie D h =.. Korzstjąc z ogólej reguł różiczkowi ukcji potęgowej wprowdzić wzor pochodą stępującch ukcji: = b = c = d = e = c.. Obliczć pochode = 7 + gdzie D = R b = gdzie D = R {0} c = gdzie D = 0 + d = + gdzie D = 0 +

6 .5. Wzczć pochodą ukcji = si l gdzie 0 + : c = e si + cos b = + b + c l gdzie 0 + : d = tg.6. Pmiętjąc że log = l tkże że = l zróżiczkowć ukcje = log gdzie 0 + d = l gdzie 0 + b = log gdzie 0 + e = c = l gdzie Obliczć pochode podch iżej ukcji złożoch si +cos e gdzie R = l b = log 8 6. c = log 0 d = e e = si +. = cos g = l h = + e +e.8. Korzstjąc z reguł różiczkowi obliczć wrtość w pukcie D = e + w pukcie = odp.:-05 b = e e e +e w pukcie = 0 odp.: c = + w pukcie = odp.: 9 d = si + cos 8 w pukcie = π odp 0 e = cos si w pukcie = π odp 05 = l w pukcie = e odp e.9. Wzczć rówie stczch do wkresu ukcji jeśli pode są pukt stczości. W kżdm przpdku rsowć wkres ukcji orz tm smm rsuku wzczoą w zdm pukcie stczą = + = = 0 i = b = dl = 0 i = + c = l dl 0 + = e i = e

7 *d = e = l e i = Wzczć rówi wszstkich tch stczch do wkresu ukcji które to stcze są rówoległe do dwusieczej kąt drugiej ćwirtki ukłdu współrzędch jeśli ukcj jest określo wzorem = N wkresie wielomiu = + 8 wskzć pukt w którch stcz jest poziom. Zestw r : Zstosowie pochodej ukcji jedej zmieej.. Obliczć grice stępującch ukcji stosując w kżdm przpdku dwie metod jed z ich to wkorzstie reguł de L Hospitl 5 lim b lim.. Korzstjąc z reguł de L Hospitl obliczć grice ukcji: b lim e + l c lim 0 l d lim e + + l e lim + h lim + e *g lim + l *i lim 0 e cos *j lim + 0 si * Wzczć o ile istieją smptot ukośe wkresów ukcji w + lub - = + 5 b = + c = e d = l + e * Wzcz wszstkie smptot ukcji = l b = l c = l 5. Wzczć przedził mootoiczości ukcji = d = b = e = 5 e *c = e = l

8 .6. Zbdć mootoiczość i wzczć ekstrem lokle = + c = l b = + d = e e = l + l = l.7 Wzczć jmiejszą i jwiększą wrtość ukcji przedzile: = + b = e.8. Zleżość poptu p wbre dobr kosumpcje od wielkości dochodu kosumet >0 wrż się wzorem: p = e b p = e c p = e W kżdm przpdku leż ustlić poziom dochodu kosumet prz którm popt jest jwiększ. *. 9 Niech K ozcz koszt cłkowit wprodukowi jedostek pewego dobr. K = Wzczć dl tego dobr poziom produkcji prz którm koszt przecięt jest jiższ. b Określić ukcję kosztów krńcowch. *. 0 Wzczć ceową elstczość poptu dl ce p = 0 i p = 9 jeżeli zleżość poptu od ce towru p wrż się wzorem Podć iterpretcję uzskego wiku. p = 7 p + +p. Zestw r 5: Zstosowi pochodej II-go rzędu. Pochode cząstkowe 5. Wzcz pochodą drugiego rzędu ukcji w pukcie odp. 6 b l 0 e odp. e e c e 0 odp. 5e. 5.. Wzcz przedził wpukłości wklęsłości orz pukt przegięci wkresu ukcji.

9 b c e d e *e l. 5..Wzcz pochode drugiego rzędu ukcji orz przedził w którch t ukcj rośie lub mleje corz szbciej gd b c si *d... *e Zbdj tempo zmi ukcji przedził w którch ukcj rośie corz szbciej rośie corz woliej mleje corz szbciej lub mleje corz woliej gd 6 9 b c e d l. *5.5. Zbdj przebieg zmieości ukcji i szkicuj jej wkres. b c e. *5.6. Zbdj dl jkich wrtości prmetrów R ukcj jest wklęsł dl jkich wrtości jest wpukł w przedzile 0. *5.7. Zbdj dl jkich wrtości prmetru R ukcj jkich wrtości wpukł w przedzile 0. jest wklęsł dl e *5.8. Zbdj tempo zmi ukcji R. e e w zleżości od wrtości prmetru 5.9. D jest ukcj wielkości produkcji gdzie są kłdmi odpowiedio cziki produkcji. A i B. Jeśli kłd czik A rosą zś kłd czik B pozostją ustlom poziomie b0 to w jkim tempie zmiei się wielkość produkcji?

10 5.0. Wzcz pochode cząstkowe pierwszego rzędu ukcji w pukcie 0 0 o ile istieją gd b Oblicz pochode cząstkowe I-go rzędu ukcji po kżdej ze zmiech orz. b cos c e d e l. 5.. Oblicz wszstkie pochode cząstkowe drugiego rzędu ukcji. 5 b c d e e e. 5.. D jest ukcj : R R. Sprwdź że dl R jeśli c e b d l. Zestw r 6: Ekstrem ukcji dwóch zmiech 6.. Nrsowć dziedzię orz wrstwice Ic ukcji dl podch wrtości c: c c c b c c c c c c c d c 0 c c 5 e c c 0 c

11 * c c c *g. 0 c c c 6.. Korzstjąc z ukłdu wrstwic ukcji wzczć jmiejszą i jwiększą wrtość tej ukcji zbiorze X jeśli: 0 0 : X b 0 : X c 0 : X d : X *e. : X 6.. Wzczć o ile istieją ekstrem lokle ukcji: b 5 c 6 d e *g 8 6 *h w zleżości od prmetru *i. e 6.. Sprwdzić cz ukcj 5 m ekstrem lokle w puktch

12 *6.5. Firm produkuje dw wrob którch ce woszą odpowiedio P i P. Ozczm przez Q i Q poziom produkcji wrobu pierwszego i drugiego. Zkłdm że ukcj kosztów cłkowitch rozwżej irm m postć Q QQ Q orz że irm jest moopolistą rku. Ozcz to że ce obu produktów zleżą od wielkości produkcji. Przjmujem że ukcje poptu z jkimi stk się moopolist są stępujące: Q P P 0 P P Q P P 5 P. P Wzczć poziom produkcji mksmlizujące zsk irm Wzczć elstczości cząstkowe i podć iterpretcję tch elstczości dl stępującch ukcji w podch puktch: 5 0 b l e c K L 9K / L / K L k l. 0 0 *6.7. Oszcow ukcj produkcji przedsiębiorstw m postć Y=6K / L / gdzie Y ozcz wielkość produkcji K wrtość mjątku produkcjego L ztrudieie. W pewm okresie odotowo że K=50 L=00. Jk bł w tm okresie elstczość produkcji przedsiębiorstw względem: mjątku produkcjego? ztrudiei? b Pluje się koiec okresu zmiejszeie ztrudiei do poziomu L=60. Jki wzrost mjątku produkcjego pozwoliłb utrzmć wielkość produkcji iezmieiom poziomie? Zestw r 7: Wektor 7..Wzczć wektor orz R jeżeli [ T T 0 ] [ ] b orz T T 5[ 0] [ 0 ] T T c orz [ 6] [ 0] orz T T d. t 6 t 6 8 jeśli t 7 8

13 7.. Sprwdzić cz wektor jest kombicją liiową wektorów... k gd: [ ] [ ] [ ] b [ ] [ ] [ ] [5 ] c [0 ] [ ] [ ] gdzie R jest prmetrem d [ ] [ 0 ] [0 ] e [ ] [ 0 ] [0] [ 6 5 ] [ 00 ] [ 00 ] [00 ] *7.. Sprwdzić cz wektor... k są liiowo iezleże gd: [ ] [ 6] [ ] [ ] b [ ] [ ] [0 ] c [ ] [ ] gdzie R jest prmetrem d [0 ] [ 0 ] [0 ] e [0 ] [ ] [0 ] [ 0 ] [00 ] [ 00 ]. 7.. Podć iterpretcję geometrczą i rsowć w ukłdzie współrzędch zbiór V { R : tv t R} gd: [ 00] v [] b [ 0] v [] c [ ] v [] d [ ] v [] Sprwdzić cz pukt leżą do tej smej prostej gd: [0 ] [ ] [ ] b [0 ] [ ] [ ] c [ 0 0] [0 ] [ ] 7.6. Niech [ ] orz b [ ]. Sprwdzić cz leż do prostej przechodzącej przez pukt i b orz do odcik o końcch w puktch i b gd:

14 [0 ] b [ 0] c [ 7 ]. *7.7. D jest zbiór R : k} V k { gdzie prmetr k jest ustloą liczbą rzeczwistą orz [ 0] [ 0]. Uzsdić że V { 0 R : R} i podć iterpretcję geometrczą zbioru V 0. b Podć przkłd wektor 0 V stępie uzsdić że 0 V dl kżdego V0. c Pokzć że V { R : 0 R}. Podć iterpretcję geometrczą zbioru V. d Sprwdzić cz dl dowolch wektorów jeśli z V to z V? *7.8. D jest zbiór V { R : }. Uzsdić że jeśli b V to { R : t t b t 0 } V. Podć iterpretcję geometrczą tego ktu De są wektor [ ] [0]. Pokzć że dowol wektor R jest kombicją liiową wektorów i. b Uzsdić że { R : R} R. *c Cz wektor orz R tworzą prz dowolie ustlom wektorze ukłd wektorów liiowo zleżch? *7.0.. De są wektor [ 0 ] [00] [0 ]. Pokzć że dowol wektor R jest kombicją liiową wektorów i. buzsdić że { R : R} R. Zestw r 8: Mcierze dziłi mcierzch 8.. Wkoć wskze dziłi mcierzch A B C i D tk b wzczć elemet mcierz X lub uzsdić że mcierz X ie istieje jeśli: A = [ 0 ] B = [ 0 ] C = [ 0] D = [ ] 0 0 5

15 orz X = AA T + C c X = B T C + DA e X = B T B DD T b X = BD C A d X = BT C DT X = A T C + CA 8.. D jest mcierz A o wmirch 5 i o elemetch ij i = j = 5 którch wrtości są stępujące: Wzczć opise w podpuktch sum A = [ ] S = i i b S = j + j c S = t t i= 8.. De są mcierze A = [ 0 ] B = [ ] orz I = [ 0 0] j= Uprościć wzor określjące mcierz X stępie wzczć w kżdm przpdku elemet tej mcierz jeśli: X = BB A A T c I + X + A T = BB I b X = BA B T A d X + A T BB = I + A T t= 8.. Niech A = [ b c d ] B = [ d d cb c b ] gdzie d cb. Sprwdzić że prz dowolch liczbch b c d jeśli d cb to AB = I orz BA = I. b Wzczć mcierze [ ] orz [ 0 ] podstwie puktu tego zdi Wektor k k k k ozczją kolum wektor w T w T w T wiersze mcierz 0 A = [ 5 ] 7 6 Podto iech b v R gdzie b = [ 0] v = [ ] orz d R gdzie d = [ ] = [ 8 z ]. Zpisć w postci ukłdu rówń liiowch stępujące związki

16 A = b c k + k + k + k = b b A T v = d d w T + w T + zw T = d 8.6. Podć mcierzow zpis tj. A = b kżdego z stępującch ukłdów rówń liiowch gdzie A jest mcierzą o wmirch m R b R m. { +7 = = 6 = b { +8 = 0 = 8 = 0 = 0 c { 5 +7 = = 0 Zestw r 9: Ukłd rówń liiowch 9.. D jest mcierz A = [ ]. Stosując opercje elemetre wierszch mcierz A sprowdzić tę mcierz do postci bzowej względem kolum I II orz III. 0 Odp. A [ ] D jest mcierz A = [ ]. Stosując opercje elemetre wierszch mcierz A sprowdzić tę mcierz do postci bzowej względem kolum I III orz IV. b Pokzćże ie moż sprowdzić tej mcierz do postci bzowej względem kolum I II orz III. 9.. Wzczć rząd mcierz A oz.:rza jeśli mcierz t d jest stępująco: 0 0 A = [ ] b A = [ 5 ] c A = [ ] d A = [ ] Stosując opercje elemetre wierszch mcierz rozszerzoej [A b] wzczć rozwiązie ogóle stępującch ukłdów jedorodch:

17 / { + = 0 b/ { 5 + = 0 + = = = 0 c/ { 5 + = 0 + = 0 + = 0 d/ { + = 0 + = Stosując opercje elemetre wierszch mcierz rozszerzoej [A b] wzczć dl kżdego ukłdu po jedm przkłdowm rozwiąziu szczególm i wkoć sprwdzeie gd { +7 = = 6 = b { +8 = 0 = 8 = 0 + = c { 5 = = 9.6. W podch iżej iejedorodch ukłdch rówń liiowch Zpisć mcierz rozszerzoą [A b] dego ukłdu rówń. b Stosując opercje elemetre wierszch mcierz [A b] sprowdzić mcierz rozszerzoą ukłdu do postci bzowej. c Sprwdzić cz rza = rz[a b] d Zpisć rozwiązie ogóle tego ukłdu rówń. e Wzczć wszstkie rozwiązi bzowe dego ukłdu rówń orz wskzć rozwiązi bzowe ieujeme. { + = { 5 + = + = + + = + 5 = + = { 5 + = 6 { + = + = + = 6 Zestw r 0 WYZNACZNIKI 0.. Obliczć wzcziki stosując rozwiięcie Lplce względem wbrego wiersz lub kolum: det [ 0 ] b det [ 5 ] c det [ ] De są mcierze α 0 A = [ ] B = [ ] C = [ 0 β α] β 0 5 0

18 Stosując rozwiięcie Lplce względem trzeciego wiersz obliczć wzcziki tch mcierz: b Powtórzć obliczei stosując rozwiięcie Lplce względem trzeciej kolum. 0.. Obliczć wzcziki stępującch mcierz: A = [ ] B = [ 5 0] C = [ 0 6 ] D = [ 0 ] Obliczć wzcziki podch mcierz sprowdzjąc je uprzedio do postci mcierz trójkątej. 5 A = [ ] B = [ ] Obliczć pode wzcziki wkorzstując opercje elemetre i włsości wzczik: 0 det [ ] b det [ ] *0.6. Stosując opercje elemetre wierszch mcierz zleźć rozwiązie rówi: det [ ] = Zleźć dopełieie lgebricze elemetu orz 5 mcierz A = [ 0 6] D jest mcierz A = [ ]. 5 Obliczć wzczik mcierz A metodą Srrus. b Wzczć mcierz dopełień mcierz A D stępie obliczć jej wzczik. D D T D T c Obliczć det A A det A A det A A d Wkorzstując mcierz dopełień A D wzczć mcierz odwrotą do mcierz A Pokzć że detab = deta detb jeśli: 0 0 A = [ 0 5] B = [ ] Wzczć mcierze dopełień lgebriczch dl podch mcierz:

19 A = [ ] B = [ 0] C = [ 0 ] D = [ 0 b 0] 0 0 c 0.. Wzczć mcierz odwrotą do mcierz A z pomocą metod dopełień lgebriczch Gd: A = [ 5 7 ] c A = [ 6 ] b A = [ 0 ] d A = [ ] Rozwiązć rówi z iewidomą. det [ ] = 0 b det [ + + ] = det [ 6 5 ] 0 0 c det [ 0 ] = det [ 0 ] Rozwiązć ukłd rówń stosując wzor Crmer +7 = { = 9 +z = b { + +z = +z =. + + = 5 c { + = 8 + = Rozwiązć kżd z ukłdów rówń w zleżości od wstępującego tm prmetru k lub p: k + + = { +k + = + + = k. p + +z = b { + z = p +pz = Wzczć mcierz X z rówi mcierzowego C = A X T B + B gdzie A B C są dmi mcierzmi ieosobliwmi stopi. Obliczć det X wiedząc że det A = det B = det C = De są mcierze: 0 0 A = [ ] B = [ 0 ] Wzczć mcierz C dą wzorem C = A T A + det I BB. b Wzczć rząd kżdej z mcierz: A B orz I B. c

20 k Zbdć dl jkich wrtości prmetru k mcierz B = [ k ] jest odwrcl. Dl k 0 zlezioch wrtości k wzczć mcierz X spełijącą rówie B X = [ 0] De są mcierze: A = [ 5 0] B = [ 0 ] orz mcierz C stopi tk że det C =. Obliczć det B C T A.