Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część I. Matematyka finansowa

Transkrypt

1 Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XXXVI Egzami dla Aktuariuszy z 0 paździerika 2005 r. Część I Matematyka fiasowa Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

2 . Niech dur() ozacza duratio ciągu przepływów pieiężych. Wyzacz: lim lim ( dur ( Ia) ) ( dur ( Da) )) Podaj ajbliższą wartość: A).9 B) 2.2 C) 2.8 D) 3.4 E) + (skończoa graica ie istieje) dla i = 7% 2

3 2. Bak udziela pożyczki -letiej w wysokości L z oprocetowaiem i>0, spłacaej w rówych roczych ratach a koiec każdego roku (>0, L>0). Wiadomo, że: a) odsetki spłacoe w pierwszych k ratach wyoszą X (k>0) b) odsetki spłacoe w ostatich k ratach wyoszą Y (k>0) Spośród astępujących stwierdzeń: prawdziwe są: (i) (ii) (iii) A) tylko (i) B) (i) i (ii) C) tylko (iii) D) (i) i (iii) E) wszystkie X = Y wtedy i tylko wtedy gdy i = 0 lub gdy = k Jeżeli 0<v< jest czyikiem dyskotującym dla stopy i, to łącza kwota kapitału zapłacoego w czasie spłacaia pożyczki wyosi Y L = ( v ) k ik + v Itesywość oprocetowaia δ odpowiadająca stopie i wyosi kp X δ = l, k kp Y gdzie P jest stałą ratą pożyczki, a k < 3

4 3. Rachuek oszczędościowy założoo w chwili 0 z początkową wpłatą w wysokości. Dalsze wpłaty a rachuek dokoywae są w sposób ciągły z roczą itesywością C ( t) = ( + t)l( + t) w chwili t>0. Ciągła itesywość oprocetowaia środków a rachuku wyosi δ t =. + t Ile wyosi zakumulowaa wartość środków w chwili s = 4.5? Odpowiedź (podaj ajbliższą wartość): A) 30.5 B) 32.5 C) 34.5 D) 36.5 E)

5 4. Spośród astępujących stwierdzeń: a. s = a( t) jest prawdziwe w prostym modelu oprocetowaia t= 0 (a(t) jest zakumulowaą wartością kwoty a chwilę t) cktk k= b. Jeżeli c i są płatościami w chwilach t i =,...,, to dla t =, prawdziwe jest c stwierdzeie: k k= c v k= c k tk > v (czyik dyskotujący 0 < v < ). t c. Dla każdego ciągu przepływów pieiężych a, a 2,..., a k, a k+, a k+2,..., a, k<, wewętrza stopa zwrotu IRR istieje i jest jedozaczie określoa w przypadku gdy przepływy a i są tylko ujeme dla i < k+ a tylko dodatie dla i > k. A) tylko a i b B) tylko a i c C) a, b, c (wszystkie) D) tylko b i c E) tylko b k= k 5

6 5. Iwestor bierze kredyt w wysokości zł spłacay w 50 rówych roczych ratach płatych z dołu przy stopie i = 0%. Bezpośredio po zapłacie 0 raty reegocjuje waruki kredytu. Pozostała do spłaty część kredytu będzie teraz spłacoa przez koleje 30 lat (razem 40 lat) w rówych ratach ze zmieioą stopą i 2 = 2%. Ile wyosi różica pomiędzy sumą odsetek zapłacoych a koiec 2,4,6,...,40 roku przy owych warukach a sumą odsetek jaka byłaby zapłacoa w pierwotej formule spłaty kredytu w tym samym czasie? (podaj ajbliższą wartość) A) 530 B) 280 C) 30 D) 220 E) 470 6

7 6. Wypłata z roczej obligacji uzależioa jest od ilości bakructw w tym okresie w ustaloym zbiorze 00 spółek. I tak a koiec roku wyosi oa: 30 PLN o ile wystąpiły ie więcej iż 2 bakructwa 00 PLN o ile wystąpiły 3 lub 4 bakructwa 90 PLN o ile wystąpiło 5 lub 6 bakructw 50 PLN o ile wystąpiło więcej iż 6 bakructw Ryek wyceia obligację a poziomie dającym oczekiwaą stopę zwrotu i =0%. Prawdopodobieństwo bakructwa każdej ze spółek w ciągu roku wyosi 2% i są oe wzajemie iezależe. Wypłata z obligacji jest pewa. Iwestor kupuje obligację po bieżącej ceie rykowej. Po godziie od zakupu a ryek dociera iformacja o bakructwie jedej ze spółek. O ile procet spadie cea rykowa obligacji w reakcji a tę iformację? Do obliczeń moża użyć przybliżeia rozkładem Poissoa. Podaj ajbliższą wartość. A) 6,85% B) 7,5% C) 7,45% D) 7,75% E) 8,05% 7

8 7. Bieżące cey roczych europejskich opcji a akcje spółki X są astępujące: cea wykoaia cea call cea put Iwestor chce abyć istrumet wypłacający za rok kwotę: 0 o ile cea akcji < * cea akcji za rok, o ile cea akcji będzie w przedziale [50,60) 4 * cea akcji za rok 240, o ile cea akcji będzie w przedziale [60,70) 6 * cea akcji za rok 380, o ile cea akcji >= 70 Ile wyosi cea takiego istrumetu przy założeiu braku kosztów trasakcyjych oraz braku możliwości arbitrażu? (podaj ajbliższą wartość) A) 48 B) 52 C) 56 D) 60 E) 64 8

9 8. Rozkład cey spółki A za pół roku jest rówomiery a przedziale (0 ; 30). Rozkład cey tej spółki za rok jest rówomiery a przedziale (0.6 * X ;.6 * X), gdzie X ozacza ceę akcji za pół roku. Ile wyosi bieżąca wartość półroczej europejskiej opcji call po 4 PLN a europejską półroczą opcję call po 20 PLN a akcję spółki A? Iwestor wymaga z iwestycji w taką opcję a opcję efektywej roczej stopy zwrotu i = 2%. A).00 B).5 C).35 D).55 E).65 Uwaga: Europejska opcja a opcję uprawia do zakupu w termiie jej zapadalości (tutaj po /2 roku) za 4 PLN europejskiej opcji (tutaj rówież półroczej) a akcję spółki A z ceą wykoaia 20 PLN 9

10 9. Day jest ieskończoy ciąg ret ieskończoych, gdzie reta startująca a początku roku k wypłaca z dołu a koiec kolejych lat kwoty, +k, +2*k, +3*k,... (k =,3,5,7...). Ile wyosi bieżąca wartość tego ciągu ret przy założeiu i = 5% dla pierwszych 0 lat oraz i = 0% dla całego późiejszego okresu (podaj ajbliższą wartość)? A) 9 83 B) C) 9 4 D) E)

11 0. Zakład ubezpieczeń iwestuje kwotę w wysokości a trzy sposoby: (i) (ii) (iii) Wiadomo poadto, że: Iwestycja I udziela 5-letiej pożyczki oprocetowaej a 7%, spłacaej w rówych roczych ratach (a koiec roku), Iwestycja II kupuje pakiet akcji Iwestycja III kupuje jedostki uczestictwa w fuduszu iwestycyjym wariacja stopy zwrotu z akcji wyosi 256% wariacja stopy zwrotu z fuduszu iwestycyjego wyosi 00%, współczyik korelacji stopy zwrotu z akcji i fuduszu iwestycyjego wyosi 0.5 proporcje iwestowaia w akcje i fudusz iwestycyjy są ustaloe tak, aby ryzyko portfela było jak ajmiejsze udzieloa pożyczka jest uważaa za iwestycję bez ryzyka kwota zaiwestowaa w akcje wyosi tyle co 0% środków zaiwestowaych w pożyczkę Ile wyosi część odsetkowa trzeciej raty pożyczki? Odpowiedź (podaj ajbliższą wartość): A) B) C) D) E)

12 Egzami dla Aktuariuszy z 0 paździerika 2005 r. Matematyka fiasowa Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko:... Pesel:... OZNACZENIE WERSJI TESTU... Zadaie r Odpowiedź Puktacja A 2 E 3 B 4 D 5 A 6 D 7 D 8 D 9 E 0 C * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja. 2