MATEMATYKA wykład 1. Ciągi. Pierwsze 2 ciągi są rosnące (do nieskończoności), zaś 3-i ciąg jest zbieŝny do zera. co oznaczamy przez
|
|
- Mirosław Pietrzak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MATEMATYKA wkład Ciągi,, 2, 3, 4,,, 3, 5, 7, 9,,,,,,,,, są przkładami ciągów Pierwsze 2 ciągi są rosące (do ieskończoości), zaś 3-i ciąg jes zbieŝ do zera co ozaczam przez lim a ch 2-óch ciągów, ozaczaa przez = Jeśli mam 2 ciągi a i b o graica sum lim ( a b ) = lim a + lim b + Najbardziej waŝa w Maemace liczba e (będąca podsawą logarmu auralego) bez kórej ie da się policzć odseek od kapiału w baku sosującm ak zwaą kapializację ciągłą (o czm iŝej) jes zdefiiowaa jako graica poiŝszego ciągu a + b liczbowego: a = +, o zacz, e = lim + gd Liczba e wsępuje eŝ w ajbardziej częso sosowam wzorze maemaczm a świecie, miaowicie wzorze Blacka- Scholesa określającm warość opcji kupa akcji Podsawiając za koleje liczb aurale do wzoru a wraz ciągu d orzmujem Ŝe a = 2, a2 = 2,25, a3 = 2,369, a4 = 2,44, a = 2,59, a = 2,75, a = 2,77 Warość pieiądza w czasie (a) warość kapiału raz zaiwesowaego po N okresach iwescjch (p laach, kwarałach, miesiącach, ip) () K ) N = K (+ r, gdzie K = kapiał końcow (po N okresach); K = kapiał począkow (zaiwesowa dziś) Przkład Sude dosał spedium a 3 laa sudiów MoŜe bć oo płae jedoazowo dziś w wsokości 8 zł lub a koiec 3-go roku sudiów w wsokości 22 zł Reowość z boów Skarbu Pańswa wosi 6% (a) Co doradziłbś sudeowi, wiedząc Ŝe właśie wrócił z Work & Travel i ma juŝ dziś wsarczające
2 2 środki fiasowe a 3-leie sudia; (b) Jaka kwoa dziś jes ekwiwaleem 22 zł za 3 laa? Rozwiązaie (a) Obliczm przszłą (za 3 laa) warość 8 zł Ze wzoru () wika iŝ będzie o kwoa K = 8(+,6) 3 = 2438 zł Wika sąd Ŝe sude powiie zdecdować się a spedium płae za 3 laa, czli a kwoę 22 zł, kóra jes wŝsza iŝ ekwiwale 8 zł dziś za 3 laa (b) Zgodie ze wzorem (), aleŝ rozwiązać rówaie 3 x(+,6) = 22,9x= 22 x= 847 zł Defiicja Rea = ciąg ideczch płaości asępującch po sobie a koiec okresu, 2, 3,, k (dla pewego k) Okresem moŝe bć dowol okres czasu, p dzień, dzień, miesiąc, kwarał, rok, ip Podam eraz wzór a dzisiejszą warość (PV) re płacącej x zł a koiec kaŝdego okresu, gd sopa dskoowaia srumieia pieiędz za kaŝd okres rówa jes r : k x x x x (+ (2) PV = = x 2 3 k + r (+ (+ (+ r Podam rówieŝ wzór a przszłą warość (FV) re płacącej x zł a koiec kaŝdego okresu, gd sopa zwrou za kaŝd okres rówa jes r: k k k 2 k 3 (+ (3) FV = x[ ] (+ + (+ + (+ + + (+ + = x Przkład 2 Sude orzmał spedium a 3 laa sudiów płae a koiec kaŝdego z 36 miesięc Wsokość spedium = 5zł, reowość boów skarbowch 6% (a) Ile jes ware dziś o spedium?; (b) Jaki jes ekwiwale ego spedium za 3 laa? Rozwiązaie (a) Zgodie ze wzorem (2), (+ ( 2 (,6)) PV = 5 2 (,6) (,5) = 5, r = 6 436zł, chociaŝ omiala warość ego spedium (ie uwzględiająca warości pieiądza w czasie) rówa jes 5zł 36= 8 zł Naomias przszła warość (FV) 6 436zł zgodie ze wzorem () jes rówa
3 3 (4) FV = PV(+,5) 36 = 6 436(,967) = 9 669zł a więc większa iŝ 8 zł Gdb sude kaŝde 5zł iwesował w bo skarbo- we, o zgodie ze wzorem (3) posiadałb kwoę 36 (,5),967 (5) FV = 5 = 5 = 9669,5,5 zł To Ŝe kwo wsępujące w (4) i (5) są e same wika z: Fak Przszła warość kaŝdej re = przszłej warości jej dzisiejszej warości, z wzór (3) a przszłą warość re daje zawsze e sam wik co wzór () a przszłą warość dzisiejszej kwo K, prz czm za K aleŝ wsawić liczbę wliczoą we wzorze (2), czli dzisiejszą warość re Przkład 3 Wgraa w Too Loku daje ci albo 2 zł dziś albo (do wboru przez ciebie) zł a począku kaŝdego roku wojego Ŝcia Jeśli ie masz długów, a baki oferują ci 5% roczie z ułu odseek, kórą opcję bś wbrał wiedząc Ŝe będziesz Ŝł jeszcze (a) 25 la; (b) 4 la; (c) igd ie umrzesz? Rozwiązaie (a) NaleŜ obliczć dzisiejszą warość srumieia wpła z wgraej w Too Loka Na srumień e składa się kwoa zł dziś plus rea płaa przez 25 la (po raz - za rok) w wsokości zł Sosujem wzór (2) orzmując 25 (,5) PV = = 5533 zł,,5 co łączie z kwoą zł płaą dziś saowi 66 33zł, a więc miej iŝ 2 zł kóre mam prawo dziś odebrać Wbieram więc 2 zł (b) Rozumujem aalogiczie, orzmując 4 (,5) PV = = 8875 zł,,5 co łączie z kwoą zł płaą dziś saowi 99 75zł, a więc miimalie miej iŝ 2 zł kóre mam zagwaraowae ZauwaŜm iŝ Ŝjąc 4 la, wbralibśm reę zamias jedorazowej wpła w wsokości 2 zł gdŝ 4 (,5) PV = = 9238 zł,,5 co łączie z kwoą zł płaą dziś saowi 2 238zł > 2 zł
4 4 (c) Gdbśm Ŝli wieczie, o m bardziej wbralibśm reę gdŝ dzisiejsza warość ej re błab jeszcze większa iŝ 2 238zł Jaka dokładie błab warość wieczej re? Odpowiedź a o paie daje poiŝsz fak Fak 2 Dzisiejsza warość (PV) re wieczej płacącej co roku x zł, biorąc pod uwagę Ŝe -a wpłaa pojawi się za rok wosi x (6) PV = = = 22 zł, r,5 gdzie sopa dskoująca za kaŝd rok rówa jes r Z (6) wika Ŝe w rozparwam przez as przpadku dzisiejsza warość wpła z wgraej w Too Loku rówa się zł + 22 zł = 23 zł Wzór (6) ma wiele zasosowań Na przkład, rzeczozawc mająkowi wceiając magaz, garaŝ, mieszkaie lub jakąkolwiek ią ieruchomość przoszącą co rok x zł z ułu wajmu, sosując wzór (6), przjmując za r sopę zwrou z wieloleich obligacji Skarbu Pańswa Jeśli wajmowaie garaŝu przosi miesięczie 5zł, zaś iwescje w obligacje dają 6% roczie, o warość ego garaŝu moŝa oszacować jako rówą 5 5 (7) warość garaŝu = = = zł 2 (,6),5 Przkład 4 Ile pieiędz (X) powio się zdepoować w baku kór płaci 7% roczie Ŝeb móc wcofwać po zł kaŝdego roku przez 3 la? Rozwiązaie Sosujem wzór (2), orzmując (,7) PV =,7 3 = 24 9zł, co ozacza iŝ dzisiejszą warością re płacącej zł roczie jes 24 9zł Zaem, zdepoowaie akiej kwo (X=24 9) gwarauje wpłaę 3 zł w roczch raach po zł przez 3 la
5 5 Na zakończeie ego fragmeu wkładu poświęcoego warości pieiądza w czasie, podam wzór a warość przszłą K kapiału począkowego K gd bak sosuje kapializację ciągłą: (8) rt K = K e, gdzie r = omiala sopa oproceowaia kapiału, T = czas iwesowaia wraŝo w laach Ozacza o p Ŝe dzień zapiszem jako T = /365 Przkład 5 Kwoa 8zł zosała zdepoowaa w baku z oproceowaiem 7% Zajdź warość depozu po roku gd kapializacja ma miejsce (a) raz w roku; (b) raz a miesiąc; (c) kaŝdego dia; (d) w kaŝdej chwili Rozwiązaie Zgodie ze wzorem (): (a) K = 8(+,7) = 856 zł; (b) K = 8[+(,7/2)] 2 = 8578 zł; (c) K = 8[+(,7/365)] 365 = 858, zł; (d),7 K = e = 8(2,7828, 7 8 )= 858,65 zł, czli o 5,5gr więcej iŝ w przpadku kapializacji dzieej Defiicja 2 Rówaia rekurecje = a b azwam rówaiem rekurecjm (róŝicowm), gdzie + ozacza czas lub umer okresu Zaem, rówaie o mówi iŝ warość pewej zmieej w chwili/okresie zaleŝ od warości zmieej w chwili/okresie ją poprzedzającm zgodie ze wzorem podam powŝej Na przkład, rówaia róŝicowe -go rzędu mogą mieć posać: = + 3, 3 4, ip dla wszskich liczb auralch KaŜde akie rówaie = rekurecje ma ieskończeie wiele rozwiązań poiewaŝ kaŝda warość począko- wa geeruje dokładie jedo rozwiązaie Na przkład, rówaie = 3 4 z warukiem począkowm określa jedozaczie asępujące rozwiązaie: =, 6, 34, 88, id(porówaj przkład gdzie podae jes pełe rozwiązaie ego rówaia), podczas gd o samo rówaie rekurecje ale z warukiem = ma ie rozwiązaie, a miaowicie Ab podać za chwilę posać ogólą rozwiązaia
6 6 dowolego rówaia rekurecjego defiicję = a b, przjmijm asępującą + Defiicja 3 = * azwam rozwiązaiem sałm rówaia = a b jeśli + * spełia o rówaie, o zacz, * = a* + b Ławo sprawdzić iŝ w akim prz- padku * dae jes wzorem * = b a Na przkład, rówaie 3 4 ma = 4 sałe rozwiązaie * = = 7, o czm moŝem się przekoać rówieŝ poprzez 3 prose podsawieie: 7 = Twierdzeie Waruek począkow oraz dowole rówaie jedozacz sposób określają rozwiązaie: (9) *) = * + ( a, * = a b = a b w + Przkład 6 RozwiąŜm rówaie = 3 4 z warukiem począkowm = Zgodie z wzorem (9), rozwiązaiem ego rówaia jes 3 = 7+ ( 7) Podsa- wiając za kolejo, 2, 3, 4 orzmujem = 7+9 = 6; 2 = 7+ 27= 34; = 7+ 8= 88; = = Zagadieie (Opmale zarządzeie mająkiem zgromadzom a rachuku emeralm) Pa Kowalski przepracował 4 la zarabiając miesięczie bruo średio 36zł z czego 3% bło odprowadzae a jego koo emerale Niese, OFE w kórm gromadzoe bł jego składki emerale zarządzał pieiędzmi w sposób pasw kupując lko obligacje lub bo lub depoując w baku w zaleŝości od ego kóra z 3 powŝszch iwescji jes w dam momecie ajlepsza Przjmijm Ŝe uzskaa w e sposób reowość w skali roku (po uwzględieiu iflacji) wosiła zaledwie 2,5% ZałóŜm iŝ Kowalski ma prawo dspoować swm kapiałem emeralm w powŝsz sposób Biorąc pod uwagę Ŝe Kowalski będzie jeszcze Ŝł 9 la, (a) oblicz jaką kwoą będzie dspoował w realch pieiądzach w momecie przejścia a emerurę, oraz (b) oblicz jaką będzie miał emerurę bruo ab po 9 laach pozosało mu zgodie z jego Ŝczeiem a kocie emeralm 3 s zł Zakładam Ŝe
7 7 rachuek emeral przosić będzie rocze zski 3% po uwzględieiu iflacji (sosując powŝszą paswą meodę iwesowaia) Odpowiedzi : (a) zgromadzo kapiał = zł; (b) emerura = 6982,9 zł Rozwiązaie Na emerale koo p Kowalskiego wpłwać będzie co miesiąc przez 4 la 3% z kwo 36zł, j 8zł Pieiądze e przosić będą miesięczie zsk rów /2 z 2,5%, czli,28% Jak wiem z wkładu Maemaka w Ekoomii i Zarządzaiu, przszła warość (FV) akiego srumieia pieiędz po 4 laach wosić będzie w realch pieiądzach 48 (,28) () FV = 8 = zł,,28 przpuszczalie więcej iŝ Kowalski będzie się spodziewał orzmać Co więcej, kwoa a uszczuplaa przez wpłacaą co miesiąc emerurę będzie oproceowaa 3% w skali roku, czli,25% w skali miesiąca (po uwzględieiu iflacji) W związku z m, rówaie róŝicowe podające wielkość posiadaego przez Kowalskiego mająku w miesiącu, licząc czas od momeu przejścia a emerurę, wglądać będzie asępująco: (),25 x, = gdzie x ozacza emerurę bruo kóra będzie wpłacaa przez 9 la Wiem poado Ŝe = , zaś = 3 8 Zasosujem eraz wzór (9), orzmując dla wszskich auralch liczb =,, 2, rówaie rekurecje (2) x x ),25,25 = (,25, czli ) = 4 x+ [ x] (,25 Skoro 3 = 4x+ [ x],39523, więc 8 = 3, o 3 = 4x ,8x, czli 23,8 x = Osaeczie emerura wosić będzie x = 6982,9zł Zagadieie 2(Zarządzaie wielkością zarudieia) Pewa firma zarudia akualie 4 osób, kórz wpracowują w ciągu kaŝdego roku 8 godzi W związku z przechodzeiem a emerur, zwaliaiem się z prac oraz redukcją ilości godzi prac przez osob w sarszm wieku, ogóla liczba przepracowach godzi w m przedsiębiorswie zmiejsza się w ciągu roku o
8 8 5 % Mając o a względzie, zarząd posaowił zarudiać kaŝdego roku owe osob w akiej ilości ab odpowiadająca im liczba roboczogodzi zwiększała się o E s w skali kaŝdego roku Nasuwa się u od razu kilka pań: (a) Jakie powi bć E ab w przszłości firma urzmwała zarudieie a poziomie 8 godzi w ciągu roku; (b) Jakie powi bć E i ab zarudieie w kolejch laach usabilizowało się a poziomie 8 4 roboczogodzi? Odpowiedzi: (a) E > 4; (b) E > 42 Rozwiązaie Niech ozacza ilość sięc roboczogodzi wpracowwach w roku Z reści zadaia wika iŝ 5 (3) = + E, Zgodie z wzorem (9), b E E * = = = a 5 5 (4) PoiewaŜ E E = jes liczbą większą od a miejszą od, jej koleje poęgi 5 dąŝą do zera gd i w kosekwecji do zera dąŝ eŝ cał czło (5) E Zaem, ab zagwaraować w przszłości (czli dla duŝch ) zarudieie a poziomie 8 s roboczogodzi, pierwsz czło we wzorze (8) musi bć większ iŝ 8, o jes, E (6) > 8, czli E > 4 (jes o odpowiedź a paie (a)) 5 E ZauwaŜm iŝ ierówość E > 4 implikuje Ŝe 5 > 8, a więc czło (5) jes zawsze miejsz od zera, chociaŝ dąŝ do zera A więc, zgodie ze wzorem (4), E zarudieie będzie w kaŝdm roku miejsze iŝ s roboczogodzi Ab 5 odpowiedzieć a paie (b), rozumujem w aki sam sposób jak poprzedio, dochodząc do ierówości
9 9 E (7) > 84, czli E > 42 (jes o odpowiedź a paie (b)) 5 poiewaŝ ak jak poprzedio drugi czło we wzorze (4), czli wraŝeie (5) dąŝ do zera gd Zagadieie 3(Zapas złoa w Polsce) Polska miała 32 kg złoa w 99 r KaŜdego roku połowa posiadaego złoa bła zuŝwaa, zaś 6 kg bło produkowae (a) Ile złoa będzie w Polsce w roku 29? (b) Na jakim poziomie usabilizuje się poziom zapasów złoa w przszłości? Odpowiedzi: (a) 2,5 kg; (b) 2 kg Rozwiązaie Niech ozacza ilość złoa w kg w roku Zgodie z reścią zadaia, (8) + 6, 32, = 2 6 a więc sałm rozwiązaiem będzie * = = 2 Zgodie ze wzorem (9), 2 ilośc złoa w Polsce w roku przjmując 99 za rok począkow ( = ), wosi (9) = 2 2) = + (32 2)( Odpowiadając a paie (a), w roku 29 ( = 9) będzie w Polsce 9 = 2+ 24,9 = 2,5 kg złoa 9 poiewaŝ ( ) =, 9 Ab odpowiedzieć a paie (b), odwołajm się do 2 (3) ab wwioskować Ŝe poziom złoa w Polsce sabilizować się będzie a poziomie 2 kg poiewaŝ drugi czło sojąc po prawej sroie rówaia (9) będzie dąŝł do zera wraz z
Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości
Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie jeda z podstawowych prawidłowości wykorzystywaych w fiasach polegająca a tym, Ŝe: złotówka w garści jest
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoObligacja i jej cena wewnętrzna
Obligacja i jej cea wewęrza Obligacja jes o isrume fiasowy (papier warościowy), w kórym jeda sroa, zwaa emieem obligacji, swierdza, że jes dłużikiem drugiej sroy, zwaej obligaariuszem (jes o właściciel
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoMetody oceny efektywności projektów inwestycyjnych
Opracował: Leszek Jug Wydział Ekoomiczy, ALMAMER Szkoła Wyższa Meody ocey efekywości projeków iwesycyjych Niezbędym warukiem urzymywaia się firmy a ryku jes zarówo skuecze bieżące zarządzaie jak i podejmowaie
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.
Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca
Bardziej szczegółowoPodstawy zarządzania finansami przedsiębiorstwa
Podsawy zarządzaia fiasami przedsiębiorswa I. Wprowadzeie 1. Gospodarowaie fiasami w przedsiębiorswie polega a: a) określeiu spodziewaych korzyści i koszów wyikających z form zaagażowaia środków fiasowych
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoBEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:
1 BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW Leszek S. Zaremba (Polish Open Universiy) W ym krókim i maemaycznie bardzo prosym arykule pragnę osiągnąc cele: (a) pokazac że kupowanie
Bardziej szczegółowoPłaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2
Opis aalitcz wielkości podstawowch wersor e x, e Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B ) ) Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B )
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoi 0,T F T F 0 Zatem: oprocentowanie proste (kapitalizacja na koniec okresu umownego 0;N, tj. w momencie t N : F t F 0 t 0;N, F 0
Maemayka finansowa i ubezpieczeniowa - 1 Sopy procenowe i dyskonowe 1. Sopa procenowa (sopa zwrou, sopa zysku) (Ineres Rae). Niech: F - kapiał wypoŝyczony (zainwesowany) w momencie, F T - kapiał zwrócony
Bardziej szczegółowooznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim
WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni
Bardziej szczegółowoEfektywność projektów inwestycyjnych. Statyczne i dynamiczne metody oceny projektów inwestycyjnych
Efekywość projeków iwesycyjych Saycze i dyamicze meody ocey projeków iwesycyjych Źródła fiasowaia Iwesycje Rzeczowe Powiększeie mająku rwałego firmy, zysk spodzieway w dłuższym horyzocie czasowym. Fiasowe
Bardziej szczegółowo. Dla każdego etapu t znamy funkcję transformacji stanu (funkcja przejścia):
D Miszczńska, M Miszczński, KBO UŁ, Eleme programowaia damiczego Eleme PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO (PD) Rozważam -eapow proces deczj: eap eap 2 eap - eap sa począkow 2 deczja x x x 2 x Sa procesu a począek
Bardziej szczegółowoOCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny.
OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE Defiicja: Pop o ilość dobra, jaką abwc goowi są zakupić prz różch poziomach ce. Deermia popu: (a) Cea daego dobra (b) Ilość i ce dóbr subsucjch (zw. kokurecjch) (c) Ilość
Bardziej szczegółowo3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń
3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie
Bardziej szczegółowoWykaz zmian wprowadzonych do skrótu prospektu informacyjnego KBC Parasol Funduszu Inwestycyjnego Otwartego w dniu 04 stycznia 2010 r.
Wykaz zmia wprowadzoych do skróu prospeku iformacyjego KBC Parasol Fuduszu Iwesycyjego Owarego w diu 0 syczia 200 r. Rozdział I Dae o Fuduszu KBC Subfudusz Papierów DłuŜych Brzmieie doychczasowe: 6. Podsawowe
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...
Bardziej szczegółowoV OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy I Etap ZADANIA 27 lutego 2013r.
V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizka się licz I Etap ZDNI 7 lutego 3r.. Dwa pociski wstrzeloo jeocześie w tę saą stroę z wóch puktów oległch o o. Pierwsz pocisk wstrzeloo z prękością o po kąte α. Z jaką
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2.
Zachęcam do samodzielej prac z arkuszem diagostczm. Pozaj swoje moce i słabe stro, a astępie popracuj ad słabmi. Żczę przjemego rozwiązwaia zadań. Zadaie. ( pkt) Wartość wrażeia a ZADANIA ZAMKNIĘTE b dla
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
Bardziej szczegółowo, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x
Meody aeaycze w echologii aeriałów Uwaga: Proszę paięać, że a zajęciach obowiązuje akże zajoość oówioych w aeriałach przykładów!!! CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Fukcją wyierą azyway fukcję posaci P ( )
Bardziej szczegółowoD:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.
D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna 2-2
Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów
Bardziej szczegółowoTRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET
POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoDEA podstawowe modele
Marek Miszczński KBO UŁ 2008 - Aaliza dach graiczch (EA) cz.2 (przkład aaliza damiki rakigi) EA podsawowe modele WPROWAZENIE Efekwość (produkwość) obieku gospodarczego o es defiiowaa ako sosuek sum ważoch
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoCiąg geometryczny i jego własności
Ciąg geometryczy Def: Ciągiem geometryczym (a) azywamy ciąg liczbowy co ajmiej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje z pomożeia wyrazu poprzediego przez stałą liczbę q, zwaą
Bardziej szczegółowoWygładzanie metodą średnich ruchomych w procesach stałych
Wgładzanie meodą średnich ruchomch w procesach sałch Cel ćwiczenia. Przgoowanie procedur Średniej Ruchomej (dla ruchomego okna danch); 2. apisanie procedur do obliczenia sandardowego błędu esmacji;. Wizualizacja
Bardziej szczegółowoMarża zakupu bid (pkb) Marża sprzedaży ask (pkb)
Swap (IRS) i FRA Przykład. Sandardowy swap procenowy Dealer proponuje nasępujące sałe sopy dla sandardowej "plain vanilla" procenowej ransakcji swap. ermin wygaśnięcia Sopa dla obligacji skarbowych Marża
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoKrzywe na płaszczyźnie.
Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ
PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą
EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Akuariuszy XXXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 20 marca 2006 r. Część I Maemayka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minu 1 1. Ile
Bardziej szczegółowoGretl konstruowanie pętli Symulacje Monte Carlo (MC)
Grel kosruowaie pęli Symulacje Moe Carlo (MC) W Grelu, aby przyspieszyć pracę, wykoać iesadardową aalizę (ie do wyklikaia ) możliwe jes użycie pęli. Pęle realizuje komeda loop, kóra przyjmuje zesaw iych
Bardziej szczegółowoBezrobocie. wysiłek. krzywa wysiłku pracownika E * płaca realna. w/p *
dr Barłomiej Rokicki Bezrobocie Jedym z główych powodów, dla kórych a ryku pracy obserwujemy poziom bezrobocia wyższy od auralego (czyli akiego, kórego zasadiczo ie da się obiżyć) jes o, iż płace wyzaczae
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoFINANSE PRZEDSIĘBIORSTW konwersatorium, 21 godzin, zaliczenie pisemne, zadania + interpretacje
mgr Joaa Sikora jsikora@ wsb.gda.pl joaasikora@wordpress.com FINANS PRZDSIĘBIORSTW kowersaorium, 21 godzi, zaliczeie piseme, zadaia + ierpreacje Treści programowe Wprowadzeie do fiasów korporacyjych podsawowe
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA FINANSOWA - PROCENT SKŁADANY 2. PROCENT SKŁADANY
2. PROCENT SŁADANY Zasada procetu składaego polega a tym, iż liczymy odsetki za day okres i doliczamy do kapitału podstawowego. Odsetki za astępy okres liczymy od powiększoej w te sposób podstawy. Czyli
Bardziej szczegółowoMateriał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi
Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.
Komisja Egzamiacyja dla Akuariuszy XXXIV Egzami dla Akuariuszy z 17 syczia 2005 r. Część I Maemayka fiasowa Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... WERSJA TESTU A Czas egzamiu: 100 miu 1 1. Day jes ieskończoy
Bardziej szczegółowoANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK (dok.) WYGŁADZANIE szeregu czasowego
D. Miszczńska,M.Miszczński, Maeriał do wkładu 6 ze Saski, 009/0 [] ANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK (dok.). szereg czasow, chroologicz (momeów, okresów). średi poziom zjawiska w czasie (średia armecza, średia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoOcena ekonomicznej efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych w elektrotechnice. 2. Podstawowe pojęcia obliczeń ekonomicznych w elektrotechnice
opracował: prof. dr hab. iż. Józef Paska, mgr iż. Pior Marchel POLITECHNIKA WARSZAWSKA Isyu Elekroeergeyki, Zakład Elekrowi i Gospodarki Elekroeergeyczej Ekoomika w elekroechice laboraorium Ćwiczeie r
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 7 Analiza dynamiki zjawisk (zjawiska w czasie) ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 7 Aaliza damiki zjawisk (zjawiska w czasie) ZADANIE DOMOWE www.erapez.pl Sroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (lko jeda jes prawdziwa). Paie Szereg damicz o: a) ciąg prędkości
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoNarzędzia matematyczne potrzebne w kursie Reakcje w ciele stałym
Narzędzia maemacze porzebe w kursie Reakcje w ciele sałm Pochoda fukcji jedej zmieej Defiicja, własości rachukowe, wzór a pochodą fukcji złożoej, szereg Talora, pochode fukcji elemearch. Pochoda fukcji
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 25.01.2003 r.
Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),
Bardziej szczegółowoWpływ rentowności skarbowych papierów dłużnych na finanse przedsiębiorstw i poziom bezrobocia
Wpływ renowności skarbowych papierów dłużnych na inanse przedsiębiorsw i poziom bezrocia Leszek S. Zaremba Sreszczenie W pracy ej wykażemy prawidłowość, kóra mówi, że im wyższa jes renowność bezryzykownych
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzamiacyja la Akuariuszy LIII Egzami la Akuariuszy z 3 paźzirika 0 r. Część II Mamayka ubzpiczń życiowych Imię i azwisko osoby gzamiowaj:... Czas gzamiu: 00 miu Warszawa, 3 paźzirika 0 r. Mamayka
Bardziej szczegółowo21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,
CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ
ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoFunkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarowe
Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki
Bardziej szczegółowo( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
7 Wyzaczyć zbiór wszyskich warości rzeczywisych parameru p, dla kórych całka iewłaściwa jes zbieża x xe Dzieląc przedział całkowaia orzymujemy x x e x x e x x e Zbadamy, dla kórych warości parameru p całki
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoModel Lesliego. Oznaczmy: 0 m i liczba potomstwa pojawiającego się co jednostkę czasu u osobnika z i-tej grupy wiekowej, i = 1,...
Model Lesliego Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Wyodrębiamy w populaci k grup wiekowych. Po każde edostce czasu astępuą arodziy i zgoy oraz starzeie (przechodzeie do astępe grupy wiekowe). Chcemy
Bardziej szczegółowoR n. i stopa procentowa okresu bazowego, P wartość początkowa renty, F wartość końcowa renty. R(1 )
Maeayka fasowa ubezpeczeowa Ćwczea 4 IE, I rok SS Tea: achuek re oęce rey Warość począkowa końcowa rey ey o sałych raach ea o zeych raach ea uogóoa osawowe poęca rachuku re ea es o cąg płaośc okoywaych
Bardziej szczegółowo