D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora."

Kinga Nina Nowakowska
6 lat temu
Przeglądów:

1 D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań jes własość fukcji : Własość a ozacza, że fukcja R R ( (* jes ieskończeie mała względem fukcji ( przy Zaczeie wzoru Taylora polega a ym, że pozwala o przedsawić dowolą, wysarczająco wiele różiczkowalą fukcję (dosaeczie gładką w ooczeiu puku, w posaci sumy wielomiau sopia (części główej fukcji w ooczeiu daego puku i ieskończeie małej wyższego rzędu względem ( Na ej własości opierają się licze i różorode zasosowaia wierdzeia Taylora w różych zasosowaiach aalizy maemayczej Pozamy jedo z akich zasosowań: obliczaie wyrażeń ieozaczoych za pomocą wzoru Taylora Zobaczymy jak meoda wydzielaia części główej fukcji przy pomocy wzoru Taylora umożliwia orzymaie meody obliczaia graicy fukcji w pukcie F będzie określoa w sąsiedzwie puku (puk może być wyłączoy Niech fukcja Należy obliczyć F Jeśli przy podsawieiu do F orzymujemy wyrażeie posaci,,,,,, lub, o azywamy je wyrażeiami ieozaczoymi, poieważ w ym przypadku dla orzymaych wyrażeń ie moża swierdzić czy w pukcie isieje graica, ie mówiąc o warości w przypadku isieia Rozparzmy a począku ieozaczoość ypu g f Niech f F, g, przy czym g w pewym sąsiedzwie Zakładamy, że do fukcji f i g moża zasosować wzór Taylora w sąsiedzwie i orzymamy odpowiedio ( m + f a Rm, a ~ g b R, b ( k + k Wedy (biorąc pod uwagę (* mamy m a + f a( + Rm m k F k ~ ( ~ g b( + Rk ( b + Rm ( Rk ( m k jeś li m > k a m k a ( jeśli m k b b jeśli m < k - -

2 D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: W e sposób, w rozparywaym przykładzie ależy rozłożyć według wzoru Taylora fukcje f i g w sąsiedzwie puku ograiczając się w ych wzorach do pierwszych różych od zera wyrazów Przykład (pierwsza goda uwagi graica: R si + R + R (mamy uaj m k i Uwaga Przy rozkładaiu fukcji f i g według wzoru Taylora wygodie korzysać jes z goowych rozkładów fukcji elemearych akich, jak e, si, cos, l( ±, ± α, id Jeżeli, o wygodie jes ajpierw dokoać zamiay zmieej y co daje y przy Przykład e ( si + l 8 Swierdzamy ajpierw, że ieozaczoość jes ypu Dalej g 8 8 α zgodie z uogólioym wzorem a dwumia Newoa ( + y + α y + R ( y y mamy R, ak więc + R + R g Rozparzmy eraz liczik f e l( si Przy ( + Rozkład miaowika wg wzoru ( pokazuje am, że liczik f ależy rozłożyć według wzoru (T z dokładością do wyrazów Sąd: si ; ak, że gdzie y + R e R!! si + R! y y y l ( y y + R ( y,

3 D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: l + ( si R ( Podsawiając e rozkłady do f ( mamy: R + R + R f ( A więc rozkłady ( i ( dają: R f ( + R + g R + R ( + Przypadek sprowadza się poprzez zamiaę zmieej Przykład Biorąc pod uwagę, że arca + Wedy: lub iaczej: Tak więc: f ( Poieważ f ( a( f ( π π arca arca e e + + π rozparujemy fukcję f ( do przypadku co arca dla > a arca dla a( f ( arca dla, < + i dalej f (, dla f, o zgodie ze wzorem (T π arca dla > dla f ( + R ( ( Zgodie z określeiem f ( wzór ( przedsawia liczik szukaej graicy ułamka Dla jego miaowika mamy: g e R R ( - -

4 D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: Tak więc a podsawie ( i ( mamy: R f ( + R ( + + g( + R ( R + W przypadku ieozaczoości ypu ieozaczoości ypu lub wyrażeia ależy przekszałcić do Przykład si si si Poieważ si + R o dla miaowika g( mamy Liczik mamy: si + g R f si ależy rozłożyć wg wzoru (T z dokładością do wyrazu Dlaego si + R, R si + R f +, i w e sposób R f ( + R + g + R ( R + Przejdźmy do rozparzeia przypadków,, graice w pukcie fukcji ypu F u, v [ u ] v czy eż Powyższe ieozaczoości dają przy odpowiadających warościach graic Aby rozparzyć e ieozaczoości, wygodie jes posłużyć się zaą l ożsamością F e F e v l u Jeżeli isieje skończoa graica l v u a, o a podsawie ciągłości fukcji wykładiczej i a podsawie wierdzeia o graicy złożeia dwóch a F e fukcji orzymujemy Przykład 5 (druga waża graica (ieozaczoość ypu ( + e - -

5 D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: sąd + e Przykład l ( + F ( F l l R + + ( + + R si cos e, (ieozaczoość ypu F si cos, l F l si cos Zgodie ze wzorem Taylora dla fukcji si i cos mamy cos + R + R ( dlaego liczik ułamka w F( ależy rozłożyć z dokładością do Mamy si + R si + R l si l + R, y Poieważ l( y y + R ( y przy y, o podsawiając y R l F + R + R orzymujemy: i dalej - 5 -

6 D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: l F R + R + Sąd F e - -

Podobne dokumenty

, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x

, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x Meody aeaycze w echologii aeriałów Uwaga: Proszę paięać, że a zajęciach obowiązuje akże zajoość oówioych w aeriałach przykładów!!! CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Fukcją wyierą azyway fukcję posaci P ( )