PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ Materiał dydaktyczny dla studentów. Wszelkie prawa zastrzeżone Jerzy Żyżyński

Transkrypt

1 Jzy Żyżyński ODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ Maiał dydakyczy dla sudów Wszlki pawa zaszżo Jzy Żyżyński I. Waość piiądza w czasi a yku dpozyowo-kdyowym Waość piiądza w czasi okśloa js pzz: - Waość kapiału począkowgo (waość omialą) - Sopę pocową (dyskoową) - Czas - Liczbę kapializacji (liczbę oboów isumm w ciągu oku). zyszła waość kapiału w pocci składaym (.) FV V( ) FV- Fuu Valu - waość pzyszła V s Valu - waość biżąca (począkowa) sopa pocowa w ujęciu ipocowym (p. = 0,08 zamias 8%) liczba la m- liczba kapializacji w oku 2. zyszła waość kapiału w pocci składaym pzy częsj kapializacji (.2) FV V m m 3. Kapiał począkowy pzy okśloj doclowj waości FV a) pzy kapializacji oczj (.3) V b) pzy kapializacji częsj FV ( ) (.4) V ( FV m ) m

2 2 4. Wilkość sopy pocowj (.5) 5. Liczba la FV V (.6) FV l V l( ) 6. Efkywa sopa pocowa pzy częsj kapializacji (.7) m m 7. Waość pzyszła y (a sała wypłaa w końcu oku) (.8) FVA MT ( ) (.9) MT ( ) FVA Fuu Valu of Auiis pzyszła waość a oczych MT aa ocza sała (a lub aa spłay kdyu - kapiału z odskami)

3 3 8. Wilkość y pzy zadaj waości końcowj (.0) MT FVA ( ) (.) 9. Waość biżąca y (.2) (.3) VA FVA MT ( MT - ) ( ( ) ) 0. Wilkość y pzy zadaj waości biżącj (począkowj) (.4) (.5) MT VA VA - ( ) Wzó moża ż ipować jako wilkość ay spłay kdyu o wilkości VA (udzilogo a la pzy kapializacji oczj) modą auiową, w kój suma spłay kapiału i odsk js sała pzz cały oks spłacaia kdyu. W pzypadku zmij sopy pocowj gwałowy wzos j sopy powoduj zwłaszcza a począku oksu spłacaia zaczy wzos obciążia, częso pzkaczający możliwość spłay, czyli zw. obsługi zadłużia (paz ys..). Waość kapiału js w j modzi omiali sała (zasada omializmu), a odski gwałowi osą, gdyż ośi omiala sopa pocowa, a kóą składają się: sopa iflacji plus ala sopa pocowa. ( )

4 4 0a. Spłaa kdyu modą waloyzacji kapiału (UWK) K ( ( ) i) j A j ( j ) gdzi: j koljy oks; A j aa spłay dla oksu j; K j- waość kapiału (zadłużia) w końcu popzdigo oksu, a a począku oksu j; s sopa pocowa; i sopa iflacji; ala sopa pocowa ( s = i + ). Raa A j ma waość sałą ali, zgodi z poziomm iflacji i. Sałość omiala kapiału zosaj zasąpioa sałością alą. Ilusuj o pzykład: ROK ifl ,0 800,0 700,0 600,0 500,0 400,0 300,0 200,0 00,0 0, dochody spłay NWK spłay UWK Rys.. Spłaa kdyu w waukach iflacji (wdług ablicy) pzy zmij sopi pocowj modami: ) omialj waości kapiału (NWK) i 2) ualiaj waości kapiału (UWK). Założoo u, ż sopa ala js sała, a poziomi 2%, kdy 000, pzy dochodach począkowych 200, piwsza aa w obu modach pzy baku iflacji idycza 6,6, w ym aa kapiałowa 4,6. J. Żyżyński, iiądz asfomacja gospodaki, Wydawicwa Uiwsyu Waszawskigo, Waszawa 998.

5 5. Waość biżąca y wiczysj (.6) V MT V s Valu of puiy biżąca (począkowa) waość iskończogo ciągu płaości oczych 2. Waość pzyszła gulaych płaości (.7) TV C ( ) TV Tmial Valu końcowa waość C płaość w końcu oku 3. Waość biżąca gulaych płaości (.8) V C ( ) 4. Waość biżąca o (.9) NV C ( ) I 0 NV N s Valu waość biżąca o I 0 kosz iwsycji zalizowaj a począku oku (iwsycja począkowa).

6 6 5. Sopa zwou z iwsycji - ogóla (.20) - w skali oczj R TV I 0 (.2) R TV I 0 TV - pzyszł pzychody z iwsycji I 0 spowadzo a oks końcowy lub FV pzyszły pzychód z iwsycji w okśloym oku. 5.. Rala sopa zwou z iwsycji - ogóla (.20a) - w skali oczj R V I 0 (.2a) R V I 0 W dugim waiaci, bioąc do obliczia sopy zwou waość biżącą pzyszłych pzychodów, ozymujmy sopę zwou ualioą w sosuku do akualj sopy pocowj. Ifomuj as oa il zyskaliśmy w sosuku do zysków jaki moglibyśmy ozymać składając śodki I 0 a dpozy opocoway sopą.

7 7 6. Wwęza sopa zwou (.22) C ( IRR) IRR I0 Js o sopa, dla kój (.23) ( C IRR) I 0 Wyzaczamy ją iacyji, podsawiając waość począkową IRR 0 i powadząc obliczia do momu aż wyik koljj iacji IRR będzi ówy podsawiiu. IRR Ial Ra of Ru wwęza sopa zwou (owości, dochodowości)

8 8 II. Wyca isumów yku piiężgo Ozaczia: sopa dochodu (owość) isumu dla iwsoa p w diu zakupu s w diu spzdaży d - sopa dyskoa i opocowai isumu ada pzz mia NV waość omiala - zwaa ż Fac Valu (FV) ca isumu N im - liczba di między mim misji a mim wykupu pzz mia N pm - liczba di między dim zakupu pzz iwsoa a mim wykupu N sm - liczba di między dim spzdaży pzz iwsoa a mim wykupu Emisja Zakup N pm - N sm N im N pm Spzdaż N sm Wykup Czas waia iwsycji w isum piięży (czas, w kóym pacują piiądz zaiwsowa w isum yku piiężgo)

9 9 A. Isumy o podsawi dochodowj (odskow) Np. cyfika dpozyowy (CD) Isumy o podsawi dochodowj, o aki isumy, kóych omiala waość zosaj okśloa a mom misji i do j waości dolicza są odski. Ca js wyższa od waości omialj.. Sopa owości gdy iwso zyma CD do miu wykupu (2.) NV i N im N pm 2.Ca isumu (2.2) NV Nim i Npm 3. Sopa fkywa pzy cykliczym iwsowaiu wającym ok (2.3) NV i Nim N pm

10 0 4. Sopa owości, gdy iwso kupuj isum piięży po mii jgo misji, a spzdaj pzd mim wykupu. (2.4) p s N N pm sm (N pm N sm )

11 B. Isumy o podsawi dyskoowj (dyskoow) Np. bo skabowy (BS), wksl Isumy o podsawi dyskoowj, o aki, kóych omiala waość zosaj okśloa a mom wykupu i od j waości odjmowa js dyskoo: w momci misji isum spzdaway js z dyskom. Ca js iższa od waości omialj.. Sopa dyskoa w ujęciu oczym (2.5) d NV N pm (Tu działa zasada dyskoa hadlowgo) 2. Sopa owości isumu w ujęciu oczym (2.6) NV N pm 3. Ca misyja (2.7) E NV d Nim 4. Ca ykowa (waość) isumu (2.8) NV Npm wymagaa sopa dochodu iwsoa (alaywa sopa owości) - Js o maksymala ca, wdług kój iwsoowi opłaca się kupować

12 2 5. Sopa fkywa pzy cykliczym iwsowaiu wającym ok (2.9) NV N pm 6. Sopa owości, gdy iwso kupuj isum piięży po mii jgo misji, a spzdaj pzd mim wykupu. (2.0) p s N N pm sm (N pm N sm ) Uwagi dodakow: Rachuk od sa i achuk w su W adycji hadlowj okślao jako achuk od sa, obliczai biżącj (począkowj) waości kapiału wdług dyskoa mamayczgo, czyli ak jak dla isumów o podsawi dochodowj: (2.) N pm FV V z go V FV N pm Dla papiów o podsawi dochodowj, V = NV, gdy N pm = N im Naomias jako achuk w su, okślao obliczai waości biżącj dla papiów dyskoowych, a więc pzz obciążi waości omialj ujmą sopa pocową ę zasadę azywao dyskom hadlowym: (2.2) N pm V NV d a z go z koli NV V N pm d Gdy N pm = N im, o V js ów E - waością papiu w momci jgo misji (p. wysawiia wksla).

13 3 III. Aaliza obligacji Obligacj isumy dłuż yku kapiałowgo śdio i długomiowgo. Biżąca sopa dochodu (cu yild) (3.) CY I CY - biżąca sopa dochodu (owość) I odski obligacji ca obligacji Uwaga: i uwzględia się u zmij waości piiężj okśloj a yku 2. osa sopa dochodu w oksi do wykupu (simpl yild o mauiy) (3.2) SY I NV SY - osa sopa dochodu NV waość omiala obligacji (omial valu, fac valu) liczba la do miu wykupu 3. Ca buda, ca czysa (3.3) d c I d ca buda (diy pic) ca z uwzględiim odsk aosłych osaij płaości c ca czysa (cla pic) - ca bz odsk aosłych osaij płaości (oowaa a giłdzi) d c

14 4 4. Odski skumulowa (3.4) I NV i I skumulowa odski d liczba di od osaij płaości odsk m liczba di midzy dwoma płaościami odsk i opocowai obligacji 5. Waość obligacji Js o suma zdyskoowaych dochodów z obligacji pzy założiu, ż iwso i spzdaj obligacji pzd mim wykupu (3.5) d m C ( ) C dochód z obligacji uzyskay w oksi wymagaa sopa zwou (dochodu) iwsoa liczba oksów do wykupu UWAGA: osaim dochodm są odski plus NV płaco pzz mia. 6. Waość obligacji zokupoowj NV ( ) (3.6) 7. Waość obligacji gdy yk obligacji js fkywy (pawidłowo wycia obligację dzięki mu, ż ifomacj są szybko i pawidłowo pzwaza pzz iwsoów) gdy odski płaco az w oku (3.7) ( C YTM) waość ykowa obligacji YTM sopa dochodu w oksi do wykupu (yild o mauiy), jaką uzyska iwso, kóy kupi obligacj po ci ykowj, pzzyma ja do miu

15 5 wykupu, a odski iwsuj pzy j samj sopi dochodu YTM. Rowość obligacji - o sopa dochodu, jaką uzyska iwso, kóy kupi obligacj po ci, pzzyma ją do miu wykupu, a odski będzi iwsował pzy j sopi dochodu. Z go ówaia wyzaczamy YTM modą IRR 8. Waość obligacji gdy odski płaco częścij (3.8) m ( C YTM m ) m liczba płaości odsk w oku YTM - sopa dochodu wdług j fomuły - kapializacja zgoda z oksm płaości odsk. 9. Waość obligacji gdy odski płaco m azy w oku, a kapializacja az w oku (3.9) m ( C YTM 2 ) / m YTM 2 - sopa dochodu wdług j fomuły - kapializacja az w oku 0. Rlacja sóp dochodu YTM m m (3.0) YTM 2 ( ) YTM 2 js fkywa sopą pocowa dla YTM. Sopa dochodu dla obligacji zokupoowj NV YTM (3.)

16 6 Własości sopy dochodu z obligacji i jj waości ) Jśli ośi waość obligacji, o sopa dochodu YTM spada i odwoi: jśli spada waość, o sopa dochodu (sopa pocowa) ośi. 2) Jśli i zmiia się sopa dochodu, o wilkość pmii odskowj lub dyskoa zmijsza się w miaę zbliżaia się do miu wykupu. 3) Jśli i zmiia się sopa dochodu, o wilkość pmii lub dyskoa zmijsza się iliiowo (w coaz większym mpi) w miaę zbliżaia się do miu wykupu. 4) Wzos waości obligacji wywołay spadkim sopy dochodu (sopy pocowj) o okśloą waość js wyższy iż spadk waości obligacji wywołay wzosm sopy dochodu (sopy pocowj) o ę samą waość js o fk wypukłości (ysuk). 5) ocowa zmiaa waości obligacji wywołaa zmiaą sopy dochodu (sopy pocowj) js ym mijsza, im wyższ js opocowai obligacji (pzy założiu go samgo oksu do wykupu) js o fk odsk (ysuk); a własość i doyczy obligacji, kó mają ylko jdą płaość (moża j akować jak zokupoow) oaz obligacji ppualych. 6) ocowa zmiaa waości obligacji wywołaa zmiaa sopy dochodu js ym mijsza, im kószy js oks do wykupu js o fk miu wykupu; własości j i ma w pzypadku obligacji o długim mii wykupu, spzdawaych z dużym dyskom.

17 7 Własości wypukłości Wypukłość pakyczi ozacza, ż fk zmiay dago czyika (a pzykład sopy pocowj) js co do bzwględgo poziomu wyaźi iy pzy idyczych zmiaach i plus i zmiaach i mius. Wypukłość ma asępując własości: - Im wyższ opocowai obligacji, ym mijsza wypukłość; - Im dłuższy oks do miu wykupu, ym większa wypukłość obligacji (czym bliżj do miu wykupu, ym wypukłość mijsza). - Im wyższa sopa dochodu w oksi do wykupu, ym mijsza wypukłość. - Im dłuższy śdi czas wykupu, ym większa wypukłość. Dla iwsoa obligacj o większj wypukłości są badzij kozys iż o mijszj wypukłości. Ryzyka obligacji Js o jd z podsawowych czyików i kyiów dcyzyjych w iwsowaiu a ykach fiasowych akż a yku obligacji. odsawow kagoi yzyka: A. Ryzyko idozymaia wauków (dfaul isk) doyczy odsk, miu wykupu; klasyfikacj obligacji wdług yzyka (Sadad&oo, Moody). B. Ryzyko zmiay cy (pic isk); zwa ż yzykim oksu posiadaia (holdig piod isk) wysępuj gdy chcmy spzdać pzd mim wykupu. C. Ryzyko iwsowaia (ivsm isk). D. Ryzyko wykupu a żądai (call isk). E. Ryzyko iflacji (iflaio isk, puchasig pow isk). F. Ryzyko kusu walu (foig xchag a isk) doyczy obligacji domiowaych w obcj waluci. G. Ryzyko płyości (makabiliy isk, liquidiy isk) gdy są udości z spzdażą (upłyiim) obligacji pzd mim wykupu.

18 8 Komaz swisu Uio Ivsm (hp:// y_obligacji? oady Jak odczyywać wyiki fuduszy obligacji? Zaim zdcydujmy się a fudusz obligacji, powiiśmy zać odpowidź a kilka ważych pyań. yaia sawiają zaówo osoby iwsując już w fudusz obligacji, jak i pzymizając się do akich iwsycji. Chodzi o pyaia asępując: - Dlaczgo jd fudusz obligacji pzyosi wysoki, aw 20-pocowy zysk w skali oku, a iy ujmą sopę zwou? - Jak o możliw, ż gdy owość obligacji ośi, spada ca jdoski uczsicwa fuduszu obligacji? - Kidy ajlpij iwsować w fudusz obligacji, aby osiągąć jak ajwyższą sopę zwou? - Jaki fudusz obligacji wybać? Dlaczgo jd fudusz obligacji az pzyosi wysoki, aw 20-pocowy zysk w skali oku, a iym azm ujmą sopę zwou? - Tak duż óżic w owości wyikają z zachowaia się obligacji długomiowych o sałym opocowaiu lub są skukim go, ż fudusz iwsuj w obligacj miowa w ij iż polski złoy waluci. Zajmijmy się piwszym odzajm fuduszu, w kógo akywach pzważają długomiow obligacj o sałym opocowaiu. Tgo ypu obligacj chaakyzują się ym, ż usaloa w diu pzagu sopa wypłacaych odsk js sała pzz cały oks waia misji. Obligacja ma swoją zw. waość omialą (000 zł), od kój co oku mi (skab pańswa) wypłaca okśloą sopę odsk, p. 6% (60 zł po każdych dwuasu misiącach). Jżli js o obligacja 5- lia, o z góy wiadomo, il posiadacz j obligacji ozyma odsk od skabu pańswa (5 azy po 60 zł, czyli 300 zł), a a koic będzi miał zwócoą kwoę odpowiadającą waości omialj j obligacji (000 zł). Oczywiści alży zdawać sobi spawę, ż zysk iwsoa będzi wyższy iż pzykładow u 300 zł, w syuacji gdyby wypłaca co oku odski (60 zł) były iwsowa (ozyma dodakowo odski od odsk). Iymi słowy: zysk posiadacza akich obligacji, o il pzzyma j do obowiązującgo czasu wykupu będzi zawsz aki sam. zśldźmy jdak co moż dziać się z aszymi obligacjami w oksach kószych. Obligacj, pomimo aż 5-ligo oksu waia pożyczki, mogą być w każdj chwili spzda imu iwsoowi, a yku wóym. Cę ę kszałuj już i mi, al yk (wóy), a zwłaszcza akual w daym diu lacj popyu i podaży. Jżli po upływi p. oku od czasu misji obligacji, asąpi spadk sopy odsk od obligacji (p. skab pańswa od owych misji obligacji 5-lich zapłaci ylko 5% oczi, a i jak wczśij 6%), o sopa odsk aszych obligacji saj się laywi badzo aakcyja. Wskuk go a yku wóym ca aszj obligacji js oowaa powyżj cy omialj (moż być oowaa p. 050 zł, 00 zł, a aw jszcz więcj). Noowaia aki wpływają a owość fuduszu obligacji dwojako. o piwsz, waość jdoski uczsicwa pzyosi uczsikowi dodakow (w sosuku do sopy odsk) zyski -, kó wyikają z wzosu waości omialj obligacji. Z akim zjawiskim miliśmy do czyiia w oksi spadku owości obligacji w laach Nikó fudusz obligacji pzyosiły wdy zyski pzkaczając 20%. Jdak my powiiśmy pamięać pzd wszyskim o dugij koskwcji. zypomijmy: asz sały zysk w skali 5-lij wyosić ma 6% oczi. Skoo więc fudusz (obligcj) w piwszym oku pzyiosą am sopę zwou p. 0%, o ozacza ż w oksi, pozosającym do wykupu obligacji, owość fuduszu będzi iższa ( już ylko 5%). Jśli więc alżliśmy do iwsoów, kózy zdcydowali się a iwsycję w fudusz obligacji, bo fudusz aki miał zakomi zyski, o musimy widzić, ż wysoki zyski pzszł fudusz osiągał d faco koszm zysków pzyszłych (ych, a kó liczyliśmy sami). Wspaiał wyiki fuduszy obligacji w laach opiały się a akim właśi mchaizmi. owidzmy jszcz o zjawisku odwoym, wysępującym wdy gdy owość obligacji wzośi (p. do 7%). W akij syuacji sopa odsk z posiadaych obligacji (6%) saj się mij aakcyja, a asza obligacja wyciaa js a yku wóym poiżj waości omialj. Wskuk go spada waość jdoski uczsicwa aszgo fuduszu i ym samym owość aszj iwsycji w daym oksi moż być aw ujma. Jdak owość aszj iwsycji w całym 5-lim oksi musi aka sama. Tym sposobm iska owość w daym oku (p. w piwszym) ozacza, ż

19 9 popocjoali zwiększa się owość aszj iwsycji pzyszłj (p. w koljych czch laach). zykładm akigo zjawiska był oks dugigo półocza oiważ wzosły wówczas owości obligacji a yku wóym (z około 5% do poad 6% wzosła owość pzyszła), o fudusz, kó miały w swych akywach dużo obligacji długomiowych o sałym opocowaiu, musiały wykazać owości ujm (spadła owość pzszła). W ym momci już sami powiiśmy zać odpowidź a asęp pyai: Jak o możliw, ż gdy owość obligacji ośi, spada ca jdoski uczsicwa fuduszu obligacji? - Jśli ośi owość obligacji, o wzos owości obligacji o sałym opocowaiu odbywa się popzz spadk oowań ych obligacji a yku wóym (obiżi się wycy omialj obligacji). Tym samym spada waość jdoski uczsicwa fuduszu. Al jszcz az podkślmy: spadk owości pzszłj odbywa się w waukach wzosu owości pzyszłj i odwoi: wysoka owość pzszła zawsz odbywa się w waukach obiżia owości pzyszłj. Możmy już pzjść do odpowidzi a kolj pyai: Kidy ajlpij iwsować w fudusz obligacji, aby osiągąć jak ajwyższą sopę zwou? - Nalży iwsować w waukach, gdy ośi owość (pzyszła) obligacji i wybiać fudusz o ajiższj owości w osaim oksi. W zczywisości ajwięcj osób iwsowało w oksi spadku owości (pzyszłj) obligacji, kój fkm była badzo wysoka owość pzszła (a pzłomi la 2002/2003). Wil z ych osób wycofało się aomias w chwili, gdy owość (pzyszła) obligacji zaczęła osąć (w oksi komdowaym do zakupów). Jśli więc dążymy do maksymalizacji zysków, o powiiśmy podjmować dokładi odwo dcyzj. I wszci pyai zasadicz: Jaki fudusz obligacji wybać? - oda wyżj wyjaśiia doyczą y l k o jdgo odzaju fuduszu obligacji: go, w kóym domiują długomiow obligacj o sałym opocowaiu. Fudusz o akim poflu obligacji chaakyzują się sosukowo dużymi oksowymi wahaiami owości. W dłuższym jdak mii asz yzyko zbliżo js do yzyka chaakysyczgo dla fuduszy lokujących w akywa badzij ozposzo - akż w obligacj o zmiym opocowaiu. Rowość obligacji o zmiym opocowaiu zmiia się sosowi do zmia ykowych i ym samym i ma ak dużych zmia w wyci obligacji a yku wóym (pzypomijmy: zmiay odpowidzial są za oksow wahaia w fuduszach obligacji sałych). Zupłi iym ypm fuduszu obligacji są fudusz uoobligacji lub obligacji dolaowych. Tu a wycę jdoski, opócz sopy odsk, wpływa akż kus daj waluy. Jżli w daym oksi daa walua zwiększy swoją waość w sosuku do złogo, o fudusz iwsujący w obligacj miowa w j daj waluci pzyisi am dodakow zyski. Widać więc, ż badzo wysoka owość akigo fuduszu i będzi wyikim adzwyczajj jakości zaządzaia, lcz pzypadku (wysokij wycy waluy). Zaim podjmimy dcyzję o iwsycji w aki fudusz, musimy sobi uzmysłowić, jaki hoyzo czasowy pzwidujmy a uczsicwo w akim fuduszu i jaki są asz (lub spcjalisów) pzwidywaia co do wycy daj waluy w pzyszłości. oiważ wycy waluy chaakyzują się cykliczymi wahaiami, o badzo wysoka owość fuduszu obligacji miowaych w daj waluci moż wysąpić w momci maksymalych kusów j waluy. Ozacza o, ż w pzyszłości fudusz moż pokazywać aw ujm sopy zwou, i odwoi - ujm sopy zwou fuduszu obligacji miowaych w ij waluci, mogą wysępować w oksi miimalych oowań daj waluy, a ym samym popzdzać oks badzo wysokij owości. * Ni zba być spcjalisą, by ulokować ssowi włas oszczędości. Dla własgo doba zba mić a uwadz miimum dukacyj z zaksu iwsowaia, zwłaszcza, ż dosęp do akij widzy mamy dziś w zasięgu ęki

20 20 IV. Aaliza akcji Dwa podjścia: A. Aaliza fudamala Doyczy podsaw, a jakich opia się akcja, do dmiuj jj waość. Objmuj: - aalizę makokoomiczą - aalizę skoową - aalizę syuacyją spółki - aalizę fiasową spółki - wycę akcji Aaliza fiasowa opia się a aalizi wskaźików: - wskaźiki płyości - wskaźiki akywości - wskaźiki zadłużia - wskaźiki zyskowości - wskaźiki waości ykowj B. Aaliza chicza olga a aalizi i pogozowaiu dcji zmia c w wyiku kszałowaia się syuacji a yku akcji, dosacza ifomacji o ajlpszych momach kupa lub spzdaży, albo zazymaia akcji w poflu (pofolio aalysis). Opia się a aalizi wyksów w clu ozpozaia: - sygałów koiczości kupa akcji - sygałów koiczości spzdaży akcji - sygałów opłacalości uzymaia akcji

21 2 Wyca akcji. Ca akcji zwykłych (4.) waość akcji zwykłj C dochód z akcji w momci : C ( ) C = D (dywidda) C = D + (dywidda + ca spzdaży) wymagaa sopa zwou pzwidywaa liczba oksów pzzymywaia akcji w poflu; mom zbycia akcji zykład dla akcji spzdawaj po dwóch laach D D2 + 2 D D2 ( ) 2 2 Nizbęda js u zajomość pzyszłych dywidd i pogozy cy. 2. Ca akcji bzmiowych (i spzdawaych) (4.2) D ( )

22 22 3. Sopa zwou z akcji w oksi (4.3) R ( ) D D R owość (zw. sopa zwou) akcji D dywidda wypłacaa w końcu oku ca akcji w oksi

23 23 V. odsawy mamayki ubzpicziowj Ubzpiczoy Składka Świadczi Fudusz Ubzpicziowy Ubzpiczycil Składka wpłacaa jdoazowo, pzz okśloą liczbę la do końca życia zy usalaiu jj wysokości i sposobu woszia sosuj się zasady dla wkładów oszczędościowych, wypacowa pzz mamaykę fiasową. Składki wozą fudusz ubzpicziowy, kóy: - pozwala ubzpiczycilowi wywiązać się z obowiązku wobc ubzpiczogo, - wozy zwę fiasową, - js źódłm zysku ubzpiczogo Ubzpiczia wzajm i ma moywu zysku. Świadczi wypłaca w wyiku zajścia okślogo zdazia losowgo. ła jdoazowo lub w posaci y. Waość ubzpiczia aźijsza waość pzyszłgo świadczia wypłacago w pzypadku zajścia zdazia losowgo. Ubzpiczia: - kókomiow (do oku) - długomiow (powyżj oku) - bzmiow Bzmiow a wypadk śmici, ubzpiczia y dożywoij zw. ubzpiczia życiow.

24 24 Ubzpiczia życiow: - ubzpiczia a życi (a wypadk śmici) ubzpiczi js wypłaca uposażomu w oku śmici ubzpiczogo; - ubzpiczia a dożyci świadczi js wypłaca ubzpiczomu w pzypadku dożycia pzz igo wiku okślogo w umowi; - ubzpiczia misza ubzpiczi js wypłaca gdy ubzpiczoy dożyj okślogo wiku lub gdy umz pzd ym mim; - ubzpiczia y dożywoi lub czasow. Mogą być zawia idywiduali lub gupowo. Wilkość składki i wilkość świadczia zalżą od pawdopodobińswa dożycia okślogo wiku. Tablic waia życia zawiają wskaźiki chaakyzując daą zbioowość. Opisują pocs wymiaia daj gacji. Opacowywa oddzili dla kobi i mężczyz. ozwalają wyzaczyć śdi czas życia osób z daj gacji.

25 25 VI. Mamaycz miay wzosu a liczba. Wzos w iskończi długim czasi Jżli liczba oksów kapializacji js ówa odwoości sopy pocowj, a kapiał począkowy V =, o waość kapiału końcowgo js pzybliżim liczby : (6.) FV p. pzypuśćmy, ż ma mijsc kapializacja ocza, wdy: / 2 2, js o opocowai lub ocz mpo wzosu 50%, działając pzz dwa laa; 0-0% działając pzz dzisięć la; 0 2, , % działając pzz so la id. Kolj waości są zam lmami ciągu: (6.2) 2, Liczba a ozacza, ż daa wilkość (a pzykład kapiał) wzosła 2,7828 azy; w ujęciu pocowym wskaźik wzosu wyiósł 27,83% (mom bazowy = 00%). Efkywa sopa pocowa jako osacza sopa wzosu będzi zam ówa: (6.3) ( ),7828 7,828%, co ozacza, ż osacz, sumaycza sopa wzosu (zwou) wyosi 7,828%, Liczba okśla zam koość wzosu pzy iskończoj liczbi kapializacji uaj iskończoj liczbi la, skoo jd oks kapializacji odpowiadał jdmu okowi. Gaica a ma isującą ipację: ozacza bowim, ż iskończi wol mpo wzosu (iskończi mała sopa pocowa) w iskończoym czasi i da wzosu zowgo, co wydawałoby się a pozó ssow, lcz wzos ico iższy iż 2,72 azy, czyli o icał 72%. 2. Niskończoa liczba kapializacji kapializacja ciągła W powyższym ujęciu miliśmy pocs dysky. Jśli aomias zamias zwiększać liczbę la, zwiększymy liczbę kapializacji w obębi jdgo oku, o ozymamy w gaicy pocs ciągły. ukm wyjścia ich będzi wzos o 00% w ciągu oku, czyli dwukoy:

26 js o opocowai 00% działając pzz ok, pzy kapializacji oczj; 2 2, o dwukoa kapializacja w ciągu oku, pzy ym samym opocowaiu oczym; 2, o kapializacja dzia. A więc w gaicy, gdy liczba kapializacji m, mamy: m 2, m jako kapializację ciągłą, kóa daj wskaźik wzosu 2,7.. azy, a sopę wzosu 7,83%. 3. Zwilokoio mpo wzosu (koość wzosu) i akładai mp wzosu Zgodi z zasadami gaic ciągów z liczbą ozymujmy fk dla wzosu zwilokoiogo: (6.5) lim k lim k k k lim k k k k (2, ) Tak więc dla podwojogo w ym samym czasi mpa wzosu oczgo lub sopy pocowj, ozymamy 2 = 7, , czyli wzos 7,39 azy, zaś sumayczą sopę wzosu: ( 2 ) 6, ,9% - czyli pzyos o pawi 639%. Aalogiczi, pzy podwojoym do 200% oczym mpi i ciągłj kapializacji, ozymamy osaczy wzos 2 = 7, Jśli wzos js fkm działaia kilku, a pzykład dwóch czyików powodujących wzos w óżych mpach, o mamy składai wzosu: k a b a b a b zykład: KB ali (w cach sałych) wzosło o 5%, al cy wzosły o 3,5%, wdy KB omiali (w cach biżących) wzosło o 8,5%.

27 27 Cyklicz, wiloko powazai okśloj skwcji mpa: a k a k 4. Kapializacja ciągła pzz la Zobaczmy az, co będzi, jśli 00% opocowai z ciągłą kapializacją będzi działać pzz la. Wdy ozymamy sumayczy wzos (6.6) m m m m... m m (2, ) azy zaś osacza sopa wzosu wyisi: ( ). 4. Kapializacja ciągła pzy oczym mpi (sopi pocowj) Jśli zaś omiala sopa wyisi i =, czyli 00% lcz p. = 0,05 (5%), o zgodi z zasadą koości wzosu, sumayczy wzos jdoskowj waości wyisi: (6.7) p. dla = 0 i = 0,05: zaś sumayczą sopę wzosu: ( ) ( 0,05 0 0,05 0 V, ) 0,5,6487, 0,6487 czyli o 64,87% Ławo możmy spawdzić, ż pzy dzij kapializacji sopy oczj 0,05% ozymamy liczbę badzo bliską j wilkości. 5. Naychmiasowa sopa wzosu Kapializacja odsk o pzykład szczgóly ogólijszj kagoii, jaką js wzos wykładiczy. Nich będzi daa pwa wilkość począkowa A (a pzykład ówa kapiałowi począkowmu V). Wdy wzos w oksi la pzy sopi pocowj będzi day jako: (6.9) V A

28 28 Dla fukcji A, kóa okśla V w daym momci, mpo wzosu V js da jako pochoda: dv (6.0) A V d Sopa wzosu js jdak okśloa jako wilkość względa: z. w sosuku do waości V. Zam: dv d V (6.) sopa wzosu V V V Współczyik w ssi ogólym saowi więc chwilową sopę wzosu fukcji V. ojęci sopy wzosu wymaga zozumiia asępujących kwsii 2 : ) Tzba ozóżić między momm a oksm. Zmia V, ozaczająca sumę piiędzy lub wilkość populacji, js wilkością ypu zasób, a więc okśla ilość czgoś w daym momci czasu. W każdym momci V pzyjmuj okśloa waość. Naomias zmiaa V okśla sumiń, mówi więc, jaka wilkość zasobu pojawiła się w daym pzdzial czasu. Zam zmiaa V musi odosić się do jakigoś pzdziału czasu, powidzmy oku. 2) Sopa wzosu wyzaczoa pzz js chwilową sopą wzosu, bo pzz ciągłą kapializację mamy fukcję ciągłą, kóą możmy óżiczkować. 3) Jśli js usalo, o sopa wzosu js sała, aka sama dla wszyskich momów. W zczywisości jdak, oczywiści, sopa wzosu moż się zmiiać. 4) Mimo ż sopa wzosu ma chaak chwilowy, js okśloa w pukci czasu, o jj wilkość ozacza pzyos pocowy w pzdzial czasu, a jdoskę czasu zwykl w oku. Wzos z swj auy moż asępować jdyi w pwym czasi. owidzi, ż V ma sopę wzosu w chwili = o, ak apawdę ozacza, ż jśli sopa, kóa pojawiła się w ym momci pozosawałaby i zmiioa pzz całą jdoskę czasu (ok), o V wzosłoby do końca dago oku o V( o ). 5) Dla fukcji wykładiczj V = A pocowa sopa wzosu js sała dla wszyskich puków. Naomias bzwględa wilkość pzyosu V zwiększa się z upływm czasu, gdyż sała pocowa sopa będzi liczoa dla zwiększających się podsaw (a pzykład osącj waości kapiału i kapializowaych odsk). Tak więc a pzykład, dla daj fukcji: y 0 769, A.C. Chiag, odsawy koomii mamayczj, WE, Waszawa 994, s. 283.

29 29 możmy bzpośdio odczyać jako sopę wzosu 0,035, czyli 3,5% za day oks (w ym pzypadku wzos KB w w sosuku do 2002.). 6. Wzos ciągły a wzos dysky Wzos ciągły js idalizacją, kóa umożliwia sosowai apaau mamayczgo aalizy mamayczj (pochodych), badzo wygodgo do modlowaia pocsów. Jdak w zczywisości pocsy koomicz ujmujmy w sposób dysky, czyli pzdziałami czasu. Jdakż, mimo o, możliw i uzasadio js sosowai ciągłj wykładiczj fukcji wzosu. Gdy częsoliwość kapializacji js duża (a pzykład kapializacja dzia), o pzybliżi fukcją ciągłą js jak ajbadzij właściw ( js okślo z dokładością do 4/000). zybliżi ciągł js jdak możliw akż dla pocsów dyskych o mijszj częsości, p. oczj. Załóżmy, ż day js gomyczy pocs wzosu, polgający a oczym aliczaiu odsk wdług oczj sopy i. Kolj say pocsu (w koljych laach) okślo są pzz ciąg: (6.2) A, A ( i), A ) 2 ( i, A ) 3 ( i,..., A ( i) Mamy zam klasyczy fk pocu składago. Jśli ozaczymy: o sa w oku js okśloy jako: (6.3) ( i) b, V ( ) Ab Moża jdak wyzaczyć aką waość, ż: (6.4) ( i) Wdy sa w oku będzi day jako: (6.5) A ( i) Dla małych i, do 0%, i, p: b A ( 0, 05), 05 0, 05, 0527 Tak więc dla iskigo oczgo mpa (iskij sopy pocowj) i iwilkij liczby la moża pzyjąć, ż i =, czyli sopa pocowa js ówa wykładikowi liczby. Dla większych waości i ozbiżość js za duża, więc zba dobać jako: (6.6) l( i).

30 30 Tak obliczo waości ym badzij óżią się od i, im js oo większ: (6.7) dla i = 0, 02 (sopa ocza 2%) = 0, dla i = 0, 05 (sopa 5%) = 0,04879 dla i = 0, (sopa 0%) = 0,0953 dla i = 0,5 (sopa 50%) = 0, dla i = 5 (sopa 500%) =,79759 Tak więc fukcja wykładicza, odpowidio dobaa, moż pzować dowoly pocs koomiczy, akż dysky. 7. Dyskoowai a wzos ujmy - ozpad ocsm odwoym w sosuku do wzosu js wzos ujmy, czyli zmijszai się obiku. To jdak i o samo, co dyskoo. Jśli: (6.8) o waość począkową ozymamy jako: V A ) ( i, V (6.9) A V ( i) ( i) Wdy sopa pocowa i saj się sopą dyskoa (sopą dyskoową). Dyskoowai js więc obliczim waości począkowj kapiału opocowago dodaią sopą pocową i. Dla pzypadku uciąglia fukcją wykładiczą, jśli po laach kapiał wyosi: V A, ozymujmy: (6.20) A V V W ym pzypadku wykładik ujmy - js sopą ciągłgo dyskoa. Odpowiada oa wykładikowi z zakim mius, i wyika z logaymowaia waości ułamkowj: (6.2) l. ( i) Tak więc: (6.22) dla i = 0, 02 podsawiamy dla i = 0, 05 podsawiamy dla i = 0, podsawiamy dla i = 0,5 podsawiamy dla i = 5 podsawiamy , , , , 79759, Jak widzimy, ak obliczo waości i óżią się od podaych wyżj w (6) i

31 3 oczywiści ym badzij óżią się od i, im js oo większ. Dla małych waości i możmy zam, jak popzdio, pzybliżać wykładik pzz sopę i. omożi wykładika pzz odpowidi daj wyik dla daj liczby la. Czym iym js jdak ujma sopa pocowa, kóa odpowiada ujmmu wzosowi : (6.23) ( i) Wdy sa w oku będzi day jako: (6.24) Dla małych i, do 0%, i : ( A ( i) 0, 05) 0, 95 b A 0, 05 0, Z go oczywiści ujm mpo (sopa) wzosu wyosi: ( ) ( 0, ) 0, 05 Dla wyższych waości ujmgo wzosu óżi się od i, zba zam jgo waość wyzaczać pzy pomocy fukcji l: (6.25) l( i). odobi jak dla wzosu dodaigo, waości ym badzij óżią się od i, im js oo większ, a pzykład: (6.26) dla i = 0, 02 (sopa ocza -2%) = -0, dla i = 0, 05 (sopa -5%) = -0,05293 dla i = 0, (sopa -0%) = -0,0536 dla i = 0,5 (sopa -50%) = -0,69347 dla i = 0,99 (sopa -99%) = -4,6057 Wzos ujmy musi być oczywiści mijszy od, gdyż z względu a własości fukcji l, musi być spłioy wauk ( i) >0. Tak więc o il w fomul (6.9) sopa pocowa moż pzkaczać 00%, o uaj musi być mijsza od 00%. Jak jdak ławo zauważyć, ujmy wzos i js ym samym, co dyskoowai. Js o bowim obciążim ujmą sopą pocową - w fiasach js o więc działai wdług zasady dyskoa hadlowgo, jaką sosuj się w sosuku do isumów dyskoowych w fomul (30) (poówaj (35)). Naomias dyskoo mamaycz js obliczim waości począkowj pzz odwóci pocsu powsawaia waości końcowj, kóa js wyikim działaia dodaij sopy pocowj jak o js poda w wzoz (), (62) z kóych wyikają (3) i (63). W ym pzypadku - ujmgo i - odpowiadająca mu sopa ujma - js zam,

32 32 w odóżiiu od sopy ciągłgo dyskoa, sopą zmijszaia się. ojęci ujmgo wzosu js jdak wwęzi spzcz, dlago azwimy j ozpadm, a okślającą go ujmą sopę - sopą ozpadu (a of dcay) 3. W poiższj abli zsawio zosały waości dla óżych i, dla pzybliżń fukcją wykładiczą pocsów wzosu, ozpadu i dyskoa. Tablica. zykładow waości wykładika liczby dla óżych sóp i Sopa pocowa i 0,02 0,05 0, 0,2 0,5 0, wzos l( i) 0,0980 0, ,0953 0,8232 0, ,6884 0,6935,0986,7976 dyskoo -0,0980-0, ,0953-0,8232-0, ,6884-0,6935 -,0986 -,7976 l ( i) ozpad l( i) -0, ,0529-0,0536-0,2234-0,6935-4,6057 Ni isij 3 Chiag (odsawy koomii mamayczj, WE, Waszawa 994, s. 285) błędi azywa sopą ozpadu waość wyikającą z dyskoowaia, czyli z fomuły (54).