3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

Transkrypt

1 WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,, iiujemy jko symbole formle spełijące stępujące wruki : 1), (symbol ozcz dowoly); ), ; 3),, ; 4),, ; 5), ; 6) ( ), ;, 7) ( ) ; 8), ;, 1 9),, 1; 1), ;1 ; 11) ( ), ; 1) ( ), 3A+B (Uwg) Wyrżei wyrżeimi ieozczoymi,,,,1,, itp zywmy 3A3 (Defiicj: otoczeie) Otoczeiem B ( ) (lub O ( ) ) puktu zywmy dowoly przedził (otwrty) zwierjący te pukt, w szczególym przypdku, otoczeiem Br ( ) (lub O(, r ) ) o promieiu r puktu zywmy zbiór B ( ) ( r, r) r 3A4 (Defiicj: sąsiedztw) 41 Sąsiedztwem B ( ) (lub S ( ) ) puktu zywmy dowoly zbiór B( ) (, ) (, ), gdzie, w w szczególym przypdku, sąsiedztwem Br ( ) (lub S(, r ) ) o promieiu r zywmy zbiór Br ( ) S(, r) ( r, ) (, r) 4 Sąsiedztwem (otoczeiem) zywmy zbiór B( ) (, N) ( M, ) dl M N; M, N S( )

2 43 Sąsiedztwem logiczie B( ) S( ) (, N) zywmy zbiór B( ) S( ) ( M, ), M ; 3A5 (Defiicj: fukcj) Niech X i Y będą dwom iepustymi zbiormi Wtedy fukcj f odwzorowując zbiór X w zbiór Y jest przyporządkowiem kżdemu elemetowi ze zbioru X dokłdie jedego elemetu y ze zbioru Y (piszemy f wtedy f : X Y lub X Y, lub y f ( ), X, przy czym kżdy elemet zywmy rgumetem fukcji f, elemet tki, że zywmy wrtością fukcji f dl rgumetu ( zywmy zmieą iezleżą, zmieą zleżą) Zbiór X zywmy dziedzią fukcji X y f ( ) yy y f ( ) f, zbiór Y zywmy przeciwdziedzią fukcji f Jeżeli X, Y, to fukcje odwzorowujące X w Y zywmy fukcjmi rzeczywistymi jedej zmieej rzeczywistej lub fukcjmi jedej zmieej, lub fukcjmi liczbowymi, lub po prostu fukcjmi 3A6 (Defiicj: gric fukcji) Niech f będzie fukcją liczbową określoą przyjmiej dowolym sąsiedztwie B ( ) puktu Wtedy liczb b (skończo lub ieskończo) jest gricą fukcji f w pukcie, jeżeli dl dowolego otoczeiu Bb () puktu b istieje sąsiedztwo B ( ) puktu tkie, że jeżeli B( ) f ( ) B( b) Zpisujemy to w stępującej postci: lim f ( ) b lub f ( ) b, lub f ( ) b gdy, co mówi m, że f( ) dąży do b gdy dąży do 3A7 (Defiicj: ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym (rzeczywistym) zywmy fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych ( f : ) Wrtość tej fukcji f ( ) dl liczby turlej zywmy - tym (ogólym) wyrzem ciągu i ozczmy przez Ciąg o tkich wyrzch ozczmy odpowiedio przez ( ) Zbiór ; wyrzów ciągu ozczmy przez { } 3A+B8 (Przykłdy): 81) dl podych ciągów pisć wzory określjące wskze wyrzy: 1) si ; 1; ; 3; k; k 1; k?

3 1 ; ; ; ; ; ; ; ;? E() część cłkowit liczby ; 8) zleźć wzór określjący -ty wyrz ciągu: 1) ( ) ( 1,,1,,3,) ; ) E k 1 k ) ( ) 1,,,, 4 8 ; 3) ( ) (,4,) ; ) ( ),,,, 6 1 ; 5) ( ) (1,,3,4,7,8,,) 3A9 (Defiicj: ogriczoość) Ciąg ( ) jest 91) ogriczoy z dołu, jeżeli ( m )( ): m, tz zbiór { } ogriczoy z dołu (symbol ozcz istieje); 9) ogriczoy z góry, jeżeli ( M )( ): M, tz zbiór { } ogriczoy z góry; 93) ogriczoy, jeżeli ( m, M )( ): m M, tz zbiór { } ogriczoy jest jest jest 3A+B1 (Ćwiczeie) Zbdć ogriczoość ciągów 3A+B8 orz podych ciągów: 11) ; ) 1 ; 1 13) (1 ) 3A11 (Twierdzeie) Ciąg jest ogriczoy wtedy i tylko wtedy, gdy ( K )( ): K Dowód wyik z 3A9, jeżeli K m{ m, M } ( ) 3A1 (Defiicj: mootoiczość) Ciąg ( ) jest 11) rosący, jeżeli 1 3 ( ) 1; 1) iemlejący, jeżeli 1 3 ( ) 1; 13) mlejący, jeżeli ( ) 1; 14) ierosący, jeżeli ( ) 1

4 Ciągi rosące, mlejące, ierosące i iemlejące zywmy ciągmi mootoiczymi; tk smo zywy (A+B) ciągi mootoicze od umeru 3A+B13 (Ćwiczeie) Zbdć mootoiczość (od pewego miejsc) ciągów podych w A+B8, A+B1, orz ciągu ( ), gdzie 6 5 Niech, B( b) ( b, b ) dl b, B( ) (, ) (, ), B( ) (, ), B( ) (, ) Wtedy z iicji 3A6 wyik 3A14 (Defiicj: gric i zbieżość ciągu) 141 Gric włściw ciągu: ciąg jest zbieży do gricy włściwej b, co wówczs zpisujemy w stępujący sposób lim b lub b, lub krótko ( ) b i mówimy, że dąży do b, wtedy i tylko wtedy, gdy ( )( : ) b 14 Grice iewłściwe ciągu: 1) lim ( ) ( )( : ) ; ) lim ( ) ( )( : ) ; 3) lim ( ) ( )( : ) Ciągi, które mją grice iewłściwe,, zywmy ciągmi rozbieżymi odpowiedio do,, (w iektórych podręczikch tkie ciągi zyw się ciągmi zbieżymi do,, ) Ciągi, które ie mją gricy włściwej i iewłściwej zywmy ciągmi rozbieżymi 3A+B15 (Twierdzeie o jedozczości gricy) Kżdy ciąg zbieży m dokłdie jedą gricę 3A+B16 (Fkt) Gric ciągu zbieżego do gricy włściwej lub iewłściwej ie zleży od wrtości skończeie wielu jego wyrzów 3A17 (Defiicj: podciąg) Podciągiem ciągu ( ) zywmy dowoly ciąg ( b ), gdzie b k i ( k ) jest dowolym rosącym ciągiem liczb turlych: (,,,,) 1 k 1 3A+B18 (Twierdzeie o gricy podciągu) Kżdy podciąg ciągu zbieżego (do gricy włściwej lub iewłściwej) jest zbieży do tej smej gricy

5 3A+B19 (Ćwiczeie) Zbdć zbieżość lub zleźć grice podych ciągów: 191) q, q ; 19) m1 m11 1 m 1 1 b b1 m,, b ; m m 193) ( 1) ; 194) ( ) ; 195)! 196) si( ) ; 3A+B (Twierdzeie o ogriczoości ciągu zbieżego) Jeżeli ciąg jest zbieży do gricy włściwej, to jest ogriczoy Implikcj odwrot ie jest prwdziw (zleżć przykłd) 3A+B1 (Ćwiczeie: rówowżość gric) Uzsdić, że lim lim 3A+B+C (Twierdzeie o rytmetyce gric ciągów) Jeżeli ciągi są zbieże do gric włściwych, to 1) lim ( b ) lim lim b ; ) lim ( c ) c lim, c ; 3) lim ( b ) ( lim ) ( lim b ) ; 4) lim b lim, o ile lim b ; lim b p p 5) lim ( ) ( lim ), p Z ; 6) lim k k lim, k \{1} ( ) i ( b ) 3A+B3 (Twierdzeie o trzech ciągch (o dwóch policjtch humor)) Jeżeli ciągi ( ), ( b ), ( c ) spełiją wruki: b c dl kżdego orz lim lim c b, to istieje lim b b Schemt dowodu: 1) lim b ( ) ( ) b b, ;

6 ) lim c b ( ) Stąd wyik, że dl lim b b ( m ) b c b, dl, m, N m{, m} b c b, to jest 3A+B+C4 (Ćwiczeie) Uzsdić pode rówości: ) lim 1; 1 4) lim 1, (wskzówk: ( 1) ( 1) (1 ) ( 1) ) 1 / 3A+C5 (Twierdzeie o ciągu mootoiczym i ogriczoym) Ciąg ogriczoy i mootoiczy jest zbieży Dokłdiej, jeżeli ciąg ( ) jest iemlejący dl orz ogriczoy z góry, to jest zbieży do gricy włściwej sup{ : } Podobie ciąg ( ) ierosący dl i ogriczoy z dołu jest zbieży do gricy włściwej if{ : } 3A+B6 (Uwg: iicj kresów zbioru) Niech zbiór A będzie iepusty Wtedy kres doly m if A i kres góry M sup A iiujemy stępująco: if A m m orz m dl A,, A; sup A M M orz M dl A,, A; Jeżeli zbiór A ie jest ogriczoy z dołu (góry) to if A (sup A ) 1 3A+C7 (Twierdzeie określeie liczby e) Ciąg e 1 jest rosący i ogriczoy z góry, ztem jest zbieży Gricę tego ciągu ozczmy przez e: 1 e lim 1,718 Logrytm o podstwie e zywmy logrytmem turlym i ozczmy przez l : f ( ) l Fukcję wykłdiczą o podstwie e zywmy ekspoetą i ozczmy przez ep: ep e

7 3A+C8 (Fkt) Niech ciąg ( ) będzie rozbieży do gricy iewłściwej, lub, ciąg ( ) b dąży do Wtedy 1 b 1 lim 1 lim (1 b ) e 3A+B9 (Twierdzeie o dwóch ciągch o gricch iewłściwych) Jeżeli ciągi i ( ) spełiją wruki dl kżdego,, to 1) lim lim b, ) lim b lim ( ) b b 3A+B3 (Uwg: dodtek do 3A+B1) Mmy dl co jest skrócoą wersją twierdzei: 1) lim, gdzie < + lim ) lim b, gdzie dl b b Podobie dl orz dl 1, itp 3A+C31 (Twierdzeie Bolzo-Weierstrss o ciągch ogriczoych) Jeżeli ciąg jest ogriczoy, to m podciąg zbieży do gricy włściwej Jeżeli ie jest ogriczoy, to m podciąg rozbieży do lub 3A+B3 (Defiicj: pukty skupiei ciągu) 31 Liczb rzeczywist jest włściwym puktem skupiei ciągu, jeżeli istieje podciąg tego ciągu zbieży do gricy 3 Symbol lub jest iewłściwym puktem skupiei ciągu, jeżeli istieje podciąg tego ciągu rozbieży do lub 3A+B33 (Defiicj: gric dol i gór ciągu) Niech S ozcz zbiór puktów skupiei ciągu ( ) (włściwych i iewłściwych) Wtedy 331) gricę dolą ciągu ( ) określmy wzorem lim if S, 33) gricę górą ciągu ( ) określmy wzorem lim sup S Jeżeli, S sup S, if S 3A+B34 (Ćwiczeie) Zleźć grice góre i dole ciągów pode w 3A+B8, 3A+B1, 3A+B13 orz uzsdić pode rówości: 341) lim ( 3), lim ( 3) ;

8 34) lim, lim, gdzie 1 E (( 1) 1) 3B35 (Defiicj: pukty skupiei zbioru) Pukt b (skończoy lub ieskończoy) zywmy puktem skupiei zbioru A, jeżeli kżde otoczeie tego puktu m co jmiej jede elemet zbioru A róży od b, tz istieje ciąg ( ) puktów tego zbioru tki, że lim b Bb () 3B36 (Uwg) Podobie moż zbdć ciągi ( c ) liczb zespoloych c, w szczególości gricę włściwą c ciągu, co zpisujemy c = lim c, iiujemy stępująco: c = lim c ( c c ), gdzie c c c ozcz moduł liczby zespoloej c c