WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO

Transkrypt

1 WOJSKOWA AKADEMIA TEHNIZNA i. Jrołw Dąrowkiego ZAKŁAD AWIONIKI I ZBROJENIA LOTNIZEGO Przedio: PODSTAW ATOMATKI udi cjore I oi ĆWIZENIE RAHNKOWE Nr OPIS WŁASNOŚI DNAMIZNH LINIOWH KŁADÓW IĄGŁH Wrzw 3

2 ĆWIZENIE RAHNKOWE NR Te: Oi włości dyiczych liiowych ukłdów ciągłych Podcz ćwiczei oruze ędą ęujące zgdiei: zi rówń wejście-wyjście dl roych ukłdów dyiczych; rzykłdowe oliczie rfor i orygiłów fukcji zgodie z roy rzekzłceie Llce ; wyzczie ricji oerorowej i widowej; ziu odelu oieku w oci rówń u i rówi wyjści.. Przekzłceie Llce.. Wrowdzeie Rchuek oerorowy je eodą rozwiązywi iekórych rówń i ukłdów rówń różiczkowych i okrewych, olegjąc cłkowiej lu częściowej lgerizcji rozwiązywego rówi lu ukłdu rówń. Io lgerizcji oleg y, że rozwiązując z oocą rchuku oerorowego de rówie,. rówie różiczkowe zwyczje, wyzczy jierw zw. rówie oerorowe ędące rówie lgericzy. W zdzie rchuek oerorowy je eodą rozwiązywi rówń liiowych. Jego zoowi w zkreie rówń ieliiowych ą jedk doąd zikoe i ogriczją ię do iewielkiej liczy zczególych rzydków. Dzięki wej roocie i efekywości, kże ze względu ie zley w orówiu ze zyi eodi, ł ię ogólą eodą di dyiki ukłdów liiowych, iezleżie od ich chrkeru fizyczego. Rchuek oerorowy okzł ię zczególie dogody w zkreie eorii owodów elekryczych i eorii uoyczej regulcji w ych dziedzich zlzł jełiejze i jrdziej wzechroe zoowie. Meody oerorowe oż odzielić rzy zdicze gru: eody ore ojęciu oeror różiczkowi i oeror cłkowi eod oerorów Heviide ; eody ore rzekzłceich cłkowych eod rzekzłcei Llce ; eody ore ojęcich lgery wyżzej i lizy fukcjolej eod oerorów Mikuińkiego.

3 Rozdził e w cłości oświęcoy je eodzie oerorowej rzekzłceiu Llce z uwzględieie owiązń z rzekzłceie Fourier. Przekzłceiee Llce określoe je zleżością: L f f e d F kór fukcji f zieej rzeczywiej rzyorządkowuje rforę F, ędącą fukcją zieą zeoloej = u + j; zie odgryw w cłkowiu rolęę reru. łkę oo rwej roie wzoru ędziey zywć cłką Llce fukcji f. Orygiłe zywy fukcję zeoloąą f = u +j zieej rzeczywiej, ełijącą ęujące wruki: f = dl < ; f je w rzedzile -, + fukcję rzedził i ciągł wrz z ochodyi do rzędu ego; f je fukcją rzęduu wykłdiczego, jeśli iieją łe M > i > kie, że dl wzykich wrości zchodzi ierówość: f Me Liczę ką, że dl kżdego > ierówość je ełio dl = +, ie je ełio dl = -, zywy wykłdikie wzri fukcji f. N ry.. rzedwiooo wykre fukcji yu wykłdiczego. Ry. Wykre fukcji yu wykłdiczego > 3

4 Jeśli fukcj f je orygiłe o wykłdiku wzri, o: cłk o rwej roie wzoru je jedoroie zież w ółłzczyźie Re > ; fukcj F określo wzore je fukcją liyczą w ółłzczyźie Re > ; li F ; Re Fukcję F zywy rforą orze orygiłu f, co ziujey:.. Włości rzekzłcei Llce F L f 3 Prkycze zoowie rzekzłcei Llce oleg y, że rowdziy oliczei ie dych fukcjch, lecz ich orzch. Podoie, gdy y do wykoi oercję ożei, o korzyy z logryów, gdyż o rowdz ię do roych oercji dodwi. Proce odwzorowi oż uwżć z coś w rodzju rzekłdu z jedego język iy, kżdeu łowu odowid ie łowo. W rforcji Llce kżdej fukcji orygiłowi odowid i fukcj rfor, orz. Njwżiejze włściwości rzekzłcei Llce jące zdicze zczeie dl rkyki i zoowń, zoą ujęe w oci kilku roych wzorów i reguł, owiących w ewy eie grykę rchuku oerorowego. N ich or je echik oowi eody oerorowej w kokreych rolech: Liiowość - rzekzłceie Llce je rzekzłceie liiowy, z. ęującą włość: jeśli L o L f F, Lf F 4 c f c f Lc f Lc f c F c F 5 gdzie: c, c ą dowolyi liczi. wierdzeie o odoieńwie: Lf F 6 4

5 lu F L f 7 rfor ochodej fukcji: df L F d f 8 rfor cłki fukcji >: L F f f d 9 rzeuięcie w czie: L T f T T e F wrość ocząkow: li f li F wrość końcow, jeżeli fukcj wyier F ieguy leżące wyłączie w lewej ółłzczyźie zieej zeoloej, o: li f li F ożeie rzez cz: L f df 3 d zi kli czu: L f F, gdzie F Lf 4 zi częoliwości: 5

6 L e f F gdzie F Lf, 5 fukcje okreowe, jeżeli f je fukcją okreową o okreie T, wedy rfor Llce je d jko: L f F e T 6 gdzie: F = L{f } je rforą fukcji f w ierwzy okreie wierdzeie o ochodej ilorzu fukcji, jeżeli fukcje L i M ą różiczkowle orz fukcj M je w dy ukcie róż od, wówcz yże ukcie iieje ochod ilorz fukcji L i M i wyrż ię wzore L M L M M L M 7. Tricj oerorow ukłdu. W ukłdch liiowych wyróżić oż ęujące rodzje eleeów odwowych: eleey owodujące ry eergii rozrzej eergię cielą rcie, oorość czy w ukłdch elekryczych, oór rzeływu gzów i cieczy; eleey gzyujące eergię w oci kieyczej, idukcyjość w ukłdch elekryczych, ezwłdość gzów i cieczy. W dlzej części oizey zczegółowo rówi oiujące włości dyicze rzedwioych eleeów. Złożyy rzy y, że ogriczy ię ylko do liiowego zkreu rcy,. rzyjiey, że w ukłdch elekryczych wrości oorości, idukcyjości i ojeości ą łe, iezleże od rądu i ięci. O ukłdch echiczych złóży, że kłdją ię z cił idelie wrdych i ręży idelych o zikoo łej ie i że ił rci je roorcjol do rędkości w ierwzej oędze rcie lekie. O ukłdch euyczych złóży, że ciecze ą ieściśliwe, dek ciśiei oorch rzeływu je roorcjoly do wielkości ego rzeływu, czyli że oory rzeływu ją wrości łe, iezleżie od rzeływu i ciśiei. Tricją oerorową G jedowyirowego ukłdu liiowego cjorego zywy wielkość określoą jko ouek 6

7 7 rfory Llce odowiedzi do rfory Llce wyuzei ego ukłdu rzy zerowych wrukch ocząkowych. Liiowy cjory ukłd dyiczy oż oić liiowy różiczkowy rówie wejści-wyjści u d du d u d d u d y d dy d y d d y d 8 lu ricją oerorową w dziedziie zieej zeoloej. Złożywzy w orzedi rówiu zerowe wruki ocząkowe orz oując rforę Llce : u d du d u d d u d L y d dy d y d d y d L 9 czyli j j j i i i gdzie: =L{u}, =L{y}. oż orzyć wyierą fukcje zieej zeoloej, zywą ricją oerorową:. i i i j j j G 3. Tricji widow ukłdu. Tricją widową Gj liiowego ukłdu cjorego zywy wielkość określoą jko ouek wrości zeoloej

8 kłdowej wyuzoej j wywołej wyuzeie iuoidly do wrości zeoloej ego wyuzei j: G j Tricj widow oiuje dyikę ukłdu w dziedziie częoliwości. Dl lizy rzyjuje ię, że wejście eleeu lu ukłdu liiowegoo wrowdz ię wyuzeie iuoidle u=a i. W ki rzydku jego wyjściu, o zikięciu roceu rzejściowego, uli ię ygł iuoidly o ej ej częoliwości, le o iej liudzie i fzie iż wyuzeie o oci: j j A y i 3 Przechodzeie rzedwi ry.. ygłu iuoidlego rzezz elee liiowy Ry.. Przechodzeie ygłu iuoidlego rzez elee e liiowy. hrkeryykii częoliwościowe określ zchowie ięę ukłdu rzy ziie częoliwości ulcji w zkreie od do,, odjąc ouek liudy ygłuu wyjściowego do wejściowego orz rzeuięcie fzowe iędzyy wyjście, wejście jko fukcję częoliwości. Tricję widową w uzykuje ięę z ricji oerorowej o odwieiu w iejce oeror oeror j: G j j G j j 4 8

9 Tricj widow je zeoloą fukcją ulcji i oże yć rzedwio: w oci wykłdiczej - odwijąc z j i j rę odowidjących oie fukcji hroiczych ziych w oci wykłdiczej: j j j A e ; j A e ; 5 wówcz ricję widow w oci wykłdiczej rzedwi zleżość: j A j j j j A e A e e j j A e A e A G j e G j e 6 w oci zeoloej części rzeczywiej P i części urojoej Q: G j P jq 7 gdzie: P Re G j Q I G j Związek iędzy ocią wykłdiczą, zeoloą określją ęujące zleżości: A G j P Q 8 A Q rcg P 9 Z owyżzych zleżości wyik, że oduł ricji widowej Gj określ ouek liudy ygłu wyjściowego A do wejściowego A, oi rgue ricji określ rzeuięcie fzowe iędzy ygłe wyjściowy i wejściowy. 9

10 . Oi odwowych i oerorowej. eleeów w dziedziie d czu Zewieie oiuu eleeów elekryczych dziedziie czu i w dziedziie oerorowej. L. Nzw eleeu Zi w dziedziie czu Zi w dziedziie oerorowej. Rezyor R i R I u R R. Kodeor 3. ewk u c u L i di L d d c L I L I Włściwości ukłdów elekryczych: rezycj zęcz dwóch rezyorów ołączoych zeregowo wyoi: R z R R rezycj zęcz dwóch rezyorów ołączoych rówolegle wyoi: R z R R R z RR R R ojeość zęcz zeregowo wyoi: w dwóch kodeorów ołączoych z z ojeość zęcz rówolegle wyoi: dwóch kodeorów ołączoych z

11 Zewieie oiu eleeów owodujących ry oory. L. Nzw eleeu Zi w dziedziie czu Zi w dziedziie oerorowej. Rezyor u R i R I u R R. Oór rci w ruchu oęowy f R v F R V 3. Oór rci w ruchu oroowy f r R r F R r r 4. Oór rzeływu R i P P R I Zewieie oiu eleeów gzyujących kieyczej. eergię w oci L... Nzw eleeu ewk elekrycz iło wrde o ie w ruchu oęowy Zi w dziedziie czu u L di L d dv f d Zi w dziedziiee oerorowej L F L I V 3. iło wrde w ruchu oroowy fr M r d d r F M r 4. Bezwłdość gzów i cieczy di d P P I

12 Zewieie oiu eleeów gzyujących oecjlej. L. Nzw eleeu Zi w dziedziie czu. Kodeor u c id. Elee rężyy w ukłdch echiczych ruchu f oęowy v d f eergię w F Zi w dziedziie oerorowej c oci I V 3. Elee rężyy w ukłdch echiczych ruchu oroowy f r r d f r F r r 4. Srężyość koorze gzu euyczej w P i d I 5. Nełiie ziorik cieczą ieściśliwą w ukłdch hydruliczych h P i d h I 3. Oi ukłdów w rzerzei u Liiowy, cjory oiek oże yćć oiy z oocą liiowego rówi różiczkowego, ricji oerorowej orz z oocą rówń u. Oi włości ukłdóww dyiczych, wykorzyujących ojęcie zieych u, je owoczey oie o wielu zlech. Oiuje zrówo ukłdyy jedo-, jk i

13 wielowyirowe, rzy czy jego oć w ou rzydkch je k. Pod ojęcie zieych u rozuie ię ewie iily zew zieych, k zdefiiowych dl dego ukłdu, że zjoość zleżości ych zieych od czu określ jedozczie jego włściwości. Licz zieych, wyrczjąc do oiu ukłdu je zzwyczj rów rzędowi rówi różiczkowego, wiążącego ygł wyjściowy z ygłe wejściowy. Jeżeli koleje ziee u ą zdefiiowe w ki oó, że kżd ę je rów ochodej orzediej zieej, o kie ziee ą zywe zieyi fzowyi. Przykłde zieych fzowych ogą yć: drog, rędkość, rzyiezeie. Ziee u oż rzyjąć w ki oó, y yły koicji liiowyi zieych fzowych. Odowiedie zdefiiowie zieych u oże rowdzić do urozczei oliczeń orz łwiejzych ierrecji fizyczych. Przerzeią u zywy rookąy ukłd wółrzędych, kórego oich odkłdy wrości zieych u. W irę uływu czu uk, wyzczoy rzez ziee u, rzeuw ię w ej rzerzei wzdłuż liii zywej rjekorią. Jeżeli jko ziee u wyierzey ziee u fzowe, o rzerzeń u oi zwę rzerzei fzowej, rjekori je zyw rjekorią fzową. Przeieg dowolej wielkości fizyczej ędącej ośikie iforcji zywć ędziey zieą lu ygłe. Wielkości oddziływujące ukłd u, u,, u zywć ędziey wyuzeii lu zieyi wejściowyi, iejc ich oddziływi wejścii ukłdu. Wyuzei rzedwiją wielkości geerowe w iy ukłdzie iż dy. Wśród wyuzeń wyróżić ędziey wielkości rerezeujące oddziływi celowe, zwe erowii, orz wielkości rerezeujące oddziływi ieożąde, zwe zkłóceii. Wielkości oddziływujące ie ukłdy y, y,,y q zywy odowiedzii lu zieyi wyjściowyi, iejc ich oddziływi wyjścii ukłdu. Przeieg roceu dyiczego w czie zleży ie ylko od wrości wyuzeń w dej chwili, le rówież od wrości ych wyuzeń w rzezłości. Moż, więc owiedzieć, że roce ukłd dyiczy ięć, w kórej ą grodzoe kuki rzezłych oddziływń. Se roceu zywć ędziey jiejzy liczeie ziór wielkości,,,, określjących w ełi kuki rzezłych oddziływń roce, kóry je wyrczjący do rzewidywi rzeiegu roceu w rzyzłości. 3

14 Wielkości,,,, określjące roce zywć ędziey zieyi wółrzędyi u. Zjoość u roceu w chwili ocząkowej orz wyuzeń w rzedzile [, ] wyrcz do określei rzeiegów odowiedzi i u roceu w rzedzile [,. Ry.3. Sche ukłdu dyiczego Licz zieych u rów ię liczie liiowo iezleżych wruków ocząkowych koieczych do wyzczei jedozczego rozwiązi rówńń oiujących ukłd. Rówi ukłdu w rzerzei u ją ogólą oć: y A B u D u 3 gdzie: A cierz u ukłdu o wyirze, B cierz wyuzei o wyirze, cierz odowiedzi o wyirze q, D cierz riyj o wyirze q. Dl ukłdów liiowych iecjorych eleey cierzy A, B,, D ą fukcji czu. Powyżzy rówio oż rzyorządkowć ęujący che lokowy: Ry.4. Sche lokowy ciągłego ukłdu liiowego iecjorego. Dl ukłdów liiowych cjorych o rerch iezleżych od czu eleey cierzy A, B,, D ą łe i ie zleżą od czu. W y rzydku owyżze rówi u rzyjują oć: y A Bu Du 3 4

15 Dl ukłdów djących ię oić z oocą rówń różiczkowych rówie u i rówie wyjści oż oić rówie:,, Fu y G u 3 Powyżze rówie u je rówie różiczkowy ierwzego rzędu, w ogóly rzydku ieliiowy i zleży jwie od czu, fukcj F je eleeową fukcją wekorową. Rówie o oż, więc rozić zczegółowo: d d d d d d f,,...,, u, u,..., u f,,...,, u, u,..., u f,,...,, u, u,..., u k k k 33 Rówie wyjści ukłdu je rówie lgericzy, rzy czy G je l-eleeow fukcją wekorową. Roziując o rówie orzyy:,,...,,,,..., k,,...,,,,..., y g u u u y g u u u,,...,,,,..., y g u u u k k 34 Powyżze rówi ogą yć lieryzowe w ooczeiu uku wyrego u ukłd uku rcy. zęo wółrzęde wekor u,, 3,, wyier ię w e oó, y: d d d d 3 d d 35 5

16 Tk wyre wółrzęde e u zywć ędziey wółrzędyi fzowyi, wekor o kłdowych,, 3,, wekore fzowy ukłdu. Wółrzęde fzowe,, 3, 3, w kżdej wyrej chwili jedozczie określjąą w rzerzei - wyirowej ołożeie uku, zwego uke fzowy. Puk e rzeuw ię o krzywej zwej rjekorią fzową. Trjekori fzow owi oglądową, geoeryczą ilurcję rzeiegu roceu dyiczego w ukłdzie. Rodzię rjekorii fzowych zyw ię orree fzowy ukłdu, oi owyżząą wyirową rzerzeń zyw ię rzerzeią fzową. W rzydku, gdy = ówić ędziey o łzczyźie fzowej. Ry.5. Sche lokowy jedowyirowego ukłdu liiowego. N ry.5 rzedwioo lokowo ukłd jedowyirowy, o ygle wejściowy u i wyjściowy y, dl kórego chcey c wyzczyć oi w rzerzei u. Złóży, że dl ego ukłdu ricj oerorow G je zą, wyierą fukcją oeror : G orz, że oień wieloiu w licziku je iżzy od d oi wieloiu w iowiku <. Podziely liczik i iowik ricji rzez i wrowdźy owe ozczei wółczyików: G Wrowdźy ygł oociczy ęujący oó: e o rforcie E w 6

17 G E 38 E Tricję dą wzore 38 ożey rzedwić jko iloczy dwóch ęujących czyików: E E Przekzłcjąc wzory 39 i 4 oż orzyć ęujące zleżości: E E E E E E E E N ry.6. rzedwioo che lokowy, ędący ilurcją rówń 4 i 4. iezczoo i w oci rójkąów człoów cłkujących ołączoych zeregowo. Trforę Llce ygłu wejściowego ierwzego z ych człoów ozczoo E. Zgodie z zdą dziłi człou cłkującego jego wyjściu uzyky ygł o rforcie - E. N wyjściu oiego - ego eleeu cłkującego orzyy ygł o rforcie - E. Jk widć z ego ryuku, ygł o rforcie E uzykujey z wyjści ierwzego węzł ucyjego, do kórego wejść dorowdzoy ygł u ukłdu rzedwioego ry.6. orz ygły rzężei zwroego ore z wyjść odowiedich człoów cłkujących orzez eleey roorcjole, zgodie z rówie 4. Wyworzeie ygłu wyjściowego y ukłdu z ry.6 wyg, zgoie ze wzore 4, zuowi odowiedich ygłów wyjściowych człoów cłkujących, dorowdzoych do drugiego węzł ucyjego orzez odowiedie eleey roorcjole. 7

18 Ry.6. Sche lokowy ilurujący oó wyoru zieych fzowych 8

19 9 Zdefiiujey oecie fzowe ziee u. Jko zieą u rzyjijy ygł wyjściowy oiego eleeu cłkującego. Jko drugą zie u rzyjijy ygł wyjściowy rzedoiego eleeu cłkującego, kóry jko ygł wejściowy oiego eleeu cłkującego oże yć ochodą orzediej zieej u. Oi zieą u je, gdzie jk widć, ygł wyjściowy ierwzego eleeu cłkującego i ędzie rówy ochodej ygłu -. Pochod zieej u je rów ygłowi oociczeu e. Wykorzyując zdefiiowe ziee u, oż uworzyć ęujący ukłd rówń: u Wrowdzjąc ęujące ozczei cierzowe: ; 3 B A 44 oż ukłd rówń 43 zić w oci cierzowej: Bu A 45 Po wrowdzeiu zieych u rówie 44 rzyjuje oć:... y 46 kórą dzięki ozczeiu : c 47 oż rzekzłcić do oci cierzowej: y 48

20 Orzyliśy w e oó cierzowy ukłd rówńń ukłdu w rzerzei u: A Bu y 49 kóry je oie ukłdu rzedwioego ry Zdi rchukowe. Przykłd. Wyzczyć ricję czwórik rzedwio oego ry.7, gdzie wielkością wejściową je ięcie u, wielkością wyjściową ięcie u. Ry.7. zwórik elekryczy yu R. R Zkłdjąc, żee rąd ociążei czwórik je rówy zeru, zchowie owiego czwórik oż oić ukłde rówń wyikjący z eody rw Kirchoff: u Ri i d u Trforują owyżze rówi do dziedziy oerorowej zgodie z oie eleeów elekryczych orzyy oerorowy ukłd rówń: RI i d I I Podwijąc owyżze rówi oerorową ukłduu orzyy: do wzoruu ricję

21 G RI I R I R Poduowując, czwórik rzedwioy ry.7. oiuje ricj oerorow człou iercyjego łej czowej T=R. Przykłd. Wyzczyć ricję widową ukłdu rzedwioegoo ry.8, zrówo w oci wykłdiczej, jk i zeoloe. Ry.8. zwórik elekryczy yu R. Widząc, że ukłd e oiy je ricją oerorowąo ą: G R Podwijąc orzyujey: do owyżzej ricji zleżośćć =j G j Rj W celu wyzczei ricji widowej ukłduu leży owyżzą ricję oożyć rzez wrość zeoloą do iowik, orzyy: czyli: -Rj. Dokoując dlzych rzekzłceń G Rj Rj j Rj Rj R j j Rj R

22 N odwie owyżzej oci ricji widowej wyzczy cześć rzeczywią P i część urojoą Q, kóre rzyjują oć: P R R Q R Przykłd 3. Dy je ukłd o jedy wejściu i jedy wyjściu, oiy ricją oerorową: G 3 W ierwzy korku liczik i iowik dzieliy rzez i rozdziely dw czyiki: G E E Z odziłu ego wyik, że: E E 3 ; 3 Przekzłcjące e zleżości do oci zgodej z wzori 4 i 4 orzyujey: E E 3 E E E N odwie ych rówń oż zudowć che lokowy, rzedwioy ry.6 w kłd kórego wchodzą dw eleey cłkujące. Sygł wyjściu drugiego eleeu cłkującego ozczyy jko zieą, wyjściu ierwzego eleeu cłkującego jko zieą. kłdy ęie ukłd rówń dl zieych u: 3 u

23 orz rówie dl ygłu wyjściowego: y Rówi e o rzyjęciu ozczeń: ; A 3 ; B ; ziujey w oeczej oci: A Bu y Ry.9. Model ukłdu w rzerzei u o ricji G 3 6. Lierur. Zigiew WAŁAH yereyk echicz. zęść I Eklocj Wrzw 983 orzęu, Wydził Wydwiczy WAT,. Juz KOWAL Podwy uoyki T, czelie Wydwicw Nukowo-Dydkycze AGH, Krkóww 4, Sygur: Tdeuz Kczorek Teori erowi. To I kłdy liiowe ciągłe i dykree. Pńwowe Wydwicwo Nukowe, Wrzw Driuz Horl Podwy uoyki. Ćwiczei rchukowe. zęść I, Wydwicwo Poliechiki Pozńkiej, Pozń 3. 3