Elementy matematyki finansowej

Transkrypt

1 Elmty matmatyki fiasowj RZEDMIIOT : EFEKTYWNOŚĆ SYSTEMÓW IINFORMATYCZNYCH Elmty matmatyki fiasowj Wykład: Elmty Matmatyki Fiasowj la Wykładu Tmat: Elmty matmatyki fiasowj Zaczi czasu w oci fktywości iwstycji oct posty i składay 3 Dyskoto post i składa 4 Nomiala i fktywa stopa poctowa 5 Watość pzyszła piiądza 6 Watość biżąca piiądza 7 Stopa poctowa a iflacja ROWADZĄCY : d iiż.. Zbiiiiw TARAATA Zbiiiiw..Taapatta@iissii..watt..du.pll httttp::////ttaapatta..ssttffa..pll Hasło do matiałów a stoi WWW podaj wykładowca!

2 Elmty matmatyki fiasowj Elmty matmatyki fiasowj oct posty i składay. Zaczi czasu w oci fktywości iwstycji W pocsi iwstycyjym istotym lmtm staowiącym pzsłakę acjoalizującą pocs dcyzyjy w pzdsiębiostwi jst między iymi czas. Im wczśij zwóci się am zaiwstoway kapitał, tym szybcij będzi o moża wykozystać do fiasowaia iych iwstycji uzyskując z ich dochód. Zamożi kapitału pzz dłuższy oks i tylko pozbawia as dodatkowo kapitału z iych źódł, al z wzlędu a istijącą iflację, odzyskay piiądz posiada ią watość iż w chwili jo zaiwstowaia. Wiosk: czas wpływa a watość piiądza. Watość ta jst óża w óżych momtach w pzyszłości. Ociając fktywość pojktów iwstycyjych badzo często dokoujmy poówań biżących akładów iwstycyjych z pzyszłymi dochodami. W takich pzypadkach musimy jdak uwzlędiać zmią watość piiądza w czasi zapwiając poówywalość czasową składików achuku fiasowo. Moża to osiąąć spowadzając watość stumii piiądza a okśloy momt. Zazwyczaj jst to momt spoządzaia acjoalizacji dcyzji iwstycyjych. W clu obliczia alżych odstk od kdytu za kolj oksy wyzacza datami ich płatości, powio skozystać się z wzou: I i (.) t 36 t I t odstki od kdytu alż po t diach; kwota zaciąięto kdytu; i ocza stopa poctowa, ( ok ówa się 36 di); t oks pomiędzy koljymi płatościami odstk. Aby obliczyć stopę poctową i t kdytu za t di kozystamy z zalżości: I t i /(.) / i (.) t 36 zykład. ożyczamy tys zł a za 4 misiąc będzimy musili zwócić tys zł. Il wyosi ocza stopa poctowa kdytu? Rozwiązai tys; I t tys- tys tys; t 43 di di. Kozystając z wzou (.) obliczamy i: i i.3 3% 36 t 3 4

3 Elmty matmatyki fiasowj W pzypadku lokat możmy mić do czyiia z óżymi sposobami aliczaia odstk. Jżli odstki w całym oksi twaia lokaty alicza są od tj samj podstawy ówj początkowj kwoci lokaty, to mamy sytuację odstk postych azywaych poctm postym. Natomiast, dy całkowity oks lokaty podziloy jst a podoksy, a odstki za kolj podoksy alicza są od początkowj kwoty lokaty powiększoj o odstki aliczo za popzdi podoksy, wtdy mamy do czyiia z odstkami składaymi zwaymi poctm składaym. Dodawai odstk do kwoty lokaty azywa się kapitalizowaim odstk. Z kapitalizacją odstk wiąż się pojęci oksu bazowo. Jst o ówy oksowi, po upływi któo dolicza są odstki a otzymaa suma jst podstawą do aliczaia odstk w astępym oksi bazowym. Dla odstk postych, końcową watość lokaty obliczamy z wzou: (.3) ( + i) + i + I początkowa watość lokaty; ilość oksów bazowych; i opoctowai lokaty za jd oks bazowy; I odstki za cały oks twaia lokaty. Dla odstk składaych, końcowa watość lokaty jst obliczaa z wzou: (.4) ( + i) + ( + i) [ ] I + Elmty matmatyki fiasowj zykład. Załóżmy, ż bak alicza i kapitalizuj odstki co kwatał. oczątkowa kwota lokaty wyosi 5 tys zł, a ocza stopa poctowa wyosi 4%. Nalży obliczyć watość lokaty po upływi pół oku. Rozwiązai Naliczai i kapitalizowai odstk co kwatał wiąż się z poctm składaym, dzi oks bazowy wyosi 3 misiąc (t9 di). Rozważmy dwa oksy bazow (). Opoctowai za 3 misiąc obliczamy z wzou (.): 9 i % 36 Aby obliczyć watość lokaty po upływi pół oku kozystamy z wzou (.4): ( +.6) Zalżość (.4) dotyczy pzypadku tzw. kapitalizacji zodj. Występuj oa wtdy, dy oks kapitalizacji jst taki sam jak oks stóp poctowych. W pozostałych pzypadkach występuj kapitalizacja izoda. W takim pzypadku, końcową watość lokaty wyaża się wzom: (.5) + i m m. 5 6

4 Elmty matmatyki fiasowj 3. Dyskoto post i składa Obliczai watości początkowj kapitału a podstawi jo watości końcowj azywa jst dyskotowaim. Różica - azywaa jst dyskotm. W zalżości od odzaju opoctowaia mówimy o dyskoci postym lub składaym. zypadk poctu posto po pzkształciu wzou (.3): (.9) + i zypadk poctu składao po pzkształciu wzou (.4): Elmty matmatyki fiasowj 4. Nomiala i fktywa stopa poctowa Baki, jako opoctowai lokat podają omialą, oczą stopę poctową oaz częstotliwość kapitalizowaia odstk. Na pzykład lokata -to misięcza, stopa poctowa 3 % w stosuku oczym, odstki kapitalizowa co kwatał. Częstość kapitalizacji odstk powoduj, ż kapitał zdpooway w baku pzyasta szybcij iż 3 % w ciąu oku. Rzczywisty pzyost kapitału będzimy dfiiować fktywą stopą poctową. Jżli pzz i ozaczymy fktywą stopę poctową to, dy odstki od lokaty były kapitalizowa częścij iż az do oku.: + i (.) ( ) W dyskotowaiu, stopa poctowa i za jd oks zwaa jst stopą dyskotową. (.) I i (.3) i I [( + i) ] ( + i) zykład.3 Jaką kwotę alży zaiwstować, aby po latach otzymać tys zł, jżli stopa poctowa wyosi %. Założyć kapitalizację oczą odstk. Rozwiązai dzi I - odstki za cały oks twaia lokaty. Dla aszo pzykładu, fktywa stopa poctowa i wyosi: 4 i ( +.8).36 36% tys. ( +.) Obliczamy j wykozystując (.): i t W pzypadku, dy odstki są płaco zadzij iż az a ok, fktywa stopa poctowa będzi ówa oczj stopi poctowj. 7 8

5 Elmty matmatyki fiasowj Ozacza to, ż oksm bazowym będzi ok. Obliczamy i z wzou: / (.7) i ( + i) Zalżość ta pozwala obliczyć wilkość fktywj stopy poctowj, dy zaiwstoway kapitał pzyasta o stały poct i częścij iż az a ok. zykład.4 Il wyosi fktywa (ocza) stopa poctowa, jżli w wyiku zaiwstowaia tys zł po latach otzymaliśmy z powotm 5 tys zł. Rozwiązai Zysk z iwstycji wyosi 5 tys tys 5 tys, czyli mamy astępując da: I5 tys; ; tys; 5 tys. Stopa poctowa i za cały oks twaia iwstycji wyosi: i 5.5 5% Elmty matmatyki fiasowj 5. Watość pzyszła piiądza Watość pzyszła (Futu Valu FV) okśla, jaka będzi w pzyszłości watość piiądza zaiwstowao obci. Załóżmy, ż lokujmy zł w baku a początku oku a 5 lat z oczą stopą poctową % pzy oczj kapitalizacji odstk. zyszł watości zaiwstowaj kwoty wyoszą: Z końcm oku: (+.) Z końcm oku: (+.) Z końcm 3 oku: (+.) 3 33 Z końcm 4 oku: (+.) Z końcm 5 oku: (+.) Oóly wzó okślający watość piiądza w -tym momci w pzyszłości ma astępującą postać : (.8) ( + i) momt w pzyszłości, dla któo jst liczoa watość końcowa piiądza; watość początkowa; pzyszła watość kapitału; i stopa poctowa dla oksu bazowo; -oczy współczyik poctowy (+i). Wykozystując zalżość (.7) obliczamy stopę fktywą i : i ( +.5) /.47.47% Uważy Czytlik spostzż, ż poday wzó po az piwszy pojawił się w (.4) pzy okazji omawiaia poctu złożoo. Wato tutaj ówiż zazaczyć, ż w pzypadku watości pzyszłj piiądza, aktualym pozostają zalżości (.5) i (.6). 9

6 Elmty matmatyki fiasowj Jżli pod koic każdo oku będzimy lokować tę samą kwotę, wtdy ich łącza watość w -tym momci w pzyszłości wyaża się astępującym wzom: (.9) dzi wyażi ozacza czyik opoctowujący ów, ocz płatości w czasi. owyższa zalżość okśla watość pzyszłą ty płacoj z dołu typu auity. Watość pzyszła ty płacoj z óy typu auity obliczamy kozystając z astępująco wzou: Elmty matmatyki fiasowj zykład.5 Załóżmy ozpatywać zaciąięci kdytu w wysokości w dwóch bakach a oks misięcy. Nomial opoctowai kdytu za każdy misiąc w obu bakach jst taki samo. iwszy bak wymaa, aby odstki od kdytu były płaco az pzy zwoci kdytu, atomiast w duim baku alży odstki płacić co misiąc. W któym baku koszt kdytu jst większy. Rozwiązai Nich i ozacza misięcz, omial opoctowai kdytu. W piwszym baku wilkość płacoych odstk I wyosi: I i (.) Jst to jdoczśi pzyszła watość odstk, poiważ zodi z wymaaiami są o płaco pod koic oksu kdytowaia. Rozważając kdyt w duim baku alży zauważyć, ż z obliczoą wyżj watością I moża jdyi poówać watość pzyszłą odstk a koic twaia kdytu płatych co misiąc w ówych wysokościach (czyli w postaci ty oczj typu auity z płatością z dołu). W tym clu wykozystamy wzó (.9): czas Rysuk Istota watości pzyszłj I i watość aty odstkowj w każdym misiącu; +i.

7 Elmty matmatyki fiasowj odstawiając powyższ wyażia do wzou a I otzymamy: I ( + i) i ( + i) ( + i) i i (( + i) ) oiważ i> oaz (+i) ->i stąd I >I. Ozacza to, ż koszt kdytu w duim baku jst większy od kosztu kdytu w baku piwszym. zykład.6 Załóżmy, ż chcmy zaciąąć kdyt w wysokości w jdym z dwóch baków a oks misięcy. W obu bakach stopa poctowa jst taka sama, a odstki alży płacić po upływi każdo misiąca. W piwszym baku całą kwotę kdytu alży spłacić jdoazowo a koic -to misiąca. Dui bak wymaa spłatę kdytu w ówych atach kapitałowych pod koic każdo misiąca. W któym baku koszt kdytu jst większy? Rozwiązai odobi jak w zykładzi.5, watość stumii piiężych związaych z kdytami będzimy odosić do momtu końca twaia oksu kdytowaia. Jdak w pzciwiństwi do popzdio pzykładu, z wzlędu a fakt óżych fom spłaty kdytu, powio uwzlędić się i tylko watość pzyszłą odstk al ówiż at kapitałowych. Wyjaśii iówości (+i) ->i opia się a wzoz dwumiym Nwtoa: k k ( + i) i + i + i +... > + i k k + i czyli ( + i) > ( + i) i Elmty matmatyki fiasowj W pzypadku piwszo baku watość płacoych odstk i spłaty kdytu a koic -to misiąca obliczamy z wzou: + /(.9) / + dzi watość obca kdytu; watość pzyszłą płacoych odstk; i wilkość płacoych odstk; +i. Uwzlędiając powyższ ozaczia otzymamy: (.7) (( + i) ) ( i ( + i) + + i + + ) ( + i) Dla duio baku obliczia się komplikują. Miaowici a koic każdo misiąca płacimy poza odstkami ówiż aty kapitałow. Hamooam dokoywaych płatości jst w tym pzypadku astępujący: odstki + aty kapitałow łatość a koic -szo misiąca: i + ; łatość a koic -io misiąca: i + ; łatość a koic 3-cio misiąca: i+ ;... łatość a koic k-to misiąca: ( k ) i + ; łatość a koic -to misiąca: ( ) i+. 3 4

8 Elmty matmatyki fiasowj Nalży więc obliczyć watość pzyszłą watość powyższych stumii dokoywaych płatości. Bioąc k-ty z kolj stumiń, jo watość pzyszła jst astępująca: ( k ) i + k ( + i) Sumując pzyszł watości poszczólych stumii otzymamy: k (.) ( k ) i + ( + i) ( + i) k oówując powyższą zalżość (.) z watością pzyszłą stumii płatości związaych z kdytm zaciąiętym w piwszym baku (.) stwidzamy, ż koszt kdytów w obu bakach jst jdakowy. Elmty matmatyki fiasowj 6. Watość biżąca piiądza Watość biżąca (st Valu- V) okśla, jaka jst obca watość piiądza, któo otzymai jst oczkiwa w pzyszłości. Załóżmy, ż za 5 lat oczkujmy kwoty zł. Jaki kapitał alży obci zaiwstować pzy oczj stopi 5 %, aby otzymać oczkiwaą kwotę. Żby ozwiązać powyższy poblm skozystamy z zalżości (.8), dzi i,5; zł; 5. Szukaą wilkością jst. zkształcamy wzó (.8) w astępujący sposób: (.3) dzi ( + i ) ( + i) ( + i) jst tak zwaym czyikim dyskotującym. W aszym pzykładzi otzymamy: 5 ( +,5) Załóżmy obci, ż pzz koljych lat pod koic każdo oku pojawiają się watości każda. Ich watość biżącą ozaczaą pzz obliczymy z wzou: (.4) ( ) 5 6

9 Elmty matmatyki fiasowj Elmty matmatyki fiasowj Watość biżąca duio wpływu:,5 ( +,) 3.97 Watość biżąca tzcio wpływu: czas Rysuk Istota watości biżącj,5 + ( +,) zykład.7 Lokujmy zł w baku wdłu stopy poctowj 5 %. Załóżmy, ż a koic każdo oku płaco są am odstki od ulokowao kapitału, zaś po 3 latach bak wypłaca am ówiż ulokowaą kwotę. Obliczyć watość biżącą wszystkich wpływów w pzyszłości wykozystując do dyskotowaia watość %. co daj am astępującą watość biżącą wszystkich wpływów, czyli: Rozwiązai i,,55 3,5+5. Obliczamy watość biżącą każdo z pzyszłych wpływów: Miaowici: Watość biżąca piwszo wpływu:,5 ( +,)

10 Elmty matmatyki fiasowj W wilu pzypadkach mamy jdak do czyiia z szami płatości o jdakowj wysokości, dokoywaych ulai pzz iskończoą liczbę oksów. To typu sz w tmioloii fiasów okślay bywa miam pptuity lub tą wiczystą. Wyóżia się: ptuity zwykł (płatości astępują a koic każdo oksu); ptuity płat z óy (płatości astępują a początku każdo oksu). Watość biżąca zwykło pptuity wylicza się z astępującj zalżości: i... (.5) ( i) ( ) i Watość biżącą pptiuty płato z óy wylicza się z wzou: Elmty matmatyki fiasowj 7. Stopa poctowa a iflacja Rozważmy pzypadk złożia zł dpozytu w baku a %. Ozacza to, ż po oku otzymamy zł. Opoctowai % jst taktowa jako wyaodzi za powstzymai się pzz ok od kosumpcji, co wiąż się z tym, ż po oku będzi moża kupić o % więcj poduktów. Jżli więc ca k mięsa wyosi zł, to w chwili obcj będzimy moli kupić k, zaś po oku k. Jśli jdak okaż się, ż ca mięsa w ciąu oku wzośi o 5 % do.5 zł, to za ok czyli za kwotę zł będzimy moli abyć 4.8 k a więc tylko o 4.8 % więcj w stosuku do chwili obcj. Ozacza to, ż asza aoda za wstzymai się pzz ok od kosumpcji wyosi 4.8 % a i %. W pzypadku występowaia iflacji, aoda za cipliwość okślaa jst pzz tak zwaą alą stopę poctową. Oóla fomuła okślająca lacj pomiędzy alą al a omialą om stopą poctową w waukach iflacji a poziomi if ma astępującą postać: i + i (.6) ( ) ( ) i (.7) + al + + om if al + + om if W paktyc, badzo często wykozystuj się pzybliżoą fomułę a obliczai watości alj stopy poctowj: (.8) al om if 9