Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Transkrypt

1 kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej złożoe wyrżei tetycze. Zzwyczj otcj cierzow uożliwi łtwiejsze posługiwie się zbiore rówń. W celu wprowdzei otcji cierzowej, rozwży stępujący zbiór rówń lgebriczych: y y y Rówi te oż zpisć w postci rówi cierzowego lub w stępującej forie uproszczoej y y y y () Sybole, orz y są cierzi zwierjącyi współczyiki i ziee zbioru pojedyczych rówń (). W rówiu () iloczy cierzy orz jest rówy y. Te trzy cierze zdefiiowe są stępująco: (4) (5)... () () Ostti ktulizcj: 7-4- M. Toer

2 Teori sterowi lgebr cierzow y y y (6)... y.. DEFINICJE MCIERZY Mcierz jest zbiore (kolekcją) eleetów uporządkowych w tblicę prostokątą lub kwdrtową. Nwisy kwdrtowe, tkie jk te z rówń (), (4), (5), (6) używe są do ozczi cierzy. Wże jest rozróżieie poiędzy cierzą i wyzczikie. Poiżej zebre zostły podstwowe włsości cierzy i wyzczik. MCIERZ Tblic pewej liczby eleetów zwrtych w wierszch i koluch Nie posid pojedyczej wrtości, wet gdy jest kwdrtow. WYZNCZNIK Tblic pewej liczby eleetów zwrtych w wierszch i koluch (zwsze kwdrtow) M pojedyczą wrtość. Eleety cierzy. Kiedy cierz zpis jest stępująco: (7) ij jest eleete cierzy w ity wierszu i jtej koluie. Pierwszy ideks odosi się do wiersz, drugi do koluy. Rozir cierzy. Rozir cierzy odosi się do cłkowitej liczby wierszy i kolu. Dl przykłdu cierz (7) trzy wiersze i trzy koluy i zyw jest cierzą (trzy trzy). Mcierz z wierszi i kolui określ jest. Mcierz kwdrtow. Mcierz kwdrtow tką są liczbę wierszy i kolu. Mcierz koluow. Skłd się z jedej koluy i więcej iż jedego wiersz i określ jest cierzą, >. Brdzo często cierz koluow zyw jest wektore koluowy. Mcierz wierszow. Posid jede wiersz i więcej iż jedą koluę i jest cierzą >. Mcierz wierszow brdzo często zyw jest wektore wierszowy. Mcierz digol. Jest cierzą kwdrtową z eleeti Przykłdi cierzy digolej są B 4 ij =, dl wszystkich, gdzie i j. Mcierz jedostkow. Mcierzą jedostkow jest cierzą digolą ze wszystkii eleeti główej przekątej (i = j) rówyi. Mcierz jedostkow jest brdzo często ozcz jki I. I (8) Ostti ktulizcj: 7-4- M. Toer

3 Teori sterowi lgebr cierzow Mcierz zerow. Jest cierzą, której wszystkie eleety są rówe zero. Mcierz syetrycz. Jest cierzą syetryczą, której eleety spełiją stępujący wruek dl wszystkich i orz j. Mcierz syetrycz tką włsość, że jeśli wiersze zieie ij ji są z kolui to uzyskiw jest tk s cierz. Dw przykłdy cierzy syetryczej B 6 4 Wyzczik cierzy. Dl kżdej cierzy kwdrtowej oże być zdefiiowy jej wyzczik. Wyzczik cierzy kwdrtowej określy jest jko det (9) Dl przykłdu wyzczikie cierzy (7) jest Dopełieie eleetu wyzczik. () ij będący dopełieie pewego eleetu ij wyzczik tego rzędu, jest wyzczikie uzysky po wyeliiowiu wszystkich eleetów itego wiersz i jtej koluy poożoy przez wyzczik z rówi () jest stępujące i j ( ). Dl przykłdu dopełieie eleetu ( ) () Ogólie wrtość wyzczik oże zostć wyrżo w postci dopełień. Przyjijy, że jest cierzą, wówczs wyzczik cierzy oże być wyrżoy w postci suy iloczyów eleetów pewej koluy lub wiersz i ich dopełień. lub det ij ij (i =, lub,..., lub ) () j det ij ij (j =, lub,..., lub ) () i Przykłd Wrtość wyzczik z rówi () jest stępując: det ( ) ( ) ( ) (.) Mcierz osobliw. O cierzy ówi się, że jest osobliw jeśli wrtość jej wyzczik jest rów zero. Jeśli cierz kwdrtow iezerowy wyzczik, wówczs zyw jest cierzą ieosobliwą. Kiedy cierz jest osobliw, ozcz to, że ie wszystkie wiersze i koluy są Ostti ktulizcj: 7-4- M. Toer

4 Teori sterowi lgebr cierzow iezleże od siebie. Jeśli cierz reprezetuje zbiór rówń lgebriczych, to osobliwość cierzy ozcz, że rówi te ie są iezleże od siebie. Przykłd Rozwży stępujący zbiór rówń: Trzecie rówie jest rówe suie dwó pierwszy. Więc te trzy rówi ie są iezleże od siebie. W forie cierzowej te rówi ogą zostć zpise stępująco: gdzie (.) (.) (.) Wyzczik cierzy jest rówy zero, więc cierz jest cierzą osobliwą. W ty przypdku wiersze cierzy są zleże. Mcierz trspoow. Mcierz trspoow defiiow jest jko cierz, któr uzysk zostł przez zię odpowidjących sobie wierszy i kolu w cierzy. Przypuśćy, że cierz, wyrżo jest stępująco: [ (4) ij ], Trspozycj cierzy, ozcz jko T jest d wzore Mcierzy rozir T = trspozycj cierzy [ (5) ij ],, lecz rozir cierzy T jest. Przykłd Rozwży cierz o rozirze (.) 5 Trspozycj cierzy jest uzyskiw przez zię wierszy i kolu. T = (.) 5 Ostti ktulizcj: 7-4- M. Toer 4

5 Teori sterowi lgebr cierzow Włsości trspoowi cierzy. ( T ) T = (6). (k T ) = k T, gdzie k jest sklre (7). ( + B) T = T + B T (8) 4. (B) T = B T T (9) Mcierz dopełień. Przypuśćy, że cierz kwdrtow rozir. Mcierz dopełień cierzy jest ozcz jko dj i defiiow stępująco: gdzie dj [ podwyzczik ] (4) ij, ij ozcz dopełieie eleetu ij. Przykłd 4 Rozwży cierz o wyirch (4.) Dopełieii są, cierzy jest stępując: orz. Więc cierz dopełień T dj = T (4.). LGEBR MCIERZOW.. RÓWNOŚĆ MCIERZY Dwie cierze orz B są sobie rówe jeśli spełioe są stępujące wruki. Mją te s rozir.. Odpowidjące sobie eleety są sobie rówe; tz. ij b ij dl kżdego i orz j () Przykłd 5 Mcierze i B są sobie rówe b b B (5.) b b ozcz to, że b, b, b, b. Ostti ktulizcj: 7-4- M. Toer 5

6 Teori sterowi lgebr cierzow.. DODWNIE I ODEJMOWNIE MCIERZY Dwie cierze orz B ogą być dodwie lub odejowie w forie B jeśli ją tki s rozir. gdzie B [ () c ij ij ij ], [ bij ], C [ cij ], b dl wszystkich i orz j () ij Rozir cierzy pozostje bez zi zrówo po dodwiu jk i odejowiu. Przykłd 6 Rozwży cierze 4 B (6.) które ją te sej rozir. Więc su cierzy i B C B (6.). ŁĄCZNOŚĆ I PRZEMIENNOŚĆ DODWNI.4. MNOŻENIE MCIERZY ( B) C ( B C) () B C B C C B (4) Mcierze i B ogą być ożoe przez siebie do postci iloczyu B jeśli liczb kolu cierzy jest rów liczbie wierszy cierzy B. Przyjijy Iloczy cierzy orz B [ ij ], p [ b ij ] q, C B [ ij ], p B (5) [ (6) b ij ] q, [ cij ], jest ożliwy tylko wówczs gdy p = q. Mcierz C będzie ił tką są liczbę wierszy jk cierz i tką są liczbę kolu jk cierz B. Nleży piętć, że cierze orz B ogą spełić wruki do wykoi iloczyu B, ie spełić ich do iloczyu B poz wyjątkie gdy jest rówe. W przypdku ożei ie przeieości, zzwyczj B B. Kiedy cierze ( p ) orz B ( p ) spełiją wruki do wykoi iloczyu C = B, wówczs ijty eleet cierzy C, p [ c ] b, dl i =,,..., orz j =,,..., (7) ij k ik kj Ostti ktulizcj: 7-4- M. Toer 6

7 Teori sterowi lgebr cierzow Przykłd 7 De są dwie cierze [ ij ], [ b ij ], B (7.) Spełiją wruki do wykoi iloczyu B le ie do iloczyu B. Więc b b b b B b (7.) b b b b Przykłd 8 De są cierze B (8.) N tych cierzch oże być wykoe ożeie zrówo B jk i B B = B = = = 6 Nwet jeśli istieje B jk i B ie są sobie rówe. W ty przypdku uzyske iloczyy ie ją tkich sych rozirów. (8.) (8.).5. ODWRCNIE MCIERZY W lgebrze sklrej, kiedy zpiszey cierzowej, jeśli = y to y, to zpis y / jest prwdziwy. W lgebrze y (8) gdzie ozcz cierz odwrotą. Wruki w których istieje cierz odwrot. jest cierzą kwdrtową. usi być ieosobliw. Jeśli istieje to jest o wyzcz z zleżości dj (9) Ostti ktulizcj: 7-4- M. Toer 7

8 Teori sterowi lgebr cierzow Przykłd 9 Mjąc dą cierz (9.) cierz odwrot jest opis wzore dj (9.) Mcierz będzie ieosobliw,, lub. Rówie (9.) pokzuje, że cierz odwrot o rozirch jest uzyskiw przez zię dwóch eleetów główej przekątej i zię zków eleetch zjdujących się poz tą przekątą digolą cierzy. Przykłd Dl cierzy (.) cierz odwrot jest opis wzore ( ) ( ) ( dj ) ( ) (.) Wyzczik cierzy = + + (.) Pewe włsości odwrci cierzy. = = I (). ( ) = (). W lgebrze cierzowej, ogólie B = C ie koieczie prowdzi do wruku B = C. Jeśli cierz kwdrtow jest ieosobliw to oż obustroie poożyć rówie B = C przez. Wtedy B = C () co prowdzi do B = C. 4. Jeśli cierze kwdrtowe orz B są cierzi ieosobliwyi, wówczs (B) = B () Ostti ktulizcj: 7-4- M. Toer 8

9 Teori sterowi lgebr cierzow.6. RZĄD MCIERZY Rząd cierzy jest ksylą liczbą iezleżych liiowo kolu cierzy ; lub jest rozire jwiększej cierzy ieosobliwej zwrtej w. Przykłd Wyzczeie rzędów cierzy 9 6 rk = rk = (.) ZGDNIENI KONTROLNE. Podj defiicję rzędu cierzy?. Czy bdie rzędu cierzy oże być zstosowe do cierzy, któr ie jest kwdrtow?. Czy cierz iekwdrtow oże być syetrycz? ZDNI Z. Wyzcz stępujące suy cierzowe. 5 6 ) b) 4 4 Z. Wyzcz, stępujące iloczyy cierzowe *B, B*. Wykoj tylko te dziłi dl których cierze skłdowe ją odpowiedie roziry, pozwljące wykoie iloczyu cierzowego. ) B [6 ] b) B Z. Zjdź, jeśli istieją, odwrotości stępujących cierzy. Njpierw wykoj te dziłi ręczie, stępie jeśli sz tkie ożliwości, przy użyciu koputer. 5 ) b) c) d) 4 5 Z4. Wyrź zbiór stępujących rówń lgebriczych w forie cierzowej, = B. ) + = + = 5 = b) + = + = = Ostti ktulizcj: 7-4- M. Toer 9

10 Teori sterowi lgebr cierzow c) = = 7 + = Sprwdź, czy te rówi są liiowo iezleże. Zjdź cierz odwrotą. Jeśli rówi ie są liiowo iezleże, czy oż je rozwiązć i wyzczyć, orz? Z5. Wyzcz rzędy stępujących cierzy: 4 8 ) c) 6 6 b) d) 5 5 LITERTUR. Dorf R.C., R.H. Bishop, Moder Cotrol Systes, ddisowesley Log, Ic., Kuo B. C. utotic Cotrol of Dyic Systes, 7 th ed, ddiso-wesley & Sos Ic., 995. Ostti ktulizcj: 7-4- M. Toer