DETERMINANTY CENY OPCJI NA AKCJE ASPEKT TEORETYCZNY

Transkrypt

1 TUDIA PRAWNO-EKONOMICZNE,. LIV, 0 PL IN s Pawł DYKA * Maiusz TROJAK ** DETERMINANTY CENY OPCJI NA AKCJE APEKT TEORETYCZNY Wsęp Clm ninijszgo opacowania js zapznowani wóch najważnijszych moli wycny amykańskij opcji call na kus akcji. W liauz mau pznowan mol są znan, jnak sposób owoznia i wypowazania zalżności pomięzy minanami waości opcji ni zosał jak oą jnoznaczni wskazany. Waością oaną pacy js wskazani kok po koku sposobu wyznaczania waości opcji, a akż zw. liczb gckich, kó okślają ważliwość cny opcji na zmianę poszczgóych lmnów oziałujących na ę cnę. Opacowani ma nasępującą sukuę. Rozział. pzsawia zw. mol wumianowy, pzy czym sposób okśia cny js poany z wykozysanim pzykłau numyczngo; w ozzial. wypowazono zalżności opisan w molu Blacka cholsa; ozział 3. pznuj zw. liczby gcki bęąc miaami lasyczności cny opcji wzglęm poszczgóych jj minan.. Mol wumianowy Mol wumianowy nazywany inaczj o nazwisk auoów molm Coxsa, Rossa i Rubinsina (C-R-R) js posym, al bazo ważnym na- * Mg, Kaa Ekonomii Mamaycznj, Uniwsy Jagilloński. ** D, Kaa Globalizacji i Ingacji Ekonomicznj, Uniwsy Jagilloński.

2 9 Pawł DYKA, Maiusz TROJAK zęzim wykozysywanym na ynku finansowym. Zosał on zapoponowany pzz Williama F. hap a w 978., a ozwinięy pzz Johna C. Coxsa, phna Rossa i Maka Rubinsina w 979. Jgo buowa opaa js na wumianowym (wusanowym) zwi cyzyjnym i ozkłazi pawopoobińsw molowanym sochasyczni. Mol funkcjonuj pzy nasępujących założniach: W każym momnci sopa zwou akcji moż pzyjmować wi waości, zn. jżli w momnci cna akcji wynosi, o w chwili js możliwy wzos cny o u la u > albo spak o, gzi (0,). Analogiczna syuacja oyczy wzosu albo spaku cny opcji, a więc uc oznacza wzos, a C spak cny opcji o cni C w chwili. Pawopoobińswo wzosu cny wynosi p; js on molowany pzz pocs sochasyczny ożsamy z pocsm Bnouligo: { :,,...} z paamm p; zminn losow,,... mają aki sam ozkła: p P( ) P( 0) la każgo 0,,,... Ruchy cn akcji w óżnych momnach są o sibi nizalżn. Bak możliwości okonywania ansakcji abiażowych. Naszą analizę ozpocznimy o wycny jnoniowj uopjskij opcji kupna, a wykozysując pay opcji spzaży i opcji kupna, możmy osać waość opcji spzaży z zalżności: P C ( ), gzi P o cna opcji spzaży, C cna opcji kupna, waość akcji, cna wykonania, zaś o współczynnik yskona. Tak więc załóżmy, ż w chwili 0 (ziś) cna anj akcji wynosi 00 PLN oaz, ż w chwili (juo) moż ona wzosnąć lub spaść o 0%. yuację możmy pzsawić na nasępującym zwku: 0 (ziń 0) (ziń) 0 wzos o 0% spak o 0% J. Jakubowski, A. Palczwski, M. Rukowski, Ł. n, Mamayka finansowa. Insumny pochon, Wy. Nauk.-Tch.,Waszawa 003, s

3 Dminany cny opcji na akcj aspk oyczny 93 Rozważan zwko na piwszy zu oka wyaj się zby ywia, aby mogło mić związk z świam aym. W zwku ym opuściliśmy jną zmianę zinni, al gybyśmy opuszczali zmianę cny o 0% co gozin lub co 6 gozin, lub o 3 goziny i., o ozymalibyśmy coaz o kósz pzziały czasow, w kóych okonują się zmiany cn. Wy o ozważany mol oaj w sposób bazij alisyczny flukuację cn. Dalszym kokim js wyznaczni waości jnoniowj opcji kupna akcji. Usalmy cnę wykonania na poziomi 00 PLN. Wy waość opcji w niu wygaśnięcia (ziń ) pzsawia się nasępująco: Cna akcji w niu wygaśnięcia Waość opcji w niu wygaśnięcia ( ) ( ) 0 PLN 0 PLN 90 PLN 0 Rozważając zakup bąź spzaż opcji kupna, insuj nas ni yl jj waość w niu wygaśnięcia, al jj zisijsza waość. Zasosujmy moę wywozącą się z molu Fischa Blacka i Myon cholsa, kózy o posłużyli się wycną pofla abiażowgo zawiającgo ę opcję. Poflm abiażowym nazywamy pofl całkowici bzpiczny. Zbuowany js on z opcji i akcji obanych w aki sposób, ż płn zabzpiczni można uzyskać z pozycji w anj opcji oaz w akcjach piwonych. Poniważ zabzpiczni aki js auomayczni wo o yzyka, abiaż ynku gwaanuj, ż nowność ak zabzpiczongo pofla musi być ówna bzpicznj sopi zwou. W naszym pzykłazi pofl aki można ozymać, łącząc ługą pozycję w jnj akcji oaz kóką pozycję w wóch opcjach kupna. Waość naszgo pofla bęzi ówna 90 PLN, bz wzglęu na o, czy cna akcji wzośni o 0 PLN, czy ż spani o 90 PLN. Nasz pofl js więc całkowici bzpiczny. Wpowaźmy o naszych ozważań paam ( Δ ) współczynnik zabzpicznia okślony jako owoność liczby opcji kupna konicznych o skonsuowania pofla abiażowgo: Δ χ gzi ( χ ) oznacza liczbę opcji kupna. W naszym pzykłazi χ js oczywiści ówna. Uogóijmy nasz ozważania: chcmy znalźć aką liczbę opcji kupna χ, la kój waość pofla bęzi aka sama, bz wzglęu na zmianę cn akcji. Nich u oznacza cnę akcji po wzości, a cnę akcji

4 94 Pawł DYKA, Maiusz TROJAK po spaku. Analogiczni oznaczmy C u waość opcji kupna po wzości, a C waość opcji kupna po spaku. Liczba opcji kupna χ pozbnych la uwoznia pofla abiażowgo wynosi: u χ. u C C Jak wimy, la 0 (ziń) waość ozważanych akcji wynosi 00 PLN. Waość pofla abiażowgo wynosi 00 C wynika są, ż waość opcji w chwili 0 ni js znana. Wimy ponao, ż waość pofla w chwili wynosi 90 PLN. Mamy nasępującą syuację: 00 C > 90 gzi lwa sona niówności o waość w chwili 0, a pawa w chwili. Dyskonując powyższą niówność, ozymujmy ównani z niwiaomą C: C j gzi j o woa o yzyka (poniważ pofl abiażowy js woy o yzyka) jnoniowa sopa pocnowa. Bz say ogółu możmy pzyjąć bzpiczną sopę pocnową na poziomi 5,0% w skali oku, są jnoniowa sopa pocnowa wynosi j 0,0%. Nasz ównani pzyjmuj posać: C 0,000 Rozwiązując powyższ ównani, ozymujmy: C 5,0. Tak więc waość jnoniowj opcji wynosi 5,0 PLN. Rozwiązani powyższgo pzykłau pozwala pzjść o ozważań nico ogóijszych, a mianowici na waością opcji kupna akcji w chwili 0, al pzy óżnych cnach akcji. Rozwiązani go poblmu poali: John C. Coxs, phn Ross i Mak Rubinsin w 979. Zgoni z wynikami ich pac, cna uopjskij opcji kupna (C) ana js wzom: u ( ) ( ) ( 0) C ( 0) C C u ( 0) ( )

5 Dminany cny opcji na akcj aspk oyczny 95 gzi: (C ) o cna akcji (opcji) po zniżc, u (C u ) cna akcji (opcji) po zwyżc, (0) cna akcji w chwili 0, o woa o yzyka jnooksowa sopa pocnowa. Rozpazmy az opcj wuoksow (wuniow), pzy czym naal pzyjmujmy, ż cna akcji moż wzosnąć lub spaść o 0%. Rozkła cn akcji bęzi wygląał nasępująco: 0 (ziń 0) (ziń ) (ziń ) Aby wyliczyć waość opcji kupna w chwili 0, musimy usalić waości opcji la cn akcji w punkach węzłowych ( ), kó kszałują się na poziomi 90 i 0. Nasępni wykozysamy j o oblicznia waości opcji w chwili 0. Jżli w chwili waość akcji bęzi wynosić 0, o liczba opcji kupna pozbna o zabzpicznia jnj akcji wynisi: χ 99,047 są waość pofla abiażowgo js ówna,047c, a współczynnik zabzpicznia wynisi: Δ 0,955 χ Mamy nasępującą niówność: są: 0,047C > 99 0,047C 99,000

6 96 Pawł DYKA, Maiusz TROJAK Po ozwiązaniu powyższgo ównania ozymujmy waość opcji kupna C 0,5. Jśli naomias w chwili waość akcji wynisi 90, o waość opcji kupna wynisi 0, poniważ na całj ozpięości cn o 8 o 90 PLN waość opcji wynosi 0. Zsawini waości opcji i akcji pzsawia się nasępująco: Cna akcji w chwili Waość opcji w chwili 0 0, ą liczba opcji kupna pozbnych o zabzpicznia jnj akcji wynisi: 0 90 χ,90 0,5 Współczynnik zabzpicznia js ówny χ 0,5, waość pofla abiażowgo wynosi,90c. Dyskonując pawą sonę niówności: ozymujmy ównani: 00,90C > 90 00,90C 90,000 Rozwiązując powyższ ównani, ozymujmy C 5,7. Posępując zgoni z powyższym schmam, możmy wycnić opcję 3-, 4-, 5- lub n-niową. Na posawi pzpowazonj powyżj analizy możmy wyznaczyć pięć minan waości opcji. ą nimi:. Cna akcji () w naszym pzykłazi cna akcji w chwili 0 (chwila owacia opcji) wynosiła 00 PLN.. Cna wykonania () w analizowanym pzykłazi wynosi 00 PLN. 3. Zminność cn akcji w molu wumianowym, kógo użyliśmy o wycny opcji; waość opcji kupna js po części zalżna o ozmiau zmiany cny akcji. W naszj analizi cna akcji mogła wzosnąć lub spaść o 0%. Wilkość zmian cn okśla się zazwyczaj za pomocą waiancji w ozkłazi cn akcji. 4. Bzpiczna sopa pocnowa () opowiaa ona czasowi o wygaśnięcia opcji. W naszym pzykłazi sopa pocnowa wynosi 5,0%, sopa pocnowa la jngo oksu wynosi 0,0%. 5. Czas o wygaśnięcia opcji (T) w naszym pzykłazi ozważaliśmy jno- i wuoksową uopjską opcję kupna.

7 Dminany cny opcji na akcj aspk oyczny 97 Dla zobazowania wpływu zmiany waości poszczgóych minan cny opcji okonano nasępującj analizy, pzy założniu cis paibus:. Wzos cn akcji zwiększa waość opcji. Jśli w powyższym pzykłazi pzyjmimy cnę począkową akcji o 0 PLN wyższą, o zwko wumianow bęzi miało posać: 0. Jżli pozosał zminn zosaną sał, o waość opcji wzośni z poziomu 5,0 PLN o poziomu 0,5 PLN. 3. Wzos woj o yzyka sopy pocnowj zwiększa waość opcji kupna. Jżli sopa pocnowa wzosłaby z poziomu 5,0% o poziomu np. 5%, o jnoniowa sopa pocnowa wzosłaby z poziomu 0,000 o poziomu 0,0004. Waość opcji kupna wynosiłaby 5,0 PLN. 4. Wzos zminności cny akcji zwiększa waość opcji. Jżli pzyjąć, ż cny akcji mogą wzasać lub spaać o 5%, o cna akcji w momnach 0 i wygląa nasępująco: gy usalimy pozosał zminn, o cna opcji kupna wzośni z poziomu 5,0 PLN o poziomu 7,5 PLN. 5. Wzos cny wykonania zmnijsza waość opcji kupna. Jżli cnę wykonania zwiększymy z poziomu 00 PLN o np. 0 PLN (wzos o %), o cna opcji kupna zmalj z 5,0 PLN o 4,5 PLN. 85

8 98 Pawł DYKA, Maiusz TROJAK. Wycna opcji z wykozysanim molu Blacka cholsa Dugim, bazo ważnym nazęzim wykozysywanym o wycny opcji js opacowany w 973. pzz Fischa Blacka i Myona cholsa mol, o nazwiska jgo wóców zwany Blacka cholsa. Mol n opia się na pojęciu pofla abiażowgo: opcji i akcji obanych w aki sposób, ż płn zabzpiczni można uzyskać z pozycji w anj opcji oaz w akcjach bęących insumnm bazowym. Poniważ zabzpiczni aki js (auomayczni) wo o yzyka, abiaż ynku gwaanuj, ż nowność ak zabzpiczongo pofla musi być ówna bzpicznj sopi zwou. Połączni go waunku ównowagi z opowinimi waunkami bzgowymi pozwoliło Blackowi i cholsowi wypowazić konkny mol wycny opcji. Mol n zosał wypowazony w clu wycny uopjskich opcji akcyjnych. Opia on się na nasępujących założniach: Akcja ni pzynosi ywiny. Koszy ansakcyjn i poaki są zow. opy pocnow są sał. Ni ma ka za kóką spzaż akcji. Rynk ziała w sposób ciągły, a pzbig cn akcji a się molować ciągłym pocsm Io. Rozkła końcowych cn (nowność) js nomay. Twócy molu, opiając na pacy amulsona, pzyjęli posula, ż cna akcji () js pocsm sochasycznym opisanym za pomocą sochasyczngo ównania óżniczkowgo posaci: () μ () ( W ( ) ) (.) gzi: (0) > 0, μ js sałą apcjacji (gowh a), ozwicilającą nncj zmian cn akcji, js sałym współczynnikim zminności cn akcji. Ponao (0) > 0 oznacza cnę akcji w chwili począkowj 0, zaś W(), [ 0,T ] js pocsm Wina, kóy js pocsm sochasycznym o czasi ciągłym o nasępujących własnościach: W(0) 0; W ma ciągł ajkoi; W() ma ozkła gaussowski z waością oczkiwaną 0 i waiacją. Posać ównania óżniczkowgo (.) js powszchni używanym skóconym zapism nasępującgo ównania całkowgo:

9 Dminany cny opcji na akcj aspk oyczny 99 ( ) ( 0) ( u ) u ( u ) W ( u ) 0 μ (.) gzi piwsza całka js całką Rimmana (można ją ówniż inpować jako całkę Lbsgu a), zaś uga całka js zw. całką sochasyczną. Można wykazać, ż jynym ozwiązanim ównania (.) js pocs any wzom: ( ()) gzi [ 0,T ] () ( 0) 0 W () μ w szczgóości ajkoi pocsu cn () są funkcjami ciągłymi i oanimi w pzzial [0,T]. Ponao, la każgo ozkła pawopoobińswa zminnj losowj () js logaymiczno-nomay (oznacza o, ż zminna losowa (()) ma ozkła nomay). W molu Blacka cholsa zakłaa się, ż kókominowa sopa pocnowa js sała i ni mnijsza o za 0. Poniważ ozważa się u sopę pocnową z kapializacją ciągłą, współczynnik yskona pzyjmuj posać: R(), [ 0,T ]. Pzjzimy az o poania ozwiązania zaganinia wycny opcji w molu Blacka cholsa. Nich ( 0 T ] R C : R, oznacza funkcję: C(, T ) N( (, T ) ) N( (, T ) ), gzi: ( T ) ( T ), T oaz: ( T ) ( T ), T w wzoz Blacka cholsa N oznacza ysybuanę sanaowgo ozkłau gaussowskigo: N α ( α ) x x

10 300 Pawł DYKA, Maiusz TROJAK 3. Analiza ważliwości cny opcji w molu Blacka cholsa W pakycznym zasosowaniu molu Blacka cholsa analiycy finansowi chcą wizić, jak bazo cna opcji zalży o swoich minan. Rozwiązani go zaganinia ają (w pzybliżniu) pochon wzglęm zminnych wysępujących w wzoz Blacka cholsa, j.: cny insumnu bazowgo, sopy pocnowj, zminności cn insumnu bazowgo, czasu o zapaaości, cny wykonania. Pochon po powyższych zminnych nazywamy liczbami gckimi (nazwa wzięła się są, ż oznaczamy j liami alfabu gckigo). Dla pzjzysości naszych ozważań, ozpaujmy cnę uopjskij opcji kupna w chwili zo ( 0). Wy zminna mizy czas alizacji, są wzó Blacka cholsa pzyjmuj posać: gzi: oaz: C N ) N ( ) (3.) ( (3.a) (3.b) Zaczynając o najważnijszj minany cny insumnu bazowgo, ozymujmy: C N ( ) N( ) Rozważmy wyażni oaz zauważmy, ż,

11 Dminany cny opcji na akcj aspk oyczny 30 są: więc osaczni: C N( ) 0 (3.) Ozymaliśmy piwszy paam pozwalający okślać ważliwość wzou Blacka cholsa na zmianę cny walou piwongo. Nazywamy go paamm la; z wzou (3.) o azu wynika, ż moż on pzyjmować waości z pzziału (0,). Jżli waości ly bęą bliski, o opcja z użym pawopoobińswm zosani zalizowana; naomias jżli waość ly bęzi bliska 0, o najpawopoobnij wygaśni ona bz alizacji. W pakyc wykozysujmy paam la o woznia zw. pofla plikującgo. agia inwsycyjna polgająca na plikacji pofla złożongo z anj opcji poflm złożonym z walou piwongo () i insumnu wogo o yzyka, ak aby: Dla opcji Dla pofla plikującgo W zczywisości pofl opcji js bazo poany na zmiany cn. Aby any pofl uczynić mnij ważliwym na zmiany cn walou piwongo, ozważamy oakowy paam okślający ważliwość wzou Blacka cholsa na zmianę cny (okłanij: okślający ważliwość ly na zmianę ). Owym paamm js liczba gcka gamma; js o uga pochona (3.) po zminnj. Ozymujmy: C ( N( )) ( ) Pzyp. N(α) oznacza ysybuanę ozkłau nomago la zminnj zczywisj α, z okśia N(α) wynika, ż pzyjmuj ona waości z pzziału (0,).

12 30 Pawł DYKA, Maiusz TROJAK są osajmy, ż gamma wynosi: (3.3) Aby uwypuklić zalżność liczby gckij la o zminnj, zbaajmy pzbig zminności funkcji δ() N( ) w zalżności o pzy usalonych pozosałych zminnych. Z wzou (3.) ozymujmy, ż: δ ( ) ( 0; ) są wynika, ż nasza funkcja ni osiąga mijsc zowych. Dziziną funkcji δ() js zbió liczb zczywisych oanich. Policzmy ganicę na kańcach ziziny (j. pzy 0 i ). Na począku policzymy ganicę w zz, w ym clu ozważmy nasępującą ganicę: są: lim( ) lim lim ( ) N ( ) limδ lim( ) Poobni, licząc ganicę w, ozymujmy: są: lim ( ) lim lim ( ) lim ( N ( )) lim δ Z ganicy j wnioskujmy, ż funkcja δ() posiaa asympoę poziomą, kóą js posa pzchoząca pzz punk (0,). Piwszą pochoną wyznaczamy wpos z (3.3); js nią paam gamma. Z wzou na gammę ozymujmy, ż

13 Dminany cny opcji na akcj aspk oyczny 303 ( ) ( ) > 0 δ la każj waości R, co z koli implikuj, ż funkcja la js osnąca z wzglęu na zminną. W clu zbaania wypukłości funkcji la wyznaczamy jj ugą pochoną po zminnj. Zauważmy, ż js ona ówna piwszj pochonj funkcji gamma po. Mamy: ( ) ( ) ( ) δ (3.4) zukając punków, w kóych funkcja δ() moż posiaać,,punky pzgięcia, musimy znalźć aki *, aby było spłnion ównani: ( ) ( ) 0 δ. Z zalżności (3.4) osajmy ciąg ównoważności: są: (3.5) Aby jnoznaczni swizić, czy funkcja δ() zczywiści ma w punkci *,,punk pzgięcia, musimy zbaać znak ugij pochonj w ooczniu punku *. Zauważmy, ż w ówności (3.4) wyażni js sii większ o 0 la każj waości z ziziny funkcji δ(). ą znak ugij pochonj js pzciwny o znaku wyażnia:

14 304 Pawł DYKA, Maiusz TROJAK Tak więc la < * funkcja δ() js wypukła, a la > * wklęsła. Pzchoząc o koljnj minany sopy pocnowj woj o yzyka () ozymujmy koljną liczbę gcką zwaną ho; js o pochona cny uopjskij opcji kupna po zminnj. Rozważamy R i usalamy pozosał zminn wysępując w wzoz Blacka cholsa. Mamy więc: C N N ( ) ( ) N ( ) N ( ) są osaczni: C N ( ) (3.6) C Z ównania (3.6) wynika, ż > 0 la każgo R. To z koli implikuj, ż cna uopjskij opcji kupna js osnącą funkcją z wzglęu na zminną. Można n fak nasępująco zinpować: im wyższa sopa pocnowa, ym niższa waość biżąca z yułu zalizowania opcji, a o z koli pociąga wzos waości opcji. Nasępną liczbą gcką wyznaczoną w molu Blacka cholsa js vga, kóa mizy ważliwość cny opcji na zminną. Pzyjmujmy R i usalamy pozosał zminn.

15 Dminany cny opcji na akcj aspk oyczny 305 Ozymujmy: C ą vga wynosi: C (3.7) poobni jak w pzypaku ho, 0 > C la każj waości R. Więc cna uopjskij opcji kupna js osnącą funkcją z wzglęu na zminną. Można o inuicyjni zinpować w nasępujący sposób: pzy większj zminności cny walou bazowgo pawopoobińswo użj zmiany cny goż walou w oksi wania opcji js większ. Wimy, ż cna uopjskij opcji kupna ni moż pzyjmować waości ujmnych; większy zaks zminności cny insumnu bazowgo implikuj powiększni maksymaj waości opcji, ni obniżając pzy ym waości minimaj. Osanią liczbą gcką js ha, kóa mizy ważliwość cny opcji na czas zapaaości. Zakłaamy, ż R i usalamy pozosał zminn. Ozymujmy:

16 306 Pawł DYKA, Maiusz TROJAK C 4 ( ) ( ) N 4 4 ( ) N 4 ( ) 4 4 N ą osajmy, ż ha wynosi: ( ) N C (3.8) Z wzou (3.8) osajmy, ż 0 > C la każj waości R, więc cna uopjskij opcji kupna js ówniż osnącą funkcją z wzglęu na zminną. Tha moż mić nasępującą inpację: z wzosm czasu o wygaśnięcia malj waość płaności z yułu wykonania opcji, są wzasa cna opcji. Pzjźmy o zbaania pzbigu zminności samgo wzou Blacka cholsa. Z uwagi na ozmiay ninijszj pacy ozważymy pzbig zmin-

17 Dminany cny opcji na akcj aspk oyczny 307 ności z wzglęu na najważnijszą minanę cnę insumnu bazowgo. Tak więc baamy funkcję C() pzy pozosałych zminnych usalonych. Poobni jak wyżj, pzyjmujmy zizinę funkcji C() jako zbió liczb zczywisych oanich. Na począku policzymy ganicę na kańcach ziziny (j. pzy 0 i ). Ozymujmy: ozważmy ganicę: ( ) ( ) lim N( ) N( ) lim C, 0 0 lim 0 ( ) lim 0 poobni: lim N( ) 0. Kozysając z faku: lim N( ) 0 ozymujmy osaczni: lim C 0 ( ) 0 Licząc ganicę pzy ozymujmy: lim C ( ) ( ) lim N( ) N( ). Poobni jak wyżj ozważymy najpiw ganic: lim,. lim N ( ) lim Poobni: lim ( ). Kozysając z faku: ( ) osaczni: ( ) (3.9), osajmy lim C (3.0) Z ówności (3.9) i (3.0) wynika, iż funkcja C() ni posiaa asympoy pionowj i poziomj.

18 308 Pawł DYKA, Maiusz TROJAK Aby spawzić, czy funkcja C() posiaa asympoę ukośną, musimy ozważyć ganicę nasępujących wyażń: ( ) (i) C lim m (ii) lim [ C( ) m ] b Wy posa y m b js asympoą funkcji C(). Rozważając wyażni (i), osajmy: ( ) C m lim naomias la (ii) mamy: b lim lim N ( ) ( ) N [ ] [ C( ) m] lim N( ) N( ) [ N( ) ] N( ) lim lim ą wynika, iż posa y js asympoą ukośną funkcji C(). C Z ównania (3.) wynika, ż > 0 la każj waości R, więc funkcja C() js osnąca. Monooniczność funkcji C() oaz ganica (3.9) implikuj nam o, iż ni posiaa ona mijsc zowych. C Z ówności (3.3) osajmy: > 0 la każj waości R, a o z koli pociąga wypukłość funkcji C() w całj zizini. Posumowani Zapznowan w ninijszym opacowaniu wa mol wycny pozwalają na okślani cny opcji na ynkach finansowych. zczgółowa analiza niobcna w innych go ypu opacowaniach pozwala na zozumini mchanizmów okślających lacj pomięzy zminnymi zasosowanymi zaówno w molu wumianowym, jak i ozszznim molu o posaci ogój molm Blacka cholsa. Doakowo wykazano sposób wyznaczania liczb gckich, bęących ważnym paamm inwsycyjnym.

19 Dminany cny opcji na akcj aspk oyczny 309 Bibliogafia Gonak D., Maksymiuk R., Wycna i zabzpiczni pochonych insumnów finansowych, K.E. Lib 998. Hull J., Konaky minow i opcj, Wy. Wig-Pss, Waszawa 998. Jakubowski J., Palczwski A., Rukowski M., n Ł., Mamayka finansowa, insumny pochon, Wy. Naukowo-Tchniczn, Waszawa 003. Jakubowski J., ncl R., Wsęp o oii pawopoobińswa, Wy. cip, Waszawa 004. Pliska R.., Wpowazni o mamayki finansowj, mol z czasm ysknym, Wy. Naukowo-Tchniczn, Waszawa 005. Pawł DYKA Maiusz TROJAK DETERMINANT OF OPTION PRICE FOR TOCK THEORETICAL APECT ( u m m a y) Th aim of h pap was o psn wo h mos impoan valuaion mols of Amican call opion. In h scinific liau such mols a wll known, bu h way h final fomulas of hm a conuc a no claly psn. Th ail analysis of laionship bwn vaiabls inclu in h mol was also shown. Th a valu of h pap is h sp-by-sp analyical calculaion of h pmium valu of h Black & chols fomula an also h way h Gk numbs w iv. Th pap consiss of fou chaps in which wo mols of opions valuaion an h way of calculaion of Gk numbs w iv.