Analiza możliwości wykorzystania wybranych modeli wygładzania wykładniczego do prognozowania wartości WIG-u

Transkrypt

1 Zbigiew Taapaa Aaliza możliwości wykozysaia wybaych modeli wygładzaia wykładiczego do pogozowaia waości WIG-u Wydział Cybeeyki Wojskowej Akademii Techiczej w Waszawie Seszczeie W aykule pzedsawioo aalizę poówawczą możliwości wykozysaia óżych modeli wygładzaia wykładiczego do pogozowaia waości Waszawskiego Ideksu Giełdowego. Zasosowao dwie gupy modeli wygładzaia wykładiczego: do pogozowaia a podsawie iesacjoaych oaz sacjoaych szeegów czasowych. Z piewszej gupy pzebadao modele: Hola i Wiesa w wesji addyywej i muliplikaywej wykozysując do dobou opymalych paameów ych modeli symulacyją meodę zapopoowaą w [8]. Za podsawę w meodzie symulacyjej posłużyły zy algoymy sochasyczego poszukiwaia miimum fukcji miimalizacji błędu sadadowego pogozy: z losowaiem puków póbych z wyzaczaiem kieuków popawy oaz z adapacją ozkładu pawdopodobieńswa kieuku popawy. W gupie modeli do pogozowaia a podsawie sacjoaych szeegów czasowych podao wyiki doyczące WIG-u dla modeli Bowa: posego klasyczego oaz zmodyfikowaej wesji klasyczego. Poówao modele wygładzaia ze względu a miimalizację sadadowego błędu pogozy oaz szybkość osiągięcia zadaej dokładości waości fukcji błędu pogozy. Pzedsawioo ówież poówaie szybkości zbieżości algoymów sochasyczego dobou paameów modeli wygładzaia w zależości od odzaju modelu. Wsęp W pacy [8] pzedsawioo wyiki badań doyczących symulacyjych meod dobou opymalych paameów w modelach wygładzaia wykładiczego Bowa: posym klasyczym oaz zmodyfikowaej wesji klasyczego zapopoowaej w [7]. W celu zweyfikowaia właściwości pogosyczych pezeowaych modeli oaz oszacowaia doboci zapopoowaych algoymów sochasyczego dobou ajlepszych paameów modeli posłużoo się pzykładem pogozowaia zachowaia się waości WIG-u. Poieważ modele zapopoowae w [8] poza zmodyfikowaym modelem Bowa mogą być w zasadzie sosowae do pogozowaia zjawisk kóe chaakeyzują się sacjoaością a szeeg czasowy opisujący zachowaie się waości WIG-u cechuje się dużą iesacjoaością z. waość śedia ideksu ulega zaczym Auo pacuje ówież jako wykładowca w Wyższej Szkole Ekoomiczej w Waszawie.

2 zmiaom w czasie więc wydaje się że ajodpowiediejszymi modelami do pogozowaia waości WIG-u powiy być modele pogosycze dla iesacjoaych szeegów czasowych oczywiście jes o ylko hipoeza kóą będziemy chcieli zweyfikować w akcie badań. Pzedsawicielami akich modeli są modele: Hola i Wiesa. Zapezeujemy wyiki pogoz dla WIG-u a podsawie ych modeli. Poado dokoamy poówaia własości pogosyczych ych modeli jak ówież algoymów sochasyczego dobou ajlepszych paameów pod kąem szybkości ich zbieżości do ozwiązaia ajlepszego. Bioąc pod uwagę powyższe aykuł e moża akować jako ozszezeie i uzupełieie pacy [8]. Pzypomimy obecie posacie modeli Hola i Wiesa. Modele wygładzaia wykładiczego Hola i Wiesa Liiowy model Hola wygładzaia wykładiczego [3] [6] [9] służy do wygładzaia szeegu czasowego w kóym wysępują i edecja ozwojowa i wahaia pzypadkowe. Badaia Hola były fiasowae pzez Oddział Badawczy Mayaki Wojeej Saów Zjedoczoych; ozwiął o iezależie modele wyówywaia wykładiczego dla pocesów sabilych pocesów z edami liiowymi i dla daych sezoowych. Model Hola jes badziej elasyczy od modeli Bowa [] [] ze względu a wysępowaie w im dwóch paameów: i. Moża go opisać za pomocą asępujących ówań [4]: gdzie: y + + S + S = S = - - odpowiedik wygładzoej waości ozymaej z posego modelu wygładzaia wykładiczego; S - wygładzoa waość pzyosu edu a mome -; - paamey modelu o waościach z pzedziału [0 ]. Pogoza a chwilę jes wyzaczaa asępująco: y = + T S > 3 T T gdzie T ozacza liczbę chwil z szeegu czasowego kóe biezemy pod uwagę do budowy pogozy y. Najczęściej jes ak że T=-. Mówimy wedy o pogozach budowaych z jedookesowym wypzedzeiem. Różica między ówaiem dla posego modelu Bowa a polega a dodaiu do człou - pzyjmowaego w posym modelu wygładzaia wykładiczego za pogozę y ocey pzyosu edu w momecie - S -. Reguła zasosowaa pzy kosukcji ówaia jes aka sama jak w pzypadku posego modelu Bowa. Pzyjmowaa za ajowszy pzyos edu óżica jes ważoa pzez paame popzedia zaś ocea pzyosu edu S - pzez -. T

3 Do budowy modelu Hola pozebe są począkowe waości i S. W lieauze p. [6] moża zaleźć wiele popozycji ozwiązaia ego poblemu. Do aszych badań pzyjmiemy jedą ze sadadowych popozycji: =y S =y -y. Podobie jak w modelu Bowa podsawowy poblem kóy doyczy modelu Hola moża zdefiiować asępująco: zaleźć aką paę dla kóej zachodzi [0] [0] s s mi = 4 gdzie: = = y y s 5 Poblem e moża ozwiązać jedą ze sadadowych meod opymalizacji ieliiowej po. [0]. Moża go ówież spowadzić po pewych modyfikacjach fukcji celu do ówoważego poblemu pogamowaia liiowego po. [8]. Model Wiesa wygładzaia wykładiczego [3] [6] [9] może być sosoway w pzypadku szeegów czasowych zawieających edecję ozwojową wahaia sezoowe oaz wahaia pzypadkowe. Zae są posacie addyywej i muliplikaywej wesji ego modelu. Wesja addyywa modelu może być opisaa za pomocą asępujących ówań [4]: + = S C y 6 + = S S 7 C y C + = 8 a wesja muliplikaywa modelu [4]: + + = S C y 9 + = S S 0 C y C + = gdzie: - odpowiedik wygładzoej waości ozymaej z posego modelu wygładzaia wykładiczego ocea waości śediej; S - wygładzoa waość pzyosu edu a mome -; C - ocea wskaźika sezoowości a mome -; y - - waość zmieej w szeegu czasowym w chwili -; liczba chwil wozących cykl sezoowy zw. liczba faz w cyklu ; paamey modelu o waościach z pzedziału [0 ]. Zauważmy że we wzoach 6 może pzyjmować wyłączie waości +.

4 Pogoza y a chwilę jes wyzaczaa asępująco: w modelu addyywym: y + T S + C T = T T > w modelu muliplikaywym: y + T S C T = T T > 3 gdzie + T ozacza liczbę chwil z szeegu czasowego kóe biezemy pod uwagę do budowy pogozy y. W lieauze moża spokać wiele popozycji doyczących dobou waości paameów. Np. w pacy [] podao asępujące wskazówki co do ich waości: jeżeli poszczególe składowe modelu adapacyjego zmieiają się szybko o paamey modelu ależy pzyjąć a poziomie bliskim jedości; gdy składowe są względie sabile o wówczas paamey modelu powiy być bliskie zeu. Ie popozycje moża zaleźć m.i. w [3] [5] [9]. Oczywiście akie podejścia ie gwaaują am dobaia ajlepszej kombiacji współczyików. Dlaego eż zasosujemy meody symulacyjego dobou ich waości epezeowae pzez algoymy sochasycze miimalizujące sadadowy błąd pogozy. Do budowy modelu Wiesa pozebe są począkowe waości + S + i C.. C. W lieauze p. [5] [6] moża zaleźć wiele popozycji ozwiązaia ego poblemu. Do aszych badań pzyjmiemy jedą ze sadadowych popozycji: + =y + ; S + =0; dla i-ego wyazu w cyklu i = : yi yk dla wesji addyywej modelu k= C i = y 4 i dla wesji muliplikaywej modelu yk k= Podobie jak o było w modelach Bowa i Hola podsawowy poblem kóy doyczy modeli Wiesa moża zdefiiować asępująco: zaleźć aką ójkę dla kóej zachodzi s = mi s 5 [0] [0] [0] gdzie: s = y y 6 = oaz y w 6 opisae jes pzez dla modelu addyywego lub pzez 3 dla modelu muliplikaywego.

5 Poblem e ak jak dwa popzedie moża ozwiązać jedą ze sadadowych meod opymalizacji ieliiowej po. [0]. Moża go ówież spowadzić po pewych modyfikacjach fukcji celu do ówoważego poblemu pogamowaia liiowego po. [8]. Poado w modelach Wiesa pojawia się dodakowy poblem dobou waości długości cyklu. Waość a w zasadzie powia wyikać z szeegu czasowego p. gdy wysępuje sezoowość ygodiowa kwaala ip. bo pzecież pod ym kąem dobieamy model: jeżeli wysępuje sezoowość o model Wiesa powiie być dobym azędziem pogozowaia jeżeli ej sezoowości ie widać o ie powio się używać modeli Wiesa. Jedakże czasami możemy chcieć zasosować e model awe dla szeegów czasowych w kóych ie wysępuje wyaźa sezoowość. Wówczas właśie pojawia się poblem dobou ajlepszej waości. Odiesiemy się do ego poblemu pzy aalizie wyików badań. Idea sochasyczych algoymów dobou ajlepszych paameów w modelach Hola i Wiesa We wspomiaej wcześiej pacy [8] pzedsawioo szeoki opis algoymów sochasyczego dobou opymalych paameów modeli pogosyczych waz z uzasadieiem ich wybou więc asze ozważaia doyczące zasosowaia ych algoymów do wyzaczaia paameów modeli Hola i Wiesa ogaiczymy do iezbędego miimum pzedsawiając jedyie modyfikacje ych algoymów kóe z acji chaakeu modeli Hola i Wiesa mają ochę ią posać iż w [8]. Algoym z losowaiem puków póbych Ogóly schema ego algoymu pzedsawia się asępująco: ξ gdy f ξ < f + = w pzeciwym pzypadku 7 gdzie: + - koleje pzybliżeie w +-szym losowaiu ozwiązaia S dla modelu Hola = dla modeli Wiesa 8 [0] [0] dla modelu Hola S = [0] [0] [0] dla mode li Wiesa 9 - puk losowy w zbioze S ξ ~ US; f miimalizowaa waość fukcji celu 5 dla modelu Hola f = 0 6 dla modeli Wiesa Pzypomijmy że p. zapis: ξ ~ US ozacza iż zmiea losowa ξ ma ozkład ówomiey a zbioze S. ξ

6 Algoym z losowaiem kieuku popawy Ogóly schema ego algoymu pzedsawia się asępująco: + a gdy + < + ξ f a ξ f = w pzeciwym pzypadku gdzie: + - koleje pzybliżeie w +-szym losowaiu ozwiązaia S okeśloe pzez 8 S okeśloe pzez 9; ξ - puk losowy kieuek popawy w zbioze Z { e e e e} dla modelu Hola Z = { e e e e e3 e3} dla modeli Wiesa gdzie wielkości e e e 3 ozaczają wesoy poszczególych osi układu współzędych ξ ~ UZ; a - długość koku zmiea losowa o ozkładzie ówomieym losowaym ze zbiou T [0 ] gdy ξ { e e e3} T = [0 ] gdy ξ { e e e3} oaz a ~ UT; f fukcja okeśloa pzez 0; 3 Komeaza wymaga iepeacja kieuku popawy. Np. dla modelu Hola jeżeli wylosujemy e o ozacza o że będziemy zmiejszać bo waość dugiego paameu bo ume = czyli ip. Algoym 3 z adapacją ozkładu pawdopodobieńswa kieuku popawy Idea ego algoymu jes podoba jak algoymu 3 zapezeowaego w [8]. W ym celu weźmy pod uwagę algoym i iech ' ' ' Z={ e e... e K } 4 ' będzie zbioem ozważaych am kieuków pzy czym e j = e j dla j = K oaz ' e j = e j K dla j = K + K gdzie K ozacza liczbę paameów modelu z. K= dla modelu Hola oaz K=3 dla modeli Wiesa. Niech p j j K będzie ozkładem pawdopodobieńswa według kóego w -ym koku ieacyjym ' losujemy jede z kieuków e j j = K. Niech p j = j = K 5 K i ozważmy asępujący sposób modyfikacji ozkładu p : jeżeli a -ym eapie obliczeń wylosowaliśmy kieuek e p + j = p j j ' j j j K o pzyjmujemy: ' j θ p sg [ f + a e f ] 6

7 oaz dla i = K i j : p + p ] 7 K gdzie θ [0] jes paameem algoymu dla θ=0 mamy ieadapacyjy algoym. Długość koku a w kolejych ieacjach losujemy z ozkładem ówomieym ze zbiou: ' i = p θ + i j sg [ f + a e j f [0 δ ] gdy j {..K} T = 8 [0 δ ] gdy j { K +.. K} pzy czym jeżeli a -ym i --szym eapach obliczeń wylosowaliśmy e sam kieuek ξ - = e ' j =ξ = e ' j o δ 0; w pzeciwym pzypadku δ=. Możemy obecie podać ogóly schema algoymu 3 : gdzie: + + a ξ gdy f + a ξ < f = w pzeciwym pzypadku koleje pzybliżeie w +-szym losowaiu ozwiązaia S okeśloe pzez 8 S okeśloe pzez 9; ξ - puk losowy kieuek popawy w zbioze Z okeśloym pzez 4 losoway z ozkładem pawdopodobieńswa okeśloym pzez 6 7; a - waość długości koku będąca zmieą losową o ozkładzie ówomieym a zbioze T okeśloym pzez 8 a ~ UT; f fukcja okeśloa pzez 0; Aaliza wyików badań Pzedsawimy obecie wyiki badań mających a celu poówaie możliwości pogozowaia waości Waszawskiego Ideksu Giełdowego za pomocą modeli wygładzaia wykładiczego. Poado poówamy zbieżość pezeowaych algoymów oaz dokładość ozwiązań kóe z ich ozymujemy. W ym celu musimy zdefiiować pewe miay za pomocą kóych będziemy poówywać zaówo modele pogozowaia jak i algoymy służące do dobou opymalego zesawu paameów modeli. Będą oe uogólieiem mia zapopoowaych w [8]. Pojedyczy ekspeyme symulacyjy polegał a wylosowaiu N=500 puków losowych. Wykoywao M=30 ekspeymeów symulacyjych. Ozaczmy pzez N waość l-ej współzędej l = K wekoa współczyików 8 i j k l odpowiediego modelu ozymaą po N losowaiach w i-ym i = M ekspeymecie symulacyjym dla j-ego j = 3 algoymu oaz k-ej meody wygładzaia dla k= mamy model Hola k= model Wiesa addyywy k=3

8 model Wiesa muliplikaywy. Esymao pukowy waości oczekiwaej poszczególych składowych wekoa dla j-ego algoymu oaz k-ego modelu wygładzaia po N losowaiach puków póbych wyzaczymy asępująco: M ~ N N j k l = i j k l j = 3 k = 3 l = K 30 M i= Oczywiście mamy: ~ N N j k = ~ j k l j = 3 k = 3. l= K Zależość 30 pzedsawia oszacowaie waości l-ego paameu dokoae pzez j-y algoym zasosoway dla k-ego modelu wygładzaia pzy N losowaiach puków póbych. Ozaczmy pzez N={...N} zbió umeów wylosowaych puków póbych. Z kolei pzez i j k ozaczmy asępującą wielkość: f i k f k = : j i j k mi N f k gdzie ozacza weko waości paameów ozymay do -ego losowaia w i j k i-ym ekspeymecie symulacyjym i = M dla j-ego algoymu j = 3 i k-ego modelu wygładzaia dla k= mamy model Hola k= model Wiesa addyywy k=3 model Wiesa muliplikaywy a k ozacza weko opymalych waości paameów dla k-ego modelu wygładzaia. Poieważ weko i j k jes pukem losowym w pzeszei S po. 9 więc i j k jes i-ą ealizacją zmieej losowej j k. Pzepowadzając M ekspeymeów symulacyjych ozymamy pewie ozkład empiyczy zmieej j k kóy może e być epezeoway p. za pomocą dysybuay empiyczej j k. Wyzaczmy esymao pukowy ˆ j k kwayla zędu zmieej losowej j k. Jes o aka liczba kóa spełia wauek: ˆ k e ˆ P < ˆ 3 j k j k = j k j k = Iepeacja liczby j dla j-ego algoymu i k-ego modelu wygładzaia jes asępująca: jes o miimala liczba losowań puków póbych pozebych do 0.9 ˆ ego aby z pawdopodobieńswem moża było swiedzić że f j k óżi się od f ie więcej iż o jede poce. Podobie jak w [8] dla algoymu 3 pzyjęo θ=0.5 po Pzejdziemy obecie do iepeacji wyików. N W Tabeli pzedsawioo waości ~ j k N f ~ j k f ˆ j k dla ozpaywaych modeli Hola i Wiesa oaz zech algoymów dla WIG-u w okesie X.994 XI.999. Z Tabeli wyika że ajlepsze pogozy uzyskujemy dla modeli Wiesa pzy =. Zauważmy pzy ym że w modelach Wiesa iewielki wpływ a waość błędu pogozy miał paame. Jes o zozumiałe gdyż paame odpowiada za sezoowość kóa w ych modelach w zasadzie

9 ie isiała długość cyklu sezoowego wyosiła. Świadczy o ym chociażby fak dużej zmieości waości WIG-u. Na Wykesie zapezeowao pzykład wygładzeia szeegu czasowego za pomocą modeli Hola i Wiesa doyczący WIG-u długookesowego dla asępujących waości paameów: dla modelu Wiesa - =0.08 =0.4 =0.0; dla modelu Hola - =0.08 =0.07. Waości sadadowego błędu pogozy dla obu ych modeli wyiosły: dla modelu Wiesa s=0.08 =0.4 = ; dla modelu Hola - s=0.08 = Widać ze waości e są dużo większe od waości błędu dla opymalych zesawów paameów po. z f w Tabeli. Jes o dość oczywise gdyż z eguły im większy sopień wygładzeia szeegu czasowego ym większe błędy pogoz. Na Wykesie pzedsawioo zmiay waości ideksu WIG we wześiu 999. oaz pogozy liczoe z jedookesowym wypzedzeiem waości WIG-u a podsawie modeli Hola i Wiesa. Zauważmy że w ym pzypadku ówież ajlepsze pogozy ozymaliśmy z modeli Wiesa pzy czym ym azem mieliśmy sezoowość 4-o okesową =4 kóą ławo jes wyodębić z szeegu czasowego zapezeowaego a ym wykesie. Z Wykesu ie wyika żeby model Wiesa był zdecydowaie lepszy od modelu Hola co wyika z Tabeli po. waości f dla modelu Hola i Wiesa óżica poad 5%. Być może miał a o wpływ fak że pogozy w modelu Wiesa mogły być liczoe dopieo od piąego z. +-szego okesu. N W Tabeli pzedsawioo waości ~ j k N f ~ j k f ˆ j k dla ozpaywaych modeli oaz algoymów dla WIG-u a wzesień 999. Na Wykesie 3 pzedsawioo poówaie własości pogosyczych sześciu modeli wygładzaia wykładiczego a podsawie waości sadadowego błędu pogozy dla WIG-u kókookesowego wzesień 999 i długookesowego X.994 XI.999. Zauważmy że zdecydowaie ajlepsze pogozy uzyskao z modeli Wiesa. Iym modelem kóy może się ówać ze wspomiaymi jes zmodyfikoway model Bowa [7]. Jes o o yle kozysiejszy od modelu Wiesa że ma dużo posszą posać jes modelem jedopaameowym i - w kosekwecji jes dużo szybszy od modelu Wiesa. Wysaczy powołać się a Wykes 5 po. eż Wykes 4 z kóego wyika że śedia waość kwayla ˆ j k po. iepeację pzy wzoze 3 dla zmodyfikowaego modelu Bowa dla zech algoymów i WIG-u kóko- oaz długo-okesowego wyiosła 05/6=7.5 aomias dla modeli Wiesa waość a jes większa iż 394/6 3. Wykes 4 pzedsawia poówaie szybkości zbieżości óżych meod pogozowaia dla śediej waości kwayli ˆ j k. Widać wyaźą zależość między liczbą paameów modelu i szybkością jego zbieżości im miej paameów ym szybkość zbieżości większa. Na Wykesie 5 zapezeowao szybkość zbieżości algoymów miezoą waością kwayla ˆ j k dla óżych modeli pogozowaia. Wyika z iego że ajlepszym algoymem bez względu a model pogozowaia okazał się algoym 3. Niezaczie usępuje mu algoym i dość zaczie odsaje od ich algoym. Częściowo e fak wyjaśioo w [8]. Szczególie widocza jes a óżica dla modeli wielopaameowych Hola i Wiesa.

10 Tabela Oszacowae waości współczyików modeli Hola i Wiesa oaz odpowiadające im waości fukcji f błędu sadadowego pogozy dla WIG-u X.994-XI.999 Rodzaj modelu j Rodzaj algoymu k ~ N f ~ f 0. 9 N j k j k ˆ j k Hola j= > Wiesa addyywy j= = 3 Wiesa muliplika. j=3 = Wykes Pzykład częściowego wygładzeia szeegu czasowego a podsawie modeli Hola i Wiesa wesja addyywa = dla WIG-u X.994-XI WIG m. Wiesa addy. m.. Hola Ideks /6/94 0/06/95 03/4/95 05/5/95 08/0/95 0/09/95 /4/95 0//96 04/30/96 07/0/96 09/6/96 //96 0/03/97 04//97 06/0/97 08/7/97 0/3/97 0/5/98 03/3/98 06/0/98 08/0/98 0/4/98 //98 03/0/99 05/0/99 07/6/99 09//99 Daa oowaia

11 Wykes Waości hisoycze i ajlepsze pogozy a podsawie modeli Hola i Wiesa wesja addyywa =4 dla WIG-u a wzesień 999. WIG m. Hola m.wiesa addy Ideks /0/99 09/03/99 09/07/99 09/09/99 09/3/99 09/5/99 09/7/99 09//99 09/3/99 09/7/99 09/9/99 Daa oowaia Tabela Oszacowae waości współczyików modeli Hola i Wiesa oaz odpowiadające im waości fukcji f błędu sadadowego pogozy dla WIG-u a wzesień 999. Rodzaj modelu j Rodzaj algoymu k ~ N f ~ f 0. 9 N j k j k ˆ j k Hola j= Wiesa addyywy j= =4 3 Wiesa muliplika. j=3 = > > > >

12 Wykes 3 Poówaie własości pogosyczych óżych modeli wygładzaia wykładiczego dla WIG-u a podsawie waości sadadowego błędu pogozy oś Y dla opymalych waości paameów modeli m. Bowa posy m. Bowa klasyczy m. Bowa zmodyfik. m. Hola m. Wiesa addy. m. Wiesa mulip WIG długookesowy WIG kókookesowy Wykes 4 Poówaie szybkości zbieżości meod pogozowaia dla WIG-u a podsawie śediej waości kwayla oś Y ˆ j k m. Bowa posy m. Bowa klasyczy m. Bowa zmodyfik. m. Hola m. Wiesa addy. m. Wiesa mulip WIG długookesowy WIG kókookesowy Wyiki dla modeli Bowa zaczepięo z [8]

13 Wykes 5 Poówaie szybkości zbieżości algoymów dla WIG-u a podsawie waości kwayla oś Y ˆ j k k - WIG kókookesowy d - WIG długookesowy m. Bowa posy m. Bowa klasyczy m. Bowa zmodyfik. m. Hola m. Wiesa addy. m. Wiesa mulip Algoym WIG-k Algoym WIG-k Algoym 3 WIG-k Algoym WIG-d Algoym WIG-d Algoym 3 WIG-d Uwagi i wioski Z wyików badań zapezeowaych w popzedim ozdziale wyika że ylko częściowo powiedziła się hipoeza posawioa a począku ego aykułu iż modele Hola i Wiesa będą dawać lepsze z. dokładiejsze pogozy pzy iesacjoaym szeegu czasowym jaki wozy waość WIG-u w okesie X.994 XI.999 iż modele Bowa dla kóych szczegółowe wyiki zapezeowao w [8]. Hipoezę ę powiedziły jedyie modele Wiesa pzy czym óżica w wyikach dla addyywej i muliplikaywej wesji ego modelu była pomijalie mała. Model Hola okazał się sosukowo słaby jak a sopień skomplikowaia w poówaiu z modelami Bowa zaówo ze względu a szybkość zbieżości po. Wykes 4 jak i miimalizację błędu pogozy po. Wykes. Badzo dobe własości ze względu a szybkość zieżości jak i wielkość błędu pogozy powiedził zmodyfikoway model Bowa. Dodajmy jeszcze że model e ma badzo posą posać a fak że jes o model ylko z jedym paameem zaczie uławia i pzyśpiesza pogozowaie. Pzedsawioe wyiki badań ie dyskymiują jedakże żadego z modeli pzyajmiej z puku widzeia waości błędu pogozy. Zauważmy bowiem że Wyiki dla modeli Bowa zaczepięo z [8]

14 poceowe óżice między wielkościami błędów pogoz dla poszczególych modeli w sosuku do zeczywisych waości WIG-u ie są większe iż ok. %. Gdyby jedak chcieć wskazać model wygładzaia wykładiczego kóy był sosukowo ajlepszy z puku widzeia zaówo szybkości zbieżości jak i waości błędu pogozy o ależałoby wskazać a zmodyfikoway model Bowa. Wpawdzie szybkość zbieżości klasyczego modelu Bowa jes iezaczie większa iż dla jego zmodyfikowaej wesji po. Wykes 4 ale klasyczy model Bowa jes goszy ze względu a waość błędu pogozy po. Wykes 3. Poza ym posiada badziej skomplikowaą posać. Podsumowując moża zayzykować swiedzeie że zapezeowae modele wygładzaia wykładiczego dość dobze będą sobie adzić ówież w pzyszłości z pogozowaiem waości WIG-u. Częściowym powiedzeiem ego pzypuszczeia mogą być wyiki zapezeowae w iiejszym aykule. Lieaua []. Bow R.G.: Saisical oecasig fo Iveoy Cool. McGow Hill New Yok 959. []. Bow R.G.: Smoohig oecasig ad Pedicio of Discee Time Seies. McGow Hill New Yok 963. [3]. Chafield Ch.: Hol-Wies oecasig: Some Pacical Issues. The Saisicia vol pp [4]. Cieślak M. ed.: Pogozowaie gospodacze. PWN Waszawa 997. [5]. Gade E. S. J.: Epoeial smoohig: The sae of he a. Joual of oecasig [6]. Makidakis S. Wheelwigh S.C.: oecasig Mehods ad Applicaios. Joh Wiley & Sos New Yok 989. [7]. Pawłowski Z.: Pogozy ekoomeycze. PWN Waszawa 973. [8]. Taapaa Z.: Symulacyja meoda dobou opymalych paameów w pogosyczych modelach wygładzaia wykładiczego. Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Ekoomiczej Waszawa 000. w duku [9]. Ya M. Chafield Ch.: Pedicio Ievals fo he Hol-Wies oecasig Pocedue. Ieaioal Joual of oecasig vol pp [0]. Zagwill W. I.: Pogamowaie ieliiowe. WNT Waszawa 974. []. Zawadzki J.: Ekoomeycze meody pogozowaia w pzedsiębioswie. Wydawicwo Uiwesyeu Szczecińskiego Szczeci 989.