METODY ILOŚCIOWE Matematyka finansowa wykłady 1-2-3

Transkrypt

1 Dwusemestale studium podyplomowe ANALITYK FINANSOWY METODY ILOŚCIOWE Matematyka fiasowa wykłady --3 d Kzysztof Piotek Kateda Iwestycji Fiasowych i Zaządzaia Ryzykiem Uiwesytet Ekoomiczy we Wocławiu Metody ilościowe 4h. Watość pieiądza w czasie. Statystyka opisowa (6h) matematyka fiasowa (6h) 3. Pawdopodobieństwo i wioskowaie statystycze (6h) 4. Aaliza egesji, szeegi czasowe, metody wielowymiaowe (6h) Dwusemestale studium podyplomowe ANALITYK FINANSOWY Matematyka fiasowa wykład d Kzysztof Piotek Kateda Iwestycji Fiasowych i Zaządzaia Ryzykiem Uiwesytet Ekoomiczy we Wocławiu Liteatua: Podstawy matematyki fiasowej, Wada Roka- Chmielowiec, Katazya Kuziak, Wydawictow AE we Wocławiu, Wocław, 00 Aytmetyka fiasowa, Edwad Smaga, Wydawictowo Naukowe PWN, Waszawa-Kaków, 999 Matematyka fiasowa, Sobczyk Edwad, Placet, Waszawa, 995 Matematyka fiasowa. Podstawy teoii pocetu, Wydawictowo Giga-Net, Katowice,

2 Pieiądz otzymay dziś jest wat więcej, iŝ pieiądz otzymay juto Nie wolo dodawać, odejmować, poówywać watości pieięŝych wyaŝoych w óŝych puktach czasu. Koiecze jest pzeliczeie watości a jede, subiektywie wybay, wspóly momet czasu. Stopa pocetowa jest ceą jaką poŝyczkobioca musi zapłacić za pzywilej kozystaia z pieiędzy udostępioych mu pzez poŝyczkodawcę. -iflacja, -moŝliwość iwestycji, -występowaie óŝego odzaju yzyka, -pefeecja bieŝącej kosumpcji 5 6 Dekompozycja stopy pocetowej i + + lp + p i oczekiwaa iflacja eala stopa pocetowa lp pemia za płyość (kedytobioca pefeuje długie temiy, a kedytodawca kótkie temiy, czyli płye iwestycje) p pemia za yzyko składowe stopy pocetowej Stopa pocetowa a yku fiasowym zaleŝy od: -długotemiowej stopy wzostu gospodaczego, -popytu i podaŝy kapitału a yku fiasowym, -spodziewaej stopy iflacji, -yzyka iwestycja a yku fiasowym. 7 8

3 Podstawowe pojęcia: iwestowaie: stopa dochodu, stopa zwotu, etowości (ate of etu, yield) fiasowaie: koszt kapitału (cost of capital) K 0, PV watość początkowa, teaźiejsza (peset value) K, watość końcowa, pzyszła (futue value) posta kapitalizacja - modele złoŝoa dyskotowaie, wyzaczaie watości bieŝącej, K zgoda iezgoda z dołu z góy (w paktyce iespotykaa) kapitalizacja, wyzaczaie watości pzyszłej PV, K Modele Kapitalizacji JeŜeli odsetki od kapitału powiększają sta kota, ale ie podlegają opocetowaiu po upływie kolejej bazowej jedostki czasu, ie są oe kapitalizowae, to mówimy, Ŝe jest to kapitalizacja posta. Jeśli opocetowaiu podlega kapitał początkowy powiększoy o agomadzoe odsetki, to mówimy, Ŝe jest to kapitalizacja złoŝoa. Kapitalizacja posta: PV ( + ) PV PV Kapitalizacja złoŝoa zgoda: PV ( + ) ( ) PV PV + PV PV + ( + )

4 Kowecja actual/365 4 moŝliwe kowecje: Actual/36 Actual/365, 30/36 30/365 (ajzadziej stosowaa). Kowecja actual/365 Pzykład Iwestycja w depozyt bakowy ozpoczęła się 5 kwietia, zaś zakończyła 5 czewca tego samego oku. Zaiwestowaa kwota to 000 złotych, zaś opocetowaie depozytu 4%. Liczba di twaia iwestycji wyosi: actual : 7 di ( ); 30 : 70 di ( miesiące po 30 di plus 0 di). 3 4 Kowecja actual/365 dla 00 jp, dla stóp odpowiedio 3%, 0% i 0% a pzestzei 0 lat kapitalizacja posta 600 Nazwa kowecji Watość Watość pzyszła Actual/360 7/ ,89 Actual 365 7/ ,78 30/360 70/ ,78 30/365 70/ , % 3% 0% 5 6

5 dla 00 jp, dla stóp odpowiedio 3%, 0% i 0% a pzestzei 0 lat kapitalizacja złoŝoa % 3% 0% Kapitalizacja złoŝoa iezgoda okes bazowy jest wielokotością okesu kapitalizacji ozacza omialą oczą stopę pocetową, ok jest podzieloy a m okesów ówych co do długości. Po kaŝdej /m-tej okesu bazowego występuje kapitalizacja odsetek. 7 8 Kapitalizacja złoŝoa - iezgoda PV + m Kapitalizacja ciągła: PVe PV PV ( e ) m m PV PV + m PV PV + m m lim + e m m e okes stopy pocetowej m okes kapitalizacji m stopa względa m e,78... exp( x) e x dla 00 jp, dla stóp odpowiedio 3%, 0% i 0% a pzestzei 0 lat kapitalizacja ciągła % 3% 0% 9 0

6 Czas podwojeia kapitału Kapitalizacja posta PV PV ( + ) Kapitalizacja złoŝoa PV PV ( + ) Kapitalizacja ciągła PV PV e l l ( ) ( + ) l ( ) Stopa efektywa i ówowaŝa Aby w kapitalizacji złoŝoej w podokesach zachować tę samą efektywość opocetowaia co w kapitalizacji złoŝoej zgodej, aleŝy podwyŝszyć stopę do stopy efektywej ef lub obiŝyć stopę względą /m do stopy ówowaŝej. Stopa efektywa i ówowaŝa Stopa efektywa m m ( + ef ) + ef + m m Stopa ówowaŝa ( ) m ( + ) + ( + ) ef e / m Stopa efektywa Jakie jest opocetowaie lokaty oczej jeśli bak ofeuje % omialie oaz a) kapitalizację miesięczą 0, ef +, 68 % b) kapitalizację kwatalą 4 0, ef +, 55 % 4 3 4

7 Stopa ówowaŝa Jaka powia być stopa pocetowa dla lokaty 3-miesięczej, jeśli bak ofeuje %, a) kapitalizację złoŝoą oczą / 4 ( + 0, ), 87 % b) kapitalizację złoŝoą półoczą / ( + 0, 06 ), 96 % m 3% 4 KONCEPCJA STOPY ZWROTU RODZAJE WYNIKAJĄCE Z PRZYJĘTEGO MODELU KAPITALIZACJI Stopa zwotu moŝe być okeśloa a óŝe sposoby, awet w ajpostszym pzypadku, gdy jest akład początkowy, któy po pewym okesie (a koiec okesu iwestowaia) daje pewą watość końcową iwestycji???, K Okes iwestowaia lata Watość początkowa iwestycji 000 Watość końcowa iwestycji PV, K 0 6 KONCEPCJA STOPY ZWROTU - RODZAJE KONCEPCJA STOPY ZWROTU - RODZAJE Posta stopa zwotu w skali oczej PV % Efektywa stopa zwotu w skali oczej (kapitalizacja ocza) PV / / 9,54% 7 8

8 KONCEPCJA STOPY ZWROTU - RODZAJE KONCEPCJA STOPY ZWROTU - RODZAJE Efektywa stopa zwotu w skali oczej (kapitalizacja półocza) PV / / 4 9,37% Efektywa stopa zwotu w skali oczej (kapitalizacja ciągła) l PV 00 l 9,6% Kapitalizacja pzy zmieej stopie pocetowej Zakładamy, Ŝe kapitalizacja dokoywaa jest pzez okesów, któe podzieloe są a p podokesów, w któych zmieiają się stopy pocetowe. Poadto zakładamy, Ŝe kapitalizacja jest zgoda oaz, Ŝe pzez wszystkie okesów stosoway był te sam model kapitalizacji p Model kapitalizacji postej Odsetki: PV + PV PV p p PV ( p p ) pzyszła watość kapitału po okesach: PV ( p p ) 3 3

9 Model kapitalizacji postej PV 00 jp; 0; stopa: pzez 5 lat 5%, lata 4%, lata 3% i ok % odsetki poste po okesach pzy zmieiającej się stopie pocetowej: odsetki5zł 5+4zł +3zł +zł 4zł 0 PV+odsetki00+44 Model kapitalizacji złoŝoej z dołu PV 00 jp; 0; stopa: pzez 5 lat 5%, lata 4%, lata 3% i ok %, kapitalizacja złoŝoa ocza 500(+05) 5 7,63 77,63(+04) 38,04 938,04(+03) 46,45 046,45(+0)49, Model kapitalizacji złoŝoej z dołu Watość pzyszła: ( ) ( ) ( ) ( ) , 38 ( ) ( ) ( ) p PV + p Model kapitalizacji ciągłej PV 00 jp; 0; stopa: pzez 5 lat 5%, lata 4%, lata 3% i ok %, kapitalizacja ciągła 500e ,40 78,40e 04 39,0 939,0e 03 47,70 047,70e

10 Model kapitalizacji ciągłej Pzecięta stopa pocetowa Watość pzyszła PVe PVe + e p p e p p Pzeciętą stopą pocetową azywamy taką stałą stopę pocetową, dla któej pzyszła watość kapitału jest taka sama, jak pzyszła watość kapitału pzy zmieiającej się stopie pocetowej Model kapitalizacji postej PV 00 jp; 0; stopa: pzez 5 lat 5%, lata 4%, lata 3% i ok % _ _ 4, % 0 Model kapitalizacji postej Dla modelu kapitalizacji postej zachodzi ówość: _ + PV ( ) PV + _ ( ) + p p p p 39 40

11 Model kapitalizacji złoŝoej z dołu PV 00 jp; 0; stopa: pzez 5 lat 5%, lata 4%, lata 3% i ok %, kapitalizacja złoŝoa ocza Model kapitalizacji złoŝoej z dołu Dla modelu kapitalizacji złoŝoej z dołu pawdziwa jest ówość: 00 + _ 0 49, 38 _ PV PV + + ( + ) ( + )... ( ) p p _ 0, , 09 % _ ( ) ( ) ( + ) p p 4 4 Model kapitalizacji ciągłej PV 00 jp; 0; stopa: pzez 5 lat 5%, lata 4%, lata 3% i ok %, kapitalizacja ciągła 00 e _ 0 50, 68 _ l(, 5068 ) 0 4, % Model kapitalizacji ciągłej Dla modelu kapitalizacji ciągłej pawdziwy jest astępujący wzó: PVe PVe p p ( + + )... + p p 43 44

12 Kapitalizacja mieszaa W pzypadku, gdy w okesie twaia kapitalizacji zmieia się model kapitalizacji, wówczas mówimy, Ŝe stosowaa jest kapitalizacja mieszaa. Kapitalizacja mieszaa Pzykład Kwotę w wysokości jp ulokowao a tzy lata z kapitalizacją złoŝoą oczą. Bak pzez piewsze dwa lata stosował stopę 6%, a astępie pzez ok %. Po tym okesie pzez dwa lata lokata podlegała kapitalizacji ciągłej ze stopą %. Ile moŝa zaobić a tej lokacie? , 0 ( + 0, 06 ) ( + 0, 0 ) e 98, Kapitalizacja mieszaa Pzykład Kwotę w wysokości jp ulokowao a pięć lat. Bak pzez piewsze dwa lata stosował stopę 6% kapitalizację złoŝoą oczą, pzez ok 4% kapitalizację złoŝoą miesięczą i pzez dwa lata %, kapitalizację złoŝoą kwatalą. Ile moŝa zaobić a tej lokacie? ( + 06) 69, 79 Kapitalizacja mieszaa Zmiaa modelu kapitalizacji Pewie bak stosował: ) pzez lat kapitalizację złoŝoą oczą ze stopą pocetową, ) pzez astępych lat kapitalizację ciągłą ze stopą pocetową, 3) pzez astępych 3 lat kapitalizację postą oczą ze stopą pocetową 3. ( + ) e ( + ) PV

13 Kapitalizacja mieszaa Zmiaa częstotliwości kapitalizacji Pewa kwota początkowa PV została ulokowaa do baku a: ) lat z kapitalizacją złoŝoą m azy w oku ze stopa pocetową oczą ) astępych lat z kapitalizacją złoŝoą m azy w oku ze stopą pocetową oczą Któy z baków ofeuje kozystiejsze wauki lokaty tzyletiej?? BANK A. kapitalizacja posta, omiala stopa pocetowa 3,5% Bak B. kapitalizacja złoŝoa, kwatala, stopa omiala % stopa efektywa ocza dla baku A 3,50% stopa efektywa dla ocza baku B,55% ef 4 +,55% 4 a podstawie efektywej stopy oczej lepszy jest bak A. ale. lokata jest 3 - letia PV + m m + m m 3-letia stopa efektywa baku A 3*3,50% 450% 50 3-letia stopa efektywa baku B w skali 3 lat kozytsiejsze wauki ofeuje bak B ef ,58% 4 49 Po jakim czasie z kwoty uzyskamy 5.00 jeśli bak stosuje kapitalizacje półoczą ze stopa omialą 6%? l,5 k 3,7 okesów półoczych l,03 odpowiedź: po 7 latach k Kowalski 5 lat temu wpłacił a koto Po latach musiał wypłacić Czy wystaczy mu dziś a emot mieszkaia, jeśli koszt emotu szacoway jest a 8.500? Bak pzez piewszy ok ofeował kapitalizację półoczą ze stopą pocetową 6%, a pzez koleje lata kapitalizację kwatalą z efektywą stopą pocetową 7, , , ,5 5000??? odpowiedź: NIE WYSTARCZY!!! kapitalizacja półocza kapitalizacja kwatala, ale mamy podaą juŝ stopę efektywą 5

14 Bak ofeuje 4% w skali oku, kapitalizacja półocza. Ulokowae a lata 000 jp. wycofujemy po 4 miesiącach. Ile otzymamy likwidując lokatę, jeśli bak cały czas alicza odsetki zgodie ze swoją ofetą (pomimo, Ŝe zywamy umowę)? Kapitalizacja mieszaa: Dwusemestale studium podyplomowe ANALITYK FINANSOWY Matematyka fiasowa ,34 wykład Stopa ówowaŝa: ( ) % ( ) , 9 53 d Kzysztof Piotek Kateda Iwestycji Fiasowych i Zaządzaia Ryzykiem Uiwesytet Ekoomiczy we Wocławiu 54 INFLACJA Ideks ce dób podukcyjych (PPI) - ofeowae pzez poducetów: cey suowców, cey mateiałów. Miezy cey, któe płacą poduceci, gdyŝ obejmuje czyiki podukcyje, z wyjątkiem pacy. Staowi o pojemy mieik wpływu iflacji a pzemysłowy sekto gospodaki. Ideks ce dób kosumpcyjych (CPI) - cey detalicze SłuŜy do badaia wpływu iflacji a gospodastwa domowe, czyli kosumetów, gdyŝ miezy pzecięty poziom ce typowego koszyka dób i usług kosumowaego pzez typową odzię. Jest śedią waŝoą ce towaów i usług abywaych pzez pzecięte gospodastwo domowe. Pzy obliczaiu ideksu bieze się pod uwagę tzw. statystyczy koszyk zakupów. W Polsce, GUS twozy koszyk a podstawie badań budŝetów gospodastw domowych; Co oku ustala ile i czego kupuje "uśedioe" gospodastwo domowe, a takŝe jaki jest udział poszczególych poduktów i usług w łączych wydatkach. Na podstawie obsewacji zmia ce tak dobaych towaów i usług (ich lista liczy ok. tys. pozycji, a cey spawdza się az lub dwa azy w miesiąca) GUS oblicza wskaźik iflacji. 55 Dwuastomiesięcza dyamika ce kosumpcyjych uległa w siepiu b. zwiększeiu do,6% (z,3% w popzedim miesiącu) i zalazła się poowie w gaicach dopuszczalych odchyleń od celu iflacyjego NBP. W skali oczej ajbadziej podiesioo cey w gupie taspot (o 6,3%, w tym paliwa silikowe podoŝały o 4,7%, usługi taspotowe - o,9%, atomiast obiŝeiu uległy cey śodków taspotu - o 4,3%). PowyŜej śediej dyamiki podwyŝszoo ówieŝ cey w gupie edukacja (o 3,7%), uŝytkowaie mieszkaia i ośiki eegii (o 3,%, w tym opłaty za ajem mieszkaia wzosły o 3,6%, za eegię elektyczą - o 3,4%, za gaz - o 8,8%, opał - o,5%, a za eegię cieplą - o,0%), estauacje i hotele (o 3,0%), apoje alkoholowe i wyoby tytoiowe (o,8%, w tym cey wyobów tytoiowych wzosły o 7,5%, a cey apojów alkoholowych ie uległy zmiaie) oaz zdowie (o,5%). NiŜsze iŝ pzed okiem były cey w gupie odzieŝ i obuwie (o 5,8%, w tym cey odzieŝy obiŝyły się o 4,7%, a obuwia - o 8,4%). Nie zmieiły się cey w gupie łączość. Pzegląd Makoekoomiczy, paździeik 005, 56

15 Pzegląd makoekoomiczy, wzesień CPI (IX006-IX005),6% 58 Iflacja w Polsce ( omiala i eala stopa pocetowa Rok 950 Iflacja 6,5% Rok 960 Iflacja,8% Rok 970 Iflacja,% Rok 980 Iflacja % Rok 990 Iflacja 585,8% Rok 000 Iflacja % ( )( ) i ,6% 4,4% 4,9% -6,3% -,4% -,0% 5,4%,7%,% %,5% 8%,% 9%,%,5%,6%,4% % 0%,8% 7,% 3,0% 4,4% 4,9% 8,% 7,0% ,% 08%,% 5,0% 5,% 7,7% 5,% 6% 5,% % 43,0% 35,3% 3,% 7,8% 9,9% 4,9%,8% 7,3% ,5%,9% 8% 3,5%,%,0%,5% 4,8% i + i i stopa pocetowa a yku i stopa iflacji eala stopa pocetowa 59 60

16 Aalitycy NBP oceiają, Ŝe iflacja w 006 oku dojdzie do poziomu,5%..., poifomował we wtoek,..005 oku, w Pozaiu pezes NBP Leszek Balceowicz. ( Pzepływy pieięŝe (cash flows) Pzystąpieie Polski do Uii Gospodaczej i Walutowej z początkiem 006. będzie wymagało spełiaia pzez Polskę kyteiów kowegecji pod koiec 005. Aktuala pogoza pzewiduje, Ŝe dyamika iflacji w Polsce w tym okesie moŝe wyieść ok.,5%. Po oku 005 poziom iflacji w Polsce powiie ulec obiŝeiu ze względu a miejszą siłę oddziaływaia pocesu wyówywaia ce pomiędzy UE a Polską. (z Ustawy budŝetowej, wzesień 005) 0 CF CF 3 CF... k 3 t Pzetag boów skabowych z dia..005 oku śedia etowość 5-tygodiowych boów 4,374% ( 4, 374%, 5%, 88% +, 5% CF CF k Watość pzyszła (obeca) pzepływów pieięŝych ówa jest sumie watości pzyszłych (obecych) poszczególych, pojedyczych pzepływów , 374%, 5%, 874% stumieia pieiędzy z góy watość pzyszła CF 0 jest ówa CF 0 ( + ), watość pzyszła CF jest ówa CF ( + ), watość pzyszła CF jest ówa CF ( + ),... watość pzyszła CF - jest ówa CF - ( + ) stumieia pieiędzy z góy CF 0 ( + ) +CF ( + ) CF - ( + ) i 0 CF i ( + ) i jeśli to koiecze aleŝy uzgodić odpowiedio stopę pocetową licząc stopę względa, efektywą

17 stumieia pieiędzy z góy Pzykład Kapitał jakiej wysokości zgomadzimy odkładając a początku oku kwoty jp, jeśli stopa pocetowa wyosi 0%, kapitalizacja jest złoŝoa kwatala? , stumieia pieiędzy z dołu watość pzyszła CF jest ówa CF ( + ), watość pzyszła CF jest ówa CF ( + ),... watość pzyszła CF jest ówa CF stumieia pieiędzy z dołu CF ( + ) - +CF ( + ) CF CF ( + ) i i i stumieia pieiędzy z dołu Pzykład W jakiej wysokości kapitał zgomadzimy odkładając a koiec oku kwoty jp, jeśli stopa pocetowa wyosi 0%, kapitalizacja jest złoŝoa kwatala? ,

18 PV stumieia pieiędzy z góy CF CF 3 CF - PV stumieia pieiędzy z góy PV t CF0 CF CF CF CF CF 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) PV + i 0 CF i i ( ) + Pzykład Jaką watość dziś mają kwoty jp pojawiające się a początku oku, jeśli stopa pocetowa wyosi 0%, kapitalizacja jest złoŝoa ocza? PV , 75 (, ) (, ) z góy PV stumieia pieiędzy z dołu PV stumieia pieiędzy z dołu 0 CF CF 3 CF... 3 t CF PV CF CF CF ( + ) ( + ) ( + ) + Pzykład Jaką watość dziś mają kwoty jp pojawiające się a końcu oku, jeśli stopa pocetowa wyosi 0%, kapitalizacja jest złoŝoa ocza? PV , 59 z dolu,,, 3 ( ) ( ) PV CF i ( ) i i + 7 dla ówych pzepływów i stałych stóp pocetowych: PV(z góy) (+) PV(z dołu) 7

19 Ocea pojektów - NPV NPV et peset value watość bieŝąca etto stałe stopy zmiee stopy NPV NPV CF t t t ( + ) CF t t t ( + i ) i I o I 0 Aalizowae są dwa pojekty iwestycyje A i B. Okes Ŝycia pojektów wyosi 4 lata. Pzewidywae pzepływy pieięŝe w tys. PLN dla obu pojektów pzedstawia poiŝsza tabela: ok pojekt A pojekt B Iwesto pogozuje, iŝ w kolejych latach wymagae stopy zwotu pojektów o podobym poziomie yzyka wyosić będą: 9%, 9%, 7%, 5% CF t pzepływ w chwili t I 0 akład iwestycyjy wymagaa stopa dochodu NPV>0 pojekt opłacaly NPV0 pojekt obojęty NPV<0 pojekt ieopłacaly 73 Któy z dwóch alteatywych pojektów powiie wybać iwesto? 74 NPV NPV 300 A B , 09, 09, 09, 07, 09, 07, , , , 09, 09, 09, 07, 09, 07, , , % 9% 7% 5% NPV NPV A B > 0 > 0 NPV pojekt A jest badziej opłacaly A > NPV B IRR iteal ate of etu wewętza stopa zwotu t CF ( + IRR ) t t I taka wymagaa stopa dochodu iwestoa, pzy któej NPV 0 zakłada się, Ŝe pzychody eiwestowae są takŝe pzy stopie IRR IRR> IRR IRR< iwestycja opłacala iwestycja obojęta iwestycja ieopłacala o 0 wymagaa stopa dochodu iwestoa 75 76

20 Pewie pzedsiębioca postaowił załoŝyć fimę pzewozową. W tym celu abył samochód dostawczy za PLN i ozpoczął działalość. Po oku czasu stwiedził, Ŝe pzepływy fiasowe etto z tej działalości wyosiły 6000 PLN, a po dugim 8000 PLN. Nie spełiło to oczekiwań pzedsiębiocy. Po dugim oku spzedał samochód za 600 PLN i zakończył działalość. Jaka była wewętza stopa zwotu omawiaego pzedsięwzięcia? Czy opłacało się to pzedsięwzięcie, jeśli alteatywą był zakup obligacji skabowych pzyoszących w skali oku dochód,5%? I CF 6000 CF akład iwestycyjy pzychód po oku ( IRR) pzychód po oku IRR + IRR 5,% IRR -85,% ozwiązaie logicze ozwiązaie matematycze ówaie kwadatowe IRR5,% >,5% opłacało się NPV NPV NPV IRR zeczywiste IRR pzybliŝoe < NPV>0 NPV<0 NPV IRR' + ( ) NPV NPV Iwesto kupił za 97,95 zł tzyletią obligację skabową o stałym opocetowaiu. Ile wyosi wewętza stopa zwotu z takiej iwestycji, jeśli pzychody z tytułu posiadaia obligacji w kolejych latach będą wyosiły: 90 zł, 90 zł, 090 zł? 79 80

21 , IRR + IRR + IRR ( ) ( ) IRR% Reta ) kozystamy z Excela lub kalkulatoa fiasowego ) stosujemy podejście pzybliŝoe 5% 5% NPV , , 05, 05, NPV , 95 64, 94 5,, 5 5, 8 98 IRR' 5% + 5% 5%, 36% , 94 ( ) ( ) wiedząc, Ŝe IRR wyosi około % moŝa wybać teaz % i 3% oaz powtózyć obliczeia Retą lub ciągiem płatości okesowych długotemiowych azywamy ciąg at (wpłat lub wypłat) tej samej wielkości dokoywaych w ówych odstępach czasu. Jeśli płatości występują a końcu kaŝdego okesu to jest to eta płata z dołu, Jeśli płatości występują a początku kaŝdego okesu to jest to eta płata z góy. 8 8 Reta Jeśli liczba płatości (et) jest skończoa to jest to eta pewa Jeśli liczba płatości (et) jest ieskończoa to jest to eta wieczysta. Rety, stumieie pieięŝe Zagadieia: Iwestycje (depozyty) Fudusze emeytale (celowe, emotowe) Fiasowaie iwestycji kedyty Wycea istumetów fiasowych Ocea pojektów iwestycyjych 83 84

22 Rety z dołu Rysuek A Rysuek B Rety z dołu Rysuek A Rysuek B spłata kedytu w ówych płatościach z puktu widzeia p. baku... z puktu widzeia iwestoa z puktu widzeia baku z puktu widzeia iwestoa z puktu widzeia baku z puktu widzeia iwestoa wpłaty twozeie fuduszu celowego 85 lokata etieska wypłaty ety ze zgomadzoego fuduszu 86 Rety z góy Rysuek 3A Rysuek 3B Rety z góy Rysuek 4A Rysuek 4B spłata kedytu w ówych płatościach z puktu widzeia p. baku... z puktu widzeia iwestoa z puktu widzeia baku z puktu widzeia iwestoa z puktu widzeia baku z puktu widzeia iwestoa wpłaty twozeie fuduszu celowego 87 lokata etieska wypłaty ety ze zgomadzoego fuduszu 88

23 Model kapitalizacji postej Reta z dołu Pzykład A0 0%, 3 Suma at ety 300 Odsetki pzyszła watość kapitału: ? Model kapitalizacji postej A A A A [ ] 330 A , 330 Reta z dołu Model kapitalizacji postej Reta z góy Pzykład A0 0%, 3 Suma at ety 300 Odsetki pzyszła watość kapitału: ? Model kapitalizacji postej A A A [ ] 360 A A Reta z góy 9 9

24 Na kocie masz 000 zł. Jakich wpłat musisz dokoywać z końcem kaŝdego miesiąca a koto, by za ok móc kupić spzęt HI-FI, któy dziś kosztuje 3500 zł? Bak stosuje kapitalizację postą. Stopa pocetowa w baku 4%. Spodziewasz się, Ŝe cea spzętu spadie o 0% w ciągu tego oku. kapitał początkowy teŝ pocetuje ( + 04) + A A7,67 zł szukaa wielkość mius, bo wpłaty z dołu spadek cey o 0% stopa w skali miesiąca Wygałeś 5000 zł. Lokujesz wygaą w baku. Bak stosuje kapitalizację postą, omiala stopa pocetowa 6%. Jaką maksymalą kwotę moŝesz pobieać z baku pzez 8 miesięcy (a początku miesiąca)? PV wyplat A + PV A A635,70 ilosc wplat - stopa względa bez uwzględieia watości pieiądza w czasie A65, Model kapitalizacji złoŝoej Reta z dołu Pzykład A0 0%, 3 Suma at ety 300 Odsetki +03 pzyszła watość kapitału: Model kapitalizacji złoŝoej Watość pzyszła ety z dołu: q+ UWAGA! jest liczbą at ety q A q A ( )

25 Model kapitalizacji złoŝoej Watość pzyszła ety z góy: q+ UWAGA! jest liczbą at ety A A q q q ( ) ( + + ) Model kapitalizacji złoŝoej Reta z góy Pzykład A0 0%, 3 Suma at ety 300 Odsetki , pzyszła watość kapitału: ,364, Dwusemestale studium podyplomowe ANALITYK FINANSOWY Matematyka fiasowa wykład 3 d Kzysztof Piotek Kateda Iwestycji Fiasowych i Zaządzaia Ryzykiem Uiwesytet Ekoomiczy we Wocławiu 99 Model kapitalizacji mieszaej wpłaty częstsze iŝ okes kapitalizacji, pomiędzy kapitalizacjami stosuje się kapitalizację postą m ± q A m + q m liczba wpłat pomiędzy okesami kapitalizacji liczba okesów kapitalizacji, pzez któe wpłacamy liczba wszystkich wpłat to m azy q+ stopa (względa) dla okesu kapitalizacji - wpłaty z dołu + wpłaty z góy PV q 00

26 Pzewidujesz, Ŝe pzez 5 lat cey mieszkań z oku a ok będą osły o 5%. Upatzoe mieszkaie kosztuje dziś Postaawiasz a ie uzbieać. Bak ofeuje stopę omialą%.. Ile musisz wpłacać a końcu kaŝdego oku (kapitalizacja zgoda)?. Ile musisz wpłacać a końcu kaŝdego miesiąca, jeśli kapitalizacja będzie miesięcza? 3. Ile musisz wpłacać a końcu kaŝdego miesiąca (kapitalizacja ocza, stopa ówowaŝa)? 4. Ile musisz wpłacać a końcu kaŝdego miesiąca, jeśli kapitalizacja będzie kwatala (kapitalizacja mieszaa)? 0 Rozwiązaie ) Mieszkaie będzie kosztować:.,., Liczba wpłat , 79 A (, ) 5 q A q NaleŜy wpłacać 4 07,90 a końcu kaŝdego oku 0 Rozwiązaie ) Liczba wpłat 5 60 Stopa miesięcza - względa /% , 79 A q A q kapitalizacja miesięcza (, ) Rozwiązaie 3) Liczba wpłat 5 60 Stopa miesięcza - ówowaŝa ( ) /. 9489% , 79 A (, ) q A q NaleŜy wpłacać 875,8 a końcu kaŝdego miesiąca 03 NaleŜy wpłacać 96,9 a końcu kaŝdego miesiąca 04

27 Rozwiązaie 4) kapitalizacja mieszaa q +, 03 4 m kwatalów m q A m + q 0 3, , 79 A A.88,0 Pzykład Zamiezasz kupić samochód. Zgomadziłeś i zamiezasz odkładać po 600 a początku kaŝdego miesiąca pzez lata. Samochód kosztuje stopa pocetowa wyosi 6%, kapitalizacja jest miesięcza. Czy będziesz mieć wystaczający kapitał by abyć te samochód a koiec -giego oku? Pzykład ozwiązaie m 4 /m0.06/0.005 ( ) ( ) , , 39 I 4 (, 005 ) II 600 (, 005 ) , / 6, 7% ef watość pzyszła kapitału początkowego watość pzyszła wpłat Pzykład Wygałeś los a loteii. Wygaa wyosi milioy płate po ozpoczyając od dziś co ok pzez 0 lat. Ia moŝliwość to otzymaie milioów dziś. Co wybiezesz? , 86 I II Masz wystaczający kapitał by abyć samochód 07 08

28 Pzykład - ozwiązaie MoŜemy odjąć piewszą płatość A: a końcu kaŝdego z 9-ciu lat B: dziś ( ) ( + ) 4086% 0.4% Powiieeś wybać płatości ocze, jeśli stopy a yku są iŝsze iŝ 0.4% Kowalski pzez 40 lat odkładał z końcem kaŝdego oku Jakiej wysokości maksymalą etę będzie mógł pobieać a początku kaŝdego oku pzez kolejych 5 lat, jeśli kapitał opocetoway jest 5% w skali oku? (wpłat)pv(wypłat) ,, A, , 05 A zł poad sześćdziesiąt sześć tysięcy!! ie uwzględiając watości pieiądza w czasie daje to poad 5 tys. miesięczie 0 Ustalić sta kota fuduszu emeytalego o watości początkowej 0.00 z któego wypłacao a końcu kaŝdego kwatału kwotę.800 pzez 8 lat. Bak stosuje kapitalizację kwatalą. Nomiala stopa pocetowa 6% Kapitał ie uległ zmiaie, poiewaŝ pobieae były tylko odsetki. 8 4 Poblem iepełej ilości wpłat/wypłat moŝa ozwiązać a óŝe sposoby; p.: )utwozyć dodatkową, iepełą atę, )powiększyć jedą z wpłat/wypłat, 3)iepełą liczbę wpłat/wypłat zaokąglić do ajbliŝszej liczby atualej i wyzaczyć owe ówe wpłaty/wypłaty

29 Iwesto wpłaca a początku kaŝdego kwatału, stałą kwotę w wysokości 000 zł. Po jakim czasie azbiea a zakup samochodu, któego cea wyosi zł. Bak stosuje kapitalizacje kwatalą, omiala stopa pocetowa 6%., , , 05, 05, 87 (, ) (, ) l 87 7, 5 poblem iepełej ilości wpłat l 05 3 ) dodatkowa iepeła wpłata; 7 wpłat po 000 zł, ósma wpłata iepeła, wszystkie wpłaty a początku okesów 7, , 05 + A 8, ) 7 wpłat, jeda większa, p. duga wpłata większa 7 05, , 05 + x, dugą wpłatę aleŝy powiększyć o 037,38 zł 3) 8 ówych wpłat z góy , 05A 8, A 8 897, 87 x 037, 38 A 869, 30 4 Rachuek et w ujęciu ealym uwzględieie iflacji ówe watości omiale wpłat/wypłat malejące watości eale jeśli płatość jest z góy om q A q q PV om q om Wyzaczyć omialą i ealą watość pzyszłą wkładów oszczędościowych woszoych a początku kaŝdego oku pzez 0 lat w wysokości 500 zł. Rocza omiala stopa pocetowa wyosi 6%, ocza stopa iflacji %, kapitalizacja zgoda. Cea doba X a początku okesu oszczędzaia 00 zł. 0 om, , , Cea doba X po 0 latach 00,0 0, 90 5 Liczba sztuk moŝliwa do kupieia po 0 latach to ,46 7,9,90 6

30 achuek et w ujęciu ealym uwzględieie iflacji ówe watości omiale wpłat/wypłat malejące watości eale jeśli płatość jest z góy q eal Aq q p p p + i iflacja eal 0,06 500,06 0,06,0 Bo wpłaty są z góy, dla wpłat z dołu byłoby 9 7.9,4 Watość pzyszła wg watości abywczej z początku oszczędzaia eal q A q eal eal p q p eal watość wyaŝoa w ceach z początku okesu jeśli płatość jest z góy PV q eal eal q eal + eal 7 Liczba sztuk moŝliwa do kupieia po 0 latach to ,4 00 7,9 8 i , 96% + i + 0 q + ~, 0396 eal eal qeal eal p A qeal... qeal p 0,0396 0, , , 45,0396,0 Reta waloyzowaa iflacją ówe eale wielkości wpłat/wypłat, coaz większe wpłaty/wypłaty omiale q p q p q p A q q p A q q jeśli wpłaty są z góy PV q 9 0

31 Otzymałeś spadek w wysokości ml zł, któy ulokowałeś w baku. Pzez ile lat będziesz mógł z początkiem kaŝdego oku pobieać kwotę odpowiadającą sile abywczej kwoty zł z dia otzymaia spadku. Rocze opocetowaie w baku 5%, ocza iflacja %., 05, , 05, 05, 0, 05, , 05 l 538, 3 l ( ) (, ) Odpowiedź: pzez lata Rety wieczyste Reta wieczysta ciąg at płatości (wypłat lub wpłat) dokoywaych egulaie w okesach o tej samej długości w ieskończoym hoyzocie czasowym. Rety wieczyste z dołu z góy PV PV A A( + ) PV zgomadzoy kapitał A maksymala pobieaa eta wieczysta A A PV PV + Jakiej wielkości kapitał powiie zgomadzić Kowalski, by móc beztemiowo pobieać a początku kaŝdego miesiąca kwotę 000 zł, jeśli bak stosuje kapitalizację miesięczą, a omiala stopa pocetowa wyosi 6%. 06 PV PV zł Kowalski powiie zgomadzić kapitał w wysokości pzyajmiej zł. 3 4

32 Długi: kedyty, poŝyczki Kedyt kótkotemiowy dyskoto hadlowe (weksel) D dyskoto D M d ( ) P M D M d M d D P ef d stopa dyskota czas poŝyczki/kedytu P kwota a ękę M watość omiala ef d d tyle w zeczywistości kosztuje as kedyt w odiesieiu do kwoty, któą dostajemy a ękę 5 6 Iwesto moŝe zapłacić za towa wystawiając weksel lub zaciągając kótkotemiowy kedyt, któego efektywe opocetowaie wyosi 4,75%. Któe ozwiązaie powiie wybać iwesto, jeśli chce wziąć towa o watości 954,36 zł, temi zapłaty (okes wystawieia weksla, okes zaciągięcia kedytu) to 7 miesięcy. Stopa dyskota weksla to 4%. Długi: kedyty, poŝyczki Długi: Kótkotemiowe (do -go oku) Śediotemiowe (od oku do 5-ciu lat) Długotemiowe (powyŝej 5-ciu lat) ef kedytu 4, 75% 4 ef weksla 5, 4% 7 4 lepiej wziąć kedyt, iŝ wystawiać weksel 7 Fomy długów: Kedyty: pzepisy pawa bakowego, tylko śodki pieięŝe, okeśloy cel, PoŜyczki: kodeks cywily, ie tylko śodki pieięŝe 8

33 Długi: kedyty, poŝyczki Umowa powia zawieać: Wysokość długu (watość omiala zadłuŝeia) Fomę spłaty Temiy spłat Wysokość stopy pocetowej i okes kapitalizacji Fomę i wysokość spłacaych odsetek Fomę spłaty powizji bakowej Długi: kedyty, poŝyczki Dług spłaca się z odsetkami w fomie atalej Elemety: Raty (płatości, spłaty, aty łącze) Okes spłaty Momet płatości (aty z góy, z dołu) 9 30 Metody spłaty kedytów Pla spłaty długu obejmuje: Watość początkową długu Odsetki Ratę kapitałową Płatość, spłatę, atę łączą Pozostałą część długu (po spłaceiu aty) Metody spłaty kedytów óŝe ozaczeia w óŝych ksiąŝkach!! Płatość A Rata kapitałowa T Odsetki Z Watość udzieloego kedytu S KaŜdą płatość moŝa zapisać jako: A T + Z 3 3

34 Metody spłaty kedytów Tasakcję udzieleia i spłaty kedytu moŝa zapisać: A A S... ( + ) ( + ) ( + ) gdzie ozacza stopę pocetową kedytu. Suma zdyskotowaych płatości musi być ówa kwocie kedytu A Metody spłaty kedytów Hamoogam spłaty długu (tabela spłaty) Czas i Dług a początku S i- Odsetki Z i Rata kapitałowa T i Płatość A i Dług a końcu S i Metody spłaty kedytów Podstawowe metody spłaty kedytów: ) Rówe płatości ) Rówe aty kapitałowe (malejące płatości) Metody spłaty kedytów: ówe płatości, óŝe aty kapitałowe Watość omiala kedytu: Płatość A S T + T + + T ( ) + S A ( + ) A 35 36

35 Metody spłaty kedytów: ówe płatości Odsetki dla okesu i (początkowy dług stopa pocetowa) Z S i i Dług a końcu okesu i (początkowy dług ata kapitałowa) S S A i i i 37 Metody spłaty kedytów: malejące płatości Malejące płatości ówe aty kapitałowe i malejące odsetki Rówe aty kapitałowe Watość omiala kedytu Płatość A i T i T S S T + T + + T T S + Z i 38 Metody spłaty kedytów: malejące płatości Odsetki (początkowy dług stopa pocetowa) Z S i i S S A Dług a końcu okesu i i i (początkowy dług ata kapitałowa) Pzykład Masz spłacić 000 kedytu pzez 3 lata (płatości a końcu oku, kapitalizacja ocza). Stopa pocetowa 0%. ) Rówe płatości ) Malejące płatości (ówe aty kapitałowe) 39 40

36 Pzykład ozwiązaie ) Rówe płatości A 000, 4. 85, ( ) (, ) Pzykład ozwiązaie ) Malejące płatości (ówe aty kapitałowe) 000: k S k- Z k T k A k S k ,37 485, , ,63 837, ,9 485, , ,7 438, ,7 485,38 0 suma 476,3 000 k S k- Z k T k A k S k suma koszt kedytu to 0%, a ie jak czasami się widzi: 476,3 6, 88% oszustwo!! 4 4 Pzykład Ustaloe płatości Pzykład Ustaloe aty kapitałowe k 3 4 S k Z k T k A k S k k A k S k- Z k T k S k %, S00 6%, S

37 Pzykład Kedytobioca otzymał kedytu, któy ma zostać spłacoy po czteech latach, według stopy 8.5%. Kapitalizacja miesięcza. Ile musi płacić a końcu kaŝdego miesiąca, jeśli płatości są jedakowe? ZałóŜmy, Ŝe kedytobioca po 30-tej acie zechce spłacić pozostałą część długu jedoazowo. Jaką kwotą będzie musiał wówczas dyspoować? Pzykład ozwiązaie m 448 /m085/7083% A,,, Płatość wyosi 49, Pzykład ozwiązaie 8 at pozostaje Pzykład ozwiązaie 30 at dokoao , PV 49, , , (, ) 0000(, ) , Kwota ta wyiesie 8.303,40 Kwota ta wyiesie 8.303,

38 Spłata długu z okesem kaecji Niektóe długi podlegają zwotowi dopieo po upływie pewego okesu okesu kaecji Kaecja moŝe dotyczyć at kapitałowych i odsetek lub tylko at kapitałowych wyzaczamy efektywą stopę pocetowa w skali oku: ef +, 55% 4 4 odsetki w kaŝdym oku okesu kaecji: Po -letim okesie kaecji dotyczącym tylko aty kapitałowej, dług w wysokości aleŝy spłacić w ówych 4 płatościach a koiec oku. Bak stosuje kapitalizację kwatalą, omiala stopa %. 49, 55% cztey ówe płatości spłacające dług : 4 55, A 55 55, 4 A obliczeia z dokładością do jp Kowesja długu zmiaa wauków spłaty długu i S i Z i T i A i S i Według umowy kedytowej, dłuŝik miał spłacić w 5 ówych płatościach. Bak stosuje kapitalizację zgodą, stopa omiala 0%. Po spłaceiu aty dłuŝik zwócił się z pośbą o obiŝeia stopy pocetowej do 7%. Bak wyaził zgodę, pzy czym aliczył opłatę kaą w wysokości.500. Czy kowesja była opłacala dla iwestoa?

39 piewote płatości: 5, A A6.379,75 5, po atach pozostało do spłaceia:, , , do iespłacoego kapitału dodajemy opłatę kaą wyzaczamy owe płatości: A ɶ < , 75 3, Aɶ 07, 07 opłacało się! 3 53