Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01

Transkrypt

1 WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r ( mr) r N prykłd mcier w poci bowej moż pić króko Uwg I C dl r m I dl r m gdie C C r r( r) Mcier moż prowdić do poci bowej wiele poobów Pocie bowe dl dej mciery mogą różić ię międy obą ylko wyrmi mciery reowej C Wymiry mciery jedokowej, erowej i reowej wyępujących w poci bowej ie leżą od wybrego ciągu prekłceń elemerych DEF: Rędem ieerowej mciery m ywmy licbę rówą opiowi mciery jedokowej wyępującej w jej poci bowej oceie: r Dodkowo pryjmujemy, że rąd mciery erowej je rówy eru Rąd mciery je rówy mkymlej licbie różych kolum jedokowych wyępujących w poci bowej mciery WŁSNOŚĆ Rąd mciery o wymirch m je ie więky od miejej licb m i r mi( m, ) Tw: Mciere rówowże mją rówe rędy Jeżeli ~B, o r=rb

2 UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH TWIERDZENIE KRONECKER- CPELLEGO Ukłd m rówń liiowych o iewidomych m rowiąie wedy i ylko wedy, gdy rąd mciery wpółcyików je rówy rędowi mciery roeroej r r b pry cym jeżeli r rb jeżeli r rb r WNIOSEK rowiąń leżych od Jeżeli r rb, o ukłd je ocoy;, o ukłd je ieocoy, poid iekońceie wiele r prmerów, o ukłd je precy Zuwżmy, że gdy rąd mciery wpółcyików je róży od rędu mciery roeroej, o r b r Dl ukłdu precego rąd mciery wpółcyików je o jede miejy od rędu mciery roeroej WYZNCZNIK MCIERZY KWDRTOWEJ Wycik mciery kwdrowej je licbą, kórą ocmy ymbolem de lub DEF: (idukcj e wględu opień mciery obliceie wycik mciery opi wymg oblicei wycik mciery opi Wycikiem mciery kwdrowej opi ywmy licbę defiiową poiżej: Jeżeli, o de de Jeżeli, o de gdie ij je licbą rówą ilocyowi i j pre wycik mciery opi powłej mciery pre wykreśleie i-go wier i j - ej kolumy Licbę ij ywmy dopełieiem lgebricym elemeu ij Zem W prypdku gdy, gdy mcier wier ylko jede wyr pryjmujemy, że wycik je wrością ego wyru W prypdku gdy wycik je rówy umie wyrów pierwego wier pomożoych pre dopełiei lgebrice ych wyrów TW: LPLCE (rowiięcie wycik wględem dowolego wier lub dowolej kolumy) Dl kżdego i, i chodi rówość k k k

3 de i i i Dl kżdego j, j chodi rówość i i i k de j j j j Wycik mciery kwdrowej je rówy umie wyrów dowolego wier lub dowolej kolumy pomożoych pre dopełiei lgebrice ych wyrów j j k ik kj ik kj WŁSNOŚCI WYZNCZNIKÓW T de de Jeżeli kżdy eleme pewego wier lub kolumy mciery je rówy ero, o wycik ej mciery je rówy ero Jeżeli mcier B powje mciery pre mię miejcmi dwóch wiery lub dwóch kolum, o de de B Jeżeli dw wiere mciery lub dwie kolumy ą proporcjole (w cególości ideyce), o wycik ej mciery je rówy ero Jeżeli elemey pewego wier lub pewej kolumy mją wpóly cyik, o moż go wyciągąć pred wycik Np R = Jeżeli do elemeów wier mciery dodmy odpowiedie elemey iego wier pomożoe pre dowolą licbę, o wycik mciery ie ulegie miie Jeżeli do elemeów kolumy mciery dodmy odpowiedie elemey iej kolumy pomożoe pre dowolą licbę, o wycik mciery ie ulegie miie Jeżeli w mciery wykie elemey jdujące ię pod prekąą główą ą rówe eru, o wycik ej mciery je rówy ilocyowi elemeów główej prekąej DEF: Mcier kwdrową ywmy: oobliwą, gdy de= ieoobliwą, gdy de UKŁD CRMER Ukłd rówń liiowych ywmy ukłdem Crmer jeżeli licb rówń ukłdu je rów licbie iewidomych (m=) i mcier wpółcyików ukłdu je ieoobliw (de) TWIERDZENIE CRMER Ukłd Crmer (m=, de) m dokłdie jedo rowiąie de wormi

4 Wi i i W gdie W de, W i i=,,, je wycikiem mciery powłej pre ąpieie i-ej kolumy kolumą wyrów wolych 8

5 9 Zdie Meodą elimicji Gu rowiąć ukłdy rówń Wycyć rędy mciery wpółcyików i mciery roeroej ) b) c) d) e) Zdie Oblic wycik mciery rowijjąc go ) wględem -go wier, b) -ej kolumy Zdie Oblicyć wyciki koryjąc włości,,, Zdie Oblicyć wyciki podych mciery, koryć włości wycików ), b) B, c), d), e), f) odp: d ) ] [ b r r, b) ] [ b r r Sprwdź modielie poprwość odpowiedi uykych w prykłdch c), d),e) d de d 8, -,, ) ( ) ( d b) 9, c) ; d) ; e) ; f)