Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Transkrypt

1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij A = m m2 1n 2n mn Wymirem mcierzy nzywmy uporządkowną prę m n (m = n mcierz kwdrtow, m <> n mcierz prostokątn) Wektor kolumnowy m wymirowy mcierz prostokątn o wymirze n=1 Wektor wierszowy n wymirowy mcierz prostokątn o wymirze m=1 Mcierz digonln Mcierz sklrn Mcierz jednostkow Kronecker 11 D = 22 mn S = 1 n 1 = 1 1 Mcierz górnotrójkątn i dolnotrójkątn 11 A = n 2n mn A = m1 22 m2 mn Mcierz trnsponown to tk, któr powstł z zminy wierszy i kolumn T A = [ ij ] mxn A = [ ji ] nxm

2 Iloczyn mcierzy A i B istnieje tylko wtedy, gdy liczb kolumn mcierzy A jest równ liczbie wierszy mcierzy B A = [ ij ] mxp B = [ b ij ] pxn AB F = [ f ij ] mxn = fij = irb Przykłd p r= 1 rj B A Kżdy element mcierzy F jest iloczynem sklrnym pewnego wiersz mcierzy A i pewnej kolumny mcierzy B Kżdej mcierzy kwdrtowej możn przyporządkowć jedn liczbę rzeczywistą, zwną wyzncznikiem mcierzy det A = A = m m2 1n 2n mn Stopień wyzncznik jest tki, jk mcierzy, której jest przyporządkowny Definicj wyzncznik Twierdzenie Lplce n k = 1 n det A = D = D (w/g dowolnego wiersz, w/g dowolnej kolumny) ik ik k = 1 kj kj gdzie Dij jest dopełnieniem lgebricznym elementu ij. Dopełnieniem lgebricznym elementu ij wyzncznik nzywmy wyrżenie i+ j D ij = ( 1) M ij gdzie M ij jest wyzncznikiem podmcierzy powstłej z mcierzy A po usunięciu i-tego wiersz i j-tej kolumny

3 Mcierz osobliw to mcierz, której wyzncznik wynosi Włściwości wyznczników: 1. Jeżeli w wyznczniku zmienimy wszystkie wiersze n kolumny to jego wrtość nie uleg zminie 2. Wyzncznik, którego wszystkie elementy jkiegoś wiersz lub kolumny są równe zero, m wrtość zero 3. zmin w wyznczniku dwóch wierszy zmieni jego znk 4. Jeżeli w wyznczniku dw wiersze są jednkowe, to jego wrtość jest równ zero 5. Wspólny czynnik z dowolnego wiersz mozn wyłączyć przed znk wyzncznik 6. Wyzncznik, którego dw wiersze s liniowo zleżne, jest równy zero 7. Sum wyznczników dwóch mcierzy jest równ wyzncznikowi sumy tych mcierzy 8. Wrtość wyzncznik nie uleg zminie, jeżeli do elementów wiersz i dodmy odpowiednie elementy wiersz k (i różne od k), pomnożone przez dowoln liczbę Twierdzenie Cuchy ego Wyzncznik iloczynu dwóch mcierzy kwdrtowych tego smego stopni jest równy iloczynowi wyznczników tych mcierzy: det AB = det A det B Mcierz odwrotn i sposoby jej wyznczni Mcierzą odwrotn do mcierzy kwdrtowej A, nzywmy tk mcierz B, że: AB = BA = I AA -1 = A -1 A = I Jeżeli mcierz A stopni n jest nieosobliw, to: 1 T A 1 = D A gdzie D T ozncz trnsponown mcierz dopełnień lgebricznych elementów mcierzy A, czyli: [ D ] T ij nxn T D =, orz: i+ j D ij = ( 1) M ij Wyzncznie mcierzy odwrotnej możn relizowć: 1. odwołując się do definicji mcierzy odwrotnej 2. stosując metodę opercji elementrnych Jeżeli mcierz A powstje z mcierzy B przez zstosownie opercji elementrnych, to mcierze A i B nzywmy równowżnymi Opercją elementrną n mcierzy nzywmy kżde z nstępujących przeksztłceń: 1. zmin miejscmi dwóch dowolnych wierszy (kolumn) 2. dodnie do wszystkich elementów dowolnego wiersz (kolumny) elementów innego wiersz (kolumny) pomnożonych przez dowoln liczbę

4 3. pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersz (kolumny) przez dowoln liczbę różn od zer Twierdzenie: Jeżeli mcierz blokow C = [ I D] powstł w wyniku stosowni opercji elementrnych n wierszch mcierzy 1 B = A I, to D = A [ ] Ukłd równń liniowych Ukłd równń liniowych w postci: x + x +. + x = b x 1 x m2 x x 1n m n mn n x n x n 1 = b 2 = b m możn zpisć w równowżnej postci mcierzowej AX = B, gdzie: A = m m2 1n 2n mn X x1 x2 = x m b1 b2 B = b m Ukłd ten nzywmy niejednorodnym gdy mcierz B <>, orz jednorodnym, gdy B =. Szczególnym przypdkiem ukłdu równń dl m = n jest ukłdem Crmer.. Rząd mcierzy A tego ukłdu jest równy n [ ] n R ij = nxn Ozncz to, że mcierz A jest nieosobliw. Twierdzenie Ukłd Crmer m dokłdnie jedno rozwiąznie określone wzorem Crmer: wk xk = k = 1,2,, n w gdzie: w = det A, w k = det A k, mcierz A k powstje z mcierzy A przez zstąpienie kolumny k wyrzmi b 1, b 2,, b n. Stosując metody numeryczne ukłd Crmer możn rozwiązć n podstwie przeksztłceni: AX = B X = A -1 B

5 Ukłd Crmer jednorodny m tylko jedno zerowe rozwiąznie WYZNACZNIK.MACIERZY Zobcz też Podje wrtość wyzncznik mcierzy tblicy. Skłdni WYZNACZNIK.MACIERZY(tblic) Tblic jest tblicą liczbową o równej liczbie wierszy i kolumn. Tblicy możn ndć zkres komórek; n przykłd, A1:C3; może być to tblic stłych tkich jk {1;2;3;4;5;6;7;8;9}; lub nzw dowolnej z tych dwóch. Jeśli którkolwiek z komórek tblicy jest pust lub zwier tekst, funkcj WYZNACZNIK.MACIERZY podje wrtość błędu #ARG!. Funkcj WYZNACZNIK.MACIERZY tkże podje wrtość błędu #ARG! jeśli liczb wierszy i kolumn tblicy nie jest równ. Uwgi Wyzncznik mcierzy jest liczbą wyznczoną przez wrtości tblicy. Wyzncznik trzywierszowej i trzykolumnowej tblicy A1:C3, definiuje się nstępująco: jest równe Wyznczników mcierzy używ się zsdniczo do rozwiązywni ukłdów równń wielu zmiennych. Funkcj WYZNACZNIK.MACIERZY oblicz się z dokłdnością do około 16 cyfr, co może powodowć niewielkie błędy numeryczne, gdy ich kompenscj jest niezupełn. N przykłd, wyzncznik mcierzy osobliwej może się różnić od zer o 1E-16.

6 Przykłdy jest równe 88 jest równe 1 jest równe -3 jest równe #ARG!, poniewż tblic nie m równych liczb wierszy i kolumn. TRANSPONUJ Zobcz też Zmieni pionowy zkres komórek n zkres poziomy lub odwrotnie. Funkcj TRANSPONUJ musi być wprowdzon jko formuł tblicow do zkresu, który m odpowiednie liczby wierszy i kolumn, gdyż w rgumencie tblic są kolumny i wiersze. Funkcję TRANSPONUJ nleży stosowć w celu zminy pionowej i poziomej orientcji tblicy w rkuszu. Niektóre funkcje, jk n przykłd funkcj REGLINP, podją w wyniku tblice poziome nchyleni i punktu przecięci z osią Y dl prostej. Wynikiem poniższej formuły będzie tblic pionow z wrtościmi nchyleni i punktu przecięci z osią Y dl prostej znlezionej przez funkcję REGLINP:!"#$%&'(#)*+,-./1)*+,-./2 Skłdni TRANSPONUJ(tblic) Tblic jest tblicą lub zkresem komórek w rkuszu, które chcesz trnsponowć. Tblicę trnsponowną tworzy się nstępująco: pierwszy wiersz tblicy będzie pierwszą kolumną nowej tblicy, drugi wiersz będzie drugą kolumną itd. Przykłd Złóżmy, że A1:C1 zwierją odpowiednio 1, 2, 3. Po wprowdzeniu poniższej formuły jko tblicy do komórek A3:A5!"#$%&3333 jest równe odpowiednim wrtościom w A3:A5 MACIERZ.ILOCZYN Zobcz też Wynikiem jest iloczyn mcierzowy dwu tblic. Wynik jest tblicą o tkiej smej liczbie wierszy jk tblic1 i tkiej smej liczbie kolumn jk tblic2. Skłdni MACIERZ.ILOCZYN(tblic1;tblic2) Tblic1; tblic2 są to tblice, które nleży przemnożyć. Liczb kolumn w tblicy1 musi być tk sm jk liczb wierszy w tblicy2, obydwie tblice mogą zwierć jedynie liczby. Tblic1 i tblic2 mogą wystąpić jko zkresy komórek, stłe tblicowe lub dresy. Jeśli którkolwiek z komórek jest pust lub zwier tekst lbo liczb kolumn w tblicy1 różni się od liczby wierszy w tblicy2, funkcj MACIERZ.ILOCZYN podje wrtość błędu #ARG!. Uwgi Tblic zwierjąc iloczyn mcierzowy dwóch tblic b i c jest równ: gdzie i jest liczbą wierszy j jest liczbą kolumn.

7 Formuły, których wynikiem są tblice, muszą być wprowdzne jko formuły tblicowe. Przykłdy ($ jest równe {2;6\14;4} ($ jest równe {6;\4;} ($ jest równe #ARG!, ze względu n to, że pierwsz tblic m trzy kolumny, drug tblic m tylko 2 wiersze. MACIERZ.ODW Zobcz też Wynikiem jest mcierz odwrotn do mcierzy przechowywnej w tblicy. Skłdni MACIERZ.ODW(tblic) Tblic jest tblicą liczbową o równych liczbch wierszy i kolumn. Tblic może być zkresem komórek, n przykłd A1:C3; może być to tblic stłych: {1;2;3\4;5;6\7;8;9} lub nzw dowolnej z tych dwóch. Jeśli którkolwiek z komórek tblicy jest pust lub zwier tekst, MACIERZ.ODW podje wrtość błędu #ARG!. MACIERZ.ODW tkże podje wrtość błędu #ARG!, jeśli tblic nie m równych liczb wierszy i kolumn. Uwgi Formuły, których wynikiem są tblice, muszą być wprowdzne jko formuły tblicowe. Mcierzy odwrotnych, podobnie jk wyznczników używ się zsdniczo do rozwiązywni ukłdów równń mtemtycznych wielu zmiennych. Iloczyn mcierzy i jej odwrotności jest mcierzą jednostkową - mcierzą kwdrtową, której elementy digonlne są równe 1, wszystkie pozostłe są równe. Przykłdowo, obliczjąc dwuwierszową, dwukolumnową mcierz zkres A1:B2 zwier litery, b, c i d, reprezentujące dowolne liczby. Poniższ tblic pokzuje odwrotność mcierzy A1:B2: Kolumn A Kolumn B Wiersz 1 d/(*d-b*c) b/(b*c-*d) Wiersz 2 c/(b*c-*d) /(*d-b*c) MACIERZ.ODW oblicz się z dokłdnością do około 16 cyfr, co może prowdzić do niewielkich błędów numerycznych, jeśli nie wystąpi ich pełn kompenscj. Niektórych mcierzy kwdrtowych nie d się odwrócić, wynikiem dziłni MACIERZ.ODW będzie wrtość błędu #LICZBA!. Wyzncznik mcierzy nieodwrclnej jest równy. Przykłdy $45 jest równe {;,5\-1;2} $45 jest równe {,25;,25;-,75\;;,5\,75;-,25;-,25} Wskzówk Nleży użyć funkcji INDEKS do uzyskni dostępu do pojedynczych elementów mcierzy odwrotnej. Formuły tblicowe i ich wprowdznie Formuł tblicow może wykonywć wiele obliczeń, nstępnie zwrcć pojedynczy wynik lub wiele wyników. Formuły tblicowe dziłją n dwóch lub większej liczbie zestwów

8 wrtości znnych jko rgumenty tblicowe. Kżdy rgument tblicowy musi mieć tką smą liczbę wierszy i kolumn. Formuły tblicowe tworzy się w tki sm sposób, w jki są tworzone inne formuły, z tą tylko różnicą, że formułę wprowdz się nciskjąc klwisze CTRL+SHIFT+ENTER. Oblicz pojedynczy wynik Czsmi progrm Microsoft Excel musi wykonć kilk obliczeń, by wygenerowć pojedynczy wynik. N przykłd, nstępujący rkusz pokzuje, że firm m regionlne biur w Europie i w USA, kżde biuro m trzy dziły produkcji. Aby znleźć średni zysk uzyskny w 1992 roku przez dził produkcji w Europie, będziesz musił użyć formuły tblicowej. Komórk C16 zwier formułę tblicową =ŚREDNIA(IF(C5:C14="Europ",D5:D14)), wyszukującą komórki w zkresie C5:C14, zwierjące tekst "Europ" i nstępnie wyliczjącą średnią wrtość w odniesieniu do komórek umieszczonych w zkresie D5:D14. Oblicz wiele wyników Aby z pomocą formuły tblicowej obliczyć wiele wyników, nleży wprowdzić tblicę do zkresu komórek, który m tką smą liczbę wierszy i kolumn, jk rgumenty tblicowe. W poniższym przykłdzie dn jest seri trzech wrtości sprzedży (w wierszu 5) dl serii trzech miesięcy (w wierszu 3). Funkcj REGLINW ustl wrtości tworzące linię prostą n podstwie wrtości sprzedży. Aby wyświetlić wyniki formuły, jest on wprowdzon do trzech komórek w wierszu 6 (C6:E6). Kiedy wprowdzisz formułę =TREND(C5:E5,C3:E3) jko formułę tblicową, wyprodukuje on trzy oddzielne wyniki, biorąc pod uwgę trzy wrtości sprzedży i trzy miesiące. Użyj stłych wrtości Formułę tblicową możn tkże zstosowć do obliczeni pojedynczego lub wielu wyników dl serii wrtości, które nie zostły wprowdzone do rkusz roboczego. Formuły tblicowe mogą kceptowć stłe w tki sm sposób jk formuły nie tblicowe, lecz tblic stłych musi być wprowdzon w pewnym formcie. N przykłd rozptrując te sme wrtości i te sme dty, co w poprzednim przykłdzie, możn przewidywć wrtości sprzedży dl nstępnych dwóch miesięcy. Użyj formuły =TREND(C5:E5,,{4,5}), by prognozowć czwrtą i piątą wrtość w cyklu miesięcznym, biorąc pod uwgę pierwsze trzy wrtości.

9 PROGRAMOWANIE W VBA

10

11

12

13

14

15

16