Rozszerzenie znaczenia symbolu całki Riemanna

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozszerzenie znaczenia symbolu całki Riemanna"

Bogumił Michalik
4 lat temu
Przeglądów:

1 Rozszerzeie zczei smolu cłi Riem Z deiicji cłi Riem widć że isoą rolę odrw uporządowie prosej R prz worzeiu podziłu P. Jeżeli zmieim uporządowie prosej o sum cłowe zmieiją z o zmieiją z różice - -. Przjmiem więc dl < d. Sąd w szczeólości. Cłowie różiczowie Tw. Niec i iec. Wówczs ucj jes ciął. jeśli jes ciął w pucie o jes różiczowl w pucie i =. Dow. Niec. Wierm dowole ie że + R jes oriczo M M Z i m{ mi{ M ciąłość Dow. Niec - pu ciąłości ucji. Wierm dowole ie że +. Wówczs m{ mi{ jes ciął w pucie. Sąd co impliuje lim Wiose. Jeżeli C o jes ucją pierwoą ucji i =. Tw. Newo-Leiiz Jeżeli i isieje ucj różiczowl że o.

2 Dow. Dl podziłu... { P wierm pu pośredie z w. Lre dl wi że jes o możliwe. Wówczs wszsie wrz sum z wjąiem i uleą reducji. Woec złożoej cłowlości jeżeli P d o. Sąd. Tw. cłowe o wrości średiej Jeżeli ucj jes ciął c: c Dow. jes ucją pierwoą ucji. Woec eo - różiczowl czli rówież ciął czli spełi zł. w. Lre więc c: -= c-=c -. Jeżeli o liczę zwm wrością średią ucji przedzile. Jeżeli jes ciął o c : c Tw. o cłowiu przez części dl cłi ozczoej Jeżeli i są różiczowle o { Dowód. Łwo zuwżć że ucje i. Ze woru = + i w. Newo Leiiz mm sąd ez. Tw. o cłowiu przez podswieie cłi ozczoej C : { jes c. B A d B A C : { jes c. Dow..Niec ędzie ucją pierwoą ucji. Wówczs jes ucją pierwoą ucji. z w. o różiczowiu ucji złożoej. Sąd

3 Zsosowie cłi Riem Zsosowi eomercze cłe I. Pole rpezu rzwoliioweo { : - ciąłe P II. Dłuość łuu rzwej Niec r : r z R ędzie ucją weorową oreśloą. W dą rzwą wpisujem łmą i ierzem res ór dłuości łmc. Jeżeli ędzie o sończo o rzwą zwm prosowlą. Tw. Jeżeli r C o rzw K :{ r jes prosowl m dłuość i l Szic dowodu. Dłuość łmej= r r z = z z = ={ rz w. Lre = ' ' z' ={przejście ricze ez. Przpde szczeól : Jeżeli K={ : C o l ' III. Ojęość rł Niec S ozcz pole przeroju rł V płszczz prosopdłą do osi OX w pucie i iec ucj S ędzie ciął przedzile. Wed V S

4 W szczeólości dl rł oroowej: V IV. Pole powierzci rł oroowej Pole powierzci rł oroowej prosmujem sumą pól powierzci sożów ścięc zreśloc przez łmą wpisą w dą rzwą. P Zsosowi izcze cłe V. Dro prze w rucu zmiem Niec pu meril porusz się po płszczźie lu w przesrzei ze zmieą prędością v v v v. Ozczm v v v v v z Dro prze przez pu w przedzile czsowm wrż się wzorem L v przemieszczeie r v v v v z z VI. Prc wo przez zmieą siłę dziłjącą wzdłuż prosej Złóżm że rówolele do osi OX dził zmie sił. Prc wo przez ę siłę od puu = do puu = wrż się wzorem W. VII. Ms odci merileo Złóżm że odcie odrzo jes msą o ęsości liiowej. Wówczs jeo ms wrż się wzorem m.

5 r r Pole oszru zdeo w ułdzie ieuowm r r ;. Dzieląc przedził rówc części i przliżjąc pol orzmc włów polmi wciów ołowc uzsujem wzór P r d. Dłuość rzwej dej rówiem ieuowm r r ; wliczm przedswijąc ą rzwą w posci prmerczej r cos ;. Sąd wliczm ' ' r' r. r si Woec eo l r' r Przłd. Olicz pole powierzci i owód iur oriczoej rzwą zdą ieuowo r si.nrsuj ą rzwą w ułdzie współrzędc P si d l si d si cos si si cos cos si d si cos cos si si cos d si cos si cos 8 d cos d. Cłę Riem moż worzsć do oliczi pewc ric dosrzejąc w pewc wrżeic sum cłowe. A oliczć lim jpierw do posci przeszłcim ją 5

6 lim lim lim i = lim = i cł przedswi pole I ćwiri oł. =. Oliczć dłuość rzwej zdej rówiem ieuowm r. Rozwiązie Dłuość rzwej dej rówiem ieuowm r r ; wliczm przedswijąc ą rzwą w posci prmerczej r cos ;. Sąd wliczm r si ' ' r' r. Woec eo l r' r W rozwżm przpdu l 5 6 u 6u du u 6 du 5 6 u 6 udu 6

Podobne dokumenty

takimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k

takimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Cł ozczo Niech ędzie ucją oreśloą i ogriczoą w przedzile . Przedził e dzielimy pumi,,,..., imi, że....,,.,..., W żdym przedzile wyiermy pu, i worzymy sumę gdzie