Zmiana układów odniesienia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "5.3.1. Zmiana układów odniesienia"

Transkrypt

1 531 Zmi ukłdów odieiei Z kżdą brłą twą możem wiąć ukłd wółrędch oiując ruch tej brł w retrei Dltego w dlm ciągu w kiemtce brł będiem ię jmowć główie wjemm ruchem ukłdów wółrędch Zjąc ruch ukłdu wółrędch j,, (r 58) two k i j r k R 58 Wceie leżości omięd ukłdmi wółrędch i r r M wiąego brłą (ukłdu ruchomego) wględem ieruchomego ukłdu odieiei,,, będiem mogli oblicć rędkość i rśieeie wtkich uktów brł W dlej kolejości wrowdim leżości geometrce omięd tmi ukłdmi wółrędch W tm celu utlm leżości omięd wółrędmi w obu ukłdch tego mego uktu M W ierwej kolejości rotrm leżości omięd werormi obu ukłdów wółrędch Weror i, j, k ruchomego ukłdu wółrędch,, iem w ukłdie ieruchomm,, : ( i i) i+ ( i j) j+ ( i k)k i () Zwrte w wich iloc klre werorów ą rutmi weror i odowiedio oie,,, ą oe rówież koiumi kierukowmi międ oią oimi,,, które ocm,, : i i co i j co i k co (, ), (, ), (, ) (b)

2 Powiw owże ocei do woru () or otąiw odobie werormi j i k otrmm wor: i j k i+ i+ i+ j+ j+ j+ k, k, k (53) Widim, że do ii werorów ruchomego ukłdu wółrędch w ukłdie ieruchomm leż ć diewięć koiuów kierukowch etwioch w oiżej tbeli i j k i j k Międ tmi diewięciom koiumi kierukowmi itieje eść leżości trmm je e worów iloc klre werorów (16) i i j j k k + + i j + j k + k i + 1, 1, 1, , 0, 0 (54) Dl wcei ołożei ukłdu wółrędch,, wględem ukłdu,, wtrc odć 6 wielkości:,,, ) tr wółręde wektor r ( ) b) tr ieleże koiu kierukowe becie wcm wółręde wektor wodącego r uktu M w ukłdie,, Z ruku 58 widim, że wektor wodąc r tego uktu możem ić jko umę dwóch wektorów: r r + r (55)

3 Wektor r jet wektorem łącącm ocątki obu ukłdów wółrędch Ziem go litcie w ukłdie wółrędch,, : r i + j + (56) k Wektor r jet wektorem wodącm uktu M w ukłdie,, Moż go wrić omocą wółrędch w tm ukłdie: r i + j + k (57) Po owieiu worów (56) i (57) do rówi (55) otrmm: r r + r i+ j+ k+ i + j + k (58) Po rutowiu owżego wektor oie ukłdu wółrędch,, or wkortiu leżości (b) otrmm jego wółręde w tm ukłdie wółrędch: r i r j r k ,, (59) W odob oób moż wrić wółręde wektor r w ukłdie,, logicie moż ić dowol wektor c d w jedm ukłdie wółrędch w drugim

4 53 Prędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu ogólm Dl rotrei kiemtki brł rjmiem, tk jk w oredim ukcie, dw ukłd wółrędch rotokątch: jede ieruchom o oich,, i ocątku w ukcie, drugi o oich,, i ocątku w dowolm ukcie (bieguie), orując ię rem brłą (r 58) Wektor wodąc dowolego uktu M brł w ieruchomm ukłdie wółrędch,, jet godie e worem (55) umą dwóch wektorów r r,którch ceie omówioo w 531: i r r + r Widomo kiemtki uktu, że rędkość uktu jet ochodą wektor wodącego r wględem cu t (wór 54) Ztem uką rędkość uktu M wrż leżość: d r d r + (530) Pochod wektor r wględem cu jet rędkością uktu : d r d d d i+ j+ k () Po różickowiu wględem cu woru (57) otrmm: d r d d d d i d j d k i + j + k (b) Poiewż wektor r jet wektorem łącącm dw ukt brł twej, więc jego moduł jet tł, r cot, co tm idie, jego wółręde,, ą wielkościmi tłmi ieleżmi od cu Ztem ich ochode wględem cu ą rówe eru d d d 0 Wór (b) rjmuje więc otć: d r d i d j d k + + (c)

5 Wtęujące w tm wore ochode wględem cu werorów i, j, k ukłdu ruchomego ą mirą mi ich kieruków w cie, oiewż ich moduł ą tłe Moż wkć [9], że ochode te moż wrić omocą worów: d i i, d j j, dk k (531) Wektor jet rędkością kątową chrkterującą mi kieruków oi,, w cie W ruchomm ukłdie wółrędch rędkość kątową moż wrić omocą wółrędch: i + j + k (d) Po owieiu leżości (531) do woru (c) otrmm: d r ( i ) + ( j ) + ( k ) ( i + j + k Wrżeie wtęujące w wiie, godie leżością (57), jet wektorem r Ztem ) d r r (e) Po owieiu do woru (530) worów () i (e) otrmujem ottecie wór rędkość dowolego uktu M brł w ruchu ogólm + r (53) Z otrmego woru wik, że rędkość dowolego uktu M brł jet rów umie rędkości dowolie obrego biegu, rjętego ocątek ruchomego ukłdu wółrędch, or ilocu wektorowego r rędkości kątowej i romiei wodącego r uktu M w ruchomm ukłdie wółrędch N owie woru (53) możem oo formułowć tęujące wioki: ) Prędkość uktu leż od wboru tego uktu b) Prędkość kątow ie leż od wboru uktu, lec jedie od mi kieruków oi,, w cie c) Mimo mi uktu rędkość uktu M ie ulegie miie, oiewż miei ię rówież odowiedio wrżeie r

6 Po różickowiu wględem cu woru rędkość (53) otrmm rśieeie uktu M: d d d d r + r + (f) Po oceiu rśieei ocątku ruchomego ukłdu wółrędch re or rśieei kątowego re d (g) d ε (h) i wkortiu woru (e) wór (f) rjmie końcową otć: ( r ) + ε r + (533) Wór te moż rewić w ieco iej otci o roiiu wtęującego w im odwójego ilocu wektorowego godie leżością (34): ( ) + ε r + r r (534) Ze worów rędkość (53) i rśieeie (533) wik, że b wcć rędkość i rśieeie dowolego uktu M brł, leż ć cter wielkości wektorowe chrkterujące ruch ogól brł: ) rędkość i rśieeie jedego uktów brł (biegu), b) rędkość kątową i rśieeie kątowe brł ε Wrowdoe w tm ukcie wor rędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu ogólm wkortm r omwiiu w tęch uktch tego rodiłu cególch rdków ruchu ogólego brł, cli otęowego, obrotowego, śrubowego, łkiego i kulitego

7 533 Ruch otęow Ruch brł twej wm otęowm, jeżeli dowol rot two wią brłą ootje w cie ruchu tle rówoległ do ołożei ocątkowego Z owżej defiicji wik, że kżd oi ukłdu wółrędch,, rewioego r 58 będie mił w ruchu otęowm te m kieruek Podobie wektor r M ie miei w cie ruchu wojego kieruku, tem będie o wektorem tłm ieleżm od cu: r cot, więc jego ochod we wore (530) będie rów eru Stąd rędkość dowolego uktu brł wrż leżość: d r (535) Po różickowiu tego woru otrmujem rśieeie d r d (536) Ze worów (535) i (536) or defiicji ruchu otęowego wikją tęujące wioki: ) Wtkie ukt brł twej w ruchu otęowm mją te me rędkości i rśieei w tej mej chwili cu b) Tor wtkich uktów brł mją te m ktłt c) Dl oiu ruchu otęowego brł wtrc odć rówie ruchu jedego r r t uktu brł, ocątku ruchomego ukłdu wółrędch, ( )

8 534 Ruch obrotow Ruch brł twej wm obrotowm, jeżeli itieje jed rot wią brłą, której ukt w cie ruchu ootją w ocku ϕ ε rr R 59 Ruch obrotow brł twej wokół tłej oi obrotu M ϕ Złóżm, że oią obrotu jet oś Dl ułtwiei rowżń rjmiem ukłd wółrędch wią brłą tk, b oś okrwł ię oią ukłdu ieruchomego or b jego ocątek jdowł ię w ukcie, jk r 59 Poiewż weror k cot, co wik okrwi ię oi oią obrotu, jego ochod wględem cu jet rów eru Ztem wrżei: dk k 0 wik, że wektor leż oi obrotu Z oią obrotu okrw ię rówież wektor rśieei kątowego ε W tej tucji wektor te moż ić w tęując oób: k k or ε ε k ε k (537) Jeżeli kąt międ oimi tłą i ruchomą ocm re ϕ, to leżość ϕ ϕ(t) jet rówiem ruchu obrotowego brł wokół tłej oi Moż wkć [9], że ochod wględem cu kąt obrotu ϕ jet modułem rędkości kątowej, drug ochod modułem rśieei kątowego: dϕ d d ϕ, ε (538) Z ruku 59 widć, że romień wodąc r uktu M jet rów r, oiewż r 0 Tm mm 0 i 0 Uwględiw owże leżości we worch rędkość (53) i rśieeie (533) uktu w ruchu ogólm, otrmm wor rędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu obrotowm wokół tłej oi obrotu: r, (539)

9 Prśieeie moż ić w otci: ( r ) ε r + (540) ( ) ε r + r r (541) Dl ilutrcji wektor rędkości rewim r 510 r l ( r ) ε r M rr ( r ) ε - r R 510 Skłdowe rędkości i rśieei w ruchu obrotowm brł N owie worów (539), (540) i (541) or r 510 możem formułowć tęujące wioki: ) Prędkość jet rotodł do łc rechodącej re oś obrotu l i ukt M, cli jet tc do okręgu kreśloego re ukt M b) Prśieeie uktu M m dwie kłdowe: tcą do toru uktu M, rówą ε r, wą rśieeiem tcm, i ormlą, rówą ( r ), rotodłą do i r, cli kierową do środk krwi toru uktu M, wą rśieeiem ormlm lub dośrodkowm c) Prśieeie ormle moż rołożć kłdową rówoległą do oi obrotu ( r ) i kłdową kierową do obrego uktu rówą r Gd ukt odieiei rjmiem w środku okręgu kreśloego re ukt M, wted kłdow rśieei ormlego rówoległ do oi obrotu będie rów eru, r, rśieeie ormle r W tm ( ) 0

10 rdku moduł rędkości, rśieei tcego i ormlego wrżją rote wor: r, εr, r (54) Prkłd 54 iężr mocow do liki wiiętej mł obwód kołowrotu (r 511) oru ię w dół ruchem otęowm rotoliiowm według rówi: 15t, r cm t jet wrżo w ekudch, w M M cetmetrch blicć rędkość i rśieeie uktu M leżącego M r obwodie dużego koł kołowrotu ε Promieie kołowrotu woą: R 60 M cm, r 0 cm R 511 Wceie rędkości i rśieei uktu M w ruchu b Prędkość liiow uktu M R Rowiąie Prędkość liiow ciężru d t 30 t cm/ Prędkość kątową kołowrotu oblicm owie ierwego woru (54): r 30t r 30t R M R R 30 t 90tcm / r r Prśieeie liiowe ciężru jet ochodą jego rędkości wględem cu: 3 t 1 d 30 cm / Prśieeie kątowe kołowrotu oblicm owie drugiego woru (54): 30 3 ε r r Prśieeie liiowe uktu M jet umą wektorową kłdowej tcej i ormlej: + M M M

11 Wrtości tch kłdowch oblicm drugiego i treciego woru (54): 3 3 εr R 90cm /, M R t R 135t cm M / Moduł rśieei uktu M ( M ) ( M ) t t cm/

12 535 Ruch śrubow W ukcie 53 wko, że rędkość dowolego uktu M brł w ruchu ogólm jet umą dwóch kłdowch: ) rędkości, któr jet rędkością uktu (biegu), b) rędkości r wikjącej ruchu obrotowego brł rędkością kątową wokół tego biegu Po miie biegu i ie miei ię rędkość kątow, miie ulegie tomit rędkość biegu or kąt α wrt omięd wektormi (r 51) W wiąku tm uw ię tie, c itieje tki biegu i redukcji, w którm kąt będie rów eru, cli wektor będie rówoległ do wektor rędkości kątowej Wkżem, że dl wtkich uktów leżącch rotej l wektor te będą do iebie rówoległe Zjdowie tkich uktów, dl którch w kżdej chwili cu wektor jet rówoległ do wektor, wm rowdiem ruchu ogólego brł do ruchu śrubowego r α r r l R 51 Ruch śrubow brł Pukt leż rotej l rówoległej do wektor, wej chwilową oią ruchu śrubowego Dl wcei rędkości ruchu śrubowego i ołożei chwilowej oi l ruchu śrubowego, r, łożm, że e ą wektor r i Prędkość uktu godie rówiem (53) możem wrić worem:, + r (543) Po omożeiu owżego woru klrie re otrmm: ( r ) + () Jeżeli iloc mie wtęując w tm wore rewim godie e worem (31), to uwżm, że jet o rów eru

13 ( r ) r ( ) 0 W tej tucji rówie () urc ię do otci Poiewż wektor o lewej troie tego rówi ą rówoległe, owie defiicji ilocu klrego moż ić: Stąd moduł rędkości uktu (b) / (544) Prędkość uktu otrmm o omożeiu owżego woru re wektor jedotkow / o kieruku oi l ( ) / (545) W celu wcei wektor r orówm tromi wor (543) i (545) rędkość trmm wted rówie wektorowe: r + ( ) / Po reieieiu rędkości rwą troę i rowdeiu do wólego miowik mm: lub r [ ( ) ] / r [ ( ) ( ) ] / W orówiu e worem (34) łtwo uwżć, że wrżeie wtęujące w wiie kwdrtowm o rwej troie tego rówi jet rowiięciem odwójego ilocu wektorowego Ztem rówie to możem ić w tki oób: r [ ( )] / (546) W owżm rówiu wektorowm jet tlko jed iewidom r Łtwo uwżć, że rowiąie ogóle tego rówi m otć: ( ) r / + λ, (547)

14 gdie λ jet dowolą wielkością doią lub ujemą Wór te oiuje ołożeie wtkich uktów leżącch rotej rówoległej do rędkości kątowej Jet to więc uke rówie chwilowej oi l ruchu śrubowego w ukłdie ruchomm (wiąm brłą) W ukłdie wółrędch,, rówie to możem ić w otci trech rówowżch rmetrcch rówń klrch: + λ + λ + λ,, (548) N ruku 51 widim, że ołożeie kżdego uktu chwilowej oi ruchu śrubowego w ukłdie ieruchomm wc romień wodąc r, któr moż rewić w otci um wektorów r ir Po uwględieiu woru (547) wektorowe rówie chwilowej oi ruchu śrubowego w ukłdie ieruchomm będie miło otć: ( ) r r + r r / + λ (549) + Temu rówiu w ukłdie ieruchomm będą odowidł tr rmetrce rówi W tm celu wektor wtęujące w rówiu (549) leż wrić w ukłdie wółrędch,, : λ, + λ, + λ (550) Wkliśm tm mm, że ruch ogól brł moż w dowolej chwili rowdić do ruchu śrubowego defiiowego wtęie tego uktu Ruch te jet umą dwóch ruchów rotch:

15 ) obrotowego rędkością kątową wokół chwilowej oi ruchu śrubowego, b) otęowego rędkością wdłuż tej oi c c M l M R513 Złożeie ruchu ogólego brł ruchu obrotowego wokół chwilowej oi ruchu śrubowego i ruchu otęowego wdłuż tej oi Jeżeli mit dowolego biegu obierem biegu redukcji leżąc chwilowej oi l ruchu śrubowego (r 513), to rędkość dowolego uktu M brł będie umą dwóch wjemie rotodłch kłdowch: o-tęowej i obrotowej M : + M liując ruch śrubow brł, możem roróżić dw rdki: ) (t) 0; wted jrotm ruchem brł jet chwilow ruch śrubow; ie będiem ię tu im jmowć; b) (t) 0; wted jk to widć r 51 i 513 ruch brł rowd ię do chwilowego obrotu wokół oi l, którą będiem wć chwilową oią obrotu

16 536 hwilowe oie obrotu Jk już owiedio wżej, jeżeli ruch śrubow brł rowd ię do rdku, w którm w kżdej chwili rędkość (t) 0, to jej ruch chwilow jet obrotem wokół chwilowej oi obrotu Jeżeli łożm, że ruch ogól brł oiuje rędkość biegu or rędkość kątow, to e woru (544) wik leżość: / 0 Ztem iloc klr i w kżdej chwili ruchu mui bć rów eru: ( t) ( t) 0, (551) tąd wioek, że b ruch brł rowdł ię do chwilowch obrotów, wektor te muą bć w kżdej chwili rotodłe hwilow oś obrotu miei woje ołożeie w cie Wormi określjącmi ołożeie chwilowej oi obrotu wględem ruchomego ukłdu wółrędch (brł) ą wor (547) lub (548), wględem ukłdu ieruchomego wor (549) lub (550) Jeżeli chwilow oś ie remiec ię w cie, to ruch brł jet omówiom już w 534 ruchem obrotowm wokół tłej oi obrotu R 514 hwilowe oie obrotu koid Jeżeli dl dowolej chwili t wkreślim dwie okrwjące ię chwilowe oie obrotu l w ukłdie tłm i l w ukłdie ruchomm (w brle) to o cie t oie te retą ię okrwć, chwilowmi oimi obrotu będą ie dwie rote l1 i l 1 (r 514) Premiecjące ię w cie ruchu brł chwilowe oie obrotu kreślą dwie owierchie rotokreśle: ) koidę tłą σ, któr jet śldem remieci ię chwilowej oi obrotu w ukłdie ieruchomm, b) koidę ruchomą σ, któr jet śldem remieci ię chwilowej oi obrotu l w ukłdie ruchomm

17 Rówi koid otrmm rówń chwilowej oi obrotu W celu otrmi koid tłej σ leż do rówń (549) lub (550) wtwić fukcje cu: () t, ( t) i ( t) r r () wrżoe we wółrędch ukłdu ieruchomego,, Podc mi cu t chwilow oś kreśli owierchię, którą wliśm koidą tłą σ Podobie otrmm rówie koid ruchomej σ Nleż w tm celu do rówń (547) lbo (548) owić dwie trech fukcji (), i, wrżoe w ruchomm ukłdie wółrędch,, W cie ruchu brł obie koid ą do iebie tce wdłuż chwilowej oi obrotu l Poiewż wtkie ukt leżące tej oi mją rędkość rówą eru, 0, ruch brł moż rotrwć jko ruch owodow toceiem ię be ośligu koid ruchomej σ o koidie ieruchomej σ W leżości od rodju ruchu brł chwilowe oie obrotu mogą kreślić róże owierchie (koid): ) tożkowe (utworoe rotch recijącch ię w jedm ukcie), wted ruch chwilow jet ruchem kulitm, b) wlcowe (utworoe rotch rówoległch), wted ruch chwilow jet ruchem łkim, c) ie

18 537 Ruch kulit Ruchem kulitm wm tki ruch brł, w cie którego jede uktów ią wiąch jet ieruchom 1 r r M R 515 Ruch kulit brł twej Pukt te wm środkiem ruchu kulitego Wobec tego rędkość tego uktu będie tle rów eru, cli mui o w kżdej chwili cu leżeć jedoceśie koidie ruchomej i ieruchomej Ztem obie koid w ruchu kulitm ą tocącmi ię o obie tożkmi o wólm wierchołku Dl urocei rowżń ocątki i ukłdów wółrędch ruchomego,, i ieruchomego,, rjmiem w ieruchomm ukcie brł (r 515) Prjęcie tkich ukłdów rwi, że wektor będie rów eru, r 0 W tej tucji rówe eru będą rówież rędkość i rśieeie uktu : i r 0 0, () romień wodąc dowolego uktu M brł możem ić tk: r r (b) Po uwględieiu leżości () i (b) we worch (53) i (533) dl ruchu ogólego brł otrmm wor rędkość i rśieeie dowolego uktu M brł w ruchu kulitm: r, (55)

19 ( r) ε r+ (553) Dl brł twej odległość międ uktmi i M jet we tł, cli moduł wektor wodącego jet rówież tł: r r r cot (c) Wobec tego wektor wodąc r możem ić jko iloc modułu i wektor jedotkowego 1 r : r r1 r (d) Po uwględieiu tej leżości we worch (546) i (547) rędkość i rśieeie otrmm: r r( 1 r ), (554) ( r) r[ ( ε 1 ) + ( 1 )] ε r+ (555) Z owżch worów wik, że w ruchu kulitm rędkość i rśieeie ą oie dwom wielkościmi kiemtcmi i ε N owie woru (c) or worów (554) i (555) możem formułowć wioki chrkterujące ruch kulit: ) W ruchu kulitm tor wtkich uktów brł leżą owierchich kul o środku w ukcie b) Wektor rędkości i rśieeń uktów leżącch rotej rechodącej re ukt ą do iebie rówoległe, ich moduł ą roorcjole do odległości r od środk ruchu kulitego W tm ukcie odo jedie wektorowe wor rędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu kulitm or ogóle włości tego ruchu Pr brdiej cegółowm rotrwiu ruchu kulitego brł do określei ołożei ruchomego ukłdu wółrędch,, wględem ieruchomego ukłdu wółrędch,, wrowd ię tw tr kąt Euler (obrotu włego, receji i utcji), którch ceie moż leźć w odowiediej literture, [7, 16] Z omocą tch kątów moż wrić wtkie koiu kierukowe międ oimi obu ukłdów wółrędch or wtkie wielkości wtęujące we worch (55) i (553) r r

20 538 Ruch łki brł Prędkość i rśieeie dowolego uktu brł Ruchem łkim wm tki ruch, w którm tor wtkich uktów brł ą rówoległe do ewej łc wej łcą ruchu Z łcę ruchu moż rjąć dowolą łcę ośród wtkich łc do iej rówoległch W ukcie 536 owiedio, że jeżeli koid ą owierchimi wlcowmi, to ruch ogól brł rowd ię do ruchu łkiego I recwiście, kżd łc rotodł do tworącch obu koid może bć łcą ruchu Poiewż koid ą owierchimi kreślomi re chwilową oś obrotu w cie remieci ię jej w ukłdie ieruchomm i ruchomm, jet ocwite, że chwilow oś obrotu w ruchu łkim będie w kżdej chwili rotodł do łc ruchu Z defiicji ruchu łkiego wik, że wektor rędkości i rśieei wtkich uktów brł ą rówież rówoległe do łc ruchu Z kolei wektor rędkości kątowej będie w kżdej chwili rówoległ do tworącch koid (rówoległ do chwilowej oi obrotu), cli rotodł do łc ruchu W dlch rowżich dotcącch ruchu łkiego łcę ruchu rjmiem łcę wcoą re ieruchom ukłd wółrędch, o ocątku w ukcie Ruchom ϕ ukłd wółrędch o oich, i ocątku w dowolm bieguie będie ię r r oruł w łcźie ruchu (r 516) W tej M tucji oie i będą rówoległe do wektor r rędkości kątowej Z ruku 516 wik, że do jedocego określei ołożei brł wględem ukłdu ieruchomego, leż odć wektor wodąc R 516 Ruch łki brł twej r r ( t ) biegu or kąt obrotu ϕ ϕ(t) ukłdu ruchomego, wględem ieruchomego Wektor wodąc r możem ić w tęując oób: ( ) r r t i+ j (556) Ztem kiemtce rówi ruchu łkiego możem ić w otci trech fukcji lgebricch: dwóch wółrędch wektor or kąt ϕ: r ( ) ( ) t, t, (557) ϕ ϕ(t) (558) Do oblicei rędkości i rśieei dowolego uktu M brł wkortm wor (53) i (534): + r, (559) ( r ) + ε r + r (559) Poiewż w ruchu łkim wektor i r ą rotodłe, tem ich iloc klr wtęując we wore (559) jet rów eru ( r 0), więc wór te urości ię do otci:

21 + ε r r (560) We worch (559) i (560) rędkość i rśieeie ocątku ukłdu ruchomego otrmm, oblicjąc odowiedio ierwe i drugie ochode wektor wodącego r wględem cu: d r d d i+ d r d d i+ j, (561) j (56) Prędkość kątową i rśieeie kątowe ε moż ić logicie jk w ruchu obrotowm (wór 537): k k or ε ε k εk (563) Moduł tch rśieeń, odobie jk w ruchu obrotowm (563), będą rówież odowiedimi ochodmi kąt obrotu ϕ wględem cu: dϕ d d ϕ, ε (564) Ze worów (563) wik, że rędkość kątow i rśieeie kątowe ε ą wektormi o m kieruku W tej tucji moż je uwżć klr, odobie jk w ttce momet ił wględem oi i momet łkiego ukłdu ił Ze worów (559) i (560) rędkość i rśieeie moż wciągąć tęujące wioki: ) Prędkość dowolego uktu brł w ruchu łkim jet umą rędkości otęowej dowolego biegu i rędkości wikjącej chwilowego obrotu brł wokół tego biegu: r b) W ruchu łkim rśieeie dowolego uktu brł jet umą rśieei dowolego biegu i rśieei wikjącego chwilowego obrotu brł wokół tego biegu: ε r r Wrowdoe wor rędkość i rśieeie dowolego uktu M brł w ruchu łkim rewim w otci brdiej rej do rowiąwi rówń kiemtki ruchu łkiego Złożm, że jet rędkość uktu i chwilow rędkość obrotow, chcem oblicć rędkość i rśieeie dowolego uktu brł (r 517) Gd ocątek ukłdu ruchomego rjmiem w ukcie, wektor o ocątku w ukcie i końcu w ukcie ocm jko r, to owie woru (559) rędkość uktu brł +, (565) + r lub gdie () r i jet rędkością uktu wględem uktu, której wektor jet rotodł do wektor r, wikjącą chwilowego obrotu brł wokół uktu rędkością kątową Ztem jej moduł oblicm e woru: r (b)

22 Podobie owie woru (560) rśieeie uktu (r 518) możem ić w tęując oób: lbo + ε r r + (566) Prśieeie jet rśieeiem uktu wględem uktu owodowm chwilowm obrotem brł wokół biegu : ε r r (c) w r r R 517 Wcie rędkości uktu brł twej metodą uerocji R 518 Wcie rśieei uktu brł twej metodą uerocji Z owżego woru wik, że rśieeie to możem rołożć dwie kłdowe: rśieeie tce i rśieeie ormle gdie +, (567) ε r or r (568) Moduł tch rśieeń ą tęujące: εr, r (569) Wektor rśieei tcego jet kierow rotodle do wektor r, cli m tki m kieruek jk wektor rędkości (r 517), wektor rśieei ormlego (dośrodkowego) jet kierow wdłuż rotej w troę uktu Po owieiu leżości (567) do woru (566) rśieeie uktu możem ić w otci: + + (570) Podc rktcego rowiąwi dń ie wtkie wielkości wtęujące we wore (570) będie moż oblicć beośredio rdo cęto iewidommi będą moduł rśieeń i Jeżeli wór (570) otrktujem jko rówie wektorowe o dwóch iewidomch, to widomo, że dl wektorów leżącch w jedej łcźie dwie iewidome moż wcć

23 wieloboku wektorów (rśieeń) lbo dwóch rówowżch wektorowemu rówń lgebricch hwilow środek obrotu N wtęie tego uktu owiedio, że w ruchu łkim brł chwilow oś obrotu jet w kżdej chwili rotodł do łc ruchu Pukt rebici re chwilową oś obrotu łc ruchu będiem wć chwilowm środkiem obrotu lbo icej, chwilow środek obrotu to tki ukt, którego rędkość w dej chwili jet rów eru Wiem, że w cie ruchu łkiego brł chwilow M M oś obrotu miei woje ołożeie, w śld ią będie ię remiecł chwilow środek obrotu W cie r ρ remieci ię chwilow środek obrotu (r 519) kreśli dwie krwe: ρ ) cetroidę ruchomą ρ w ukłdie ruchomm, b) cetroidę tłą ρ w ukłdie ieruchomm R 519 hwilow środek obrotu etroid Po owieiu do rówń (547) i (549) chwilowej oi obrotu λ 0 otrmm wektorowe wor ołożeie chwilowego środk obrotu w ukłdie ruchomm: ( ) r / (571) i w ukłdie ieruchomm: ( ) r / (57) r + r r + dowiedie rówi cetroid otrmm re wtwieie do tch worów fukcji r r t, t i t () ( ) ( ) Mjąc wco chwilow środek obrotu, moż oblicć rędkość dowolego uktu M brł Jeżeli biegu redukcji rjmiem w chwilowm środku obrotu, ie w dowolm ukcie (r 519), to rędkość dowolego uktu M brł możem wrić worem: + M Poiewż łożei rędkość uktu jet rów eru ( 0), więc rędkość uktu M będie oi worem: M (573) Z otrmego woru wik, że rękość dowolego uktu M brł jet rotodł do rotej łącącej ukt M chwilowm środkiem obrotu Poo wtęujące w tm wore wektor i M ą rotodłe, więc moduł rędkości M, (574) cli jet roorcjol do odległości M uktu M od chwilowego środk obrotu

24 Z owżch rowżń or otrmch worów wikją tęujące wioki: ) Ruch łki brł moż rowdić do tocei ię be ośligu cetroid ruchomej o ieruchomej b) Ruch łki brł moż w kżdej chwili rotrwć jko chwilow ruch obrotow wokół chwilowego środk obrotu α β R 50 Wcie chwilowego środk obrotu Ze woru (573) wik, że chwilow środek obrotu leż rotej rotodłej do wektor rędkości dowolego uktu M brł Ztem do wcei chwilowego środk obrotu wtrc jomość kieruków rędkości dwóch uktów brł ędie o leżł w miejcu recięci rotch rotodłch do kieruków rędkości uktów i (r 50) Mjąc już wco ukt, wrtości rędkości uktów i oblicm e woru (574): i (d) Dl ej wrtości ierwego woru oblicm chwilową rędkość obrotową :, tęie możem wcć moduł rędkości uktu N owie r 50 o uwględieiu worów (d) możem ić: tgα or tgβ Wik tąd wioek, że chwilowego środk obrotu wektor rędkości wtkich uktów brł widć od tm mm kątem α β Twierdeie o rutch rędkości Rut wektorów rędkości dwóch uktów brł twej rotą rechodącą re te ukt ą rówe r α r r β Dowód N ruku 51 coo wektor rędkości i dwóch uktów i brł twej, romieie łącące ieruchom ukt tmi uktmi re r i r Wektor r łącąc ukt uktem w cie ruchu brł może mieić wój kieruek, R 51 Rut rędkości dwóch uktów brł twej rotą

25 le jego długość ootje tł: r r cot Ztem iloc klr Po różickowiu tego wrżei wględem cu otrmm: r r r cot (e) lub d r r + r d r d r 0 r 0, (f) oiewż ochod rwej tro rówi (e) jet rów eru Z ruku widć, że: r r + r, kąd r r r Po różickowiu tego wrżei wględem cu mm: d r d r d r le ochode romiei wodącch uktów i ą rówe rędkościom tch uktów i, cli d r Powiw owżą leżość do rówi (f) otrmujem: ( ) o roiiu iloców klrch r 0 lub r r, r co β r co α Po króceiu re r mm: coβ coα (575) Iloc wtęujące w tej rówości ą odowiedio rutmi wektorów rędkości i rotą łącącą ukt i Tm mm udowodiliśm twierdeie o rutch wektorów rędkości dwóch uktów brł twej rotą łącącą te ukt N owie tego twierdei moż w łtw oób oblicć rędkość w iektórch rotch dich kiemtki ruchu łkiego Prkłd 55 Końce ręt śligją ię o dwóch wjemie rotodłch łcch (r 5) Koiec oru ię rędkością 10 cm/ i rśieeiem 15 cm/ blicć rędkość i rśieeie końc or rśieeie kątowe ręt w ołożeiu jk r 5, jeżeli długość ręt b 0 cm Rowiąie Prędkość uktu oblicm, rotrując ruch ręt jko chwilow ruch obrotow wokół chwilowego środk obrotu Zm rędkość końc ręt i kieruek rędkości końc, któr jet kierow wdłuż rotej hwilow środek obrotu jduje ię recięciu rotodłch do kieruków wektorów rędkości (r 5b) cw re i

26 w wrtość licbową rędkości kątowej ręt w rotrwm ołożeiu, owie woru (574) mm:, () Z ierwego woru otrmujem: ) b) ε b b 45 o 45 o Z ruku 5b jdujem Ztem R 5 Wceie rędkości i rśieei uktu ręt b co45 o 1 b cm (b) Z drugiego woru () mm: / cm (c) Prśieeie uktu oblicm e woru (566) Zgodie tm worem rśieeie uktu będie rówe umie geometrcej rśieei uktu or rśieei uktu wględem wwołego re chwilow obrót ręt wokół końc : + (d) Po rołożeiu rśieei uktu wględem uktu kłdową tcą i ormlą wór (d) możem ić w otci (570): + + (e) Prśieeie ormle uktu wględem dił wdłuż ręt i jet kierowe do uktu Zgodie drugim worem (569) 1 b 0 10cm /

27 Wrtość rśieei tcego wrż ierw wór (569): εb (f) Tego rśieei ie możem oblicć beośredio, oiewż ie m wrtości rśieei kątowego ε ręt Zm jedie kieruek rśieei, które jet rotodłe do ręt Po tm m kieruek rśieei cłkowitego, któr jet god rotą Wik tego, że w wektorowm rówiu (e) mm dwie iewidome wrtości rśieei i Po rjęciu w ukcie rotokątego ukłdu wółrędch, i rutowiu rówi (e) oie tego ukłdu otrmm dw rówi lgebrice dwom iewidommi o o co45 co45, 0 + i45 i45 Po rowiąiu tego ukłdu rówń or wkortiu woru (f) otrmujem: o o + o i45 ( ) i45 o ( ) ( ) cm /, o o co45 + co ε b cm / + ( + ) 1 ( ) o 3 + o bi45 i45 Prkłd 56 Korb mechimu korbowo-uwkowego rewioego r 53 obrc ię e tłą rędkością kątową o wrtości wokół uktu N końcu korbowodu jduje ię uwk, któr oru ię o rowdic DE jdującej ię w odległości h od uktu Dl ołożei rewioego ruku oblicć rędkość i rśieeie uwk or rśieeie kątowe korbowodu, jeżeli długość korb r, korbowodu b 0 4

28 ) o r h 1 b α D α E α b) r o h b ε 1 1 D α E R 53 Wceie rędkości i rśieei uktu mechimu korbowo- -uwkowego Rowiąie Wektor rędkości uktu jet rotodł do korb, uwk jet kierow wdłuż rowdic DE (r 53) Prędkość uktu oblicm e woru (565): +, gdie jet rędkością uktu wględem uktu wikjącą chwilowego obrotu korbowodu wokół uktu rędkością kątową 1 Wektor rędkości jet rotodł do korbowodu, jego wrtość wrtość rędkości uktu Z ruku mm: r b 1, () b b h h iα,coα,tgα h b b h (b) Ztem leżości geometrcch wikjącch r 53 otrmujem: tgα coα b h b b h h b h rb b rh h, (c) Ze woru () wcm rędkość kątową:

29 b 1 (d) Prśieeie uktu rewim w otci um geometrcej rśieei uktu i rśieei uktu wględem (wór 570): b r h + + (e) Prśieeie uktu jet rówe rśieeiu ormlemu, oiewż rśieeie kątowe korb jet rówe eru Wrtość tego rśieei r Skłdow rśieei ormlego uktu wględem okrw ię kierukiem korbowodu i jet kierow w troę uktu (r 53b), jej wrtość r b 1 b (f) b h Prśieeie tce uktu wględem jet rotodłe do korbowodu Wrtość tego rśieei wrż wór: W owżm wore ε 1 1 ε b (g) jet rśieeiem kątowm korbowodu Prśieeie to ie jet e, dltego ie m wrtości rśieei tcego Drugą iewidomą w rówiu (e) jet wrtość rśieei cłkowitego uwk W celu wcei tch iewidomch rjmiem w ukcie rotokąt ukłd wółrędch, i rutujem wektor rśieei oie i trmm: coα iα, 0 iα coα Po rowiąiu tego ukłdu rówń i uwględieiu (b) otrmujem: S r ( b h ) r 1 + Wrtość rśieei kątowego korbowodu bh 3 rb ( b h ), 3 ( b h ) 3 r h ε1 b

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.

Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe. Wyzczie prędkości i przyspieszeń cił w ruchu posępowym, obroowym i płskim orz chwilowych środków obrou w ruchu płskim. Ruch korbowodu część II Zdie.. Prę o długości L ślizg się jedym końcem (puk po podłodze,

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

a) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy

a) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy 04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

Temat ćwiczenia: Optyczne podstawy fotografii.

Temat ćwiczenia: Optyczne podstawy fotografii. Uiwerstet Rolicz w Krakowie Wdział Iżierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczeia: Otcze odstaw otograii. Podział układów otczch Pojęcie układów otczch Podział układów

Bardziej szczegółowo

instrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego

instrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego 5.Bde wocze pręt śckego UT-H Rdom Ittut Mechk Stoowej Eergetk Lortorum Wtrzmłośc Mterłów trukcj do ćwcze 5. Bde wocze pręt śckego I ) C E L Ć W I C Z E N I A Celem ćwcze jet dośwdczle wzczee metodą Southwell

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 8 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e ro b ó t b u d o w l a n y c h w b u d y n k u H

Bardziej szczegółowo

r = ψ x ( 5 ) = x ψ ( 6 ) dn = q(x)dx ( 7 ) dt = μdn = μq(x)dx ( 8 ) M = M ( 1 )

r = ψ x ( 5 ) = x ψ ( 6 ) dn = q(x)dx ( 7 ) dt = μdn = μq(x)dx ( 8 ) M = M ( 1 ) M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X O K R E L E N I E O S I O B R O T U M A Y C H R O B O T W G Ą S I E N I C O W Y C H D L A P O T R Z E B O P I S U M O D E L

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

Ruch kulisty bryły. Kinematyka

Ruch kulisty bryły. Kinematyka Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)

Bardziej szczegółowo

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA Z a m a w i a j» c y G D Y S K I O R O D E K S P O R T U I R E K R E A C J I J E D N O S T K A B U D E T O W A 8 1 5 3 8 G d y n i a, u l O l i m p i j s k a 5k 9 Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa: PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1 O p i s p r z e d m i o t u z a m ó w i e n i a - z a k r e s c z y n n o c i f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o O r o d k a S p o r t u i R e ks r e a c j i I S t a d i

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów

11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów . Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do laboratorium 1

Wprowadzenie do laboratorium 1 Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

I 3 + d l a : B E, C H, C Y, C Z, ES, F R, G B, G R, I E, I T, L T, L U V, P T, S K, S I

I 3 + d l a : B E, C H, C Y, C Z, ES, F R, G B, G R, I E, I T, L T, L U V, P T, S K, S I M G 6 6 5 v 1. 2 0 1 5 G R I L L G A Z O W Y T R Ó J P A L N I K O W Y M G 6 6 5 I N S T R U K C J A U 7 Y T K O W A N I A I B E Z P I E C Z E Ń S T W A S z a n o w n i P a s t w o, D z i ę k u j e m y

Bardziej szczegółowo

Novosibirsk, Russia, September 2002

Novosibirsk, Russia, September 2002 Noobk, ua, Septebe 00 W-5 (Jaoewc) 4 lajdów Dyaka były tywej Cało tywe jego uch uch potępowy cała tywego uch obotowy cała tywego wględe tałej o obotu. oet bewładośc Dyaka cała tywego uch łożoy cała tywego

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

Fale skrętne w pręcie

Fale skrętne w pręcie ae skrętne w ręcie + -(+) eement ręta r π ) ( 4 Lokane skręcenie o () moment skręcając moduł stwności r romień ręta r 4 ) ( π Pod włwem wadkowego momentu eement ręta uskuje rsiesenie kątowe i sełnion jest

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 25.01.2003 r.

Matematyka finansowa 25.01.2003 r. Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy Prekłne Mechncne PRZEKŁADNIE MECHANICZNE Prekłne mechncne są wykle mechnmm kołowym prenconym o prenesen npęu o włu slnk wykonuącego ruch orotowy o cłonu npęowego msyny rooce, mechnmu wykonwcego lu wprost

Bardziej szczegółowo

0 ( 1 ) Q = Q T W + Q W + Q P C + Q P R + Q K T + Q G K + Q D M =

0 ( 1 ) Q = Q T W + Q W + Q P C + Q P R + Q K T + Q G K + Q D M = M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X O P T Y M A L I Z A C J A K O N S T R U K C J I F O R M Y W T R Y S K O W E J P O D K Ą T E M E F E K T Y W N O C I C H O D

Bardziej szczegółowo

Zad. 4 Oblicz czas obiegu satelity poruszającego się na wysokości h=500 km nad powierzchnią Ziemi.

Zad. 4 Oblicz czas obiegu satelity poruszającego się na wysokości h=500 km nad powierzchnią Ziemi. Grawitacja Zad. 1 Ile muiałby wynoić okre obrotu kuli ziemkiej wokół włanej oi, aby iła odśrodkowa bezwładności zrównoważyła na równiku iłę grawitacyjną? Dane ą promień Ziemi i przypiezenie grawitacyjne.

Bardziej szczegółowo

BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ

BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ LABORATORIU WYTRZYAŁOŚCI ATERIAŁÓW Ćiceie 0 BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SRĘŻYNY ŚRUBOWEJ 0.. Wproadeie Sprężyy, elemety sprężyste mają bardo różorode astosoaie ielu kostrukcjach mechaicych. Wykorystuje się je

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

WOJEWÓDZKI IN S P EKT OR A T OC H R ON Y ŚR ODOWIS KA W KR A KOWIE M 2 0 0 2 U RAPORT O STANIE ŚRODOWISK A W WOJ EWÓ DZ TWIE AŁ OPOL SK IM W ROK BIBLIOTEKA MON ITOR IN G U ŚR OD OW IS KA K r a k ó w 2003

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 70 1 3 7 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e w r a z z r o z s t a w i e n i e m o g

Bardziej szczegółowo

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej 4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

1 0 2 / c S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n c z e l a d n i c z y dla zawodu R A D I E S T E T A Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś ci dla p ot r ze b r yn ku p r acy Kod z klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n

Bardziej szczegółowo

9. OCENA JAKOŚCI PRACY UKŁADU REGULACJI

9. OCENA JAKOŚCI PRACY UKŁADU REGULACJI 9. Ocea jakości acy układu egulacji 9. OENA JAOŚI PRAY UŁADU REULAJI amy edukoway układ egulacji: R() - E() () H() - Z() () Ry. 9. amy ty tyy UAR e wględu a elacje międy R(), () i Z(): a) Układy tabiliujące

Bardziej szczegółowo

Oświadczam, że warunki ww. umowy zawartej z Wojewódzką Komendą OHP są przestrzegane. Środki finansowe prosimy przekazać na rachunek bankowy Nr...

Oświadczam, że warunki ww. umowy zawartej z Wojewódzką Komendą OHP są przestrzegane. Środki finansowe prosimy przekazać na rachunek bankowy Nr... Dz tw r 77 4674 Pz. 518 ącz r 4 Mcwć t Pczęć rcwc (mcwć t) (częć rcwc) Wwóz Km OHP z rctwm trum uc Prc Mz w... DOKŁD MRY MÓW O RFDJĘ! Or, z tór wum rfucę. W rcwc Dzń zwrc umw rfucę rfucę wgrzń wcch mcm

Bardziej szczegółowo

O F E R T A H o t e l Z A M E K R Y N * * * * T a m, g d z i e b łł k i t j e z i o r p r z e p l a t a s ił z s o c z y s t z i e l e n i t r a w, a r a d o s n e t r e l e p t a z m i a r o w y m s z

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n

Bardziej szczegółowo

Podstawy praktycznych decyzji ekonomiczno- finansowych w przedsiębiorstwie

Podstawy praktycznych decyzji ekonomiczno- finansowych w przedsiębiorstwie odswy pryczych decyzji eooiczo- fisowych w przedsiębiorswie l wyłdu - Wrość pieiądz w czsie 4 h - Efeywość projeów w iwesycyjych 3-4 h -Wżoy osz piłu u WACC h odswy pryczych decyzji eooiczo- fisowych w

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM. Fizyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM. Fizyka Poziom rozszerzony Modele odowiedzi do rkuz róbnej mtury z OPEONEM Fizyk Poziom rozzerzony Grudzieƒ 007 zdni Prwid ow odowiedê Liczb unktów... z zinie wzoru n nt enie ol grwitcyjnego kt GM z zinie wrunku kt m v GM m c, gdzie

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

1 Wynagrodzenie Wykonawcy zostanie podzielone na równe raty płatne cykliczne za okresy 2 tygodniowe w. okresie obowiązywania umowy.

1 Wynagrodzenie Wykonawcy zostanie podzielone na równe raty płatne cykliczne za okresy 2 tygodniowe w. okresie obowiązywania umowy. W Z Ó R U M O W Y N r :: k J Bk 2 0 1 5 Z a ł» c z n i k n r 4 A z a w a r t a w G d y n i d n i a :::::: 2 0 1 5 r o k u p o m i d z y G d y s k i m C e n t r u m S p o r t u j e d n o s t k» b u d e

Bardziej szczegółowo

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok O P E R A T O R T E L E K O M U N I K A C Y J N Y R A P O R T R O C Z N Y Z A 2 0 1 3 R O K Y u r e c o S. A. z s i e d z i b t w O l e ~ n i c y O l e ~ n i c a, 6 m a j a 2 0 14 r. S p i s t r e ~ c

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 03 7 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A W y k o n a n i e r e m o n t u n a o b i e k c i e s p o r t o w y mp

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Wdiał Podtawowch Poblemów Techiki PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Modelowaie metodą FDTD właściwości elektomagetcch oło iewidek Electomagetic oetie modelig of iviible cloak b FDTD method Wojciech Oki Oieku:

Bardziej szczegółowo

135 X 4000 135 X 2500 185 X

135 X 4000 135 X 2500 185 X eveling diesel rzekładnia hydrostatyczna z dyferencjałami 4W ZTRY KOŁ SKRĘT eveling 135 X 4000 eveling 135 X 2500 eveling 185 X 3000 eveling eveling eveling 135 x 4000 O 2500-3000 beta 8,5 8,5 6 2080 1620

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

ZEWNĘTRZNA MODULACJA ŚWIATŁA

ZEWNĘTRZNA MODULACJA ŚWIATŁA ZWNĘTRZNA MOACJA ŚWATŁA . Wsęp Modulacją świała aywamy miay w casie paramerów fali świelej. Modulaorem jes urądeie, kóre wymusa miay paramerów fali w casie. Płaską falę moochromaycą rochodącą się w ośrodku

Bardziej szczegółowo

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2

Bardziej szczegółowo

[ m ] > 0, 1. K l a s y f i k a c j a G 3, E 2, S 1, V 1, W 2, A 0, C 0. S t r o n a 1 z 1 7

[ m ] > 0, 1. K l a s y f i k a c j a G 3, E 2, S 1, V 1, W 2, A 0, C 0. S t r o n a 1 z 1 7 F O R M U L A R Z S P E C Y F I K A C J I C E N O W E J " D o s t a w a m a t e r i a ł ó w b u d o w l a n y c h n a p o t r z e b y G d y s k i e g o C e n t r u m S p ot ru " L p N A Z W A A R T Y K

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach. CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o

Bardziej szczegółowo

7 4 / m S t a n d a r d w y m a g a ± û e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu K U C H A R Z * * (dla absolwent¾w szk¾ ponadzasadniczych) K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ¾ w i s p e c

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.

Bardziej szczegółowo

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych.

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych. Przkłd 6 Przkrój złożon z trzh ksztłtowników wlownh Polni: Wznzć główn ntrln momnt bzwłdnośi orz kirunki główn dl poniższgo przkroju złożongo z trzh ksztłtowników wlownh 0800 0 80800 Dn dotzą ksztłtowników

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy rachunku wektorowego

1. Podstawy rachunku wektorowego 1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński Matematka Opracował: dr hab. Miecsław Kula, prof. WSBiF dr Michał Bacński I. Ogóle iformacje o predmiocie: Cel predmiotu: Celem główm kursu jest apoaie studetów wbrami diałami matematki stosowami w aukach

Bardziej szczegółowo

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4.

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4. M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X A N A L I Z A W Y T R Z Y M A O C I O W A S Y S T E M U U N I L O C K 2, 4 S T O S O W A N E G O W C H I R U R G I I S Z C Z

Bardziej szczegółowo

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne

Bardziej szczegółowo

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ). Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne. Teoria sterowania. Semestr V. Wykłady

Materiały dydaktyczne. Teoria sterowania. Semestr V. Wykłady Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Mteriły dydtycze eori terowi Semetr V Wyłdy Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

S z a nowni P a ń s t wo! t y m rok u p oj a wi ą s i ę p i e rws i a b s ol we nc i rz e m i e ś l ni c z e j na u k i z a wod u na wy s z k ol e ni e, k t ó ry c h m i s t rz om s z k ol ą c y m b ę

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = = WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα

Bardziej szczegółowo

1 0 2 / m S t a n d a r d w y m a g a ñ - e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu R A D I E S T E T A Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln o ci dla p ot r ze b r yn ku p r acy Kod z klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA

POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA Ćwiczenie 50 POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA 50.. Widomości ogólne Soczewką nzywmy ciło pzeźoczyste oczyste ogniczone dwiem powiezchnimi seycznymi. Post pzechodząc pzez śodki kzywizny ob powiezchni

Bardziej szczegółowo