PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

Transkrypt

1 PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j = b i,j Dodwnie (odejmownie) mcierzy def. m,n ± B m,n = C m,n c i,j = i,j ± b i,j Mnożenie mcierzy przez sklr def. m,n c = B m,n b i,j = i,j c RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze

2 Mnożenie mcierzy przez sklr jest przemienne m,n c = c m,n Iloczyn dwóch mcierzy Iloczyn wierszy(sumomnożenie) pierwszej mcierzy i odpowidjących elementów kolumn drugiej mcierzy m,n B n,s = C m,s. c i, j n k b def i, k k, j 7 9 Iloczyn wielu mcierzy m,n B n,s C s,t D t,v = E m,v 7 5 Iloczyn wielu mcierzy RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze

3 B B SUM C BC SUM 5 D BCD SUM 7 5 Mnożenie mcierzy jest łączne m,n B n,s C s,t = m,n (B n,s C s,t ) Mnożenie mcierzy jest rozdzielne względem dodwni ( m,n + B m,n ) C n,s = m,n C n,s + B m,n C n,s Mnożenie mcierzy nie jest przemienne m,n B n,s B n,s m,n Trnspoz mcierzy Mcierz trnsponowną względem mcierzy m,n nzyw się tką T mcierz, w której wiersze odpowidją kolumnom mcierzy m,n n m T T i,j j,i Trnspoz mcierzy posid nstępujące włsności: RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze

4 ( T ) T = Trnspoz mcierzy trnsponownej przywrc pierwotną mcierz T ( T + B + C) T = ( T ) T + B T + C T = + B T + C T (BCD) T Trnspoz sumy mcierzy jest sumą mcierzy trnsponownych = D T C T B T T Trnspoz iloczynu mcierzy jest iloczynem mcierzy trnsponownych w odwrotnej kolejności. RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze

5 Mcierz zerow Rodzje mcierzy (ze względu n ksztłt i elementy mcierzy) def. m,n i,j = (m, n dowolne) Mcierz kwdrtow n,n Mcierz symetryczn S n,n. def s i,j = s j,i 5 Przekątn mcierzy (przekątn główn) i,i Elementy o tym smym wskźniku wiersz i kolumny 9 Mcierz digonln D n,n. def d i,i orz d i,j = RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze rozkłd

6 Mcierz sklrn def. S n,n s i,i = c (dl c ) orz s i,j = Mcierz jednostkow E def. E n,n e i,i = orz e i,j = Iloczyn sklru przez mcierz jednostkową dje mcierz sklrną S = c E (np. S = E) Iloczyn mcierzy T jest mcierzą symetryczną T = S 5 Trnspoz mcierzy symetrycznej dje mcierz pierwotną N T = ( T ) T = T = N Dl mcierzy symetrycznej P iloczyn T m, n Pn, n n, m Nm, m dje mcierz symetryczną RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze rozkłd

7 Dl mcierzy kwdrtowych możn zdefiniowć potęgownie = Mcierz idempotentn = Mcierz elementrn (trójkątn lub trpezow) Mcierz zwierjąc poniżej lub powyżej przekątnej sme 5 5 RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze rozkłd

8 Rozkłd mcierzy n czynniki elementrne Mcierz kwdrtową (n,n) możn rozłożyć n iloczyn dwóch mcierzy trójkątnych (n,n), z których pierwsz skłd się z elementów zerowych nd przekątn główną, drug m elementy= pod przekątn główną n,n = H T n,n G n,n Elementy położone n przekątnej jednej z mcierzy H lub G mogą być dowolnie ustlonymi liczbmi z wyjątkiem zer. Njczęściej przyjmuje się n przekątnej mcierzy G jedynki, pozostłe elementy mcierzy H i G wyzncz się z definicji mnożeni mcierzy. Mcierz prostokątną poziomą (czyli m<n) możn rozłożyć n iloczyn mcierzy trójkątnej H m,m i mcierzy trpezowej G o m wierszch i n kolumnch (identycznych rozmirów, co mcierz rozkłdn). m,n = H T m,m G m,n Elementy n przekątnej mcierzy G (mogą być ustlone jko = (zlecne). Przykłd rozkłdu mcierzy 5 7 Mcierz symetryczną możn rozłożyć n iloczyn dwóch mcierzy (z których jedn jest trnspozą drugiej). N n,n = R T n,n R n,n Mcierz R nzywmy pierwistkiem kwdrtowym mcierzy N. UWG! ROZKŁD I WSZYSTKIE INNE DZIŁNI N MCIERZCH WYKONYWNE RĘCZNIE NLEŻY WYKONYWĆ ŁĄCZNIE Z KONTROLMI SUMOWYMI. RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze rozkłd

9 Wyznczniki i minory mcierzy Wyznczniki Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n o elementch ij nzywmy funkcję rzeczywistą elementów ij określoną wzorem det... i j np Gdzie sumownie przebieg wszystkie permutcje wskźników (i, j,...,p) ciągu (,,...,n), przy czym znk plus jest, gdy (i, j,...,p) tworzą permutcję przystą, znk minus jest gdy wskźniki te tworzą permutcję nieprzystą. Minory Jeżeli w mcierzy skreśli się ity wiersz i jtą kolumnę, to wyzncznik tkiej podmcierzy nosi nzwę minor i oznczny jest przez M i,j. 5 M, 5 lgebriczne dopełnienie (czyli minor z odpowiednim znkiem) elementu ij mcierzy i,j = () i+j M i,j Wrtość wyzncznik mcierzy możemy wyznczyć z pomocą dopełnień det i i ( j) ( j) Przy czym wskźnik i ozncz dowolny wiersz j dowolną kolumnę ( z wyzncznik i z mcierzy dopełnień lgebricznych). RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze odwrotność

10 Włściwości mcierzy Rząd mcierzy R() Rząd mcierzy definiuje się jko liczbę jej liniowo niezleżnych wierszy lub jko liczbę jej liniowo niezleżnych kolumn. Rząd mcierzy R() stnowi njwyższy stopień minorów mcierzy różnych od zer < R( n,m ) min(n, m) Włsności R() = R( T ) gdzie min(n, m) ozncz mniejszy wymir mcierzy. R(BC) min (R(), R(B), R(C)) Mcierz kwdrtow n, jest pełnego rzędu (mcierzą nieosobliwą), gdy R( n,n ) = n czyli det () Mcierz kwdrtow jest niepełnego rzędu ( mcierzą osobliwą), gdy det () = Mcierz prostokątn pionow n,m (n> m) jest kolumnowo pełnego rzędu (regulrną kolumnowo), gdy R( n,m ) = m Mcierz prostokątn poziom n,m (n < m) jest wierszowo pełnego rzędu (regulrną wierszowo), gdy R( n.m ) = n Defektem mcierzy n.m nzywmy liczbę cłkowitą określoną wzorem d = min ( n, m ) R ( n,m ) RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze odwrotność

11 Wszystkie mcierze pełnego rzędu posidją defekt zerowy, czyli d =. Jeżeli mcierz posid d >, to mcierz t jest niepełnego rzędu, czyli osobliw. Śld mcierzy dl mcierzy kwdrtowej n,n. Sp ( n,n ) = ii Mcierz odwrotn Odwrotność lewostronn (dl mcierzy pionowej) ( m,n ) n,m = E m,m Odwrotność prwostronn (dl mcierzy poziomej) n,m ( m,n ) = E n,n Jeżeli mcierz kwdrtow stopni n n jest nieosobliw, czyli jest mcierzą której rząd R()= n, to istnieje dokłdnie jedn mcierz odwrotn:, n n, n n, n n n, n E Włsności odwrotności: ( BC ) = C B = (H T G) = G (H T ) = ( ) T (dl mcierzy symetrycznej) ( T ) = ( ) T RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze odwrotność

12 Odwrotność liczon z pomocą mcierzy dopełnień lgebricznych det T D Det D T mcierz odwrotn wyzncznik mcierzy mcierz dopełnień lgebricznych (dl ) M, M, M, M, M, M, M, M, M, M D T D det D T,5,5,5,5 RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze odwrotność

13 Ukłd równń, x +, y +, z = l, x +, y +, z = l, x +, y +, z = l zpis lgebriczny X = L (zpis mcierzowy ukłdu równń) Sprwdzmy x,,,,,,,,, x y z,,, x x x,,, y y y,,, z z z L l l l Mcierz odwrotn dl mcierzy współczynników przy niewidomych ukłdu równń określ rozwiąznie tego ukłdu, (dl mcierzy kwdrtowej i nieosobliwej) RW.5 dr inż. Jn Ruchel / Mcierze ukłd równń

14 X n,n X n, = L n, n, nn, n, L X = L / mnożymy lewostronnie X = L ( ) X = L ( E ) X = L E X = L X = L Prktycznie relizcj (wrint ): = H T G H T (H T ) = E G G = E G (H T ) = X = L Prktycznie relizcj (wrint ): Wrunek T = = R T R R R = E (R ) T = (R T ) R (R T ) = X = L RW.5 dr inż. Jn Ruchel / Mcierze ukłd równń

15 Obliczenie przy wykorzystniu odwrotności liczonej z rozkłdu H T G Ukłd trzech równń liniowych X + Y + Z = X + Y + Z = X + Y + Z = Obliczenie przy wykorzystniu odwrotności liczonej z rozkłdu mcierzy Ukłd Rozkłd Odwrotność Odwrotność Iloczyn odwrotnośći Rozwiąznie Kontrol Mcierz Mcierz X Mcierz L X Y = Z Mcierz Mcierz H T Mcierz G = Mcierz H T Mcierz (H T ) E =..5.5 Mcierz G Mcierz G Mcierz E =... Mcierz G Mcierz (H T ) Mcierz = Mcierz X Mcierz Mcierz L = Mcierz Mcierz X Mcierz L... =... RW.5 dr inż. Jn Ruchel / Mcierze ukłd równń

16 Obliczenie przy wykorzystniu odwrotności liczonej z pierwistk mcierzy Ukłd Mcierz Mcierz Mcierz X L X 7 Y = 5 9 Z Rozkłd Odwrotność Odwrotność Iloczyn odwrotnośći Rozwiąznie Kontrol Mcierz Mcierz R T Mcierz R = Mcierz R T Mcierz (R T ) E = ( (R T ) ) T = ((R T ) T ) = R = Mcierz R Mcierz (R T ) Mcierz = Mcierz Mcierz X Mcierz L = Mcierz Mcierz Mcierz X L. 7.. = RW.5 dr inż. Jn Ruchel / Mcierze ukłd równń

17 Ukłd trzech równń liniowych X + Y + Z = X + Y + Z = X + Y + Z = Obliczenie przy wykorzystniu wzorów KRMER x Wx w y Wy w z Wz w Ukłd WYZNCZNIKI X Y = Z Wyzncznik W Wyzncznik X Wyzncznik Y Wyzncznik Z W y W z W= W x = = = 9 Rozwiązni e Kontrol X= W x / W. Y= W y / W. Z= W z / W. Mcierz Mcierz X Mcierz L.. =. RW.5 dr inż. Jn Ruchel 5/ Mcierze ukłd równń

18 Ukłd trzech równń liniowych X + Y + Z = X + Y + Z = X + Y + Z = Obliczenie przy wykorzystniu MINORÓW (dopełnień lgebricznych) X = L det T D Ukłd WYZNCZNIKI Mcierz McierzX Mcierz L X Y = Z Wyzncznik W Mcierz minorów M Mcierz dopełnień [ ij ] W= W = w i i lub w (j) (j)!/w =.5 W=W = W=W () () = = \ det W [] T Mcierz X = L = Mcierz Mcierz Mcierz X L.. Kontrol. =... RW.5 dr inż. Jn Ruchel / Mcierze ukłd równń