Rachunek operatorowy. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. TRANSFORMATA LAPLACE'A

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rachunek operatorowy. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. TRANSFORMATA LAPLACE'A"

Transkrypt

1 kdmi Mrk w Gdyi Kdr umyki Okręwj Tri rwi Rchuk prrwy Mirłw Tmr. TRNSFORMT LPLCE' Trfrm Lplc' j jdym z rzędzi mmyczych łużących d rzwiązywi liiwych rówń różiczkwych zwyczjych. W prówiu z mdą klyczą, md rfrmy prrwj przkzłc rówi różiczkw zwyczj w rówi lgbricz, kórg zmią j prr Lplc'. Wówcz, w clu uzyki rzwiązi w dzidzii prr przkzłc ię rówi lgbricz przy użyciu prych rguł mmyczych. Ocz rzwiązi rówi różiczkwg uzykiw j pprzz zwi dwrj rfrmy Lplc'... DEFINICJ TRNSFORMTY LPLCE' Mjąc fukcję czwą f( płijącą ępujący wruk dl pwj kńczj liczby rzczywij ępującj cłki f ( d { f ( } F ( (, rfrmę Lplc' j fukcji wyzcz ię f ( d Zmi krśl uj jk prr Lplc' i j zmią zplą krślą wzrm j. Rówi ( z j rówiż pd zwą jdrj rfrmy Lplc' w kórj wykyw j cłkwi w zkri czu d d. Ozcz, ż wzyki ifrmcj zwr w fukcji f( przd czm ą pmij lub przyjmw jk rów zr. Złżi i kłd żdych griczń wi rfrmy Lplc' d rzwiązywi prblmów w liiwych ukłdch rwi. W zwykłych prblmch w dzidzii czu, cz diii j przyjmwy jk. W ukłdch fizyczych w kórych ygł wjściwy j przyłży w chwili, dpwidź pbudzi i mż pjwić ię wczśij, iżli w ; z. dpwidź i mż wyprzdzć pbudzi. Trfrm Lplc' pwi zć zdfiiw dl przdziłu czu d d. Symbl zcz, ż gric dl czu br j z lwj ry. Tki griczi br j pd uwgę w ych przypdkch, gdy fukcj f( m pć fukcji kkwj lub impulwj w kórych fukcjch zmi ępuj w chwili. Jdk rówi dfiiując rfrmę Lplc' brdz rzdk j używ, rzwiązując zdi krzy ię z wyrżń zwrych w bli rfrm Lplc' (bl, dlg ż w dlzj części g prcwi pmiię prblm i wzyki wruki pcząkw rzpryw ą dl czu. ( Oi kulizcj: --6 M. Tmr

2 Tri rwi Rchuk prrwy Piżj wyzcz zły rfrmy kilku ypwych fukcji czwych. Przykłd Fukcj kpcjl zdfiiw j ępując f ( (. gdzi rz ą łymi. Trfrm Lplc' fukcji kpcjlj (. mż być wyzcz ępując F( { } d ( d ( Jk widć fukcj kpcjl wrzy bigu płzczyźi zmij zplj. (. Przykłd Fukcj kkw f ( (. gdzi j łą. Łw zuwżyć, ż fukcj (. j pcjlym przypdkim fukcji kpcjlj gdy. Trfrm Lplc' fukcji kkwj F( {} d Fukcj kkw, kórj wykść j jdkw ( zyw j jdkwą fukcją kkwą. Fizyczi fukcj kkw pjwi ię w czi i dpwid łj wrści ygłu przyłżj d ukłdu w chwili rówj zr. (. Przykłd Fukcj liiw rjąc f ( (. gdzi j łą. Trfrmę Lplc' fukcji liiw rjącj uzykiw j ępując: F( {} d Przy wyzcziu zlżści (. zw zł md cłkwi przz części gdzi u rz dv d udv uv vdu d (. Przykłd Fukcj iuidl f ( (. i gdzi rz ą łymi. Fukcj i mż zć zpi ępując: Oi kulizcj: --6 M. Tmr

3 Tri rwi Rchuk prrwy Sąd F( { i } i j j ( (. j j j ( d j j j j j (. W brdz pdby pób wyzcz ię rfrmę fukcji F( { c } c (. Przykłd Fukcj impulw jdkw (fukcj dl Dirc f ( (. Trfrmę Lplc' j fukcji impulwj F( { ( } ( d ( d (. Przykłd 6 Wyzcz rfrmę Lplc' F( fukcji pkzj ryuku, gdzi f(, dl < rz dl >. f( Ry.. Fukcj f( Fukcj f( mż zć zpi ępując: f ( (6. lub w iy pób f ( ( ( ( dl (6. Trfrm Lplc' fukcji (6. Oi kulizcj: --6 M. Tmr

4 Tri rwi Rchuk prrwy F( { f ( } f ( d d d (6. Dlzy ciąg bliczń zlżści (6. F( Oczi F( ( ( (6. (6. Rzwiązi (6. mż uzykć wychdząc z rówi (6. F( { f ( } { ( } + { ( } + { ( } (6.6 Dlj przkzłcjąc rówi (6.6 F( ( ( (6.7 Oczi wyik uzyky w rówiu (6.7 pkryw ię z wyikim (6.. Jśli fukcj f( j fukcją krwą kri T, wówcz F( { f ( } T f ( T d (.. ODWROTN TRNSFORMT LPLCE' Oprcję wyzczi fukcji f( z dj rfrmy prrwj Lplc' F( wykuj ię przy użyciu dwrj rfrmy Lplc, kórą wyzcz ię z ępującg wzru { F ( } j c c j j F( d f (,, ( gdzi c j łą, kór j więkz d części rzczywiych wzykich puków fukcji płzczyźi, w kórych fukcj F( i iij. Rówi ( piuj cłkwi wzdłuż liii zjdującj ię płzczyźi. Dl prych fukcji, prcj zjdwi dwrj rfrmy prrwj plg wyzukiu dpwidij fukcji z bli rfrm Lplc' (bl. Dl fukcji złżych, dwr rfrm Lplc' zjdw j przz rzkłd ułmki pr i ępi przz zwi bli rfrm. D rzkłdu fukcji prrwj F( ułmki pr mgą być używ rówiż prgrmy kmpurw ki jk p. ridu z pkiu MTLB... WŻNE TWIERDZENI Z TRNSFORMTY LPLCE' Krzyi z rfrmy Lplc' w wilu wypdkch uprzcz ię przz wykrzyi dpwidij włści rfrmy. Włści zbr zły w bli. Mżi przz łą Nich k będzi łą, F( rfrmą Lplc' fukcji f(. Wdy { kf (} kf ( Oi kulizcj: --6 M. Tmr

5 Tri rwi Rchuk prrwy Tbl. Pdww włści rfrmy Lplc. Liiwść { f ( + bf (} F ( + bf (,, b ł. Cłkwi w dzidzii rzczywij f ( d F ( + f ( d. Różiczkwi w dzidzii rzczywij d f ( d.. pirwz pchd F( df ( F( f ( d.b. drug pchd k k f ( k d f ( ( F( f ( f ( d (. Cłkwi w dzidzii zplj (zmij f ( F( d. Różiczkwi w dzidzii zplj (zmij { d F( f ( } ( d 6. Przuięci w dzidzii rzczywij {f( T} T F (, T j łą 7. Twirdzi wrści pcząkwj lim f ( lim F( 8. Twirdzi wrści kńcwj lim f ( lim F( 9. Przuięci w dzidzii zplj (zmij { f ( } F(. Zmi kli {f(} F, j łą ddią. Spl fukcji (wirdzi Brl f ( f ( } F F (, gdzi f f ( { ( ( f ( f ( d Twirdzi wrści kńcwj (bl, pk. 8 j brdz pmc w lizi i prjkwiu ukłdów rwi. Wrść kńcw fukcji czwj wyzcz j pprzz zjmść zchwi jj rfrmy prrwj w pukci. Twirdzi wrści kńcwj j Oi kulizcj: --6 M. Tmr

6 Tri rwi Rchuk prrwy Tbl. Wybr rfrmy Lplc f( F(. ( (impul jdkwy. ( (kk jdkwy. ( ( kt ( T. ( k. ( 6. (! 7. ( 8. ( 9.!. (. i (. c ( (. i ( ( (. c ( ( ( T. i ( 6. c ( 7. c( ( ( ( j j + j j iprwdziw jśli F( zwir pw biguy, kórych część rzczywi j rów zr lub ddi. Piżzy przykłd iluruj z jką rżścią mui być w wirdzi wrści kńcwj. Oi kulizcj: --6 M. Tmr 6

7 Tri rwi Rchuk prrwy Przykłd 7 Rzwż fukcję prrwą pci F ( (7. ( Piwż fukcj F( i pid biguów i urjych i w prwj półpłzczyźi, dlg ż mż być zw wirdzi wrści kńcwj. lim f ( Rzwżmy jzcz jdą fukcję lim F( lim (7. F ( (7. kór j rfrmą fukcji f( i. Z g pwdu, ż fukcj m dw biguy F( i urjj płzczyzy, w ym przypdku i mż być zw wirdzi wrści kńcwj. Chciż dl fukcji prrwj (7. wirdzi wrści kńcwj dj wrść rówą zr, jk wrść kńcwą fukcji f(, wyik j iprwdziwy.. WYZNCZNIE ODWROTNEJ TRNSFORMTY LPLCE' PRZEZ ROZKŁD N UŁMKI PROSTE W ukłdch rwi, dl więkzści prblmów, wyzczi dwrj rfrmy Lplc' i dbyw ię pprzz zwi cłki (, l rzłżiu fukcji ułmki pr i zwiu wzrów z bli rfrm Lplc' (bl... ROZKŁD N UŁMKI PROSTE Trfrm Lplc' rzwiązując rówi różiczkw j fukcją prrwą względm, i mż zć zpi ępując: G ( ( M ( gdzi i M( ą wilmimi względm. Rówi ( zł zpi przy złżiu, ż rząd wilmiu M( j więkzy d rzędu wilmiu. Wilmi miwik M( mż być zpiy ępując: M (... (6 gdzi,,..., ą wpółczyikmi rzczywiymi. Md rzkłdu ułmki pr zi przdwi dl ępujących przypdków: gdy biguy fukcji G( ą jdkr, wilkr i zpl.... Fukcj G( m biguy jdkr Jśli wzyki biguy fukcji prrwj G( ą jdkr (pjdycz i rzczywi, wówcz rówi ( mż zć zpi ępując: G ( M ( ( (...( (7 Oi kulizcj: --6 M. Tmr 7

8 Tri rwi Rchuk prrwy gdzi. Jśli rząd liczik j mijzy d rzędu miwik, wówcz rzkłd fukcji (6 ułmki zwykł j ępujący: G ( M ( K + K + + Są dw pby wyzczi wpółczyików K i (i,,...,. Pirwzy plg prwdziu umy ułmków zwykłych d wpólg miwik i prówiu z bą dpwidjących bi wpółczyików liczików. Drugi zczi zybzy, zw. mdą riduuów, plg burym pmżiu rówi (7 przz ( i, pdwiiu z i i wyzczi wpółczyik K i dbyw ię ępując: K (8 K i ( i M ( i ( i ( i...( i i (9 Jśli piń wilmiu liczik i j iżzy iżli piń wilmiu miwik, wówcz wilmi liczik mui zć pdzily przz wilmi miwik, ż uzyk ię piń wilmiu rzkwg iżzy d pi miwik G ( ( (...( część clkwi + wilmi ( ( rzwy...( ( Przykłd 8 Rzwżmy ępującą fukcję prrwą G ( ( ( (8. kór mż zć zpi w pci ępującg rzkłdu ułmki zwykł K G ( K + K + Wpółczyiki K, K rz K mgą zć wyzcz dwm pbmi. Pirwzy plg prwdziu rówi (8. d wpólg miwik (8. G ( ( K K K (K K K 6K ( ( (8. i prówiu uzykych wpółczyików rówi (8. z wpółczyikmi liczik fukcji (8. K K K K 6K K Z rzwiązi pwłg ukłdu rówń (8. uzykuj ię ępując wyiki K K K K (8. (8. Oi kulizcj: --6 M. Tmr 8

9 Tri rwi Rchuk prrwy Drug md (riduuów plg wyzcziu wpółczyików K, K i K z ępujących zlżści: K ( K K ( ( ( W rzulci rówi (8. j ępując G ( (8.6 (8.7 + (8.8 (8.9 Przykłd 9 Przykłd ilurujący pób rzkłdu fukcji prrwj ułmki zwykł dl przypdku w kórym piń wilmiu liczik i j iżzy d pi wilmiu miwik. G ( (9.... Fukcj G( m biguy wilkr Jśli wzyki biguy fukcji prrwj G( ą pjdycz i rzczywi wówcz rówi ( mż zć zpi ępując: G ( M ( r ( (...( r ( i gdzi i,,..., r. W ym przypdku fukcj prrw G( mż być wyrż w pób: G ( K + K + + K r r i ( i ( + + r + + ( r ( Wpółczyiki K, K,..., K r dpwidją bigum pjdyczym i mgą zć wyzcz wdług zlżści (9. Okrśli wpółczyików, kór dpwidją bigum wilkrym wyzcz ię ępując: r i r [( G( ] ( d ] i r r [( i G( ( d i d r r [( i G( ( i ]! d r d r [( r i G( (6 i ] ( r! d i Oi kulizcj: --6 M. Tmr 9

10 Tri rwi Rchuk prrwy Przykłd Rzwż ępującą fukcję prrwą G ( ( ( (. kór m prójy bigu w. Rzkłd fukcji prrwj G( ułmki pr dbyw ię wdług zlżści ( G ( K K ( ( Wpółczyiki dpwidjąc bigum jdkrym (. K [ G ( ] ( ( (. K [( G( ] ( (. Pzł wpółczyiki bigu wilkrg [( G( ] (. d d [( G( ] (.6 d d ( d d [( G( ] (.7!! d d ( Uzyky w pób rzkłd fukcji prrwj (. ułmki pr G ( ( ( (.8... Fukcj G( m biguy zpl jdkr Rzkłd ułmki pr wdług zlżści (8 j rówiż pprwy w przypdku, jśli wśród biguów fukcji prrwj G( pjwiją ię wrści zpl jdkr. Przykłd Rzwż ępującą fukcję ilurującą rzkłd fukcji zwirjącj biguy zpl jdkr * 8 8 K G ( K + K K + (. ( ( j( j j j wówcz wpółczyik dpwidjący biguwi rzczywimu jdkrmu K 8 [ G ( ].8 (. Oi kulizcj: --6 M. Tmr

11 Tri rwi Rchuk prrwy Wpółczyiki dpwidjąc bigum zplym jdkrym ą ępując 8 j j K [( j G( ] j ( j j (. przy czym wpółczyik dpwidjący drugij liczbi zplj przężj j przęży d pprzdig wpółczyik i i m przby liczi g * j j K K (. pdwijąc wrści liczbw wpółczyików K, K w pci wykłdiczj d zlżści (. rzymuj ię G ( + j + j j krzyjąc z bli, dpwidjąc fukcj czw j ępując j (. g ( + c( (.6 Ią pć rzwiązi uzykuj ię p pdwiiu d rówi (. wrści liczbwych wpółczyików K, K w pci lgbriczj, wówcz rzymuj ię G ( j j j j (.7 krzyjąc z bli, uzyk fukcj czw j ępując g ( j ( j j ( j (.8 p wykiu dpwidich dziłń i zwiu wzrów Eulr rzymuj ię g ( ( c i... (.9 Iy pób rzwiązi rówi (. zwirjącg biguy zpl przęż G ( ( 8 K K + K (. gdzi K, K rz K ą wyzcz z prówi wpółczyików ępującj zlżści K (K K 8 ( K K (. uzyk w pób wrści wpółczyików K, K rz K (. P pdwiiu wyzczych wpółczyików (. d rówi (. G ( krzyjąc z bli, uzyk fukcj czw j ępując g ( ( ( (. ( c i... (. Oi kulizcj: --6 M. Tmr

12 Tri rwi Rchuk prrwy.. ROZKŁD N UŁMKI PROSTE Z ZSTOSOWNIEM FUNKCJI MTLB Rzkłd ułmki pr fukcji prrwj mż zć wyky przy użyciu prgrmów kmpurwych. Dl przykłdu mż zć zw fukcj ridu z bibliki MTLB. Rzwżmy ępującą fukcję prrwą G( /M(: G( M ( um d b m m b m m w kórj ikór wpółczyiki i rz b j mgą być rów zr. W MTLBIE wkry um i d krślją wpółczyiki liczik i miwik rmicji. plci um [b m b m-... b b ] d [ -... ] [r, p, k] ridu( um, d wyzcz ridu ( r, biguy (p rz część cłkwią (k rzkłdu ułmki pr ilrzu dwóch wilmiów i M( b b (7 Przykłd Rzwż zi ępując fukcj prrw G( M ( um d 6 Dl j fukcji prrwj zpi w MTLBIE j ępujący >> um [ 6] >> d [ 6 6] zwi plci >> [r, p, k] ridu( um, d dj ępując wyiki 6 6 (. r p k (Zuwż, ż ridu zwrc ą w wkrz klumwym r, płżi biguów w wkrz klumwym p, część cłkwi w wkrz wirzwym k. T pwyżzy zpi w MTLBIE dpwid ępującmu rzkłdwi ułmki pr fukcji prrwj G( /M(: G( M ( um d (. Oi kulizcj: --6 M. Tmr

13 Tri rwi Rchuk prrwy Plci ridu mż być rówiż używ d przkzłci fukcji prrwj rzłżj ułmki pr pć ilrzu dwóch wilmiów (liczik i miwik. Plci j ępując: >> [um, d] ridu(r, p, k gdzi wkry r, p, k mją wrści uzyk z pwyżzg rzkłdu. Plci >> priy(um, d, wypiuj ilrz wilmiów w zlżści d zmij. um/d ^ + ^ ^ + 6 ^ ZSTOSOWNIE TRNSFORMTY LPLCE' DO ROZWIĄZYWNI LINIOWYCH RÓWNŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZJNYCH Liiw rówi różiczkw zwyczj mgą być rzwiązyw przz zwi mdy rfrmy prrwj Lplc' przy pmcy wirdzń zwrych w rzdzil, rzkłdwi ułmki pr i blicy rfrm Lplc'. Prcdur mż zć pdzil ępując py:. Trfrmwi rówi różiczkwg w dzidzię przz rfrmę Lplc' przy użyciu blicy rfrm.. Przkzłci rfrmwg rówi lgbriczg i rzwiązywi dl zmij wyjściwj.. Wykywi rzkłdu rfrmwg rówi lgbriczg ułmki pr.. Uzykiwi dwrj rfrmy Lplc' z blicy rfrm. Md zilurw zi ępującym przykłdm. Przykłd Rzwż ępując rówi różiczkw d y( d dy ( + d + y( ( (. gdzi ( j jdkwą fukcją kkwą. Wruki pcząkw ą ępując: y (, ( dy( y (. by rzwiązć rówi różiczkw, jpirw lży rfrmwć d buri rówi (. przy użyciu rfrmy Lplc' Y ( y( y ( ( + Y( y( + Y( (. Pdwijąc wrści liczbw wruków pcząkwych d rówi (. i wyzczjąc Y(, rzymuj ię Y ( (. ( ( ( Rówi (8. j rzkłd ułmki pr i uzykuj ię Oi kulizcj: --6 M. Tmr

14 Tri rwi Rchuk prrwy Y ( (. Sując dwrą rfrmę Lplc' d rówi (. rzymuj ię cz rzwiązi y( (. W uzykym rzwiąziu (., pirwzy kłdik rprzuj rzwiązi w i ulym, mi dw i w i przjściwym. W przciwińwi d mdy klyczj, w kórj rzwiązi uzykuj ię w dwóch krkch, ddzili dl rzwiązi ulg i przjściwg, md rfrmy Lplc' dj cł rzwiązi w jdj prcji. Jśli iruj ylk rzwiązi w i ulym, wówcz mż być zw wirdzi wrści kńcwj (., wówcz lim y( lim Y( lim (.6 gdzi jpirw prwdz ię czy fukcj Y( m biguy ylk w lwj półpłzczyźi, k by wirdzi wrści kńcwj dwł pprw wyiki. ZGDNIENI KONTROLNE. Zpiz rówi dfiiując jdrą rfrmę Lplc'.. Zpiz rówi dfiiując dwrą rfrmę Lplc'.. Zpiz wyrżi piując wirdzi wrści kńcwj rfrmy Lplc'. Jki wruki muzą być płi, by wirdzi był prwdziw?. Pdj rfrmę Lplc' jdkwj fukcji kkwj (.. Jk j rfrm Lplc' fukcji jdkwj liiw rjącj w czi (? 6. Pdj rfrmę Lplc' fukcji czwj f( przuięj w prw (późij T. 7. Jśli { f ( } F ( rz { f ( } F (, wyzcz { f ( f ( } w zlżści d F ( rz F (. 8. Czy wiz jk rzłżyć ułmki pr fukcję prrwą zwirjącą lm wykłdiczy F( ( ( 9. Czy wiz jk rzłżyć ułmki pr fukcję kórj rząd miwik i j więkzy d rzędu liczik, dl przykłdu F ( ( ( (. Próbując zlźć dwrą rfrmę Lplc' ępującj fukcji, czy umiłbyś wykć rzkłd ułmki pr F ( ( Oi kulizcj: --6 M. Tmr

15 Tri rwi Rchuk prrwy ĆWICZENI C. Wyzcz rfrmę Lplc' F( fukcji pkzj ryuku f( Ry.. Fukcj f( Rzwiązi: fukcj f( mż zć zpi ępując: f ( (c. Trfrm Lplc' fukcji (c. F( { f ( } Dlzy ciąg bliczń zlżści (c. d f ( (c. F( d Trz kżd cłk zi rzwiąz ddzili d d (c. d d (c. d ( (c. d (c.6 P zumwiu wyzczych cłk kłdwych (c., (c. rz (c.6 rzymuj ię rfrmę fukcji z ryuku. F( (c.7 Oi kulizcj: --6 M. Tmr

16 Tri rwi Rchuk prrwy C. Zjdź zr i biguy ępujących fukcji prrwych Zzcz płzczyźi kńcz biguy z pmcą, kńcz zr z pmcą b g( G ( ( ( ( b c d G ( G ( G( G( ( ( ( ( ( ( ( C. Zjdź rfrmy Lplc' ępujących fukcji. Zuj, jśli mżliw wirdzi włścich rfrmy Lplc' g( ( b g( ( i ( c g( i ( d g ( i c ( C. Zjdź rfrmy Lplc' ępujących fukcji. Njpirw zpiz kmpl wyrżi dl g(, ępi dkj rfrmwi. Wykj rfrmę Lplc' fukcji g(, by rzymć G(. g( c g( C. Zjdź rfrmę Lplc' ępującj fukcji: g ( C6. Dl piżzych rfrmwych ygłów, zjdź y( dl Y ( b Y ( c Y ( d Y ( Y ( ( 6 ( ( 6 C7. Zjdź dwr rfrmy Lplc' ępujących fukcji. Njpirw dkj rzkłdu ułmki pr fukcji prrwych G(, ępi krzyj z blicy rfrm. Oi kulizcj: --6 M. Tmr 6

17 Tri rwi Rchuk prrwy Y ( b Y ( c Y ( d Y ( Y ( f Y ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C9. Krzyjąc z md rfrmy Lplc rzwiąż ępując rówi różiczkw dl z uwzględiim wruków pcząkwych dy ( + y ( 6 d y ( b + y ( c d y ( dy ( c + 7 d d y ( ( y ( + y ( C8. Krzyjąc z md rfrmy Lplc, rzwiąż ępując rówi różiczkw dl, zkłdjąc zrw wruki pcząkw. dy ( d b d + 7 y ( c dy ( + 6 d + 8 y ( i d d y + d d y ( ( y ( ( y ( 7 d y + d d y ( dy ( + 6 d dy ( + d + y ( c d dy ( + 8 d + y ( ( ( y ( ( y ( d d dy ( + d + y ( dy ( f + d d y ( + y ( ( y ( ĆWICZENI W MTLBIE M. Krzyjąc z prgrmwi rzędziwg MTLB, dkj rzkłdu ułmki pr ępujących fukcji prrwych b c ( G ( ( ( ( G ( ( ( ( G ( ( 6 d G ( ( ( G( ( ( f G ( ( (. M. Zjdź dwr rfrmy Lplc dl fukcji prrwych z zdi M i ryuj j w MTLBIE. Oi kulizcj: --6 M. Tmr 7

18 Tri rwi Rchuk prrwy ZDNI Z.. Zjdź rfrmy Lplc' ępujących fukcji g( g g( b h g( g( c d f g( g( g( g( Z.. Krzyjąc z md rfrmy Lplc rzwiąż ępując rówi różiczkw dl z uwzględiim wruków pcząkwych: dy ( + y ( c d y ( b + d d y ( ( y ( ( ( y dy ( c + y ( d y ( dy ( d + y ( i d y ( dy ( + d d y ( f d ( y ( dy ( + d y ( ( y ( dy ( + 6 d + 7 ( ( y ( + y ( Oi kulizcj: --6 M. Tmr 8

19 Tri rwi Rchuk prrwy Z.. Krzyjąc z md rfrmy Lplc rzwiąż ępując rówi różiczkw dl z uwzględiim wruków pcząkwych: dy ( + d d y ( ( y ( dy ( b + d d y ( ( y ( + y ( i + ( y + c d y ( + y ( ( y ( dy ( d + d d y ( ( y ( + 6 ( y i Uwg: D rzwiązywi pwyżzych zdń mż być przyd zjmść wzrów Eulr: c x jx jx i x jx j jx ODPOWIEDZI DO WYBRNYCH ĆWICZEŃ C. biguy:,,, ; zr:. b biguy:,, ; zr:,. c biguy:,, +j; j; zr:. d biguy: j k (k,,... C. C. biguy:,, ; zr: G ( b G ( c G ( d G ( G( b G ( c G ( ( ( ( ( ( ( 6 ( ( ( ( ( C. G( C6. y( ( b y( + c y( ( + +8 ( [6 6 ] ( y( + c( ( c i C7. y( b y( c y( c( 6 ( [ ] ( [ c(( 6 ] ( Oi kulizcj: --6 M. Tmr 9

20 Tri rwi Rchuk prrwy C8. C c c i 7 y( f y(. y( b y( c( + c i + c( (8c i 6 c y( + c( 6.7 (6 c 8i 9 9 y( b y( c( (c + c( c + i Z. Z. c y( y( + f y( + c( c i G ( b G ( c G( G ( f G ( Y ( ( ( ( ( ( ( y( c( b Y ( Y ( ( 7 6 y(. +. ( ( 8 7 y( 9.98 c(.. ( LITERTUR. mbrki K., Tri rwi. Pdręczik prgrmwy. PWN, Wrzw, 98.. Drf R.C., R.H. Bihp, Mdr Crl Sym, ddi Wly Lgm, Ic., Hr G.H., C.J. Sv, R.T. Sfi, Dig f Fdbck Crl Sym, Sudr Cllg Publihig, Kczrk T., Tri rwi, PWN, Wrzw, 97.. Ni N. S. Crl Sym Egirig, rd d, Jh Wily & S,. 6. Próchicki W., M. Dzid, Zbiór zdń z pdw umyki, Gdńk, 99. Oi kulizcj: --6 M. Tmr

ZADANIA Układy nieliniowe. s 2

ZADANIA Układy nieliniowe. s 2 Przykłd Okrślić punky równowgi podngo ukłdu ZDNI Ukłdy niliniow u f(,5 y Ry. Część niliniow j okrślon z poocą funkcji: f ( Zkłdy, ż wyuzni j zrow: u. Punky równowgi odpowidją yucji, gdy pochodn części

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DANYCH W UBEZPIECZENIACH

ANALIZA DANYCH W UBEZPIECZENIACH SttSft Plk, tl. ( 4843, (6 445, if@ttft.pl,.ttft.pl ANALIZA DANYCH W UBEZPIECZENIACH Wd Rk-Chmilic Akdmi Ekmicz Wrcł, Ktdr Itycji Fiych i Ubzpiczń E Pprk Akdmi Ekmicz Wrcł, Ktdr Itycji Fiych i Ubzpiczń

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

MODEL EKONOMETRYCZNY KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH

MODEL EKONOMETRYCZNY KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH Ekoomri mrił ( foli ) do wkłdu D.Miszczńsk, M.Miszczński MODEL EKONOMERYCZNY Modl js o schmcz uproszczi, pomijjąc iiso spk w clu wjśii wwęrzgo dziłi, form lub kosrukcji brdzij skomplikowgo mchizmu. (Lwrc

Bardziej szczegółowo

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Raciążu

Bank Spółdzielczy w Raciążu Złączik r 1 d Itrukcji śidczi uług zkri rdzi rchukó bkch, di krt d rchukó rz uług bkści lktriczj dl klitó ittucjlch Bku Sółdzilcz Rciążu Bk Sółdzilcz Rciążu część 1 Wik trci rchuku /zię dch *) tl głók

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostką budżetową Zamawiającym Wykonawcą

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostką budżetową Zamawiającym Wykonawcą W Z Ó R U M O W Y n r 1 4 k J Bk 2 0 Z a ł» c z n i k n r 5 z a w a r t a w G d y n i w d n i u 1 4 ro ku p o m i 2 0d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j ei d n o s t k» b

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 25.01.2003 r.

Matematyka finansowa 25.01.2003 r. Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

2 ), S t r o n a 1 z 1 1

2 ), S t r o n a 1 z 1 1 Z a k r e s c z y n n o c i s p r z» t a n i a Z a ł» c z n i k n r 1 d o w z o r u u m o w y s t a n o w i» c e g o z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k ó w

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

၇剗Ż ၇剗 ၇剗 ၇剗၇剗၇剗၇剗 NAZWA INWESTYCJI : "GAJÓWKA MIKOŁAJA - Budynek Główny ADRES INWESTYCJI : GORCZAŃSKI PARK NARODOWY DATA OPRACOWANIA : 10.0.008R. Ogółem wartość kosztorysowa robót : 0.00 zł Słownie: zero

Bardziej szczegółowo

I 3 + d l a : B E, C H, C Y, C Z, ES, F R, G B, G R, I E, I T, L T, L U V, P T, S K, S I

I 3 + d l a : B E, C H, C Y, C Z, ES, F R, G B, G R, I E, I T, L T, L U V, P T, S K, S I M G 6 6 5 v 1. 2 0 1 5 G R I L L G A Z O W Y T R Ó J P A L N I K O W Y M G 6 6 5 I N S T R U K C J A U 7 Y T K O W A N I A I B E Z P I E C Z E Ń S T W A S z a n o w n i P a s t w o, D z i ę k u j e m y

Bardziej szczegółowo

6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""

6. *21! 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;! +!!4 oraz  % & !4!  )$!!4 1 1!4 )$$$  ' Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie finansowe za20l0 rok

Sprawozdanie finansowe za20l0 rok Krjowy Ruch kologiczno- Spolczny ul. Kuroptwy 9 05-500 Mysidlo NP123-10-32-147 RGON015563734 Sprwozdni finnsow z20l0 rok Urz4d Skrbowy w Pisczni Ul. Czjwicz 2/4 05-500 Pisczno Mysidlo, dn. 30.03.201 1r.

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

G d y n i a W y k o n a n i e p r a c p i e l g n a c y j- n o r e n o w a c y j n y c h n a o b i e k t a c h s p o r t o w y c h G C S o r a z d o s t a w a n a s i o n t r a w, n a w o z u i w i r u

Bardziej szczegółowo

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1 O p i s p r z e d m i o t u z a m ó w i e n i a - z a k r e s c z y n n o c i f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o O r o d k a S p o r t u i R e ks r e a c j i I S t a d i

Bardziej szczegółowo

SZKOLENIE BHP. Pomoc domowa MATERIAŁY SZKOLENIOWE

SZKOLENIE BHP. Pomoc domowa MATERIAŁY SZKOLENIOWE SZKOLENIE BHP Pc dw MATERIAŁY SZKOLENIOWE bsług urządzń gd NIE WKŁADAJ DO GNIAZD ELEKTRYCZNYCH ŻADNYCH PRZEDMIOTÓW! NIE NAPRAWIAJ SAM URZĄDZEŃ ELEKTRYCZNYCH! NIE UŻYWAJ URZĄDZEŃ ELEKTRYCZNYCH W ŁAZIENCE!

Bardziej szczegółowo

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 8 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e ro b ó t b u d o w l a n y c h w b u d y n k u H

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

2 7k 0 5k 2 0 1 5 S 1 0 0 P a s t w a c z ł o n k o w s k i e - Z a m ó w i e n i e p u b l i c z n e n a u s ł u g- i O g ł o s z e n i e o z a m ó w i e n i u - P r o c e d u r a o t w a r t a P o l

Bardziej szczegółowo

LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzamiacyja la Akuariuszy LIII Egzami la Akuariuszy z 3 paźzirika 0 r. Część II Mamayka ubzpiczń życiowych Imię i azwisko osoby gzamiowaj:... Czas gzamiu: 00 miu Warszawa, 3 paźzirika 0 r. Mamayka

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

M G 4 2 7 v. 2 0 1 5 G R I L L P R O S T O K Ą T N Y R U C H O M Y 5 2 x 6 0 c m z p o k r y w ą M G 4 2 7 I N S T R U K C J A M O N T A 7 U I B E Z P I E C Z N E G O U 7 Y T K O W A N I A S z a n o w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 3 12 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k aw r a z z d o s t a w» s p r

Bardziej szczegółowo

Działania wewnętrzne i zewnętrzne

Działania wewnętrzne i zewnętrzne Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 03 7 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A W y k o n a n i e r e m o n t u n a o b i e k c i e s p o r t o w y mp

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-14

Ć W I C Z E N I E N R E-14 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA ELEKTRYCZNOŚCI I MAGNETYZMU Ć W I C Z E N I E N R E-14 WYZNACZANIE SZYBKOŚCI WYJŚCIOWEJ ELEKTRONÓW

Bardziej szczegółowo

Programy współbieżne

Programy współbieżne Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA Z a m a w i a j» c y G D Y S K I O R O D E K S P O R T U I R E K R E A C J I J E D N O S T K A B U D E T O W A 8 1 5 3 8 G d y n i a, u l O l i m p i j s k a 5k 9 Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I

Bardziej szczegółowo

EKSPLOATACJA TECHNICZNYCH OBIEKTÓW BUDOWLANYCH W ASPEKCIE PRZEJŚCIA CIEPŁA PRZEZ PRZEGRODY

EKSPLOATACJA TECHNICZNYCH OBIEKTÓW BUDOWLANYCH W ASPEKCIE PRZEJŚCIA CIEPŁA PRZEZ PRZEGRODY POSĘPY NAUKI I ECHNIKI NR 9 Mri Mrk Jczrk EKSPLOAACJA ECHNICZNYCH OBIEKÓ BUDOLANYCH ASPEKCIE PRZEJŚCIA CIEPŁA PRZEZ PRZEGRODY Srszczi: Arykuł zwir izę przjści cipł przz przgrodę zwęrzą chiczgo obiku budowgo

Bardziej szczegółowo

[ m ] > 0, 1. K l a s y f i k a c j a G 3, E 2, S 1, V 1, W 2, A 0, C 0. S t r o n a 1 z 1 7

[ m ] > 0, 1. K l a s y f i k a c j a G 3, E 2, S 1, V 1, W 2, A 0, C 0. S t r o n a 1 z 1 7 F O R M U L A R Z S P E C Y F I K A C J I C E N O W E J " D o s t a w a m a t e r i a ł ó w b u d o w l a n y c h n a p o t r z e b y G d y s k i e g o C e n t r u m S p ot ru " L p N A Z W A A R T Y K

Bardziej szczegółowo

Politechnika Śląska Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Praca dyplomowa

Politechnika Śląska Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Praca dyplomowa Politechni Ślą Wydził Automtyi, Eletronii i Informtyi Prc dyplomow Temt : Stnowio lbortoryjne do ymulcji obietów n terowniu SLC500. Promotor : Dr inż. J.przy Student : Tomz tuzczy Cel prcy Celem prcy było

Bardziej szczegółowo

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok O P E R A T O R T E L E K O M U N I K A C Y J N Y R A P O R T R O C Z N Y Z A 2 0 1 3 R O K Y u r e c o S. A. z s i e d z i b t w O l e ~ n i c y O l e ~ n i c a, 6 m a j a 2 0 14 r. S p i s t r e ~ c

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:

Bardziej szczegółowo

Stereochemia. Izomeria konformacyjna obrót wokół wiązania pojedynczego etan projekcja Newmana

Stereochemia. Izomeria konformacyjna obrót wokół wiązania pojedynczego etan projekcja Newmana Uniwrsytt Jgilloński, Collgium Mdicum, Ktdr Chmii rgnicznj Strochmi Izomri konformcyjn obrót wokół wiązni pojdynczgo tn projkcj Nwmn konformcj: nprzminlgł nprzciwlgł kąt torsyjny w ukłdzi cztrch tomów

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

Wykonanie badania ewaluacyjnego pn. Ewaluacja ex-ante Programu Współpracy Transgranicznej Rzeczpospolita Polska Republika Słowacka 2014-2020

Wykonanie badania ewaluacyjnego pn. Ewaluacja ex-ante Programu Współpracy Transgranicznej Rzeczpospolita Polska Republika Słowacka 2014-2020 28/07/2014 Wykie bdi ewlucyjeg p. Ewlucj ex-te Prgrmu Współprcy Trsgriczej Rzeczpsplit Plsk Republik Słwck 2014-2020 Złączik 4. Digrmy przyczyw - skutkwe Zmwijący: Miisterstw Ifrstruktury i Rzwju Wykwc:

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Fizyka i astronomia Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Fizyka i astronomia Poziom podstawowy KRYTERIA OCEIAIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPEROEM izyk i tronoi Pozio podtwowy Litopd 0 W niniejzy heie oenini zdń otwrtyh ą prezentowne przykłdowe poprwne odpowiedzi. W tego typu h nleży również uznć odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Fundacja,,Fabryka Tlenu"

Fundacja,,Fabryka Tlenu undj,,bryk Tlnu" P 5252492809 Rgn 14258152 S prwzdn i fi nnw z kr d 08 litpd 2010 rku d 1 grudni 2011 rku. Biln. Rhunkzykwitrt : rinnw HiJ:il:ffi'n;"ffinx',i:li l Q : tl:) Q rt ; t 9 + r (.) ()_ --^ 8

Bardziej szczegółowo

w 1 9 2 8 i 1 9 3 0 r.

w 1 9 2 8 i 1 9 3 0 r. I I O G Ó L N O P O L S K A K O N F E R E N C J A N A U K O W A D O K T O R A N C K I E S P O T K A N I A Z H I S T O R I } K o m i t e t n a u k o w y U n i w e r s y t e t W a r m i f -M s kaoz u r s

Bardziej szczegółowo

Uchwala Nr X/59/2011 Rady Gminy w Broku z dnia 29 grudnia 2011 r. w sprawie wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Brok na lata2012 _2015.

Uchwala Nr X/59/2011 Rady Gminy w Broku z dnia 29 grudnia 2011 r. w sprawie wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Brok na lata2012 _2015. Uhw r X/59/2011 Ry miny w Brku ni 29 runi 2011 r. w prwi winij Prny Finnwj miny Brk n 2012 _2015. pwi.22, r.227, i.228, r.20 u. i r.24 uwy ni27 irpni 2009 r. innh pubinyh (D.. r 157, p. 1240 p2n. m.) w

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 70 1 3 7 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e w r a z z r o z s t a w i e n i e m o g

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Ł ż ć ż ć ć ć ć ż ż ć ć Ł ć ź ć źć ż ż ź ź Ń ż Ń Ą ż ż Ł Ń ż Ń ż ż ż ź ż Ń ź ż ż ż ć ż ż ż ć ć ć ć Ą Ą ż ć ż ż ż ż ż ż ż ć Ó ż Ą Ó ż ć ć Ń ż ć ć ć ż ż Ą ć ż ŁĄ Ą ż Ą Ą Ł Ł ź ź ż Ł ź ż Ą ż ż Ó ć ż ż ż ż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

http://www.viamoda.edu.pl/rekrutacja/studia-podyplomowe_s_37.html

http://www.viamoda.edu.pl/rekrutacja/studia-podyplomowe_s_37.html O Strona 1/288 01-07-2016 09:00:13 F Strona 2/288 01-07-2016 09:00:13 E Strona 3/288 01-07-2016 09:00:13 R Strona 4/288 01-07-2016 09:00:13 T Strona 5/288 01-07-2016 09:00:13 A Strona 6/288 01-07-2016

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA PLANOWANIA ZADAŃ BUDŻETOWYCH PRZEZ KOMÓRKI ORGANIZACYJNE URZĘDU MIASTA PŁOCKA

INSTRUKCJA PLANOWANIA ZADAŃ BUDŻETOWYCH PRZEZ KOMÓRKI ORGANIZACYJNE URZĘDU MIASTA PŁOCKA Złączk Nr I d Zrządz Nr 5709/06 Przydt Mst Płck z d 4 pźdzrk 2006 INSTRUKCJA PLANOWANIA ZADAŃ BUDŻETOWYCH PRZEZ KOMÓRKI ORGANIZACYJNE URZĘDU MIASTA PŁOCKA Istrukcj zr zsdy przygty prjktu budżtu przz kmórk

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

7 4 / m S t a n d a r d w y m a g a ± û e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu K U C H A R Z * * (dla absolwent¾w szk¾ ponadzasadniczych) K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ¾ w i s p e c

Bardziej szczegółowo

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4.

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4. M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X A N A L I Z A W Y T R Z Y M A O C I O W A S Y S T E M U U N I L O C K 2, 4 S T O S O W A N E G O W C H I R U R G I I S Z C Z

Bardziej szczegółowo

START JESTEŚ WSPANIAŁYM ODKRYWCĄ!

START JESTEŚ WSPANIAŁYM ODKRYWCĄ! STRT JESTEŚ WSPNIŁYM DKRYWCĄ! TEN ZESZYT JEST WŁSNŚCIĄ ZESZYT ETNSKRB IMIĘ MTYWEM PRZEWDNIM ZESZYTU JEST ETNSKRB, CZYLI SKRB, KTÓRY NWIĄZUJE D ŻYCI NSZYCH PRZDKÓW, D ICH TRDYCJI I BYCZJÓW. NZWISK WIEK

Bardziej szczegółowo

Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych

Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl SZEREGI POTĘGOWE ( c ciąg licz zspoloych c ( z z - szrg potęgowy, gdzi ( c - ciąg współczyiów szrgu, z C - środ, ctrum (ustalo, z C - zmia. Dla

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński

Bardziej szczegółowo

1.1. Układy do zamiany kodów (dekodery, kodery, enkodery) i

1.1. Układy do zamiany kodów (dekodery, kodery, enkodery) i Ukły yrow (loizn) 1.1. Ukły o zminy koów (kory, kory, nkory) i Są to ukły kominyjn, zminiją sposó koowni lu przstwini ny yrowy. 1.1.1. kory kory to ukły kominyjn, zminiją n yrow, zpisn w owolnym kozi innym

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Adres strony internetowej zamawiającego: www.oppogrodjordanowski.pl I. 2) RODZAJ ZAMAWIAJĄCEGO: Gminna jednostka organizacyjna.

Adres strony internetowej zamawiającego: www.oppogrodjordanowski.pl I. 2) RODZAJ ZAMAWIAJĄCEGO: Gminna jednostka organizacyjna. 1 Adres stry iteretwej, której Zmwijący udstępi Specyfikcję Isttych Wruków Zmówiei: http://edukcj.bip.kzieice.pl/idex.php?id=580 http://ppgrdjrdwski.pl/przetrgi Kzieice: Dstw i mtż urządzeń zbwwych zewętrzych

Bardziej szczegółowo

1 Wynagrodzenie Wykonawcy zostanie podzielone na równe raty płatne cykliczne za okresy 2 tygodniowe w. okresie obowiązywania umowy.

1 Wynagrodzenie Wykonawcy zostanie podzielone na równe raty płatne cykliczne za okresy 2 tygodniowe w. okresie obowiązywania umowy. W Z Ó R U M O W Y N r :: k J Bk 2 0 1 5 Z a ł» c z n i k n r 4 A z a w a r t a w G d y n i d n i a :::::: 2 0 1 5 r o k u p o m i d z y G d y s k i m C e n t r u m S p o r t u j e d n o s t k» b u d e

Bardziej szczegółowo

Ł ń ż Ó Ę ń ż Ą Ż Ż Ż ń ż ż ń ć ż Ł ć ć ć ż Ż ż Ó ż Ż ń ż ć ż ć Ż ż Ż ć ż ć ć Ż ń ż Ó ż ć Ż ć Ó ż ć ż Ó ń ż ź ń Ź ć ż ć ż Ż Ź ż Ł ż ż Ł ń Ą ż Ó ćż ż Ż ń ż ć ż ć Ż ż ć Ż ć Ż ć ż Ó Ó ż ć ć Ń ć ż ć ć ż ń

Bardziej szczegółowo

Ę Ę Ś ć Ł ć ż ż ż ż ż Ł Ł Ą Ń ż ć ź ż ć ć ż Ł Ę Ś ż ż ż Ł Ś ż ż ż Ś ż ż ż Ł Ł ż ż ż ć Ś Ę Ę Ś Ś Ę ć Ś Ł Ł ć ć ć ć ć ć ć Ł ć Ł Ę ć Ę ć Ę Ś Ł Ł ć ć ć ż ć ć ź ż Ł Ą Ą Ą Ę Ą Ś Ę Ś Ł Ś ć ŁĄ Ź Ę Ł Ś Ń Ę ć

Bardziej szczegółowo

Ą Ą ż ż ś ż ż ż ć ś ż ść ś ś ż ć ść ż ż ć ś ś ż ż ć ś ś ś ż ś ć ć Ę ś Ł ś ś Ń Ń ż ż Ń ść ż ść ż Ą ź ż ść Ń ś ż ś Ł ść ż ść ś ż ś ż Ó Ś ż ż ż ż ć ść ś ż ż ć ść ś ś ż ść ż ż ść ś ż ż ź ś ść ż ś ś ś ć Ł Ą

Bardziej szczegółowo

Ń ź ź Ń Ó ŁĄ Ó Ę Ł Ł Ó Ł Ę Ę Ł Ę ź Ó ź Ę Ę Ę Ę Ę Ą Ą Ł Ź Ę Ę Ę Ę Ę Ę ź Ł Ś Ś Ę Ł Ę Ę Ę ŚĆ Ą Ś Ś Ó Ę Ń Ę Ę Ł Ę Ł Ć Ż Ę Ć ź Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ę Ś Ń Ą Ę Ą Ę Ł Ę Ó Ń Ą Ł Ć Ę Ę Ł Ę Ó Ą Ó Ę Ó Ę Ę Ę Ę Ą Ó Ź ź Ć Ó ź

Bardziej szczegółowo

ń Ż ń ź ć ć ń ć ć ć ć ź ć ń ń ć ń ć ć ć ć ź ć ń Ż ć Ż ć ć ć ć ń ć ń ć ń ć ń ć ć ń ń ć ń ć ń ć ń ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ż Ż Ż ć ć ć ć ń ć ć ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć

Bardziej szczegółowo