WYKŁAD nr 2. to przekształcenie (1.4) zwane jest przekształceniem całkowym Laplace a

Transkrypt

1 WYKŁAD r. Elemey rachuku operaorowego Podawą rachuku operaorowego je zw. przekzałceie Laplace a, mające poać przekzałceia całkowego, przyporządkowujące fukcjom pewe owe fukcje, iego argumeu. Mówi ię, że pewa fukcja F argumeu zepoloego je raformaą w eie Laplace a fukcji f argumeu rzeczywiego, określoej dla > i zwaej orygiałem, co je oowae w poaci F ( f ( ] (.3 jeżeli między ymi fukcjami zachodzi relacja w poaci F ( F( e d o przekzałceie (.4 zwae je przekzałceiem całkowym Laplace a (.4 W ablicy podao raformay Laplace a dla zeregu orygiałów, z jakimi moża ię pokać w prakyce. Tablica pełi rolę łowika, pozwalającego łumaczyć klayczy zapi ygałów, jako ich przebieg w czaie, a zapi operaorowy ych ygałów, w poaci fukcji F(. Zapi operaorowy łuży ie ylko do oowaia ygałów, główie do oowaia charakeryyk dyamiczych układów liiowych; w ym przypadku F( je raformaą pewego, charakeryyczego dla daego układu przebiegu ygału wyjściowego f ( kórym o ygałem układ odpowiada a adardowe wymuzeie wejściowe. Typowe wymuzeia adardowe zeawioe zoały w abeli r. L.P Opi Wykre Orygiał Trafor maa. Skok jedokowy (fukcja Heaviide a x(, < x (,

2 . Wymuzeie kokowe o dowolej warości x( x, < x( x, x 3. Wymuzeie impulowe ( fukcja Diraca x(, < x (,, > Wymuzeie liiowo araające Wymuzeie parabolicze x( x( x ( a a a x ( a 3 Tabela r. Typowe wymuzeia adardowe Możliwa je rówież raformaa odwroa, pozwalająca a określeie fukcji czau f ( odpowiadającej daej fukcji zmieej zepoloej F(.Odwroe przekzałceie Laplace a wyraża ię zależością : L [ F( ] Πj σ j σ j F( e d gdzie: σ ała więkza od odcięej zbieżości fukcji F( (.5

3 L.p Orygiał Traformaa Orygiał Traformaa. e α α 3.4 e ± m α! ( α ( 5,6. ( e α α ( α α 7,8. i α α 9,. iα e ±α e α ( α α α e e α α α ( α co α coα ( m α ( α ( α ( α ( α α α Tabela r. Orygiały i raformay Laplace a. Podawowe właości rachuku operaorowego Twierdzeie o liiowości Zgodie z ym wierdzeiem możik ały oraz ymbol umowaia mogą być wyieioe przed ymbol L przekzałceia Laplace a ak jak moża je wyoić przed ymbol całkowaia W zczególości : raformaa umy rówa ię umie raforma raformaa iloczyu ałej i fukcji rówa je iloczyowi ałej i raformay fukcji. Podawowe zaczeie ego wierdzeia polega a ym, że doarcza oo przełaki do prakyczego wykorzyaia odwroego przekzałceia Laplace a j. pozukiwaia orygiałów gdy zaa je raformaa. Rozkłada ię daą raformaę a ułamki proe, przechodząc aępie do orygiałów wyraz po wyrazie korzyając z abeli r. f ( g( ] f ( ] g( ] F( G( k f ( ] k f ( ] k F(, k co (.6

4 Twierdzeie o różiczkowaiu Fudameale zaczeie wierdzeń o różiczkowaiu i całkowaiu polega a ym, że prowadzą oe do algebraizacji problemów aaliyczych liiowych ciągłych. W zczególym ale ypowym przypadku w kórym ie igerują waruki począkowe z. f (, operacje aaliycze różiczkowaia i całkowaia orygiału ą reprezeowae w dziedziie raforma przez operacje algebraicze odpowiedio możeia i dzieleia przez zmieą "" przekzałceia Laplace a. df ( ] f ( ] f F( f d d f ( df ] f ( ] f d d d f ( d gdzie : f ( f lim f ( ] F( f ( f ( f f f df d,..., d,..., f graica praworoa F( f pochode fukcji f Twierdzeie o całkowaiu W przypadku gdy fukcja pierwoa f ( L [ f ( d] f ( ] F( L [... f ( d] 3 f d f f ( ] F( (.7 (.8 Twierdzeie o fukcji okreowej Jeżeli dla daej fukcji okreowej f ( f ( kt k,,3,4... zaa je za jede okre

5 je T L [ f ( ] f ( e d F L T [ f ] T T ( o jej raformaa rówa F ( ( (.9 e Twierdzeie o przeuięciu rzeczywiym W przypadku gdy przeuięcie czaowe wyoi τ τ τ L [ f ( τ ] e L [ f ( ] e F( (. Twierdzeie o przeuięciu zepoloym W odieieiu do przeuięcia w poaci dowolej liczby zepoloej λ ± λ L [ e f ( ] F( ± λ (. Twierdzeie o warości końcowej lim f ( lim F( w zakreie iieia graicy lim (. Twierdzeie o warości począkowej lim f ( lim F( w zakreie iieia graicy lim (.3 Twierdzeie o zmiaie kali L [ f ( a ] F( (.4 a a Twierdzeie o plocie fukcji (wierdzeie Borela L [ f f ( ] F ( F ( (, (.5

6 gdzie plo fukcji f ( f ( f ( τ f ( τ dτ f ( τ f ( τ dτ je operacją przemieą, łączą, rozdzielą względem dodawaia Splo je rówy zero wedy i ylko wedy, gdy co ajmiej jeda z fukcji f ( lub f ( je rówa zero.. Tramiacja operaorowa Tramiacja operaorowa je określaa dla układów acjoarych opiaych rówaiem różiczkowym liiowym o ałych kupioych.dokoując przekzałceia Laplace a względem obu ro ego rówaia, przy zerowych warukach począkowych,orzymuje ię ( l i bi Y ( ( i j j a X ( j gdzie : Y ( y( ], X ( x( ] (. Tramiacją operaorową azywamy ouek raforma ygału wyjściowego i wejściowego układu przy zerowych warukach począkowych, co w przypadku rówaia (. prowadza ię do zapiu G( a a l l l l b b... a a... b b (. Tramiacja operaorowa określa właości dyamicze układu, ie zależy ai od ygału wejściowego ai ygału wyjściowego - a jedyie od paramerów układu. Zając ramiację operaorową układu moża obliczyć przebieg odpowiedzi y ( a dowole wymuzeie x( korzyając z odwroego przekzałceia Laplace a : y( L [ G( X ( ] (.3!!! Miejca zerowe liczika ramiacji zwae ą zerami ramiacji.!!! Miejca zerowe miaowika ramiacji zwae ą bieguami.