Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Transkrypt

1 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f + 34 ln ( g ) ( ) e e 4 h.437 Ay zdefinowc wyrŝenie wyierz z klwitury kolejno: e*f^+34*ln(g)//*e*(e^-4*h) Wrtość wyrŝeni lu zmiennej uzyskujemy po nśsnieciu znku Definicj funkcji f() 3 c f( ) + + c f( ) + 3 f( ) 4 Ay zdefiniowć funkcję wyierz z klwitury kolejno: f():*^+*+c Ay "wyświetlić" wzór zdefiniownej funkcji wyierz z klwirury kolejno: f() Ctr+Shift+ *^+3*- Ay oliczyć wrtość funkcji dl dnej wrtość wyierz z klwitury kolejno: f() Definicj pochodenj funkcji n podstwie wzoru funkcji fp( ) d f( ) fp( ) Ay zdfiniowć funkcję fp() ędc pochodną wcześniej zdefiniownej funkcji f() wyierz z klwitury kolejno: fp():shift+/ f() /6

2 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Definicj zmiennej zkresowej, 9... Ay zdefiniowć zmienną (wektor pionowy) reprezentujący pewien przedził licz wyierz z klwitury kolejno: :-,-9.; Ozncz to liczy z przedzilu - do z krokiem, Ay wyswietlić wpisz: Ay dl dnych wyswietlić wrtości funkcji wpisz: f() f( ) fp( ) Uwg: N wydruku umieszczono tylko pierwszych 7 licz z kŝdego przedziłu. Przedstwienie funkcji n wykresie f( ) fp( ) Ay uzyskć moŝliwosć rysowni wykresu funkcji nlelŝy wyrć komincje klwiszy Shift+. Po lewej stronie wykresu nleŝy kolejno wpisć identyfiktory funkcji które chcemy umiescić n wykresie: f(),fp() N dole ntomist zmienną zkresową, któr stnowi dziedzinę funkcji. Klikjąc dwukrotnie n oszrze wykresu uzyskujemy moŝliwość dodtkowej konfigurcji wyglądu wykresu. /6

3 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Miejsc zerowe funkcji Znjąc przyliŝone wrtości pirewistków funkcji (np. n podstwie wykresu) moŝemy uzyskć ich dokłdną wrtość z pomoc funkcji systemu MthCd root root( f( ), ).78 root( f( ), ).8 Definiownie wektorów i mcierzy C Ay zdefiniowć wektor C wyierz z klwitury kolejno: c:ctrl+m nstępnie ustl wymir i wpisz wrtości poczczególnych elementów C T Ay uzyskć mcierz trnsponowną wyierz z klwitury kolejno: C Ctrl+ C 6 Ay uzyskć wrtość wyzncznik mcierzy wyierz z klwitury kolejno: C A C I I identity( 4) Ay zdefinowć mcierz A ędcą mcierzą odwrotną C wyierz z klwitury kolejno: A:C^- Ay zdefinowć mcierz jednostkową I o wymirch 44 wyierz z klwitury kolejno: I:identity(4) 3/6

4 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Definiownie wektorów i mcierzy w oprciu o zmienne indeksowe. ORIGIN Zmienn gloln ORIGIN wyzncz wrtość początkow dl indeksu mcierzy tzn. jeŝeli ORIGIN to pierwszy element w mcierzy edzie posidł współrzedne, stndrdowo w MAthCd'ie, i.. Definicj zmiennej indeksującej. U i Definicj wektor pionowego.wyierz z klwitury kolejno: U[i:3,,7,8.9,9. D Definicj mcierzy D poprzez ndnie, D 34 4, 3 D 34 wrtości poszcególnym elementą mcierzy, y zdefinowć element, wyierz z klwitury kolejno: D[,: W progrmie MthCd w dwojki sposó uzyw się symolu tzw. indeksu dolnego. JeŜeli wprowdzimy: X[,:4 ozncz to element mcierzy kolumnowej o indeksie X 4 X 4 X 4 Ntomist jeŝeli wprowdzimy: X.: ozncz to "zwykłą" zmienną zdefiniowną z uŝyciem symolu grficzgo jkim jest indeks dolny. X X 4/6

5 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Rozwiązywnie ukłdu równń liniowych. Rozwiązć poniŝszy ukłd równń +y+3z -7+3z-4 +3y+z6 Definicj mcierzy A 7 3 B Rozwiąznie: X A B X Sprwdzenie: A X 4 6 Zstosownie funkcji wudownej lsolve MthCd do rozwiąznie ukłdu równń lsolve( A, B) Rozwiązywnie równń ukłdów równń nieliniowych y Definicj wrtości początkowych Given Słowo kluczowe Given poprzedz lok równń + y 6 + y Ay wprowdzić równie wyierz z klwitury kolejno: ^+y^ Ctrl+ 6 Find(, y) /6

6 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Definiownie wektorów funkcyjnych w( ) p 3 3 Definiownie funkcji jko iloczynu wektorów h( n) w( n) p h( n) ( ) + 3 n + n Wykres zdefiniownej funkcji 4, h( ) 4 4 Wyzncznie miejsc zerowych wielominów n podstwie wektor współczynników p polyroots( p) Sprwdzenie i.. ( ) h i polyroots( p) Wrtość funkcji h() dl wyznczonych pierwistków 6/6

7 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór ORIGIN Rozwiznie prolemu rzegowego z pomoc funkcji rkfied progrmu MthCd y''() w przedzile -4, Rozwiznie dokldne y( ) Zmin rownni n ukld dwoch rownn rzedu pierwszego y y( ) y D(, y) g 4 y' ( ) y pocztkow wrtosci rkujcego wrunku pocztkowego (dowoln do itercji) I przypdek wrunkow rzegowych y( 4) y( ) 3 lod(, v) v v rkujcy wrunek pocztkowy score(, w) w 3 w 3 roznic pomiedzy wrunkiem pocztkowym w punkcie jego oszcowniem w procesie oliczen IC svl( g,,, D, lod, score) IC ( 4.78 ) ic ic wrtosc rkujcego wrunku pocztkowego lod(, IC) pelny wektor wrunkow pocztkowych /6

8 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Rozwiznie prolemu pocztkowego N 3 S rkfied( ic,,, N, D) i.. N S y S X, Y( X) X. X 8. 9 y i Y( X) i, X II przypdek wrunkow rzegowych y' ( 4) 4.78 y( ) 3 lod(, v) v 4.78 score(, w) w 3 IC svl( g,,, D, lod, score) IC (. ) ic ic lod(, IC) /6

9 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Rozwiznie prolemu pocztkowego S rkfied( ic,,, N, D) S y S y i Y( X) i, X III przypdek wrunkow rzegowych y( 4) y' ( ) 4.7 lod(, v) v v score (, w) w 4.7 IC svl( g,,, D, lod, score) IC ( 4.78 ) ic ic lod(, IC) 4.78 Rozwiznie prolemu pocztkowego S rkfied( ic,,, N, D) S y S y i Y( X) i, X 9/6

10 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Metody wricyjne przypdek I Zmin prolemu n prolem z jednorodnymi wrunkmi rzegowymi y()u()+y() y( ) y' ( ) y( ) 9 y( ) 3 9 y'' ( ) u'' ( ) u( 4) u( ) Metod Ryleigh-Ritz Budow funkcjonlu dl prolemu I u u'' ( ) + u ( ) Po sclkowniu przez czesci otrzymujemy I u' u' + u ( ) Przyjmujemy ze proksymcyjn φ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ( ) ( ) φ( ) ( ) φ' ( ) ( ) + ( ) [( ) + ( ) ] + ( ) ( ) [( ) + ( ) ] + ( ) ( ) Podstwijc z u()φ()*c otrzymujemy I c T φ' T φ' c + c T φ T ( ) /6

11 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Korzystjc z wrunku n minimum funkcjonlu d dc I( ) szukmy nieznnych wspolczynnikow c Przyjmujc oznczeni φ' T φ' c + φ T ( ) A φ' T φ' P φ T ( ) Oliczmy ORIGIN i.. 3 j.. 3 A i, j ( φ' ( ) T φ' ( ) ) i, j A Wyznczm wektor P P i P φ( ) T ( ) i Szukn wrtosc wektor c wynosi c A P c. /6

12 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Ostteczne rozwiznie m postc, +... y RR ( ) φ( ) T c + y( ) y RR ( ) Metod Bunow-Glerkin Rozwizni szukmy z wrunku w( ) ( u'' ( ) ) gdzie w() - funkcj wgow Przyjmujemy proksymcje dl u() u()φ*c orz proksymuje dl w() w()φ*d Funkcje zowe φ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ( ) ( ) φ( ) ( ) φ' ( ) ( ) + ( ) [( ) + ( ) ] + ( ) ( ) [( ) + ( ) ] + ( ) ( ) φ'' ( ) ( ) + ( ) + + [( ) + ( ) ] + + ( ) ( ) + [( ) + ( ) ] /6

13 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Osttecznie otrzymuje ro d T równnie, Przyjmujc oznczeni φ T φ'' c + φ T ( ) A φ T φ'' i P φ T ( ) Oliczmy A i, j ( φ( ) T φ'' ( ) ) i, j A P i P φ( ) T ( ) i Szukn wrtosc wektor c wynosi c A P Rozwiznie m postc y BG ( ) φ( ) T c + y( ) c. y BG ( ) /6

14 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Metod Elementow Skonczonych Przyjmujemy 3 rownej dlugosci elementy skonczone le le 3 3 Definiuje liniowe funkcje ksztltu dl elementow N( ) N' ( ) le le le le Rownnie dl elementu skonczonego m postc y' ( ) y' ( l) le N' T le N' Q e + N T ( ) gdzie Qe - wektor stopni swoody dl elementu Oliczmy mcierze i wektory dl elementow Element i.. j.. le K N' ( ) T le N' ( ) i, j ( ) i, j d P i N( ) T ( ) i y' ( ) P K y' ( l ) Element K K P P P.. P y' ( ) ( ) y' l Element 3 K3 K P3 P P y' ( ) ( ) y' l 3 4/6

15 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Agregcj mcierzy i wektorow B B B3 K B T K B + B T K B + B3 T K3 B3 P B T P + B T P + B3 T P3 P y' ( ) y' ( ) K P Ukld rownn dl clego ukldu, po uwzglednieniu wrunkow rzegowych m postc Q Q y' ( ) y' ( ) Rozwiznie y' Q Q 3 y' P K 4 ( 3 K ) Niewidome wtorne y' 4.7 y' 4.7 Niewidome pierwotne Q 7.39 Q Q Q glolny wektor stopni swoody Q 3 3 /6

16 Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Powrot do elementow Element d q B Q y( ) N( d) q Element d d + le q B Q y( ) N( d) q Element 3 q3 B3 Q d3 d + le y3( ) N( d3) q3 Rozwiznie dl clego przedzilu y MES ( ) if ( < d, y( ), if ( < d3, y( ), y3( ) )) y MES ( ) Porownnie wynikow y BG ( ) y RR ( ) y MES ( ) 4 4 6/6