Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Transkrypt

1 Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski

2 Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego ciągu puktów, zachodzi f y co zapisujemy lim f y = jeżeli dla y, D, Zad: rozstrzygąć czy istieje lim, gdy f,, =, =. f

3 Rząd fukcji w pukcie Założeia: f: D R, g: D R, f g ε ( ε ε) { } g( ) ( ε, + ε) \ { } D D, f g lim f( ) = lim g( ) = >,, + \ Mówimy, że f jest fukcją ieskończeie małą wyższego rzęduw pukcie iż g, co zapisujemy: f( ) = o( g( ) ) gdy, jeżeli lim f / g =

4 Pewie lemat Jeżeli f jest krotie różiczkowala w pewym przedziale otwartym zawierającym oraz f = f' =... = f = f( ) = o ( ) wówczas gdy Dowód: twierdzeie Lagrage ai idukcja względem Przykłady: ( ep = o ), ( + ) = o (, )

5 Wielomia Maclauria Załóżmy, że f jest krotie różiczkowala w pewym przedziale otwartym zawierającym i iech Zachodzi f ( ) '' f w = f + f' f,!! Wiosek.: Wiosek.: ( m ) ( m ) w = f, m=,,,...,, f m ( ) = = f ( ) w f, m,,,...,, f w = o, f,

6 Wielomia Taylora Załóżmy, że f jest krotie różiczkowala w pewym przedziale otwartym zawierającym i zdefiiujmy f = f +, ( ) ( ) f w ( ) = f( ) + f' ( )( ) f!,, f,, f, = ( ) ( ) wówczas w = w oraz f w f w f,, f, = o,

7 Lokale przybliżaie fukcji Jeżeli, to często stosuje się przybliżeia f( ) f' ( ) f + + f'' ( ) f( ) f' ( ) f Szczególie są oe użytecze w przypadku fukcji uwikłaych Przykład: korzystając z tego, że zaleźć przybliżoe rozwiązaie rówaia 3 = = 6

8 Lokale przybliżaie fukcji, c. d. Niech a będzie rozwiązaiem rówaia Niech Mamy Stąd 3 a = 3 = a ( ), '( ) ', ( ) ( ) ( = = ) a= a a = a a a = a'' a ' a + a' a '' a () '6 3, ''6 3, '' '6.3+.3

9 Przykład retowość obligacji Obligacja za ceę P w chwili obecej kupujemy (pewy) ciąg płatości C,..., C w mometach t t w przyszłości,..., Stopa dochodu w okresie do wykupu (ag. Yieldto Maturity),YTM, jest zdefiiowaa za pomocą rówości P C = ( + YTM) ( + YTM) jest miarą retowości obligacji YTM t C t

10 Retowość obligacji, c. d. Obligacje kupujemy w zależości od tego, czy mają oczekiwaą przez as retowość W pewym momecie zmieia się YTM Pytaie: jak zmiei się cea Zadaie: udowodić, że ( + YTM) P ( YTM) ' = + i= i i P P ( ) tc YTM P Powyższa wielkość azywa się czasem trwaia obligacji (ag. duratio), D t i

11 Wypukłość obligacji Moża obliczyć, że ( + YTM) P ( YTM) '' P = + i= i i P ( ) tc YTM P Jest to tak zwaa wypukłość obligacji (ag, coveity), C Zadaie: udowodić, że C D Zadaie: dla małych Pobliczyć przybliżeie YTM( P+ P) YTM( P) jako pewą fukcję P, duratio i coveity t i

12 Wzór Taylora Załóżmy, że f jest krotie różiczkowala w pewym przedziale (a,b) oraz ab wtedy dla pewego Przykład Wiosek θ (,),, ( + θ( )) ( ) f f( ) = f( ) + f' ( )( ) ! ep ( θ) ep = ,< θ<! R ep = lim !

13 Szeregi potęgowe Szeregiem potęgowym azywamy fukcję R = ( ) a Jeżeli dla pewego szereg jest zbieży, to jest rówież zbieży dla wszystkich, + Liczbę R azywamy promieiemzbieżości szeregu a ( ) = = sup : szereg a ( ) jest zbiezy =

14 Szeregi potęgowe, c. d. Jeżeli lim a / a q, to Ogólie Niech = + R= q. { } R = a lim sup. = + = : a ( ), ( R, R) f Fukcja f jest ieskończeie wiele razy różiczkowala i zachodzi a f' = =

15 Szeregi potęgowe, c. d. Przykłady = = = l, < < ; + = :si, R;! + ( ) = :cos, R; = ( )! ( ) = ( ) ( ) = si( ) si' cos, cos'