ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

Transkrypt

1 ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y B Wprowdzeie ozczei współrzędych puktu C, p C = ( y, y) lub C = ( x, x + ) Wykorzystie twierdzei Pitgors i zpisie wruku prostopdłości odcików AC i BC: AC + BC = AB, w którym C x Rysuek musi zwierć dą prostą orz pukty A i B Ie elemety mogą, le ie muszą być uwzględioe Współrzęde puktu C moż odczytć z rysuku, le zdjący musi sprwdzić, p przez wstwieie do rówi prostej prwidłowość odczytu Przyzjemy peł pulę puktów W przypdku, gdy zdjący pod odczyte współrzęde puktu C i ie doko sprwdzei z wrukmi zdi otrzymuje pukty tylko w czyościch i AC = 0y 8y + 70, BC = 0y y + 0, AB = 0 lub AC = ( 0 x + y + ), BC = ( 0 x + 08 ) Doprowdzeie do rówi kwdrtowego z jedą iewidomą: p y y+ = 0 lub x x 0= 0 Rozwiązie rówi i zpisie odpowiedzi: C = ( 0, ) lub C = (,)

2 II metod rozwiązi ( WEKTORY ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych Wprowdzeie ozczeń pomociczych i wyzczeie wektorów: p C = ( y, y), CA = [ + y, y], CB = [ + y, y] 8 lub C = ( x, x + ), CA = [ + x, x + ], CB = [ x, x ] Wykorzystie wruku prostopdłości wektorówca, CB i zpisie rówi: p + y + y + y y = 0, gdzie y to rzęd puktu C ( )( ) ( )( ) lub ( + x)( x) + ( x+ )( x 8) = 0, gdzie x to odcięt puktu C Doprowdzeie do rówi kwdrtowego z jedą iewidomą : p y y+ = 0 lub x x 0= 0 Rozwiązie rówi i zpisie odpowiedzi: 0, C =, C = ( ) lub ( ) III metod rozwiązi ( KONSTRUKCJA ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych Zpisie rówi okręgu o środku w pukcie S = (,), który jest środkiem odcik AB i promieiu r = AB = 0 : ( x ) + ( y ) = 0 Zpisie ukłdu rówń: x+ y = ( x ) + ( y ) = 0 Doprowdzeie obliczeń do postci rówi kwdrtowego, p: y y+ = 0 lub x x 0= 0 Rysuek musi zwierć dą prostą orz pukty A i B Ie elemety mogą, le ie muszą być uwzględioe Rysuek musi zwierć dą prostą orz pukty A i B Ie elemety mogą, le ie muszą być uwzględioe

3 Rozwiązie rówi i zpisie odpowiedzi: 0, C =, C = ( ) lub ( ) Ogólie, rozwiązie powio mieć postć: Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych Przedstwieie metody pozwljącej wyzczyć pukt C Zpisie wruków lgebriczych wyikjących z obrej metody rozwiązi Doprowdzeie do rówi kwdrtowego z jedą iewidomą Wyzczeie współrzędych puktów C Zpisie wzoru fukcji g w postci g ( x) = + + dl x x Wyzczeie współczyik z rówi ( ) = Doprowdzeie ierówości + < x + Wyzczeie zbioru rozwiązń ierówości ( ) x (, ) (, ) g : = x 0 do postci < 0 x + g x < : Zpisie podstwy logrytmu: p = Obliczeie wrtości fukcji f dl rgumetu x = 0, : f ( 0,) = Nrysowie wykresu fukcji y = f ( x ) Nrysowie wykresu fukcji g y 7 y = log x y = log ( x ) y = log ( x ) x W metodzie II i III przestwioe zostły czyości i i zpise w kolejości tkiej, jk będzie mił miejsce w trkcie rozwiązi tą metodą Przyzjemy pukt rówież wtedy, gdy zdjący ie zpisze dziedziy fukcji g W tej czyości oceimy poprwość y = f x Pukt wykoi przeksztłcei ( ) przyzjemy trówież wtedy, gdy zdjący iepoprwie wyko przesuięcie, le y = f x poprwie wyko przeksztłceie ( ) Jeśli zdjący od rzu rysuje wykres fukcji g, to przyzjemy pukt w czyościch i

4 Podie miejsc zerowego fukcji g: x = Czyość oceimy kosekwetie do uzyskej przez zdjącego fukcji g Wyrżeie fukcji tgα w zleżości od i H: tg α = = H H h Wyrżeie fukcji cosα w zleżości od i h: cosα = Wykorzystie wyzczoych zleżości i doprowdzeie podego w treści zdi związku = H h do zleżości z jedą zmieą α : p h = tgα stąd H =, cos stąd h cos H tgα = α = α ; po podstwieiu otrzymujemy tgα = cosα Doprowdzeie zleżości do postci rówi, w którym jest tylko jed fukcj trygoometrycz, p: si = si α Rozwiązie rówi, p dokoie podstwiei t = siα i rozwiązie rówi kwdrtowego t + t = 0: t = orz t = + π α α dl 0, Odrzuceie ujemego pierwistk i podie odpowiedzi: siα = II sposób rozwiązi (czyości i ) Zpisie wyrżei = H h w postci proporcji h h = = H H Wykorzystie fukcji trygoometryczych do zpisi proporcji w postci rówi jedej zmieej: h = tgα, cos H = α stąd h π =, tgα= cos α, si α+ si α = 0 dl α 0, H Jeśli zdjący ie wskże włściwego rozwiązi spełijącego wruki zdi, to ie otrzymuje puktu z tę czyość

5 Sporządzeie rysuku dl = y Obliczeie sumy pól czterech prostokątów: = Obliczeie sumy pól wszystkich prostokątów w postci: = Wykorzystie podej tożsmości i przeksztłceie sumy do postci: ( + )(+ ) ( + )(+ ) S = lub S = W x = x x + x + x x + Zpisie wielomiu w postci sumy dwóch skłdików ieujemych: p W ( x) = x ( x ) + ( x ) lub W ( x) = ( x x) + ( x ) Uzsdieie, że ob skłdiki są ieujeme i ie mogą być jedocześie rówe 0, więc wielomi W ( x) ie m pierwistków rzeczywistych II metod rozwiązi: Obliczeie pochodej wielomiu W( x ) i jej miejsc zerowego: W' ( x) = ( x )( x + ), x = Zpisie wielomiu w postci: ( ) 0 x Wystrczy, że zdjący poprwie zpisze lewą stroę podej postci

6 7 x = wielomi W( x ) osiąg lokle Uzsdieie, że w pukcie miimum Obliczeie wrtości wielomiu W( x ) dl x = lbo jej oszcowie z dołu przez liczbę dodtią i uzsdieie, że wielomi W( x ) ie m pierwistków rzeczywistych: W = 7 Zpisie rówi f ( x) = w postci: cos x + cos x = 0 7 Zpisie rówń: cos x = 0 lub cos x = Zpisie rozwiązń rówi f ( x) = leżących do przedziłu 7 π π 0, π : x = 0 x = x = x = π Przedstwieie metody rozwiązi zdi, p wprowdzeie 7 pomociczej iewidomej t = cos x i t, i zpisie fukcji f t = t + t+ dl t, 7 7 ( ) Obliczeie pierwszej współrzędej wierzchołk prboli, będącej wykresem trójmiu kwdrtowego f ( t) = t + t+ : t w = Uwzględieie fktu, że, i współczyik przy t jest ujemy, i obliczeie jwiększej wrtości fukcji f : fmx = Pukt otrzymuje też zdjący, który pomiął dziedzię fukcji f Wystrczy, że zdjący zpisze trójmi w postci koiczej: () f t = t + Zdjący ie musi lizowć zku współczyik przy t, o ile oblicz ( ) f, f ( ), f i wybier jwiększą z ich

7 I metod rozwiązi: Sporządzeie rysuku D P C A O B 8 Obliczeie długości krwędzi boczej ostrosłup: = Obliczeie objętości ostrosłup ABCD, p poprzez stwierdzeie, że 8 dy ostrosłup to roże sześciu o krwędzi długości : V ABCD = Zpisie rówi z iewidomą H szuką odległością: 8 ( ) H + H = 8 Obliczeie szukej odległości: H = Zdjący może pomiąć uzsdieie, że pukt P leży wysokości DO Wystrczy że zdjący zpisze, że objętość ostrosłup jest sumą objętości czterech ostrosłupów, których podstwmi są ściy dego ostrosłup, wysokością szuk odległość

8 II metod rozwiązi: Sporządzeie rysuku: D B P jest rzutem puktu P wysokość ściy boczej DC 8 Obliczeie długości DC : DC 8 8 Wyzczeie DO z trójkąt DOC : p = AB = DO = DC OC, gdzie OC = =, stąd DO = Zpisie rówi z iewidomą H, p z podobieństw trójkątów PP OC ΔPPD ΔDOC wyik proporcj = i PP = H, DP DC H = H 8 Obliczeie szukej odległości: H = Obliczeie liczby wszystkich zdrzeń elemetrych: Ω = 8! A C P Obliczeie liczby zdrzeń elemetrych sprzyjjących zdrzeiu A, że jko pierwsze pójdą kobiety i żo będzie szł bezpośredio przed mężem: A =!! = P O C Wystrczy zpis A =!! lub A =

9 0!! Obliczeie prwdopodobieństw zdrzei A: P( A) = = 8! 0 Porówie otrzymego prwdopodobieństw z 0,00, p: P ( A) = < lub P ( A) 0,000 < 0, Zpisie ukłdu pozwljącego wyzczyć rówie prostej 0 = + b przechodzącej przez pukty ( x,0), (, ), (0, y ) : 0 = ( ) + b 0 Wyzczeie z ukłdu iewidomej b: p b = Zpisie wzoru szukego ciągu: y = + lbo y = II metod rozwiązi: Zpisie współczyik kierukowego prostej X P 0 (przechodzącej przez pukty ( x,0 ) i P): 0 Zpisie rówi prostej 0 Zpisie wzoru szukego ciągu: 0 0 III metod rozwiązi: X P : y ( x ) = = ( ) = = + lbo y = Wprowdzeie ozczeń: A= ( x,0), P = (,), C = ( 0, y ) Wyzczeie współrzędych wektorów AP = [,], = [, ] Zpisie wruku rówoległości wektorów: AP PC d AP, PC = 0 y = 0 ( ) 0 Zpisie wzoru szukego ciągu: y stąd ( ) y = + lbo y PC y + =

10 0 0 IV metod rozwiązi: Wprowdzeie ozczeń: A= ( x,0), P = (,), C ( y ) Wykorzystie zleżości: AP + PC = AC, = 0, ( x ) ( 0) ( 0 ) ( y ) ( 0 x ) ( y 0) = + Podstwieie x = i doprowdzeie wyrżei do postci: ( y ) = Zpisie wzoru szukego ciągu: y = + lbo y = Przyjęcie ozczeń, wykorzystie defiicji lub włsości ciągu geometryczego i zpisie zleżości między długościmi boków trójkąt prostokątego, p:, b, c długości boków trójkąt prostokątego i < b < c, b = q, c = q lub b = c Wykorzystie twierdzeie Pitgors i zpisie rówi, w którym występują jwyżej dwie iewidome, p: ( q) = ( q ) + c c = + lub c c Zpisie rówi, p: q q = 0 lub = 0 c Wykoie podstwiei t = q lub t = i rozwiązie rówi + t t = 0 : t = t = Obliczeie ilorzu ciągu: + q = 0