KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

Transkrypt

1 KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego, którzy uzyskli, co jmiej 80 % puktów możliwych do zdobyci, czyli 6 puktów. Filistmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego, którzy uzyskli, co jmiej 60% puktów możliwych do zdobyci, czyli puktów. Z kżde poprwe rozwiązie ie iż przewidzie w propozycji rozwiązń zdń przyzjemy mksymlą liczbę puktów. puktowi Zdie. Uzsdij, że dl dowolej liczby cłkowitej m liczb postci przez 0. m 5 m jest podziel stosując wzory skrócoego możei przedstwi pode wyrżeie w postci iloczyu zuwż, że by dowol liczb cłkowit był podziel przez 0 musi być podziel przez, przez i przez 5 uzsdi, że dl dowolej liczby cłkowitej liczb postci m 5 m jest podziel przez i przez, uzsdi, że dl dowolej liczby cłkowitej liczb postci m 5 m jest podziel przez m m m m m m m mm m m. by wykzć, że liczb m 5 m jest podziel przez 0 wystrczy wykzć, że jest podziel przez, przez i przez 5.. Wyrżeie m 5 m moż zpisć jko iloczy czterech liczb turlych: m mm m. Trzy pierwsze liczby iloczyu: m, m orz m to koleje liczby cłkowite, więc wśród ich jest liczb podziel przez i co jmiej jed liczb podziel przez.. Terz wystrczy wykzć, że liczb mm m m jest podziel przez 5. Jeśli wśród liczb m, m lub m jest liczb podziel przez 5 to mmy tezę. W przeciwym wypdku koleje liczby cłkowite przy dzieleiu przez 5 dją reszty,, lub, czyli mmy:

2 5k m, m 5k m 5k czyli: lub 5k m, m 5k m 5k czyli: m 5k m 5k 5k 5 5k 0k k 5k 5 5k 0k 9 5k W obu przypdkch otrzymliśmy wielokrotość liczby 5, co kończy dowód. Zdie. Jeżeli długość i szerokość prostokąt BCD zwiększymy o 0 cm, to jego pole zwiększy się o 600 cm. Oblicz, o ile zmiejszy się pole prostokąt BCD jeżeli jego długość i szerokość zmiejszymy o 5 cm. zpisuje pole prostokąt BCD orz pole prostokąt po wydłużeiu boków, z zleżości pomiędzy polem prostokąt BCD, polem prostokąt po wydłużeiu boków wyzcz wrtość sumy b, zpisuje pole prostokąt po skróceiu boków, ukłd zleżość pomiędzy polem prostokąt BCD, polem prostokąt po skróceiu boków i wyzcz o ile zmiejszyło się pole prostokąt BCD. I sposób:. N początku: Pole prostokąt BCD: P b Po wydłużeiu boków: ( 0)( b 0) b 0 0b 00 P 0 0b 00. Wiosek: 0 0b 500 b 50 P w P 600 P 0 0b 00. Po skróceiu boków: ( 5)( b 5) b 5 5b 5 P 5 5b 5. Wiosek: x 5 P s P x P 5 5b 5 x 5 5b 5 x 5( b) 5 x Odp. Jeśli długość i szerokość prostokąt BCD zmiejszymy o 5 cm to jego pole zmiejszy się o 5 cm.

3 II sposób:. rysuek:. 0 0b b b b 5 5( b) Zdie. W trójkącie ostrokątym BC poprowdzoo wysokości H orz CH c, gdzie H to spodek wysokości opuszczoej z wierzchołk, H c to spodek wysokości opuszczoej z wierzchołk C. Uzsdij, że środek boku C leży do symetrlej odcik H H c. wykouje rysuek z ozczeimi, wykorzystuje włsość symetrlej odcik, zuwż, że w trójkącie prostokątym H C odciki D, DC orz DH są rówej długości (p. jko promieie okręgu opisego tym trójkącie), zuwż, że w trójkącie prostokątym H C C odciki D, DC orz DH C są rówej długości (jw.).. Rysuek. by udowodić, że pukt D będący środkiem boku C leży do symetrlej odcik H H wystrczy wykzć, że C DH DHC. Odciek DH to promień okręgu opisego trójkącie prostokątym H C, więc D DC DH C,. Odciek DH C to promień okręgu opisego trójkącie prostokątym H C C, więc D DC DH C C.

4 Zdie. Wyzcz wszystkie liczby turle, gdzie jest liczbą ze zbioru 0,,,,..., spełijące rówie: 6 porządkuje wyrzy i rozkłd sumę iloczy, oblicz pierwistek rówi 0, oblicz pierwistek rówi 0 prwidłowo iterpretuje otrzyme rozwiązi i podje odpowiedź. ). ) lub Odp. Jedyym turlym pierwistkiem tego rówi jest liczb. Zdie 5. W ostrosłupie trójkątym BCS wszystkie krwędzie bocze mją długość. Podstwą tego ostrosłup jest trójkąt prostokąty rówormiey BC o przyprostokątych długości, pukt S jest jego wierzchołkiem. Oblicz objętość ostrosłup BCS. wykouje rysuek, ustl położeie ści względem podstwy ostrosłup, oblicz długość odcik SD wysokości ściy boczej CS, uzsdi, że trójkąt SDB jest prostokąty (p. stosując twierdzeie odwrote do twierdzei Pitgors lub wykorzystując sześci do rysowi dej w zdiu bryły) i ustl wysokość ostrosłup BCS, oblicz objętość ostrosłup BCS.

5 . W trójkącie prostokątym BC mmy: B, BC, C,. Obliczmy wysokość DS w trójkącie rówormieym CS: D DS DS. W trójkącie DS mmy długości boków: Zuwżmy, że: D, S, DS DC, CS, DS, orz : N podstwie twierdzei odwrotego do twierdzei Pitgors trójkąt DS jest prostokąty. Ztem DS wysokość trójkąt DS i jedocześie wysokość rówormieego trójkąt CS, zrzem wysokość ostrosłup BCS.. V BCS [ j ] II sposób:. Zuwżmy, że objętość ostrosłup BCS, spełijącego wruki zdi jest połową objętości ostrosłup prwidłowego czworokątego BCDS.. Obliczmy długość odcik OS: OS OS. V BCDS OS 6. VBCS VBCDS [ j ] 6 5