Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

Transkrypt

1 Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek, że pomniny z ukłd odnieieni będzie ię y poruzł zględem innego r ukłdu, użnego tedy z nieruchomy. Wócz ruch punktu lub bryły nzymy r M ruchem złożonym. L Ruch punktu lub bryły r L zględem ukłdu nieruchomego nzymy y ruchem bezzględnym, ruch x tego mego punktu lub bryły x zględem ukłdu ruchomego Ry Ruch złożony punktu ruchem zględnym. Ruch ruchomego ukłdu odnieieni zględem nieruchomego nzymy ruchem unozeni. W dlzej części rozptrzymy jedynie ruch złożony punktu. Niech punkt M poruz ię poób doolny, nie ziązny ni z nieruchomym ukłdem odnieieni x, y, z, ni z ruchomym x, y, z (ry. 5.4). Jeżeli ruch tego punktu będzie oberony przez dóch obertoró jednego ziąznego z ukłdem nieruchomym x, y, z, drugiego ziąznego z ukłdem ruchomym x, y, z to kżdy z obertoró będzie idził ruch punktu M inny poób (inny tor, prędkość, przyśpiezenie). Tor, jki zkreśli punkt M ukłdzie nieruchomym, nzymy torem bezzględnym L, ukłdzie ruchomym torem zględnym L. Kżdy z punktó toru zględnego, ztem i punkt znjdujący ię tym mym miejcu co punkt M, zkreśli peien tor L u. Ruch tego punktu zględem ukłdu nieruchomego nzymy ruchem unozeni punktu M rozżnej chili.

2 5.4.. Prędkość i przyśpiezenie ruchu złożonym punktu W celu yprodzeni zoró n prędkość i przyśpiezenie punktu M potąpimy podobnie jk podcz rozptryni kinemtyki doolnego punktu bryły ruchu ogólnym, le terz punkt ten będzie ię poruzł zględem bryły. Ztem ektor odzący r punktu M ukłdzie ruchomym x, y, z nie będzie tły, będzie ię zmienił zróno jego kierunek, jk i moduł: r = r cont. () Wektor odzący punktu M, zgodnie z ry. 5.4, jet umą dóch ektoró: r = r + r. (5.76) Podobnie jk ruchu ogólnym bryły (p. 5..) ektor jet ektorem łączącym początki obu ukłdó półrzędnych. Zpizemy go nlitycznie nieruchomym ukłdzie półrzędnych x, y, z: r = x i + y j + z. (5.77) k Wektor r jet ektorem odzącym punktu M ukłdzie x, y, z. Możn go yrzić z pomocą półrzędnych tym ukłdzie: r = x i+ y z k. (5.78) Wpółrzędne tego ektor n podtie zoru () będą ię zmienić rz z ruchem punktu M zględem ukłdu ruchomego x, y, z. Możn je ztem zpić potci funkcji czu, które będą rónnimi ruchu zględnego punktu M: x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t ). (5.79) Prędkość punktu M jet pochodną ektor odzącego (5.76) zględem czu: r d r d r v = +. (5.80) Pochodn ektor r jet znną z p. 5.. prędkością początku ruchomego ukłdu półrzędnych: d r dx dy dz v = = i+ j+ k. (b) Pochodn ektor r po zróżniczkoniu zoru (5.78) m potć:

3 d r dx x d i y d j z d k = i+ k (c) Pierze trzy yrzy poyżzym zorze przedtiją prędkość zględną punktu M: v = dx i+ k. (5.81) Po podtieniu do trzech pozotłych yrzó zoró (5.1) n pochodne eroró i, j, k otrzymmy: dr = v + x = v + ω ( x i+ y z k ). i ) + y j ) + z k ) Wyrżenie ytępujące niie, zgodnie ze zorem (5.80), jet ektorem odzącym punktu M. Ztem poyżzy zór uprzcz ię do potci: dr = v = v + ω r. (d) Po podtieniu do zoru (5.80) oznczeni (b) orz zoru (d) otrzymmy zleżność n prędkość punktu M ruchu złożonym zględem nieruchomego ukłdu odnieieni (prędkość bezzględną): v = v + ω r +. (5.8) v Po porónniu ze zorem (5.) idzimy, że pierze d yrzy tym zorze przedtiją prędkość punktu bryły znjdującego ię tym mym miejcu co punkt M, ztem jet to prędkość unozeni: v = v + ω r u. (5.8) Po uzględnieniu tego oznczeni e zorze (5.8) zużymy, że prędkość bezzględn v ruchu złożonym punktu jet umą prędkości unozeni i prędkości zględnej v : v = v u + v. (5.84) Przyśpiezenie bezzględne otrzymmy, obliczjąc pochodną zględem czu prędkości bezzględnej potci (5.8): v u

4 Pochodn d v d v dω dr d v r ω = = d v =. (e) (f) jet przyśpiezeniem punktu, pochodn dω = ε (g) przyśpiezeniem kątoym bryły. Wytępującą e zorze (e) pochodną ektor r zględem czu obliczyliśmy już przy yprodzniu zoru n prędkość punktu M. Jet on dn zorem (d). W celu obliczeni pochodnej prędkości zględnej v zględem czu zróżniczkujemy zór (5.81) orz ykorzytmy zleżności (5.1): d v = d x d y d z dx d i d j d k = i+ k+ + + = dx + i ) + j ) + k )= dx = + ω i+ k = + ω v, (h) gdzie jet przyśpiezeniem zględnym punktu M: dx = i+ k. (5.85) Po uzględnieniu e zorze (e) oznczeń (f) i (g) orz zoru (h) otrzymmy przyśpiezenie punktu M. r+ v ) + + ω v = r ) + + ω = + ε r+ ω = + ε r+ ω v. (5.86) Pierze trzy yrzy tym zorze znmy z ruchu ogólnego bryły jko przyśpiezenie doolnego punktu bryły (zór 5.), ięc jet to przyśpiezenie unozeni u : ε r ω ( ω r u = + + ). (5.87)

5 Z kolei podojony iloczyn ektoroy prędkości kątoej i prędkości zględnej jet przyśpiezeniem znnym jko przyśpiezenie Corioli: v C = ω v. (5.88) Tk ięc przyśpiezenie bezzględne punktu M ruchu złożonym jet róne umie trzech przyśpiezeń: unozeni, zględnego i Corioli : u C = u+ + C. (5.89) Przyśpiezenie Corioli jet dodtkoym przyśpiezeniem ynikjącym z ruchu obrotoego ukłdu unozeni. Możn udoodnić [9], że jet ono yołne zminą ektor prędkości zględnej kutek jego obrotu z prędkością kątoą v orz zminą ektor prędkości unozeni poodoną przemiezczniem ię punktu M z prędkością zględną v. Z łności iloczynu ektoroego ynik, że przyśpiezenie Corioli będzie róne zeru trzech przypdkch: ) gdy ω = 0, tedy ruch unozeni jet ruchem potępoym, b) gdy ektory prędkości kątoej ω i prędkości zględnej v punktu M ą rónoległe, c) gdy prędkość zględn v punktu M penej chili jet rón zeru. W zgdnienich technicznych njczęściej przyjmujemy, że ukłd odnieieni ziązny z Ziemią jet nieruchomy. Tym mym pomijmy przyśpiezenie Corioli dziłjące n obiekty poruzjące ię zględem Ziemi, np. pojzdy, yołne jej obrotem okół łnej oi. Tkie potęponie jet upriedliione, ponież przyśpiezenie to jet brdzo młe [11]. Jednk przyśpiezenie Corioli torzyzy ielu zjikom ytępującym przyrodzie, yołnym obrotem kuli ziemkiej. Do zjik tych nleżą przykłdoo kierunki prądó morkich i itró. Przykłd 5.7. Poziom rurk obrc ię okół pionoej oi z, przechodzącej przez jej środek (ry. 5.5), zgodnie z rónniem ruchu: ϕ = 10t 1t, gdzie cz t jet yrżony ekundch, kąt ϕ rdinch. Wenątrz rurki poruz ię punkt M zgodnie rónniem: M = = 15in t / cm. bliczyć prędkość i przyśpiezenie bezzględne punktu M dl czu t v u [ ] =. 1 1

6 ) b) z y ω v u v M M M v x ϕ y c) ε y u n c M ω u x Ry Wyznczenie prędkości i przyśpiezeni punktu M ruchu złożonym Roziąznie. Punkt M poruz ię ruchem złożonym z ruchu unozeni yołnego obrotem rurki i ruchu zględnego zględem rurki. Prędkość bezzględną punktu M obliczymy ze zoru (5.84): vm = vu+ v. () Wrtość prędkości unozeni punktu M ynikjąc z ruchu obrotoego rurki v u = ω = ( 10 t) 15in t = ( 150 0t) in t, gdzie ω jet rtością prędkości kątoej rurki: 1 [ ] dϕ ω = = 10 t. Wrtość prędkości zględnej punktu M v d = = 15 co t = 5co t. Wektory prędkości unozeni i prędkości zględnej zznczono n ry. 5.5b przedtijącym rurkę rzucie z góry. Dl czu t = otrzymujemy: 1 1

7 v v u = ( 150 0) in = 60 = 10,9 cm /, = 5co =,5 = 7, 85 cm /. Ponież ektory tych prędkości ą protopdłe, rtość prędkości bezzględnej punktu M v = v + v = 10,9 + 7,85 = 104, 0 cm. M u / Przyśpiezenie bezzględne punktu M obliczymy ze zoru (5.89): n = u+ + C = u+ u + + c. (b) Wrtości przyśpiezeń ruchu unozeni ą ntępujące: u = ε = 15co t = 0in t, n u = ω = 15( 10 t) in t, dω ε = =. (c) Wrtość przyśpiezeni zględnego punktu M obliczymy ze zoru: dv 5 = = in t. (d) Z kolei przyśpiezenie Corioli yrż zór (5.88): jego rtość C = ω v, c = ωv in = 10( 10 t) co t = ( 100 0t) co t. (e) Wektory kłdoych przyśpiezeń ytępujące e zorze (b) przedtiono n ry..5c. Wrtości tych przyśpiezeń chili otrzymmy po podtieniu do zoró (c), (d) i (e) t = t1 = 1 : t 1

8 u n u c = 0in = 15 = 5,98 cm /, = 8 15in = 480 = 81,8 cm /, 5 5 = in = = 14,5 cm /, 6 = 80co = 40 = 15,66 cm /. N podtie ry. 5.5c rtość przyśpiezeni bezzględnego punktu M obliczymy ze zoru: n ( ) ( c u) = + + = 845, , 68 = 851, 48 cm/. M u