Jerzy śyŝyński Matematyczne miary wzrostu a liczba e

Transkrypt

1 Jrzy śyŝyński Maayczn iary wzrosu a liczba. Wzros w niskończni długi czasi Przyjijy, Ŝ chcy obliczyć, jaka js warość kapiału lub jakijkolwik innj rzczy, kóra charakryzuj się procs wzrosu w sały pi, po upłynięciu pwnj liczby okrsów czasu okrs czasu nazwiy aki odcink czasu, jaki upływa iędzy koljnyi kapializacjai, czyli doliczniai narosłych odsk do kapiału w szczgólny przypadku oŝ o być rok. JŜli liczba okrsów kapializacji js równa odwroności sopy procnowj, a kapiał począkowy PV, o warość kapiału końcowgo FV js przybliŝni liczby : () FV r / np. przypuśćy, Ŝ a ijsc kapializacja roczna, wdy: 2 2, js o oprocnowani lub roczn po wzrosu 50%, działając przz dwa laa; 0-0% działając przz dzisięć la; 0 2, , % działając przz so la id. Koljn warości są za lnai ciągu: n (6.2) 2, n Liczba a oznacza, Ŝ dana wilkość (na przykład kapiał) wzrosła 2,7828 razy; w ujęciu procnowy wskaźnik wzrosu wyniósł 27,83% (on bazowy 00%). Efkywna sopa procnowa jako osaczna sopa wzrosu będzi za równa: (6.3) ( ),7828 7,828%, co oznacza, Ŝ osaczn, suaryczna sopa wzrosu (zwrou) wynosi 7,828%, Liczba okrśla za kroność wzrosu przy niskończonj liczbi kapializacji uaj niskończonj liczbi la, skoro jdn okrs kapializacji odpowiadał jdnu rokowi. Granica a a inrsującą inrprację: oznacza bowi, Ŝ niskończni woln po wzrosu (niskończni ała sopa procnowa) w niskończony czasi ni da wzrosu zrowgo, co wydawałoby się na pozór snsown, lcz wzros nico niŝszy niŝ 2,72 razy, czyli o nicał 72%.

2 2 2. Niskończona liczba kapializacji kapializacja ciągła W powyŝszy ujęciu iliśy procs dyskrny. Jśli naoias zaias zwiększać liczbę la, zwiększyy liczbę kapializacji w obrębi jdngo roku, o orzyay w granicy procs ciągły. Punk wyjścia nich będzi wzros o 00% w ciągu roku, czyli dwukrony: 2 - js o oprocnowani 00% działając przz rok, przy kapializacji rocznj; 2 2, o dwukrona kapializacja w ciągu roku, przy y say oprocnowaniu roczny; 365 2, o kapializacja dzinna. A więc w granicy, gdy liczba kapializacji, ay: 2, jako kapializację ciągłą, kóra daj wskaźnik wzrosu 2,7.. razy, a sopę wzrosu 7,83%. 3. Zwilokronion po wzrosu (kroność wzrosu) i nakładani p wzrosu Zgodni z zasadai granic ciągów z liczbą orzyujy fk dla wzrosu zwilokroniongo: (6.5) n k k k li n k (2, ) Tak więc dla podwojongo w y say czasi pa wzrosu roczngo lub sopy procnowj, orzyay 2 7, , czyli wzros 7,39 razy, zaś suaryczną sopę wzrosu: ( 2 ) 6, ,9%. Analogiczni, przy podwojony do 200% roczny pi i ciągłj kapializacji, orzyay osaczny wzros 2 7, Jśli wzros js fk działania kilku, na przykład dwóch czynników powodujących wzros w róŝnych pach, o ay składani wzrosu: k

3 3 n n a b a n n b a b Przykład: PKB ralni (w cnach sałych) wzrosło o 5%, al cny wzrosły o 3,5%, wdy PKB noinalni (w cnach biŝących) wzrosło o 8,5%. Cykliczn, wilokron powarzani okrślonj skwncji pa: n a n k a k 4. Kapializacja ciągła przz la Zobaczy raz, co będzi, jśli 00% oprocnowani z ciągłą kapializacją będzi działać przz la. Wdy orzyay suaryczny wzros (6.6)... (2, ) razy zaś osaczna sopa wzrosu wynisi: ( ). 4. Kapializacja ciągła przy roczny pi (sopi procnowj) r Jśli zaś noinalna sopa wynisi ni 00% lcz np. r 0,05 (5%), o zgodni z zasadą kroności wzrosu, suaryczny wzros jdnoskowj warości wynisi: (6.7) np. dla 0 i r 0,05: zaś suaryczną sopę wzrosu: ( r 0,050 V ) ( 0,5 0,050 r,,6487 ) 0,6487 Ławo oŝy sprawdzić, Ŝ przy dzinnj kapializacji sopy rocznj 0,05% orzyay liczbę bardzo bliską j wilkości. 5. Naychiasowa sopa wzrosu Kapializacja odsk o przykład szczgólny ogólnijszj kagorii, jaką js wzros wykładniczy.,.

4 4 Nich będzi dana pwna wilkość począkowa A (na przykład równa kapiałowi począkowu PV). Wdy wzros w okrsi la przy sopi procnowj r będzi dany jako: (6.9) V A Dla funkcji A r, kóra okrśla V w dany onci, po wzrosu V js dan jako pochodna: dv r (6.0) ra rv d Sopa wzrosu js jdnak okrślona jako wilkość względna: zn w sosunku do warości V. Za: dv d rv (6.) sopa wzrosu V r V V Współczynnik r w snsi ogólny sanowi więc chwilową sopę wzrosu funkcji V. Pojęci sopy wzrosu wyaga zrozuinia nasępujących kwsii : ) Trzba rozróŝnić iędzy on a okrs. Zinna V, oznaczająca suę piniędzy lub wilkość populacji, js wilkością ypu zasób, a więc okrśla ilość czgoś w dany onci czasu. W kaŝdy onci V przyjuj okrślona warość. Naoias ziana V okrśla sruiń, ówi więc, jaka wilkość zasobu pojawiła się w dany przdzial czasu. Za ziana V usi odnosić się do jakigoś przdziału czasu, powidzy roku. 2) Sopa wzrosu wyznaczona przz r js chwilową sopą wzrosu, bo przz ciągłą kapializację ay funkcję ciągłą, kórą oŝy róŝniczkować. 3) Jśli r js usalon, o sopa wzrosu js sała, aka saa dla wszyskich onów. W rzczywisości jdnak, oczywiści, sopa wzrosu oŝ się ziniać. 4) Mio Ŝ sopa wzrosu a charakr chwilowy, js okrślona w punkci czasu, o jj wilkość oznacza przyros procnowy w przdzial czasu, na jdnoskę czasu zwykl w roku. Wzros z swj naury oŝ nasępować jdyni w pwny czasi. Powidzni, Ŝ V a sopę wzrosu r w chwili o, ak naprawdę oznacza, Ŝ jśli sopa r, kóra pojawiła się w y onci pozosawałaby ni ziniona przz całą jdnoskę czasu (rok), o V wzrosłoby do końca dango roku o rv( o ). 5) Dla funkcji wykładniczj V A r r procnowa sopa wzrosu js sała dla wszyskich punków. Naoias bzwględna wilkość przyrosu V zwiększa się z upływ czasu, gdyŝ sała A.C. Chiang, Podsawy konoii aaycznj, PWE, Warszawa 994, s. 283.

5 5 procnowa sopa r będzi liczona dla zwiększających się podsaw (na przykład rosnącj warości kapiału i kapializowanych odsk). Tak więc na przykład, dla danj funkcji: y 769 0, 035 oŝy bzpośrdnio odczyać jako sopę wzrosu 0,035, czyli 3,5% za dany okrs (w y przypadku wzros PKB w 2003 r. w sosunku do 2002 r.). 6. Wzros ciągły a wzros dyskrny Wzros ciągły js idalizacją, kóra uoŝliwia sosowani aparau aayczngo analizy aaycznj (pochodnych), bardzo wygodngo do odlowania procsów. Jdnak w rzczywisości procsy konoiczn ujujy w sposób dyskrny, czyli przdziałai czasu. JdnakŜ, io o, oŝliw i uzasadnion js sosowani ciągłj wykładniczj funkcji wzrosu. Gdy częsoliwość kapializacji js duŝa (na przykład kapializacja dzinna), o przybliŝni funkcją ciągłą js jak najbardzij właściw ( js okrślon z dokładnością do 4/000). PrzybliŜni ciągł js jdnak oŝliw akŝ dla procsów dyskrnych o nijszj częsości, np. rocznj. ZałóŜy, Ŝ dany js goryczny procs wzrosu, polgający na roczny naliczaniu odsk wdług rocznj sopy i. Koljn sany procsu (w koljnych laach) okrślon są przz ciąg: (6.2) A, A ( i), A ) 2 ( i, A ) 3 ( i,..., A ( i) May za klasyczny fk procnu składango. Jśli oznaczyy: o san w roku js okrślony jako: (6.3) ( i) b, V ( ) Ab MoŜna jdnak wyznaczyć aką warość r, Ŝ: (6.4) ( i) b Wdy san w roku będzi dany jako: r (6.5) A( i) Dla ałych i, do 0%, r i, np: A r ( 0, 05), 05 0, 05, 0527 Tak więc dla niskigo roczngo pa (niskij sopy procnowj) i niwilkij

6 6 liczby la oŝna przyjąć, Ŝ i r, czyli sopa procnowa js równa wykładnikowi liczby. Dla większych warości i rozbiŝność js za duŝa, więc rzba dobrać r jako: (6.6) r ln( i). Tak obliczon warości r y bardzij róŝnią się od i, i js ono większ: (6.7) dla i 0, 02 (sopa roczna 2%) r 0, dla i 0, 05 (sopa 5%) r 0,04879 dla i 0, (sopa 0%) r 0,0953 dla i 0,5 (sopa 50%) r 0, dla i 5 (sopa 500%) r,79759 Tak więc funkcja wykładnicza, odpowidnio dobrana, oŝ rprznować dowolny procs konoiczny, akŝ dyskrny. 7. Dyskonowani a wzros ujny - rozpad Procs odwrony w sosunku do wzrosu js wzros ujny, czyli znijszani się obiku. To jdnak ni o sao, co dyskono. Jśli: (6.8) o warość począkową orzyay jako: V ) A( i, V (6.9) A V ( i ( i) ) Wdy sopa procnowa i saj się sopą dyskona (sopą dyskonową). Dyskonowani js więc obliczni warości począkowj kapiału oprocnowango dodanią sopą procnową i. Dla przypadku uciąglnia funkcją wykładniczą, jśli po laach kapiał wynosi: r V A, orzyujy: (6.20) V r A V r W y przypadku wykładnik ujny -r js sopą ciągłgo dyskona. Odpowiada ona wykładnikowi r z znaki inus, i wynika z logaryowania warości ułakowj: (6.2) r ln. ( i) Tak więc: dla i 0, 02 podsawiay ,

7 7 (6.22) dla i 0, 05 podsawiay dla i 0, podsawiay dla i 0,5 podsawiay dla i 5 podsawiay , , , 79759, Jak widziy, ak obliczon warości r ni róŝnią się od podanych wyŝj w (6) i oczywiści y bardzij róŝnią się od i, i js ono większ. Dla ałych warości i oŝy za, jak poprzdnio, przybliŝać wykładnik r przz sopę i. PonoŜni wykładnika r przz odpowidni daj wynik dla danj liczby la. Czy inny js jdnak ujna sopa procnowa, kóra odpowiada ujnu wzrosowi : (6.23) ( i) b Wdy san w roku będzi dany jako: (6.24) Dla ałych i, do 0%, r i : A( i) ( 0, 05) 0, 95 A r 0, 05 r 0, Z go oczywiści ujn po (sopa) wzrosu wynosi: ( r ) ( 0, ) 0, 05 Dla wyŝszych warości ujngo wzrosu r róŝni się od i, rzba za jgo warość wyznaczać przy poocy funkcji ln: (6.25) r ln( i). Podobni jak dla wzrosu dodanigo, warości r y bardzij róŝnią się od i, i js ono większ, na przykład: (6.26) dla i 0, 02 (sopa roczna -2%) r -0, dla i 0, 05 (sopa -5%) r -0,05293 dla i 0, (sopa -0%) r -0,0536 dla i 0,5 (sopa -50%) r -0,69347 dla i 0,99 (sopa -99%) r -4,6057 Wzros ujny usi być oczywiści nijszy od, gdyŝ z względu na własności funkcji ln, usi być spłniony warunk ( i) >0. Tak więc o il w forul (6.9) sopa procnowa oŝ przkraczać 00%, o uaj usi być nijsza od 00%. Jak jdnak ławo zauwaŝyć, ujny wzros ni js y say, co dyskonowani. Js on bowi obciąŝni ujną sopą procnową - w finansach js o więc działani wdług zasady dyskona handlowgo, jaką sosuj się w sosunku do

8 8 insrunów dyskonowych w forul (30) (porównaj (35)). Naoias dyskono aayczn js obliczni warości począkowj przz odwrócni procsu powsawania warości końcowj, kóra js wyniki działania dodanij sopy procnowj jak o js podan w wzorz (), (62) z kórych wynikają (3) i (63). W y przypadku - ujngo i - odpowiadająca u sopa ujna -r js za, w odróŝniniu od sopy ciągłgo dyskona, sopą znijszania się. Pojęci ujngo wzrosu js jdnak wwnęrzni sprzczn, dlago nazwiy j rozpad, a okrślającą go ujną sopę - sopą rozpadu (ra of dcay) 2. W poniŝszj abli zsawion zosały warości r dla róŝnych i, dla przybliŝń funkcją wykładniczą procsów wzrosu, rozpadu i dyskona. Tablica. Przykładow warości wykładnika liczby dla róŝnych sóp i Sopa procnowa i 0,02 0,05 0, 0,2 0,5 0, wzros r ln( i) 0,0980 0, ,0953 0,8232 0, ,6884 0,6935,0986,7976 dyskono -0,0980-0, ,0953-0,8232-0, ,6884-0,6935 -,0986 -,7976 r ln ( i) rozpad r ln( i) -0, ,0529-0,0536-0,2234-0,6935-4,6057 Ni isnij 2 Chiang (Podsawy konoii aaycznj, PWE, Warszawa 994, s. 285) błędni nazywa sopą rozpadu warość r wynikającą z dyskonowania, czyli z foruły (54).