Zmiana układów odniesienia
|
|
- Joanna Jarosz
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 531 Zmi ukłdów odieiei Z kżdą brłą twą możem wiąć ukłd wółrędch oiując ruch tej brł w retrei Dltego w dlm ciągu w kiemtce brł będiem ię jmowć główie wjemm ruchem ukłdów wółrędch Zjąc ruch ukłdu wółrędch j,, (r 58) two k i j r k R 58 Wceie leżości omięd ukłdmi wółrędch i r r M wiąego brłą (ukłdu ruchomego) wględem ieruchomego ukłdu odieiei,,, będiem mogli oblicć rędkość i rśieeie wtkich uktów brł W dlej kolejości wrowdim leżości geometrce omięd tmi ukłdmi wółrędch W tm celu utlm leżości omięd wółrędmi w obu ukłdch tego mego uktu M W ierwej kolejości rotrm leżości omięd werormi obu ukłdów wółrędch Weror i, j, k ruchomego ukłdu wółrędch,, iem w ukłdie ieruchomm,, : ( i i) i+ ( i j) j+ ( i k)k i () Zwrte w wich iloc klre werorów ą rutmi weror i odowiedio oie,,, ą oe rówież koiumi kierukowmi międ oią oimi,,, które ocm,, : i i co i j co i k co (, ), (, ), (, ) (b)
2 Powiw owże ocei do woru () or otąiw odobie werormi j i k otrmm wor: i j k i+ i+ i+ j+ j+ j+ k, k, k (53) Widim, że do ii werorów ruchomego ukłdu wółrędch w ukłdie ieruchomm leż ć diewięć koiuów kierukowch etwioch w oiżej tbeli i j k i j k Międ tmi diewięciom koiumi kierukowmi itieje eść leżości trmm je e worów iloc klre werorów (16) i i j j k k + + i j + j k + k i + 1, 1, 1, , 0, 0 (54) Dl wcei ołożei ukłdu wółrędch,, wględem ukłdu,, wtrc odć 6 wielkości:,,, ) tr wółręde wektor r ( ) b) tr ieleże koiu kierukowe becie wcm wółręde wektor wodącego r uktu M w ukłdie,, Z ruku 58 widim, że wektor wodąc r tego uktu możem ić jko umę dwóch wektorów: r r + r (55)
3 Wektor r jet wektorem łącącm ocątki obu ukłdów wółrędch Ziem go litcie w ukłdie wółrędch,, : r i + j + (56) k Wektor r jet wektorem wodącm uktu M w ukłdie,, Moż go wrić omocą wółrędch w tm ukłdie: r i + j + k (57) Po owieiu worów (56) i (57) do rówi (55) otrmm: r r + r i+ j+ k+ i + j + k (58) Po rutowiu owżego wektor oie ukłdu wółrędch,, or wkortiu leżości (b) otrmm jego wółręde w tm ukłdie wółrędch: r i r j r k ,, (59) W odob oób moż wrić wółręde wektor r w ukłdie,, logicie moż ić dowol wektor c d w jedm ukłdie wółrędch w drugim
4 53 Prędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu ogólm Dl rotrei kiemtki brł rjmiem, tk jk w oredim ukcie, dw ukłd wółrędch rotokątch: jede ieruchom o oich,, i ocątku w ukcie, drugi o oich,, i ocątku w dowolm ukcie (bieguie), orując ię rem brłą (r 58) Wektor wodąc dowolego uktu M brł w ieruchomm ukłdie wółrędch,, jet godie e worem (55) umą dwóch wektorów r r,którch ceie omówioo w 531: i r r + r Widomo kiemtki uktu, że rędkość uktu jet ochodą wektor wodącego r wględem cu t (wór 54) Ztem uką rędkość uktu M wrż leżość: d r d r + (530) Pochod wektor r wględem cu jet rędkością uktu : d r d d d i+ j+ k () Po różickowiu wględem cu woru (57) otrmm: d r d d d d i d j d k i + j + k (b) Poiewż wektor r jet wektorem łącącm dw ukt brł twej, więc jego moduł jet tł, r cot, co tm idie, jego wółręde,, ą wielkościmi tłmi ieleżmi od cu Ztem ich ochode wględem cu ą rówe eru d d d 0 Wór (b) rjmuje więc otć: d r d i d j d k + + (c)
5 Wtęujące w tm wore ochode wględem cu werorów i, j, k ukłdu ruchomego ą mirą mi ich kieruków w cie, oiewż ich moduł ą tłe Moż wkć [9], że ochode te moż wrić omocą worów: d i i, d j j, dk k (531) Wektor jet rędkością kątową chrkterującą mi kieruków oi,, w cie W ruchomm ukłdie wółrędch rędkość kątową moż wrić omocą wółrędch: i + j + k (d) Po owieiu leżości (531) do woru (c) otrmm: d r ( i ) + ( j ) + ( k ) ( i + j + k Wrżeie wtęujące w wiie, godie leżością (57), jet wektorem r Ztem ) d r r (e) Po owieiu do woru (530) worów () i (e) otrmujem ottecie wór rędkość dowolego uktu M brł w ruchu ogólm + r (53) Z otrmego woru wik, że rędkość dowolego uktu M brł jet rów umie rędkości dowolie obrego biegu, rjętego ocątek ruchomego ukłdu wółrędch, or ilocu wektorowego r rędkości kątowej i romiei wodącego r uktu M w ruchomm ukłdie wółrędch N owie woru (53) możem oo formułowć tęujące wioki: ) Prędkość uktu leż od wboru tego uktu b) Prędkość kątow ie leż od wboru uktu, lec jedie od mi kieruków oi,, w cie c) Mimo mi uktu rędkość uktu M ie ulegie miie, oiewż miei ię rówież odowiedio wrżeie r
6 Po różickowiu wględem cu woru rędkość (53) otrmm rśieeie uktu M: d d d d r + r + (f) Po oceiu rśieei ocątku ruchomego ukłdu wółrędch re or rśieei kątowego re d (g) d ε (h) i wkortiu woru (e) wór (f) rjmie końcową otć: ( r ) + ε r + (533) Wór te moż rewić w ieco iej otci o roiiu wtęującego w im odwójego ilocu wektorowego godie leżością (34): ( ) + ε r + r r (534) Ze worów rędkość (53) i rśieeie (533) wik, że b wcć rędkość i rśieeie dowolego uktu M brł, leż ć cter wielkości wektorowe chrkterujące ruch ogól brł: ) rędkość i rśieeie jedego uktów brł (biegu), b) rędkość kątową i rśieeie kątowe brł ε Wrowdoe w tm ukcie wor rędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu ogólm wkortm r omwiiu w tęch uktch tego rodiłu cególch rdków ruchu ogólego brł, cli otęowego, obrotowego, śrubowego, łkiego i kulitego
7 533 Ruch otęow Ruch brł twej wm otęowm, jeżeli dowol rot two wią brłą ootje w cie ruchu tle rówoległ do ołożei ocątkowego Z owżej defiicji wik, że kżd oi ukłdu wółrędch,, rewioego r 58 będie mił w ruchu otęowm te m kieruek Podobie wektor r M ie miei w cie ruchu wojego kieruku, tem będie o wektorem tłm ieleżm od cu: r cot, więc jego ochod we wore (530) będie rów eru Stąd rędkość dowolego uktu brł wrż leżość: d r (535) Po różickowiu tego woru otrmujem rśieeie d r d (536) Ze worów (535) i (536) or defiicji ruchu otęowego wikją tęujące wioki: ) Wtkie ukt brł twej w ruchu otęowm mją te me rędkości i rśieei w tej mej chwili cu b) Tor wtkich uktów brł mją te m ktłt c) Dl oiu ruchu otęowego brł wtrc odć rówie ruchu jedego r r t uktu brł, ocątku ruchomego ukłdu wółrędch, ( )
8 534 Ruch obrotow Ruch brł twej wm obrotowm, jeżeli itieje jed rot wią brłą, której ukt w cie ruchu ootją w ocku ϕ ε rr R 59 Ruch obrotow brł twej wokół tłej oi obrotu M ϕ Złóżm, że oią obrotu jet oś Dl ułtwiei rowżń rjmiem ukłd wółrędch wią brłą tk, b oś okrwł ię oią ukłdu ieruchomego or b jego ocątek jdowł ię w ukcie, jk r 59 Poiewż weror k cot, co wik okrwi ię oi oią obrotu, jego ochod wględem cu jet rów eru Ztem wrżei: dk k 0 wik, że wektor leż oi obrotu Z oią obrotu okrw ię rówież wektor rśieei kątowego ε W tej tucji wektor te moż ić w tęując oób: k k or ε ε k ε k (537) Jeżeli kąt międ oimi tłą i ruchomą ocm re ϕ, to leżość ϕ ϕ(t) jet rówiem ruchu obrotowego brł wokół tłej oi Moż wkć [9], że ochod wględem cu kąt obrotu ϕ jet modułem rędkości kątowej, drug ochod modułem rśieei kątowego: dϕ d d ϕ, ε (538) Z ruku 59 widć, że romień wodąc r uktu M jet rów r, oiewż r 0 Tm mm 0 i 0 Uwględiw owże leżości we worch rędkość (53) i rśieeie (533) uktu w ruchu ogólm, otrmm wor rędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu obrotowm wokół tłej oi obrotu: r, (539)
9 Prśieeie moż ić w otci: ( r ) ε r + (540) ( ) ε r + r r (541) Dl ilutrcji wektor rędkości rewim r 510 r l ( r ) ε r M rr ( r ) ε - r R 510 Skłdowe rędkości i rśieei w ruchu obrotowm brł N owie worów (539), (540) i (541) or r 510 możem formułowć tęujące wioki: ) Prędkość jet rotodł do łc rechodącej re oś obrotu l i ukt M, cli jet tc do okręgu kreśloego re ukt M b) Prśieeie uktu M m dwie kłdowe: tcą do toru uktu M, rówą ε r, wą rśieeiem tcm, i ormlą, rówą ( r ), rotodłą do i r, cli kierową do środk krwi toru uktu M, wą rśieeiem ormlm lub dośrodkowm c) Prśieeie ormle moż rołożć kłdową rówoległą do oi obrotu ( r ) i kłdową kierową do obrego uktu rówą r Gd ukt odieiei rjmiem w środku okręgu kreśloego re ukt M, wted kłdow rśieei ormlego rówoległ do oi obrotu będie rów eru, r, rśieeie ormle r W tm ( ) 0
10 rdku moduł rędkości, rśieei tcego i ormlego wrżją rote wor: r, εr, r (54) Prkłd 54 iężr mocow do liki wiiętej mł obwód kołowrotu (r 511) oru ię w dół ruchem otęowm rotoliiowm według rówi: 15t, r cm t jet wrżo w ekudch, w M M cetmetrch blicć rędkość i rśieeie uktu M leżącego M r obwodie dużego koł kołowrotu ε Promieie kołowrotu woą: R 60 M cm, r 0 cm R 511 Wceie rędkości i rśieei uktu M w ruchu b Prędkość liiow uktu M R Rowiąie Prędkość liiow ciężru d t 30 t cm/ Prędkość kątową kołowrotu oblicm owie ierwego woru (54): r 30t r 30t R M R R 30 t 90tcm / r r Prśieeie liiowe ciężru jet ochodą jego rędkości wględem cu: 3 t 1 d 30 cm / Prśieeie kątowe kołowrotu oblicm owie drugiego woru (54): 30 3 ε r r Prśieeie liiowe uktu M jet umą wektorową kłdowej tcej i ormlej: + M M M
11 Wrtości tch kłdowch oblicm drugiego i treciego woru (54): 3 3 εr R 90cm /, M R t R 135t cm M / Moduł rśieei uktu M ( M ) ( M ) t t cm/
12 535 Ruch śrubow W ukcie 53 wko, że rędkość dowolego uktu M brł w ruchu ogólm jet umą dwóch kłdowch: ) rędkości, któr jet rędkością uktu (biegu), b) rędkości r wikjącej ruchu obrotowego brł rędkością kątową wokół tego biegu Po miie biegu i ie miei ię rędkość kątow, miie ulegie tomit rędkość biegu or kąt α wrt omięd wektormi (r 51) W wiąku tm uw ię tie, c itieje tki biegu i redukcji, w którm kąt będie rów eru, cli wektor będie rówoległ do wektor rędkości kątowej Wkżem, że dl wtkich uktów leżącch rotej l wektor te będą do iebie rówoległe Zjdowie tkich uktów, dl którch w kżdej chwili cu wektor jet rówoległ do wektor, wm rowdiem ruchu ogólego brł do ruchu śrubowego r α r r l R 51 Ruch śrubow brł Pukt leż rotej l rówoległej do wektor, wej chwilową oią ruchu śrubowego Dl wcei rędkości ruchu śrubowego i ołożei chwilowej oi l ruchu śrubowego, r, łożm, że e ą wektor r i Prędkość uktu godie rówiem (53) możem wrić worem:, + r (543) Po omożeiu owżego woru klrie re otrmm: ( r ) + () Jeżeli iloc mie wtęując w tm wore rewim godie e worem (31), to uwżm, że jet o rów eru
13 ( r ) r ( ) 0 W tej tucji rówie () urc ię do otci Poiewż wektor o lewej troie tego rówi ą rówoległe, owie defiicji ilocu klrego moż ić: Stąd moduł rędkości uktu (b) / (544) Prędkość uktu otrmm o omożeiu owżego woru re wektor jedotkow / o kieruku oi l ( ) / (545) W celu wcei wektor r orówm tromi wor (543) i (545) rędkość trmm wted rówie wektorowe: r + ( ) / Po reieieiu rędkości rwą troę i rowdeiu do wólego miowik mm: lub r [ ( ) ] / r [ ( ) ( ) ] / W orówiu e worem (34) łtwo uwżć, że wrżeie wtęujące w wiie kwdrtowm o rwej troie tego rówi jet rowiięciem odwójego ilocu wektorowego Ztem rówie to możem ić w tki oób: r [ ( )] / (546) W owżm rówiu wektorowm jet tlko jed iewidom r Łtwo uwżć, że rowiąie ogóle tego rówi m otć: ( ) r / + λ, (547)
14 gdie λ jet dowolą wielkością doią lub ujemą Wór te oiuje ołożeie wtkich uktów leżącch rotej rówoległej do rędkości kątowej Jet to więc uke rówie chwilowej oi l ruchu śrubowego w ukłdie ruchomm (wiąm brłą) W ukłdie wółrędch,, rówie to możem ić w otci trech rówowżch rmetrcch rówń klrch: + λ + λ + λ,, (548) N ruku 51 widim, że ołożeie kżdego uktu chwilowej oi ruchu śrubowego w ukłdie ieruchomm wc romień wodąc r, któr moż rewić w otci um wektorów r ir Po uwględieiu woru (547) wektorowe rówie chwilowej oi ruchu śrubowego w ukłdie ieruchomm będie miło otć: ( ) r r + r r / + λ (549) + Temu rówiu w ukłdie ieruchomm będą odowidł tr rmetrce rówi W tm celu wektor wtęujące w rówiu (549) leż wrić w ukłdie wółrędch,, : λ, + λ, + λ (550) Wkliśm tm mm, że ruch ogól brł moż w dowolej chwili rowdić do ruchu śrubowego defiiowego wtęie tego uktu Ruch te jet umą dwóch ruchów rotch:
15 ) obrotowego rędkością kątową wokół chwilowej oi ruchu śrubowego, b) otęowego rędkością wdłuż tej oi c c M l M R513 Złożeie ruchu ogólego brł ruchu obrotowego wokół chwilowej oi ruchu śrubowego i ruchu otęowego wdłuż tej oi Jeżeli mit dowolego biegu obierem biegu redukcji leżąc chwilowej oi l ruchu śrubowego (r 513), to rędkość dowolego uktu M brł będie umą dwóch wjemie rotodłch kłdowch: o-tęowej i obrotowej M : + M liując ruch śrubow brł, możem roróżić dw rdki: ) (t) 0; wted jrotm ruchem brł jet chwilow ruch śrubow; ie będiem ię tu im jmowć; b) (t) 0; wted jk to widć r 51 i 513 ruch brł rowd ię do chwilowego obrotu wokół oi l, którą będiem wć chwilową oią obrotu
16 536 hwilowe oie obrotu Jk już owiedio wżej, jeżeli ruch śrubow brł rowd ię do rdku, w którm w kżdej chwili rędkość (t) 0, to jej ruch chwilow jet obrotem wokół chwilowej oi obrotu Jeżeli łożm, że ruch ogól brł oiuje rędkość biegu or rędkość kątow, to e woru (544) wik leżość: / 0 Ztem iloc klr i w kżdej chwili ruchu mui bć rów eru: ( t) ( t) 0, (551) tąd wioek, że b ruch brł rowdł ię do chwilowch obrotów, wektor te muą bć w kżdej chwili rotodłe hwilow oś obrotu miei woje ołożeie w cie Wormi określjącmi ołożeie chwilowej oi obrotu wględem ruchomego ukłdu wółrędch (brł) ą wor (547) lub (548), wględem ukłdu ieruchomego wor (549) lub (550) Jeżeli chwilow oś ie remiec ię w cie, to ruch brł jet omówiom już w 534 ruchem obrotowm wokół tłej oi obrotu R 514 hwilowe oie obrotu koid Jeżeli dl dowolej chwili t wkreślim dwie okrwjące ię chwilowe oie obrotu l w ukłdie tłm i l w ukłdie ruchomm (w brle) to o cie t oie te retą ię okrwć, chwilowmi oimi obrotu będą ie dwie rote l1 i l 1 (r 514) Premiecjące ię w cie ruchu brł chwilowe oie obrotu kreślą dwie owierchie rotokreśle: ) koidę tłą σ, któr jet śldem remieci ię chwilowej oi obrotu w ukłdie ieruchomm, b) koidę ruchomą σ, któr jet śldem remieci ię chwilowej oi obrotu l w ukłdie ruchomm
17 Rówi koid otrmm rówń chwilowej oi obrotu W celu otrmi koid tłej σ leż do rówń (549) lub (550) wtwić fukcje cu: () t, ( t) i ( t) r r () wrżoe we wółrędch ukłdu ieruchomego,, Podc mi cu t chwilow oś kreśli owierchię, którą wliśm koidą tłą σ Podobie otrmm rówie koid ruchomej σ Nleż w tm celu do rówń (547) lbo (548) owić dwie trech fukcji (), i, wrżoe w ruchomm ukłdie wółrędch,, W cie ruchu brł obie koid ą do iebie tce wdłuż chwilowej oi obrotu l Poiewż wtkie ukt leżące tej oi mją rędkość rówą eru, 0, ruch brł moż rotrwć jko ruch owodow toceiem ię be ośligu koid ruchomej σ o koidie ieruchomej σ W leżości od rodju ruchu brł chwilowe oie obrotu mogą kreślić róże owierchie (koid): ) tożkowe (utworoe rotch recijącch ię w jedm ukcie), wted ruch chwilow jet ruchem kulitm, b) wlcowe (utworoe rotch rówoległch), wted ruch chwilow jet ruchem łkim, c) ie
18 537 Ruch kulit Ruchem kulitm wm tki ruch brł, w cie którego jede uktów ią wiąch jet ieruchom 1 r r M R 515 Ruch kulit brł twej Pukt te wm środkiem ruchu kulitego Wobec tego rędkość tego uktu będie tle rów eru, cli mui o w kżdej chwili cu leżeć jedoceśie koidie ruchomej i ieruchomej Ztem obie koid w ruchu kulitm ą tocącmi ię o obie tożkmi o wólm wierchołku Dl urocei rowżń ocątki i ukłdów wółrędch ruchomego,, i ieruchomego,, rjmiem w ieruchomm ukcie brł (r 515) Prjęcie tkich ukłdów rwi, że wektor będie rów eru, r 0 W tej tucji rówe eru będą rówież rędkość i rśieeie uktu : i r 0 0, () romień wodąc dowolego uktu M brł możem ić tk: r r (b) Po uwględieiu leżości () i (b) we worch (53) i (533) dl ruchu ogólego brł otrmm wor rędkość i rśieeie dowolego uktu M brł w ruchu kulitm: r, (55)
19 ( r) ε r+ (553) Dl brł twej odległość międ uktmi i M jet we tł, cli moduł wektor wodącego jet rówież tł: r r r cot (c) Wobec tego wektor wodąc r możem ić jko iloc modułu i wektor jedotkowego 1 r : r r1 r (d) Po uwględieiu tej leżości we worch (546) i (547) rędkość i rśieeie otrmm: r r( 1 r ), (554) ( r) r[ ( ε 1 ) + ( 1 )] ε r+ (555) Z owżch worów wik, że w ruchu kulitm rędkość i rśieeie ą oie dwom wielkościmi kiemtcmi i ε N owie woru (c) or worów (554) i (555) możem formułowć wioki chrkterujące ruch kulit: ) W ruchu kulitm tor wtkich uktów brł leżą owierchich kul o środku w ukcie b) Wektor rędkości i rśieeń uktów leżącch rotej rechodącej re ukt ą do iebie rówoległe, ich moduł ą roorcjole do odległości r od środk ruchu kulitego W tm ukcie odo jedie wektorowe wor rędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu kulitm or ogóle włości tego ruchu Pr brdiej cegółowm rotrwiu ruchu kulitego brł do określei ołożei ruchomego ukłdu wółrędch,, wględem ieruchomego ukłdu wółrędch,, wrowd ię tw tr kąt Euler (obrotu włego, receji i utcji), którch ceie moż leźć w odowiediej literture, [7, 16] Z omocą tch kątów moż wrić wtkie koiu kierukowe międ oimi obu ukłdów wółrędch or wtkie wielkości wtęujące we worch (55) i (553) r r
20 538 Ruch łki brł Prędkość i rśieeie dowolego uktu brł Ruchem łkim wm tki ruch, w którm tor wtkich uktów brł ą rówoległe do ewej łc wej łcą ruchu Z łcę ruchu moż rjąć dowolą łcę ośród wtkich łc do iej rówoległch W ukcie 536 owiedio, że jeżeli koid ą owierchimi wlcowmi, to ruch ogól brł rowd ię do ruchu łkiego I recwiście, kżd łc rotodł do tworącch obu koid może bć łcą ruchu Poiewż koid ą owierchimi kreślomi re chwilową oś obrotu w cie remieci ię jej w ukłdie ieruchomm i ruchomm, jet ocwite, że chwilow oś obrotu w ruchu łkim będie w kżdej chwili rotodł do łc ruchu Z defiicji ruchu łkiego wik, że wektor rędkości i rśieei wtkich uktów brł ą rówież rówoległe do łc ruchu Z kolei wektor rędkości kątowej będie w kżdej chwili rówoległ do tworącch koid (rówoległ do chwilowej oi obrotu), cli rotodł do łc ruchu W dlch rowżich dotcącch ruchu łkiego łcę ruchu rjmiem łcę wcoą re ieruchom ukłd wółrędch, o ocątku w ukcie Ruchom ϕ ukłd wółrędch o oich, i ocątku w dowolm bieguie będie ię r r oruł w łcźie ruchu (r 516) W tej M tucji oie i będą rówoległe do wektor r rędkości kątowej Z ruku 516 wik, że do jedocego określei ołożei brł wględem ukłdu ieruchomego, leż odć wektor wodąc R 516 Ruch łki brł twej r r ( t ) biegu or kąt obrotu ϕ ϕ(t) ukłdu ruchomego, wględem ieruchomego Wektor wodąc r możem ić w tęując oób: ( ) r r t i+ j (556) Ztem kiemtce rówi ruchu łkiego możem ić w otci trech fukcji lgebricch: dwóch wółrędch wektor or kąt ϕ: r ( ) ( ) t, t, (557) ϕ ϕ(t) (558) Do oblicei rędkości i rśieei dowolego uktu M brł wkortm wor (53) i (534): + r, (559) ( r ) + ε r + r (559) Poiewż w ruchu łkim wektor i r ą rotodłe, tem ich iloc klr wtęując we wore (559) jet rów eru ( r 0), więc wór te urości ię do otci:
21 + ε r r (560) We worch (559) i (560) rędkość i rśieeie ocątku ukłdu ruchomego otrmm, oblicjąc odowiedio ierwe i drugie ochode wektor wodącego r wględem cu: d r d d i+ d r d d i+ j, (561) j (56) Prędkość kątową i rśieeie kątowe ε moż ić logicie jk w ruchu obrotowm (wór 537): k k or ε ε k εk (563) Moduł tch rśieeń, odobie jk w ruchu obrotowm (563), będą rówież odowiedimi ochodmi kąt obrotu ϕ wględem cu: dϕ d d ϕ, ε (564) Ze worów (563) wik, że rędkość kątow i rśieeie kątowe ε ą wektormi o m kieruku W tej tucji moż je uwżć klr, odobie jk w ttce momet ił wględem oi i momet łkiego ukłdu ił Ze worów (559) i (560) rędkość i rśieeie moż wciągąć tęujące wioki: ) Prędkość dowolego uktu brł w ruchu łkim jet umą rędkości otęowej dowolego biegu i rędkości wikjącej chwilowego obrotu brł wokół tego biegu: r b) W ruchu łkim rśieeie dowolego uktu brł jet umą rśieei dowolego biegu i rśieei wikjącego chwilowego obrotu brł wokół tego biegu: ε r r Wrowdoe wor rędkość i rśieeie dowolego uktu M brł w ruchu łkim rewim w otci brdiej rej do rowiąwi rówń kiemtki ruchu łkiego Złożm, że jet rędkość uktu i chwilow rędkość obrotow, chcem oblicć rędkość i rśieeie dowolego uktu brł (r 517) Gd ocątek ukłdu ruchomego rjmiem w ukcie, wektor o ocątku w ukcie i końcu w ukcie ocm jko r, to owie woru (559) rędkość uktu brł +, (565) + r lub gdie () r i jet rędkością uktu wględem uktu, której wektor jet rotodł do wektor r, wikjącą chwilowego obrotu brł wokół uktu rędkością kątową Ztem jej moduł oblicm e woru: r (b)
22 Podobie owie woru (560) rśieeie uktu (r 518) możem ić w tęując oób: lbo + ε r r + (566) Prśieeie jet rśieeiem uktu wględem uktu owodowm chwilowm obrotem brł wokół biegu : ε r r (c) w r r R 517 Wcie rędkości uktu brł twej metodą uerocji R 518 Wcie rśieei uktu brł twej metodą uerocji Z owżego woru wik, że rśieeie to możem rołożć dwie kłdowe: rśieeie tce i rśieeie ormle gdie +, (567) ε r or r (568) Moduł tch rśieeń ą tęujące: εr, r (569) Wektor rśieei tcego jet kierow rotodle do wektor r, cli m tki m kieruek jk wektor rędkości (r 517), wektor rśieei ormlego (dośrodkowego) jet kierow wdłuż rotej w troę uktu Po owieiu leżości (567) do woru (566) rśieeie uktu możem ić w otci: + + (570) Podc rktcego rowiąwi dń ie wtkie wielkości wtęujące we wore (570) będie moż oblicć beośredio rdo cęto iewidommi będą moduł rśieeń i Jeżeli wór (570) otrktujem jko rówie wektorowe o dwóch iewidomch, to widomo, że dl wektorów leżącch w jedej łcźie dwie iewidome moż wcć
23 wieloboku wektorów (rśieeń) lbo dwóch rówowżch wektorowemu rówń lgebricch hwilow środek obrotu N wtęie tego uktu owiedio, że w ruchu łkim brł chwilow oś obrotu jet w kżdej chwili rotodł do łc ruchu Pukt rebici re chwilową oś obrotu łc ruchu będiem wć chwilowm środkiem obrotu lbo icej, chwilow środek obrotu to tki ukt, którego rędkość w dej chwili jet rów eru Wiem, że w cie ruchu łkiego brł chwilow M M oś obrotu miei woje ołożeie, w śld ią będie ię remiecł chwilow środek obrotu W cie r ρ remieci ię chwilow środek obrotu (r 519) kreśli dwie krwe: ρ ) cetroidę ruchomą ρ w ukłdie ruchomm, b) cetroidę tłą ρ w ukłdie ieruchomm R 519 hwilow środek obrotu etroid Po owieiu do rówń (547) i (549) chwilowej oi obrotu λ 0 otrmm wektorowe wor ołożeie chwilowego środk obrotu w ukłdie ruchomm: ( ) r / (571) i w ukłdie ieruchomm: ( ) r / (57) r + r r + dowiedie rówi cetroid otrmm re wtwieie do tch worów fukcji r r t, t i t () ( ) ( ) Mjąc wco chwilow środek obrotu, moż oblicć rędkość dowolego uktu M brł Jeżeli biegu redukcji rjmiem w chwilowm środku obrotu, ie w dowolm ukcie (r 519), to rędkość dowolego uktu M brł możem wrić worem: + M Poiewż łożei rędkość uktu jet rów eru ( 0), więc rędkość uktu M będie oi worem: M (573) Z otrmego woru wik, że rękość dowolego uktu M brł jet rotodł do rotej łącącej ukt M chwilowm środkiem obrotu Poo wtęujące w tm wore wektor i M ą rotodłe, więc moduł rędkości M, (574) cli jet roorcjol do odległości M uktu M od chwilowego środk obrotu
24 Z owżch rowżń or otrmch worów wikją tęujące wioki: ) Ruch łki brł moż rowdić do tocei ię be ośligu cetroid ruchomej o ieruchomej b) Ruch łki brł moż w kżdej chwili rotrwć jko chwilow ruch obrotow wokół chwilowego środk obrotu α β R 50 Wcie chwilowego środk obrotu Ze woru (573) wik, że chwilow środek obrotu leż rotej rotodłej do wektor rędkości dowolego uktu M brł Ztem do wcei chwilowego środk obrotu wtrc jomość kieruków rędkości dwóch uktów brł ędie o leżł w miejcu recięci rotch rotodłch do kieruków rędkości uktów i (r 50) Mjąc już wco ukt, wrtości rędkości uktów i oblicm e woru (574): i (d) Dl ej wrtości ierwego woru oblicm chwilową rędkość obrotową :, tęie możem wcć moduł rędkości uktu N owie r 50 o uwględieiu worów (d) możem ić: tgα or tgβ Wik tąd wioek, że chwilowego środk obrotu wektor rędkości wtkich uktów brł widć od tm mm kątem α β Twierdeie o rutch rędkości Rut wektorów rędkości dwóch uktów brł twej rotą rechodącą re te ukt ą rówe r α r r β Dowód N ruku 51 coo wektor rędkości i dwóch uktów i brł twej, romieie łącące ieruchom ukt tmi uktmi re r i r Wektor r łącąc ukt uktem w cie ruchu brł może mieić wój kieruek, R 51 Rut rędkości dwóch uktów brł twej rotą
25 le jego długość ootje tł: r r cot Ztem iloc klr Po różickowiu tego wrżei wględem cu otrmm: r r r cot (e) lub d r r + r d r d r 0 r 0, (f) oiewż ochod rwej tro rówi (e) jet rów eru Z ruku widć, że: r r + r, kąd r r r Po różickowiu tego wrżei wględem cu mm: d r d r d r le ochode romiei wodącch uktów i ą rówe rędkościom tch uktów i, cli d r Powiw owżą leżość do rówi (f) otrmujem: ( ) o roiiu iloców klrch r 0 lub r r, r co β r co α Po króceiu re r mm: coβ coα (575) Iloc wtęujące w tej rówości ą odowiedio rutmi wektorów rędkości i rotą łącącą ukt i Tm mm udowodiliśm twierdeie o rutch wektorów rędkości dwóch uktów brł twej rotą łącącą te ukt N owie tego twierdei moż w łtw oób oblicć rędkość w iektórch rotch dich kiemtki ruchu łkiego Prkłd 55 Końce ręt śligją ię o dwóch wjemie rotodłch łcch (r 5) Koiec oru ię rędkością 10 cm/ i rśieeiem 15 cm/ blicć rędkość i rśieeie końc or rśieeie kątowe ręt w ołożeiu jk r 5, jeżeli długość ręt b 0 cm Rowiąie Prędkość uktu oblicm, rotrując ruch ręt jko chwilow ruch obrotow wokół chwilowego środk obrotu Zm rędkość końc ręt i kieruek rędkości końc, któr jet kierow wdłuż rotej hwilow środek obrotu jduje ię recięciu rotodłch do kieruków wektorów rędkości (r 5b) cw re i
26 w wrtość licbową rędkości kątowej ręt w rotrwm ołożeiu, owie woru (574) mm:, () Z ierwego woru otrmujem: ) b) ε b b 45 o 45 o Z ruku 5b jdujem Ztem R 5 Wceie rędkości i rśieei uktu ręt b co45 o 1 b cm (b) Z drugiego woru () mm: / cm (c) Prśieeie uktu oblicm e woru (566) Zgodie tm worem rśieeie uktu będie rówe umie geometrcej rśieei uktu or rśieei uktu wględem wwołego re chwilow obrót ręt wokół końc : + (d) Po rołożeiu rśieei uktu wględem uktu kłdową tcą i ormlą wór (d) możem ić w otci (570): + + (e) Prśieeie ormle uktu wględem dił wdłuż ręt i jet kierowe do uktu Zgodie drugim worem (569) 1 b 0 10cm /
27 Wrtość rśieei tcego wrż ierw wór (569): εb (f) Tego rśieei ie możem oblicć beośredio, oiewż ie m wrtości rśieei kątowego ε ręt Zm jedie kieruek rśieei, które jet rotodłe do ręt Po tm m kieruek rśieei cłkowitego, któr jet god rotą Wik tego, że w wektorowm rówiu (e) mm dwie iewidome wrtości rśieei i Po rjęciu w ukcie rotokątego ukłdu wółrędch, i rutowiu rówi (e) oie tego ukłdu otrmm dw rówi lgebrice dwom iewidommi o o co45 co45, 0 + i45 i45 Po rowiąiu tego ukłdu rówń or wkortiu woru (f) otrmujem: o o + o i45 ( ) i45 o ( ) ( ) cm /, o o co45 + co ε b cm / + ( + ) 1 ( ) o 3 + o bi45 i45 Prkłd 56 Korb mechimu korbowo-uwkowego rewioego r 53 obrc ię e tłą rędkością kątową o wrtości wokół uktu N końcu korbowodu jduje ię uwk, któr oru ię o rowdic DE jdującej ię w odległości h od uktu Dl ołożei rewioego ruku oblicć rędkość i rśieeie uwk or rśieeie kątowe korbowodu, jeżeli długość korb r, korbowodu b 0 4
28 ) o r h 1 b α D α E α b) r o h b ε 1 1 D α E R 53 Wceie rędkości i rśieei uktu mechimu korbowo- -uwkowego Rowiąie Wektor rędkości uktu jet rotodł do korb, uwk jet kierow wdłuż rowdic DE (r 53) Prędkość uktu oblicm e woru (565): +, gdie jet rędkością uktu wględem uktu wikjącą chwilowego obrotu korbowodu wokół uktu rędkością kątową 1 Wektor rędkości jet rotodł do korbowodu, jego wrtość wrtość rędkości uktu Z ruku mm: r b 1, () b b h h iα,coα,tgα h b b h (b) Ztem leżości geometrcch wikjącch r 53 otrmujem: tgα coα b h b b h h b h rb b rh h, (c) Ze woru () wcm rędkość kątową:
29 b 1 (d) Prśieeie uktu rewim w otci um geometrcej rśieei uktu i rśieei uktu wględem (wór 570): b r h + + (e) Prśieeie uktu jet rówe rśieeiu ormlemu, oiewż rśieeie kątowe korb jet rówe eru Wrtość tego rśieei r Skłdow rśieei ormlego uktu wględem okrw ię kierukiem korbowodu i jet kierow w troę uktu (r 53b), jej wrtość r b 1 b (f) b h Prśieeie tce uktu wględem jet rotodłe do korbowodu Wrtość tego rśieei wrż wór: W owżm wore ε 1 1 ε b (g) jet rśieeiem kątowm korbowodu Prśieeie to ie jet e, dltego ie m wrtości rśieei tcego Drugą iewidomą w rówiu (e) jet wrtość rśieei cłkowitego uwk W celu wcei tch iewidomch rjmiem w ukcie rotokąt ukłd wółrędch, i rutujem wektor rśieei oie i trmm: coα iα, 0 iα coα Po rowiąiu tego ukłdu rówń i uwględieiu (b) otrmujem: S r ( b h ) r 1 + Wrtość rśieei kątowego korbowodu bh 3 rb ( b h ), 3 ( b h ) 3 r h ε1 b
( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
Bardziej szczegółowoO y. Rys Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego
5.1. Uwgi ogóle Jk już powiedio w pukcie 1.1, kiemtk jmuje ię ruchem cił mterilch be uwględii prc (ił) te ruch wwołującch, cli kiemtk jmuje ię włącie mtemtcm opiem ruchu be uwględii prw ficch. Ruchem mechicm
Bardziej szczegółowo2.3.1. Iloczyn skalarny
2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi
Bardziej szczegółowo3. RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ m równań liniowych z n niewiadomymi zapisujemy w postaci. b...
RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Ukłd rówń liiowch iewidoi isuje w ostci Z ukłde () wiąe są ciere A X B które w: A cierą wsółcików X koluą iewidoch B koluą wrów wolch Wkorstując owżse ocei ukłd
Bardziej szczegółowo1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Bardziej szczegółowoPłaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2
Opis aalitcz wielkości podstawowch wersor e x, e Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B ) ) Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B )
Bardziej szczegółowoDowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01
WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r
Bardziej szczegółowo2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar
2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.
Bardziej szczegółowo5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowodr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
Bardziej szczegółowoIII. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Bardziej szczegółowoOpis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich)
Opis ruchu we współrędch prosokąch (karejańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch jes podob do opisu a pomocą wekora wodącego, kórego pocąek leż w pocąku układu odiesieia. Położeie. Położeie puku A
Bardziej szczegółowoProgramowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Bardziej szczegółowoMATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Bardziej szczegółowoRozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.
Wyzczie prędkości i przyspieszeń cił w ruchu posępowym, obroowym i płskim orz chwilowych środków obrou w ruchu płskim. Ruch korbowodu część II Zdie.. Prę o długości L ślizg się jedym końcem (puk po podłodze,
Bardziej szczegółowoa) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy
04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn
Bardziej szczegółowoMec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.
echaika ogóla Wkład r 2 Wpadkowa dowolego układu sił. ówowaga. odzaje sił i obciążeń. odzaje ustrojów prętowch. Wzaczaie reakcji. Wpadkowa układu sił rówoległch rzłożeie układu zerowego (układ sił rówoważącch
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna
Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Współęde postoąte De są t osie OX OY OZ wjemie postopdłe peijąe się w puie O. Oiem pewie odie jo jedostow i om pe współęde putów odpowiedih osih. DEFINICJA Postoątm
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowoA r promień wektor. r = f 1 (t), φ = f 2 (t) y r φ. x, = 0
1 Ruchem cił wm chodącą w csie mię jego położei wględem iego cił, któe umowie pjmujem ieuchome. Rówi uchu puktu we współędch postokątch l pomień wekto W ppdku gd pukt pous się, cli miei upłwem csu swoje
Bardziej szczegółowoGranica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych
Gric cigu puktów Ztem Cig puktów P P ; jest zie do puktu P ; gd P P [ ] Oliczm gric cigu l Poiew l l wic cig l jest zie i jego gric jest pukt π π [ ] Oliczm gric cigu si π π π π Poiew si si wic cig si
Bardziej szczegółowo14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe
. Krwe stożkowe i form kwdrtowe.. Kwdrki Powierchnią stopni drugiego, lub krótko kwdrką, nwm biór punktów P(,,), którch współrędne spełniją równnie: 33 3 3 kwdrt wr miesne 3 wr liniowe wr woln gdie. 33
Bardziej szczegółowoWykład 3. Typowe opisy obiektów
Wkłd 3. Tpowe opi obiektów Ste prodkcji pir Prkłd te łożoego prodkcj pir 3 Proce wejście wjście kłócei ierle kłócei ieierle 4 F F ; F where: wejście wjście kłócei pretr U Y Z Prpdek ciągł: Wektor t: t
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki w klasie II LO
Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
pdkow prestreego ukłdu sił ieżc ecik teoretc kłd r 56 Ukłd prestree. etod grfic: = 2 = = 2 3 2 3 = i 3 2 2 2 3 2 2 litc etod wci wpdkowej α = 2 cosα = = γ 2 β 2 cos α cos β cos γ = cos β = = 2 cosγ = =
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną. WYKŁAD 11. PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE Przekształcenie liniowe
lgbr liio gomtrią litcą / WYKŁD. PRZEKSZTŁCENIE LINIOWE WRTOŚCI I WEKTORY WŁSNE Prkstłci liio Diicj Prporądkoi ktorom R ktoró k R, : jst prkstłcim liiom td i tlko td gd: k k k k c c c c c Postć prkstłci
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Bardziej szczegółowor = ψ x ( 5 ) = x ψ ( 6 ) dn = q(x)dx ( 7 ) dt = μdn = μq(x)dx ( 8 ) M = M ( 1 )
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X O K R E L E N I E O S I O B R O T U M A Y C H R O B O T W G Ą S I E N I C O W Y C H D L A P O T R Z E B O P I S U M O D E L
Bardziej szczegółowoWyznaczyć prędkości punktów A i B
Wyzaczaie prędkości i przyspieszeia puku ciała w ruchu płaskim (a) Wyzaczyć prędkości puków i Dae: rad/s; ε 0; 5 cm; 5 cm 48 mechaika echicza kiemayka 3 Wyzaczaie prędkości i przyspieszeia puku ciała w
Bardziej szczegółowoPOWTÓRKA ( ) ( ) ROZRÓŻNIENIE MIĘDZY PARAMETREM A STATYSTYKĄ
Zwsowe Metod Ali Prestrech Powtórk I Mrci Ligs Ktedr Geomtki WGGiIŚ AGH w Krkowie POWÓRKA ROZRÓŻNINI MIĘDZY PARAMRM A SAYSYKĄ Populcj sttstc populcj geerl iorowość) peł iór elemetów podlegjącch diu sttstcemu.
Bardziej szczegółowoMetody Optyczne w Technice. Wykład 3 Optyka geometryczna
Metody Optycze w Techice Wykład 3 Optyka geometrycza Promień świetly Potraktujmy światło jako trumień czątek eergii podróżujących w przetrzei Trajektorie takich czątek to promieie świetle W przypadku wiązki
Bardziej szczegółowoA B - zawieranie słabe
NAZEWNICTWO: : rówoważość defcj : rówość defcj dla każdego steje! ZBIORY steje dokłade jede {,,,...} - całkowte * - całkowte be era - wmere - ujeme plus ero - recwste - espoloe A B - awerae słabe A :
Bardziej szczegółowoI n f o r m a c j e n a t e m a t p o d m i o t u k t ó r e m u z a m a w i a j» c y p o w i e r z y łk p o w i e r z y l i p r o w a d z e p o s t p
A d r e s s t r o n y i n t e r n e t o w e j, n a k t ó r e j z a m i e s z c z o n a b d z i e s p e c y f i k a c j a i s t o t n y c h w a r u n k ó w z a m ó w i e n i a ( j e e ld io t y c z y )
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 8 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e ro b ó t b u d o w l a n y c h w b u d y n k u H
Bardziej szczegółowoMacierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Bardziej szczegółowoDOPASOWANIE ZALEŻNOŚCI LINIOWEJ DO WYNIKÓW POMIARÓW
DOPAOWANIE ZALEŻNOŚCI LINIOWEJ DO WYNIKÓW POMIARÓW Jedm stotch gdeń l dch pomroch jest dopsoe leżośc teoretcej do kó pomró. Dotc oo stucj gd dokoo ser pomró pr elkośc które są e soą poąe leżoścą f... m
Bardziej szczegółowoTemat ćwiczenia: Optyczne podstawy fotografii.
Uiwerstet Rolicz w Krakowie Wdział Iżierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczeia: Otcze odstaw otograii. Podział układów otczch Pojęcie układów otczch Podział układów
Bardziej szczegółowocz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321
Wkład 8: Brła stwna c. Dr inż. Zbigniew Sklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 skla@agh.edu.pl http://laer.uci.agh.edu.pl/z.sklarski/ 05.04.08 Wdiał nformatki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatka
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego
Bardziej szczegółowoZastosowanie działań na hipersześcianach binarnych w diagnostyce sieci komputerowych
toowe dłń hpereścch brych w dgotyce ec komputerowych Formle, -wymrowym hpereścem brym ywmy grf wykły o węłch których kżdy opy jet ym wektorem brym (,..., ),( {, }, ) or o krwędch, łącących te węły, których
Bardziej szczegółowoMechanika i wytrzymałość materiałów
1 ehik i wtrmłość mteriłów I - Wkłd Nr 3 Sttk: płski i prestre ukłd sił rówowg płskiego ukłdu sił, prestre ukłd sił redukj, wruki rówowgi Wdił Iżierii ehiej i Rootki Ktedr Wtrmłośi, Zmęei teriłów i Kostrukji
Bardziej szczegółowoz b leżącą na płaszczyźnie xz, otrzymujemy równanie elipsoidy obrotowej, która w myśl równania (3) będzie miała następujące równanie: z b x y z
Mtrił ddktcn Godj gomtrcn Mrcin Ligs, Ktdr Gomtki, Wdił Godji Górnicj i Inżnirii Środowisk, AGH LIPSOIDA OBROTOWA, LIPSA POŁUDNIKOWA, SZROKOŚĆ GODZYJNA, SZROKOŚĆ ZRDUKOWANA, SZROKOŚĆ GOCNTRYCZNA, WSPÓŁRZĘDN
Bardziej szczegółowoWYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Bardziej szczegółowoMetoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
Bardziej szczegółowoTABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:
Bardziej szczegółowoSPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA
Z a m a w i a j» c y G D Y S K I O R O D E K S P O R T U I R E K R E A C J I J E D N O S T K A B U D E T O W A 8 1 5 3 8 G d y n i a, u l O l i m p i j s k a 5k 9 Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I
Bardziej szczegółowon ó g, S t r o n a 2 z 1 9
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I2 7 1 0 6 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A D o s t a w a w r a z z m o n t a e m u r z» d z e s i ł o w n i z
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa III
Mecaika kwatowa III Opracowaie: Barbara Pac, Piotr Petele Powtóreie Moet pędu jest wielkością pojęciowo bardo istotą, gdż dla wsstkic pól o setrii sfercej operator jego kwadratu ( ˆM koutuje ailtoiae (
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kinematyka
Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)
Bardziej szczegółowo5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Bardziej szczegółowo, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn
EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Deiicja 1,, +, u = ( x x x ) v = ( y y y ),,..., 1 2,,..., 1 2 1 1 2 2 u/ v : = x y + x y +... + xy - aywamy ilocyem skalarym Możemy go rówież oacać
Bardziej szczegółowoZłożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych
Złożone diałanie sił wewnętrnch w rętach rostch Jeżeli sił wewnętrne nie redukują się włącnie do sił odłużnej N, orecnej T i momentu gnącego Mg c momentu skręcającego Ms, to radki takie nawa się łożonmi
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie
Bardziej szczegółowoinstrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego
5.Bde wocze pręt śckego UT-H Rdom Ittut Mechk Stoowej Eergetk Lortorum Wtrzmłośc Mterłów trukcj do ćwcze 5. Bde wocze pręt śckego I ) C E L Ć W I C Z E N I A Celem ćwcze jet dośwdczle wzczee metodą Southwell
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)
Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu
J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia
Bardziej szczegółowoPrzykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.
Prkład.7. Naprężenia tcne pr ginaniu belki cienkościennej. Wnac rokład naprężenia tcnego w prekroju podporowm belki wpornikowej o prekroju cienkościennm obciążonej na wobodnm końcu pionową iłą P. Siła
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri i Gospodrk Wodn w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstw wtrzmłości mteriłów IMiR - MiBM - Dodtek Nr 1 rkterstki geometrcze figur płskic Momet sttcze, środek ciężkości figur i jego wzczie, momet bezwłdości, główe cetrle osie bezwłdości, promieie bezwłdości,
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Wykład FIZYKA I. Kiemayka puku maerialego Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Isyu Fizyki Poliechiki Wrocławskiej hp://www.if.pwr.wroc.pl/~woziak/fizyka1.hml Dr hab. iż.
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoGENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoSprawdzian całoroczny kl. III
Sprwdzin cłoroczny kl. III Gr. A 1. Podne liczby zpisz w kolejności rosnącej: 7 ; b,5 ; c 6 ; d,5(). Oblicz i zpisz wynik w notcji wykłdniczej 0 8 6, 10 5 10. Wskż równość nieprwdziwą: A) 5 9 B) 6 C) 0
Bardziej szczegółowoWykład 9. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności
Wkłd 9. Podejowie deczji w wrukch ieewości E L l E E F E F l S 0 0 ; R D D F F D i F() - wrtość zieej losowej - zbiór ciągł f - fukcj gęstości rozkłdu rwdoodobieństw zieej losowej Wówczs: d f E L l d
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowoUkłady cyfrowe. ...konstruowane są w różnych technologiach i na różnych poziomach opisu. D Clk. clock
Ukłd cfrowe...kostruowe są w różch techologich i różch poziomch opisu. oziom opisu: ) Brmki i elemetre ukłd pmięciowe (przerzutiki) D Clk rzerzutik tpu D A B ) Bloki fukcjole: ukłd rtmetcze (sumtor), licziki,
Bardziej szczegółowo9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1
O p i s p r z e d m i o t u z a m ó w i e n i a - z a k r e s c z y n n o c i f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o O r o d k a S p o r t u i R e ks r e a c j i I S t a d i
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
Bardziej szczegółowo3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są
Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:
PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i
Bardziej szczegółowoCollegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Bardziej szczegółowo11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów
. Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc
Bardziej szczegółowoTemat: Wybrane zagadnienia kinematyki mechanizmów. Ruch punktu: prostoliniowy, krzywoliniowy (np. po okręgu, elipsie, dowolnej krzywej)
Tem: Wybre zgdiei kiemyki mechizmów Ruch puku: prosoliiowy, krzywoliiowy (p. po okręgu, elipsie, dowolej krzywej) Ruch bryły: posępowy, obroowy, płski, kulisy, śrubowy, dowoly. Liczbę iezleżych współrzędych
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoGdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa
W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y n i w d n i u 2 0 1 4 r po m i d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j i j e d n o s t k a b u d e t o w a ( 8 1-5 3 8 G d y n i a ), l
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoRys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.
terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest
Bardziej szczegółowoHarmonogram ćwiczeń klinicznych
Przedmiot iagnostyka funkcjonalna i programowanie Rehabilitacji w raumatologii Symb ol - O Miejsce zajęć Osoba prowadząca zajęcia grupa zpi a Miejs i pecja is cz i abrie a ar owicza w ra owie rąd ic a
Bardziej szczegółowoI 3 + d l a : B E, C H, C Y, C Z, ES, F R, G B, G R, I E, I T, L T, L U V, P T, S K, S I
M G 6 6 5 v 1. 2 0 1 5 G R I L L G A Z O W Y T R Ó J P A L N I K O W Y M G 6 6 5 I N S T R U K C J A U 7 Y T K O W A N I A I B E Z P I E C Z E Ń S T W A S z a n o w n i P a s t w o, D z i ę k u j e m y
Bardziej szczegółowoSKRĘCANIE PRĘTÓW 1 1. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA. q vz. q vy
SKĘCNE PĘTÓW 1 1. SFOUŁOWNE ZGDNEN S q v L q v - oś pręta,, - oe główe, cetrale prekroju poprecego pręta pręt prmatc, utwerdo "puktowo" w pkt. S (0, 0, 0) poocca wola od ocążeń deko = L ocążoe łam o gętośc
Bardziej szczegółowo1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił
. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:
Bardziej szczegółowoDef.12. Minorem stopnia k N macierzy nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych
Fk. Niech mciee i B ego smego sopi będą odrcle or iech R-{}, N. Wed mciee -, T, B,, są kże odrcle i prdie są róości:. de ( - )=(de ) -. ( - ) - =. ( T ) - =( - ) T. (B) - =B - -. ( ) - = ( - ). ( ) - =(
Bardziej szczegółowo2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
Bardziej szczegółowoNovosibirsk, Russia, September 2002
Noobk, ua, Septebe 00 W-5 (Jaoewc) 4 lajdów Dyaka były tywej Cało tywe jego uch uch potępowy cała tywego uch obotowy cała tywego wględe tałej o obotu. oet bewładośc Dyaka cała tywego uch łożoy cała tywego
Bardziej szczegółowo