ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie

Transkrypt

1 ELEMENTY MATEMATYI FINANSOWEJ Wpowadzeie Pieiądz ma okeśloą watość, któa ulega zmiaie w zależości od czasu, w jakim zostaje o postawioy do aszej dyspozycji. Watość tej samej omialie kwoty będzie ia dziś iż za miesiąc, ok, czy 1 lat. Zóżicowaie ealej watości pieiądza wiąże się, poza ewetualym wpływem iflacji czy deflacji, z upływem czasu, a dokładiej mówiąc, ze zóżicowaiem płyości pieiądza, któym będziemy dyspoowali w pzyszłości. Największy stopień płyości, a więc ajwiększą watość, ma pieiądz będący aktualie w aszej dyspozycji. Możemy im dowolie ozpoządzać, pzezaczając go a kosumpcję, a zakup akcji lub obligacji, a działalość gospodaczą lub lokując go w baku. Podstawowe pzyczyy dla któych złotówka dziś ma większą watość, iż złotówka za ok: 1. Alteatywy koszt kapitału - gdybyśmy otzymali złotówkę już teaz, to pzez ok moglibyśmy ią obacać, powiększając te kapitał. 2. Niepewość - w ciągu oku może zajść wiele okoliczości, z powodu któych złotówki ie otzymamy (p. bakuctwo osoby, któa ma am tę złotówkę zapłacić). 3. Iflacja Zamożeie pieiądza, p. w postaci iwestycji, lokaty bakowej lub udzieleia kedytu powoduje, że pozbawiamy się w daej chwili płyości Lokując pieiądze w bakach stajemy się ich wiezycielami i z tego tytułu otzymujemy zyski w postaci odsetek. Pzy każdym podejmowaiu alokacji śodków będących w dyspozycji p. baku zachodzi koieczość okeśleia ich wielkości w óżym czasie. Związae jest to z wyzaczeiem bieżącej i pzyszłej watości pieiądza, co jest wyikiem opeacji azywaych odpowiedio opocetowaiem i dyskotowaiem. Opocetowaie W waukach gospodaki ykowej poziom stóp pocetowych zależy jest pzede wszystkim od podaży kapitału pożyczkowego i popytu a te kapitał. Moża zatem powiedzieć że ykowa stopa pocetowa jest ceą ówowagi kapitału pożyczkowego. W istytucjach bakowych podstawową stopę pocetową, mającą zastosowaie dla depozytów i kedytów, wyzacza się w skali jedego oku. W pzypadku gdy odsetki kapitalizowae są częściej iż az do oku, omialą oczą stopę pocetową p ależy dostosować do okesu kapitalizacji, czyli wyzaczyć zmodyfikowaą stopę pocetową dla daego okesu.

2 Zmodyfikowaa stopa pocetowa Gdy kapitalizacja dokoywaa jest m azy w oku zmodyfikowaa stopa pocetowa wyosi: p m p p. kapitalizacja miesięcza: 12 p kapitalizacja kwatala: Efektywa stopa pocetowa Wauki opocetowaia lokat bakowych okeślae są pzez dwa paametyomialą stopę pocetową i częstość kapitalizacji odsetek w ciągu oku. Największy pzyost kapitału osiągamy pzy kapitalizacji ciągłej, a ajmiejszy pzy kapitalizacji oczej. Czy kapitał powiie być lokoway w baku, któy popouje ajwyższą tzw. efektywą stopę pocetową, czy kozystając z kedytu ależy postępować pzeciwie - kozystiejszy będzie wybó baku ofeującego ajiższą efektywą stopę pocetową? Na pewo tak, jedak jeśli chodzi o pzyszłą watość pieiądza zaczie większe zaczeie ma wielkość opocetowaia, częstość kapitalizacji jest dugozęda. Efektywą stopę pocetową moża obliczyć ze wzou: (1) h p m = m p - ocza stopa pocetowa m częstość kapitalizacji odsetek w ciągu oku Pzykład.: W baku A omiala stopa pocetowa wyosi 2%, w baku B wyosi 25%. Bak A kapitalizuje odsetki co miesiąc, bak B co pół oku. Oblicz efektywą stopę pocetową dla baku A i dla baku B. Bak A: = 2% h = ( 1.2) 1 =, ,8% Bak B: : = 12,5% h = ( 1.125) 1 =, ,6% 12 2 Pocet posty Pocet posty, to sposób opocetowaia kapitału (wkładu pieiężego) polegający a tym, że dochód od złożoego wkładu w postaci odsetek ie jest doliczay do kapitału a astępy okes, czyli ie bieze udziału w opocetowaiu w astępym okesie. Watość pzyszłą (futue value) kapitału oaz kwotę odsetek po okesach moża obliczyć ze wzoów: (2) = ( 1 + p ) liczba okesów, N - watość kapitału po okesach (3) Z = p p stopa pocetowa Z kwota odsetek po okesach

3 Pzykład. Wpłacamy do baku 1 zł a dwa lata. Rocza stopa pocetowa w baku wyosi %. Oblicz kwotę odsetek i kapitał po upływie dwóch lat zakładając, że opocetowaie jest poste. 2 = 1( 1 + 2, ) = 18 Z = = 8 apitał po dwóch latach będzie miał watość 18 zł, a odsetki 8 zł. Pocet składay Pocet składay, to sposób opocetowaia wkładu pieiężego polegający a tym, że dochód w postaci odsetek jest doliczay do wkładu i pocetuje waz z im w okesie astępym. Pzyszłą watość kapitału oaz kwotę odsetek moża obliczyć ze wzoów: () = p) liczba okesów, N -watość kapitału po okesach 1 = (5) Z p) p p stopa pocetowa Z kwota odsetek za ty okes Suma wszystkich odsetek ( tzw. odsetki skumulowae ): [ 1] (6) Z = = p) W pzypadku gdy kapitalizacja odsetek dokoywaa jest m azy w oku watość kapitału a koiec - tego oku wyzaczamy ze wzou: (7) m ( ) m = 1+ p = m - zmodyfikowaa stopa pocetowa Pzykład. Rocza stopa pocetowa wyosi 5%, a kapitał początkowy 1 zł. Jaka będzie watość kapitału po czteech latach, jeśli odsetki kapitalizowae są: a) kwatalie, b) miesięczie, c) oczie? 16 =,5 = ,9 a) 8 12,5 = = 1228,95 b) 12 c) = 1,5) = 12155, 6 Pzykład. Iteesuje as watość, jaką po upływie 18 miesięcy będzie mieć kwota 15 zł, wpłacoych do baku a lokatę 3-miesięczą, o stałym opocetowaiu 1% oczie, z kapitalizacją odsetek co 3 miesiące.

4 = 15 zł,1 = m = 12 / 3 = (liczba kapitalizacji w ciągu oku) m = 6 - liczba wszystkich kapitalizacji = 1+ m ( ) m =, = 18,39 zł Różica: 18,39-15 = 3,39 zł o tyle właśie wzośie watość aszej lokaty w ciągu adchodzących 18 miesięcy. Stumieie płatości Załóżmy, że dokoujemy systematyczych, jedakowych wpłat a koto bakowe w ówych odstępach czasu (p. co miesiąc lub co kwatał zasilamy swą lokatę jakąś kwotą pieiędzy). W pzypadku, gdy mamy do czyieia ze stumieiem jedakowych płatości z góy ( a początku okesu): W = W1 = W2 =... W 1 = W to suma wszystkich wpłat wyosi: (8) = W ( ) 1+ ) 1 - zmodyfikowaa stopa pocetowa W pzypadku, gdy mamy do czyieia ze stumieiem jedakowych płatości z dołu (a koiec okesu): W1 = W2 =... W 1 = W = W to suma wszystkich wpłat wyosi: (9) = W ( + ) 1 1 ( ) 1+ 1 Wyażeie ówych płatości. azywamy czyikiem watości pzyszłej dla stumieia Pzykład. Niech ocza stopa pocetowa wyosi 3%, a odsetki kapitalizowae są co kwatał. Jaka będzie watość wkładów po 6 zł po 5 latach, pzy wpłatach kwatalych z góy? ( ),75 +,75 ) 2 = 6 1,75 Po pięciu latach zgomadzimy 27931,5 zł. 2 1 = 27931,5 Spłata kedytu Zaciągięcie kedytu wiąże się ze spłatą pożyczoego kapitału i ależych odsetek. Załóżmy, że spłaty kedytu dokoywać będziemy ówymi kwotami płatości obejmującymi część kapitału i ależych odsetek oaz że kedyt będzie spłacay z dołu w atach. Wysokość oczej aty płatej pzez dłużika a koiec każdego oku moża obliczyć ze wzou:

5 (1) R p p) p) 1 = p - ocza stopa pocetowa watość początkowa kedytu (wysokość pożyczki) ilość at Dyskoto Ile wata jest dziś kwota, któą dostaiemy w pzyszłości? Albo iaczej ile musimy wpłacić do baku dziś, żeby w pzyszłości uzyskać okeśloą kwotę? Dyskotowaiem azywamy poszukiwaie bieżącej, zaktualizowaej watości (peset value) pieiądza, gdy zaa jest jego pzyszła watość. Jest to opeacja odwota do opocetowaia. Dyskoto poste: Zdyskotowaą (obecą) watość kapitału moża obliczyć elemetaie pzekształcając wzó (2): = 1+ (12) ( p) liczba okesów -watość kapitału po okesach p stopa pocetowa Dyskoto składae Zdyskotowaą (obecą) watość kapitału po okesach moża obliczyć pzekształcając wzó (): = 1+ (13) ( p) p Jeśli odsetki kapitalizowae są m azy w ciągu oku to: liczba okesów -watość kapitału po - okesach stopa pocetowa = 1+ (1) ( ) m zmodyfikowaa stopa pocetowa Pzykład. Ile ależy wpłacić teaz, aby za tzy lata mieć a kocie kwotę 2 zł, zakładając ocze opocetowaie 15%.? 2 = = 131,5 3,15) Czyli aby za tzy lata mieć a kocie kwotę 2 zł, teaz ależy wpłacić a to koto 131,5 zł.

6 Moża to także zitepetować iaczej: jeśli ktoś obiecuje am, że za tzy lata zapłaci am 2 zł, a obowiązująca stopa pocetowa wyosi 15%, to owa płatość ma dla as TERAZ watość tylko 131,5 zł. Zadaia Uwaga: w zadaiach od 3 do 23 pzyjmujemy założeie, że kapitał podlega opocetowaiu składaemu. 1. Załóżmy, że ocza stopa pocetowa w baku wyosi 5%. Po iłu latach odsetki od kapitału wyjściowego zł wyiosą 1 zł, jeśli opocetowaie jest poste? 2. Rocza stopa pocetowa w baku X wyosi 1%. Po ilu latach ulokoway kapitał początkowy potoi się, jeśli opocetowaie ie ulegie zmiaie i jest: a) poste, b) składae? 3. Pa Ja zdepoował w baku 2 zł Po 12 latach zgomadzoy w baku kapitał, pa Ja podaował cóce. Jaki duży posag otzymała cóka jeśli stopa pocetowa w baku była zmiea i wyosiła w piewszych czteech latach 18%, w astępych pięciu latach 15%, a pzez ostatie tzy lata była a poziomie 1%?. W baku X ocza stopa pocetowa jest a poziomie: a) 3%, b) 6%, c) 35%. Wyzacz w każdym pzypadku miesięczą, kwatalą i półoczą stopę pocetową w tym baku. 5. Wyzacz oczą stopę pocetową tak, aby miesięcza stopa pocetowa była a poziomie: a) 3,%, b) 6,5%, c),5%? 6. Rocza stopa pocetowa w bakach wyosi 36%. Czy pzedsięwzięcie gospodacze będzie opłacale, jeśli iwestując w ie zł możemy po 3 miesiącach uzyskać 2 zł? 7. Oblicz oczą stopę pocetową, jeśli: a) kwatala stopa pocetowa jest a poziomie,5%, b) półocza stopa pocetowa jest a poziomie 6,5%? 8. Pa Ja pożyczył od kolegi 36 zł a 28 di. Jaka jest ocza stopa pocetowa tej tasakcji, jeśli Pa Ja oddał 38 zł?

7 9. Pa Ja zaciągął kedyt w wysokości 35 zł a tzy miesiące. edyt tzeba zwócić jedoazowo waz z odsetkami. Jaką kwotę musi zwócić pzy oczej stopie pocetowej: a) 26%, b) 3%? Pzedsiębioca chce zakupić towa o watości 8 zł. wotę tę moża uegulować a dwa sposoby: a) moża zapłacić atychmiast z abatem 5%, b) moża zapłacić po tygodiach. W pzypadku atychmiastowej zapłaty pzedsiębioca musiałby zaciągąć kedyt opocetoway 5% w stosuku oczym. Czy pzedsiębioca zdecyduje się a kedyt? 1. Masz dwie możliwości zapłaty za towa: a) atychmiastowa zapłata z abatem %, b) zapłata całej watości za 3 tygodie. Decydując się a piewszą możliwość, musisz zaciągąć kedyt. Jaka maksymala stopa opocetowaia kedytu w stosuku oczym będzie dla ciebie do pzyjęcia? 11. Pa Ja zdepoował pewie kapitał a 6 lat. Pzy jakiej oczej stopie pocetowej odsetki od złożoego kapitału będą dwukotie większe iż złożoy kapitał? Pa Ja zdepoował kapitał 3 zł w baku pzy 1% stopie pocetowej. Jakiej sumy może się spodziewać po latach, jeśli bak kapitalizuje odsetki co miesiąc? 1. W baku X ocza stopa pocetowa wyosi 1%, a odsetki dopisywae są co kwatał. Jakiej kwoty możemy się spodziewać, gdy ulokujemy w tym baku 5 zł a 3,5 oku? 15. Baki A i B płacą odsetki w wysokości 7% oczie. W któym baku kozystiej jest złożyć depozyt, jeśli kapitalizacja odsetek w tych bakach jest odpowiedio kwatala i miesięcza? 16. Opocetowaie ocze 3-letich obligacji Skabu Państwa wyosi 3%, a ich kapitalizacja jest kwatala. Iwesto zakupił obligacje za kwotę 2 zł. Jaką watość będą miały te obligacje za 2 lata? Pzedsiębioca musi wpłacić 5 zł do baku X lub Y, aby zabezpieczyć iwestycję, któą ozpoczie za 7 miesięcy. tóy z baków wybieze właściciel fimy, jeśli: a) bak X - ocza stopa pocetowa wyosi 25%, kapitalizacja odsetek miesięcza, b) bak Y - ocza stopa pocetowa wyosi 26%, kapitalizacja odsetek kwatala? 19. Wiemy, że Idiaie spzedali Mahatta w oku 1626 za 2 dolay. Jaką watość miałaby ta kwota w oku 2, gdyby Idiaie ulokowali je w baku a 5% oczie? 2. Złożoy depozyt do baku X podlega comiesięczej kapitalizacji pzy oczej stopie pocetowej 6%. Jaka powia być ocza stopa pocetowa w baku Y, aby był o kokuecyjy w stosuku do baku X, jeśli kapitalizuje o odsetki co kwatał? 21. Pzedsiębioca pzewiduje, że za 6 lat będzie zmuszoy wymieić pewe maszyy podukcyje a owe za kwotę 15 zł. Jaką część aktualego zysku wyoszącego 13

8 zł musi właściciel ulokować w obligacjach opocetowaych w stosuku oczym a 8%, aby zabezpieczyć pzyszłą iwestycję? 22. Pożyczkę bakową w wysokości 2 zł tzeba spłacić w ówych atach a koiec oku. Jakiej wielkości jest pojedycza ata, jeśli od iespłacoej kwoty bak pobiea 8% odsetek w skali oku?

9 23. Zaciągięty kedyt w wysokości 15 zł, pzy oczej stopie pocetowej 7%, ależy spłacić w pięciu ówych atach za 5 miesięcy. Jaką kwotę ależy zapłacić a koiec każdego miesiąca? 2. Pzedsiębioca zdecydował się a lokowaie w baku kwoty zł pod koiec każdego oku pzez kolejych 8 lat. Jaki kapitał zgomadzi pzedsiębioca w baku, jeśli opocetowaie ocze w tym okesie będzie stałe i ówe 12%? Odpowiedzi do zadań: 1. Po 5 latach, 2. a) Po 2 latach, b) Po około 11 latach ,67 zł.. a) Miesięcza -,25; kwatala -,75; półocza -,15; b) miesięcza -,5; kwatala -,15; półocza -,3; c) miesięcza -,29; kwatala -,875; półocza -, a) 36%, b) 78%, c) 6% 6. Nie, gdyż 2, zł < 3 79,8 zł. 7. a) 18%, b) 3% %. 9. a) , zł, b) , zł. 1. Tak ,2% ,1% ,62 zł ,7 zł. 15. W baku B, gdyż bak A - 7,18%, a bak B - 7,23% ,96 zł. 17. Bak Y, gdyż bak X ,35 zł, a bak Y ,99 zł $. 19. p > 7,78% ,7% ,2 zł ,12 zł ,89 zł.