Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Transkrypt

1 Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f, (fukcj jedej zmieej), jeżeli kżdej liczbie ze zbioru X jest przyporządkow dokłdie jed liczb y pewego zbioru liczb Y. (rys..) Przyporządkowie to zpisujemy w postci: (l) y= f (). Zmieą we wzorze (l) zywmy rgumetem fukcji lub zmieą iezleżą, zmieą y - zmieą zleżą. Określoą liczbę X 0 ze zbioru X zywmy wrtością rgumetu fukcji f lbo wrtością zmieej iezleżej przyporządkową jej liczbę y 0 ze zbioru Y zywmy wrtością fukcji f w pukcie X 0. Zbiór X wrtości rgumetów fukcji f zywmy dziedzią fukcji f. Rys.. Fukcj. Zbiór Y wrtości fukcji f zywmy zbiorem wrtości fukcji f, lub przeciwdziedzią tej fukcji. Niekiedy, dl zzczei, że fukcj f przeksztłc elemety zbioru X elemety zbioru Y używ się otcji: f: X Y Kżd fukcj jest przyporządkowiem jedozczym, tz. jedemu rgumetowi fukcji odpowid jed wrtość. Jeśli podto kżdej wrtości odpowid jede rgumet, to tką fukcję zywmy wzjemie jedozczą. Przykłdy fukcji: f()=, f()= (+)/(-), f()=si. Określić ich dziedzię i przeciwdziedzię. Przykłdy przyporządkowń, które ie są fukcjmi: y =, y + =5. Przykłdy: Określić dziedzię stępujących fukcji: 3 y l 5 y, Czy fukcje y 3 i y 3 są rówe?

2 Wykresem fukcji y = f() zywmy umieszczoy w ukłdzie współrzędych krtezjńskich zbiór puktów o współrzędych (, f()). Rysuek obok przedstwi wykres fukcji f ( ). D =, ).. Ciągi ieskończoe. Defiicj.. Ciąg ieskończoy jest fukcją, której dziedzią jest zbiór liczb turlych. Dl wygody ciąg ieskończoy będziemy zywć po prostu ciągiem. Jeśli f jest ciągiem ieskończoym, to kżdej liczbie turlej odpowid liczb rzeczywist f(). Liczby te mogą być zpise w sposób stępujący: f(), f(), f(3),, f(), f() zywe jest -tym wyrzem ciągu lub ogólym wyrzem ciągu. Niekiedy wygodie jest zpisć ciąg w postci sekwecji liczb rzeczywistych: { } =,, 3,,, gdzie = f(). Defiicj.3. Dw ciągi:,, 3,,, orz b, b, b 3,,b, są rówe wtedy i tylko wtedy, gdy i = b i dl kżdej dodtiej cłkowitej liczby i. Przykłd. Npisć pierwsze cztery orz dziesiąty wyrz ciągu o stępującym wyrzie ogólym: ), c) ( ), 3 b) (0, ), d) 4

3 Defiicj.4. Mówimy, że ciąg { } m gricę L, co zpisujemy w postci lim L jeśli dl kżdej liczby rzeczywistej > 0 istieje dodti liczb turl N tk, że dl kżdego > N zchodzi L Jeśli lim ie istieje w sesie defiicji.4., to mówimy, że ciąg { } ie m gricy, lub że jest rozbieży. Iterpretcj geometrycz: Kżdy wyrz ciągu { } może być przedstwioe w ukłdzie współrzędych jko pukt o współrzędych (k, k ) k =,,. (rys..). Jeżeli lim L, to dl kżdego > 0 możemy dobrć tką wrtość, że pukt (, ) i wszystkie stępe pukty leżą pomiędzy liimi y = L + i y = L -. Defiicj.5 Określeie lim ozcz, że dl dowolej liczby rzeczywistej P istieje tk liczb turl N, że > P dl kżdego > N. Defiicj.6 Określeie lim ozcz, że dl dowolej liczby rzeczywistej P istieje tk liczb turl N, że < P dl kżdego > N. Twierdzeie.. Jeśli r, to limr 0. Jeśli r, to lim r. Rys.. Iterpretcj geometrycz ciągu zbieżego. 3

4 Przykłd. Npisć pierwsze cztery wyrzy i zleźć grice, jeśli istieją, ciągów:. 3 Twierdzeie. Jeśli.,0 lim L orz lim M, to: lim ( b ) L M, lim b LM, b L lim, jeśli M 0 i b 0 dl kżdego. b M Twierdzeie.3 c Jeśli lim 0 to, dl dowolej stłej c, lim. c Jeśli lim, to lim 0 Twierdzeie.4 Niech W () = , W m () = b m m + b m- m- + + b + b 0 Wówczs gdy m W ( ) lim gdy m Wm ( ) bm 0 gdy m Przykłd.3 Zjdź gricę ciągu o wyrzie ogólym. 5 3 Przykłd.4 Zjdź gricę ciągu o wyrzie ogólym

5 Twierdzeie.5 lim e, przy czym lim i 0. Liczb e jest podstwą logrytmu turlego, e,788. Przykłd.5 Obliczyć 4 lim. Rozwiązie lim 4 lim / e 4 5

6 Fukcje elemetre.. Fukcj wielomiow. y = D = R Zbiór wrtości Y zleży od stopi wielomiu. Przykłdy: y = fukcj stł Y = {} y = + 0 fukcj liiow Y = R 6

7 7 y = Fukcj kwdrtow D = R 0,, ( 0 ),, y y Y w w. Fukcj wymier b b b b b y m m m m D wszystkie liczby rzeczywiste, które ie są pierwistkmi miowik. Y zleży od postci fukcji wymierej.

8 3. Fukcj wykłdicz y = >0 Y = (0, ) Jeśli >, to fukcj jest rosąc, Jeśli <, to fukcj jest mlejąc. 4. Fukcj logrytmicz y = log D = (0, ), Y = R (0, ) (, ) Jeśli >, to fukcj jest rosąc, Jeśli <, to fukcj jest mlejąc. 8

9 5. Fukcje trygoometrycze. y = si D = R, Y = -, y = cos D = R, Y = -, y = tg D = {: R i k /, k = ±, ±, }, Y = R 9

10 y = ctg D = {: R i k, k = ±, ±, }, Y = R Fukcj złożo Niech de będą dwie fukcje: g: A B i f: B C Fukcję h określoą wzorem h()= f(g()) zywmy fukcj złożoą. Jej dziedzią jest dziedzi fukcji g, tomist zbiorem wrtości jest zbiór wrtości fukcji f. Możemy ztem pisć h: A C. Fukcję g() zywmy fukcją wewętrzą f() fukcją zewętrzą. Przykłdy fukcji złożoych: y 3, y si 5, y si, y si, 3 y, 3 y 5 0

11 Fukcj odwrot Jeżeli fukcj f: X Y jest wzjemie jedozcz, tz. kżdej wrtości odpowid dokłdie jede rgumet, to istieje wzjemie jedozcz fukcj g odwrot do f, tz. tk, że: g: Y X orz dl kżdej pry liczb X i by jeżeli b = f(), to = g(b). Fukcję odwrotą do y = f() ozczmy symbolem y = f - (). Jeśli dy jest wzór fukcji f, to by otrzymć wzór fukcji f - wystrczy wyliczyć w zleżości od y i zmieić zwy zmieych. Przykłdy: Zleźć fukcje odwrote do:. y = dl 0. y = 3 +5 Rozwiązie. y y. Zmieimy zwy zmieych i otrzymujemy wzór fukcji odwrotej w postci y. y 5 y 3 5 y Zmieimy zwy zmieych i otrzymujemy wzór fukcji odwrotej w postci y 5. 3 Wykres fukcji odwrotej otrzymujemy z wykresu fukcji dej przez symetrię względem prostej y =. Przykłdy cd. Fukcją odwrotą do y = e, D = R, Y = (0, y = l, D = (0, ), Y = R. ),

12

13 Fukcje cyklometrycze Fukcją odwrotą do y = si, w przedzile -/, / jest y = rcsi, D = -,, Y = -/, / y=rcsi y=si Fukcją odwrotą do y = cos, w przedzile 0, jest y = rccos, D = -,, Y = 0, y=rccos y=tg y=rctg Fukcją.00 odwrotą do y = tg, w 0.00 przedzile (-/, /) jest y = -.00 rctg, D = (-, ), Y = (-/, /) Fukcją odwrotą do y = ctg, w przedzile (0, ) jest y = rcctg, D = (-, ), Y = (0, ) y=cos