CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej)."

Transkrypt

1 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom turlym liczb rzeczywistych Liczby,,,,... zywmy wyrzmi ciągu. Stosujemy zpis (,,,... ozczeie (. Rozptrzmy trzy chrkterystycze przykłdy ciągów. Pewe włsości ciągów moż odczytć z ich wykresów. Przykłd, ztem początkowe wyrzy wyoszą,,,,,... 6, lub w y k r e s c ią g u /(,,, 8, 6,,, Przykłd (, ztem początkowe wyrzy wyoszą (,,,,,,... w y k r e s c ią g u ( -,,,, -, -, -,

2 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Przykłd, ztem początkowe wyrzy wyoszą (,, 9, 6,, 6,... w y k r e s c ią g u,,, 9, 7,,,, 9, 7,,,, -, Oprócz podi lityczego wzoru ty wyrz ciągu moż je też defiiowć rekurecyjie. Rekurecyj defiicj ciągu - przykłdy - de, r w te sposób defiiujemy ciąg rytmetyczy - de, q w te sposób defiiujemy ciąg geometryczy ( r - stł, ( q - stł,,, -, ciąg Fibocciego Ciąg ( jest: Ciągi mootoicze N N N N > - rosący gdy < - mlejący gdy - iemlejący gdy - ierosący gdy Ciąg jest mootoiczy jeśli zchodzi dowoly z powyższych wruków. W przypdku dwóch pierwszych wruków ciąg jest ściśle mootoiczy. W przypdku dwóch osttich wruków ciąg jest słbo mootoiczy. Przykłd Ciąg Ciąg (, jest mootoiczy. ie jest mootoiczy.

3 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Ciąg ( jest ogriczoy gdy Ciągi ogriczoe M > N M Ozcz to, że dl pewego M wszystkie wyrzy ciągu spełiją wruek M M, tz. wykres ciągu moż zwrzeć w ogriczoym psku wyzczoym przez dwie proste poziome. Przykłd Ciąg Ciąg (, ie jest ogriczoy. jest ogriczoy. g - liczb rzeczywist g ozcz, że Gric ciągu. ε g ε > δ > δ tz. dl dowolego ε > wszystkie wyrzy ciągu o wyrzch większych iż ustloe δ spełiją wruek stosujemy też zpis uproszczoy: g ε g ε g lub g Przykłd Ciąg, jest zbieży, m gricę,. Ciąg ( ie m gricy. ozcz, że zpis uproszczoy: Gric iewłściw ciągu. A δ >δ lub Przykłd Ciąg, m gricę iewłściwą. > A

4 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski < A ozcz, że zpis uproszczoy: A δ >δ lub Włsość. ( Klsyfikcj ciągów: Ciągi liczbowe rozbieże Nie mjące gricy i włściwej i iewłściwej zbieże Rozbieże do ieskończoości (gric iewłściw Włsości jeśli ciąg jest zbieży to m dokłdie jedą gricę, ciąg zbieży jest ogriczoy (odwrot włsość ie zchodzi p. (-, ciąg mootoiczy i ogriczoy jest zbieży, Rchuek gric skończoych. Jeśli ciągi (, (b są zbieże to: c c b ( ± b ± b ( c b b d b ( b b, b

5 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Symbole ieozczoe.,,,,,, Przykłdy { } { } { } Widzimy ztem, że te sm symbol ieozczoy może ozczć róże grice, co uzsdi jego zwę. c c Podstwowe wzory k k - liczb dodti, c k c k - liczb dodti, c Włsości ; ( b ogriczo y b ± ; ( b ogriczo y b ±

6 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski gdy > gdy < gdy b > b gdy b < Liczb e (liczb Euler e,788,7 Uwg: e e e ` gdzie ± Jeśli orz N Twierdzeie o trzech ciągch b c g g to c b b c g 6

7 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski 7 Przykłdy (liczik i miowik podzieliliśmy przez jwyższą potęgę miowik tz. przez b c d { } ( Skorzystliśmy z przeksztłcei b b b wyikjącego z wzoru skrócoego możei ( ( b b b. e { } ( (w drugim wierszu liczik i miowik podzieliliśmy przez jwyższą potęgę miowik tz. przez f e, bo g e e, bo

8 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski h e e e i Korzystmy z twierdzei o trzech ciągch Ztem ( - ciąg o wyrzch dodtich. Stop wzrostu wyrzu ( > to (* Stop wzrostu ciągu. k dl przyjmujemy k Powyższy wzór moż stosowć p. do obliczi stóp zwrotu kcji, wtedy ciąg ( to ciąg otowń rozptrywych kcji. Stopy zwrotu wyrżmy często w procetch. Ciąg stły m zerowe stopy wzrostu. Ciąg rytmetyczy m stopy wzrostu dążące do zer. Ciąg geometryczy m stłe stopy wzrostu. K - kpitł początkowy, p - rocz stop procetow, K - wrtość kpitłu po ltch, Odsetki po kżdym roku są stłe i wyoszą K Ciąg kpitłów K, K, K,..., K,... Procet prosty. K p p K ztem jest ciągiem rytmetyczym. 8

9 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Procet skłdy. p p p Odsetki po kolejych ltch wyoszą K, K, K,... Ztem p p K K K K, itd. K K K p K p K p, itd. Ogólie K Ciąg kpitłów K, K, K,..., K,... K p jest ciągiem geometryczym. Jeśli k liczb kpitlizcji odsetek w ciągu roku to po ltch wrtość kpitłu wyosi K K p k k Oprocetowie ciągłe: (k k p K K k k k K e p Sumy częściowe ciągu ( : S, S,... S..., Stosujemy zpis: S i i Ciąg (S zywmy ciągiem sum częściowych. 9

10 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Sum ciągu rytmetyczego: Przykłd... S Przykłd 6... Sum ciągu geometryczego: Przykłd S q q gdy q S gdy q Przykłd. Oblicz: 6 CIĄGI - zdi [-] b ( [-,] c ( ( 6 [] d [] e 6 ( 6 [/6] f (!! (!! []

11 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski g [-] h [/] i ( [] j []. Oblicz: ( 8 [] b ( [,] c ( [-] d ( []. Oblicz: [ e ] b 6 [ e ] c 8 [ e ] d [ e ] e,7 [ e ] f [] g 8 [ e ] h [ e ]. Oblicz:... [ ] b... ( [] c... ( 6... [] d ( []. Oblicz: 9 7 [9] b 6 []

12 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski (* SZEREGI LICZBOWE. Szereg liczbowy to ieskończoy ciąg sum częściowych: Przykłd. 8 Przykłd Przykłd.... Szereg jest zbieży jeśli ciąg sum częściowych (S jest zbieży. W przeciwym przypdku mówimy, że szereg jest rozbieży. Wtedy S S zywmy sumą szeregu. Przykłd. 8 6 Szereg... jest zbieży m sumę rówą. Przykłd. Szereg... jest rozbieży. Wruek koieczy zbieżości szeregu: Twierdzeie. Jeśli szereg jest zbieży to

13 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Uwg. Twierdzeie odwrote ie jest prwdziwe. Szereg spełi wruek koieczy lecz ie jest zbieży. Szereg geometryczy. q q q... q q cost Sum szeregu geometryczego. Gdy q < to S q Przykłd Przykłd. Stosując wzór sumę ciągu geometryczego moż zmieić ułmki okresowe zwykłe.,7 7, (7,7,7,7..., 99 Szereg hrmoiczy rzędu r. r r r... r Twierdzeie. Szereg hrmoiczy rzędu r > jest zbieży. Szereg hrmoiczy rzędu r jest rozbieży.

14 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Przykłd. Przykłd. Defiicj jest zbieży ( r > jest rozbieży ( r, < Jeśli - dy szereg. b N to szereg b zywmy mjortą szeregu Jeśli c N to szereg c zywmy miortą szeregu Kryteri zbieżości szeregów wruki dosttecze zbieżości szeregu. Zkłdmy, że. Kryterium porówwcze. Mjort dego szeregu zbież dy szereg zbieży. Miort dego szeregu rozbież dy szereg rozbieży. Przykłd. jest zbieży, bo m mjortę zbieżą ( r >

15 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Kryterium ilorzowe (dalembert. Niech g Jeśli g > to jest rozbieży, Jeśli g < to jest zbieży, Jeśli g to kryterium ilorzowe ie rozstrzyg o zbieżości szeregu Przykłd. Zbdmy zbieżość szeregu!. (, (!!, ( (! ( (!! e >! Szereg! jest ztem rozbieży mocy kryterium ilorzowego. Kryterium pierwistkowe (Cuchyego. Niech g Jeśli g > to jest rozbieży,

16 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Jeśli g < to jest zbieży, Jeśli g to kryterium pierwistkowe ie rozstrzyg o zbieżości szeregu. Przykłd. Zbdmy zbieżość szeregu,, ( < Szereg jest ztem zbieży mocy kryterium pierwistkowego.. Wyzcz sumę szeregu: [] b SZEREGI - zdi 6 [,]. Stosując kryterium porówwcze zbdj zbieżość szeregu: [rozb.] b c... [zb.] d... [zb.] [rozb.]. Stosując kryterium ilorzowe zbdj zbieżość szeregu:! [rozb.] b [rozb.] 6 c ( [zb.] d (! [zb.]! (!. Stosując kryterium pierwistkowe zbdj zbieżość szeregu: [rozb.] b 6 c [rozb.] d [zb.] [rozb.] 6

17 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski GRANICA FUNKCJI Gric fukcji. - dowol liczb rzeczywist. ( - ε; ε - otoczeie liczby (puktu o promieiu ε, ( - ε; (, ε - sąsiedztwo liczby (puktu o promieiu ε, Niech fukcj f będzie określo w sąsiedztwie (puktu, g iech będzie liczbą lub, lub -. Defiicj. Gric fukcji f w pukcie jest rów g, jeżeli dl kżdego ciągu ( rgumetów fukcji, zbieżego do, o wyrzch różych od, ciąg (f( wrtości fukcji m gricę rówą g. Zpis: f ( g Alogiczie określmy: i f ( g f ( g Uwg. rchuek gric skończoych jk dl gric ciągów, b symbole ieozczoe jk dl gric ciągów. Przykłd. ( ( ( Grice jedostroe fukcji. Niech fukcj f będzie określo w lewostroym sąsiedztwie (puktu, g iech będzie liczbą lub, lub -. Defiicj. Gric lewostro fukcji f w pukcie jest rów g, jeżeli dl kżdego ciągu ( rgumetów fukcji, zbieżego do, o wyrzch miejszych od, ciąg (f( wrtości fukcji m gricę rówą g. Zpis: f ( g lub f ( g Alogiczie określmy gricę prwostroą: Zpis: f ( g lub f ( g Twierdzeie. Fukcj f m w pukcie gricę g wtedy i tylko wtedy gdy istieją grice jedostroe fukcji f w pukcie i są oe rówe g tz.: f ( g ( f ( g f ( g 7

18 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Przykłd.,, grice jedostroe są róże ztem ie istieje. Niektóre grice si si k,, gdzie k stł, k ( e, e, ± ± k k e, gdzie k stł, Fukcj ciągł. Fukcj f określo w otoczeiu puktu jest ciągł w pukcie, gdy istieje gric fukcji f w pukcie i jest rów wrtości fukcji w tym pukcie, tz. f ( f ( Alogiczie określmy jedostroą ciągłość fukcji. Fukcj f jest ciągł w przedzile, gdy jest ciągł w kżdym pukcie tego przedziłu. Fukcj jest ciągł gdy jest ciągł w kżdym pukcie swojej dziedziy. Przykłd Fukcj f ( ie jest ciągł dl, gric jest i iż wrtość fukcji w tym pukcie f ( f (. Jest to przykłd ieciągłości usuwlej. Przykłd Fukcj f ( ie jest ciągł dl, grice jedostroe w tym < pukcie, chociż istieją i są włściwe, to są róże. Jest to przykłd ieciągłości I rodzju. Przykłd si Fukcj f ( ie jest ciągł dl, ie istieją wet grice jedostroe fukcji w tym pukcie. Jest to przykłd ieciągłości II rodzju. Przykłd (fukcj Dirichlet gdy wymiere Fukcj f ( ie jest ciągł w żdym pukcie. gdy iewymiere Twierdzeie (o ciągłości sumy, różicy, iloczyu i ilorzu fukcji Jeżeli fukcje f i g są ciągłe w pukcie, to: fukcje f g, f g są ciągłe w pukcie ; b fukcj f g jest ciągł w pukcie ; c fukcj g f jest ciągł w pukcie, o ile g(. Uwg. Powyższe twierdzeie jest prwdziwe tkże dl fukcji ciągłych jedostroie. 8

19 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Twierdzeie (o ciągłości fukcji złożoej Jeżeli. fukcj f jest ciągł w pukcie,. fukcj g jest ciągł w pukcie y f(, to fukcj złożo go f jest ciągł w pukcie. Twierdzeie (o ciągłości fukcji odwrotej Jeżeli fukcj f jest ciągł i rosąc przedzile [,b], to fukcj odwrot i rosąc przedzile [f(,f(b]. f jest ciągł Prwdziwe jest tkże logicze twierdzeie dl fukcji mlejącej. Uwg Fukcje elemetre są ciągłe w swoich dziedzich. Twierdzeie (o mootoiczości fukcji ciągłej i różowrtościowej Niech fukcj f będzie ciągł przedzile [,b]. Wówczs, fukcj f jest różowrtościow przedzile [,b] wtedy i tylko wtedy, gdy jest mlejąc lbo rosąc tym przedzile. Twierdzeie. Fukcj ciągł w przedzile domkiętym osiąg w tym przedzile wrtość jmiejszą i wrtość jwiększą. Twierdzeie (włsość Drbou. Zkłdmy, że fukcj f jest ciągł w przedzile domkiętym <, b>. Jeśli f( f(b orz f( g f(b lub f(b g f( to istieje c <, b>, że f(c g. Wiosek. Jeśli f(, f(b mją róże zki to istieje c (, b, że f(c. Powyższy wiosek pozwl w prosty sposób wyzczć przybliżoe miejsce zerowe dowolej fukcji ciągłej w dym przedzile, (jeśli istieje leży dzielić dy przedził podprzedziły końcch których fukcj m róże zki p. metodą połowiei. Asymptoty. Asymptot pioow. Prost jest pioową symptotą prwostroą fukcji f jeśli fukcj f jest określo w pewym lewostroym sąsiedztwie puktu orz f ( ± Prost jest pioową symptotą lewostroą fukcji f jeśli fukcj f jest określo w pewym prwostroym sąsiedztwie puktu orz f ( ± Prost jest pioową symptotą obustroą fukcji f jeśli t prost jest pioową symptotą prwostroą i jest pioową symptotą lewostroą fukcji f. 9

20 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski symptot pioow Asymptot poziom. Prost y c jest poziomą symptotą prwostroą fukcji f jeśli f ( c Prost y c jest poziomą symptotą lewostroą fukcji f jeśli f ( c Prost y c jest poziomą symptotą obustroą fukcji f jeśli t prost jest poziomą symptotą prwostroą i jest poziomą symptotą lewostroą fukcji f. yf( c symptot poziom Asymptot ukoś. Prost y b ( jest ukośą symptotą prwostroą fukcji f jeśli f ( orz [ f ( ] b Prost y b ( jest ukośą symptotą lewostroą fukcji f jeśli f ( orz [ f ( ] b Prost y b ( jest ukośą symptotą obustroą fukcji f jeśli t prost jest ukośą symptotą prwostroą i jest ukośą symptotą lewostroą fukcji f. Uwg. Dl dużych wrtość fukcji w pukcie jest w przybliżeiu rów b tz.: f( b

21 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski. Oblicz: 8 GRANICA FUNKCJI - zdi [-] b 8 [ -,] c 6 [ ] d [] e [ ] f [,] si. Oblicz grice jedostroe fukcji: f ( dl [f(- -, f( ] b f ( dl [f(-, f( - ] c f ( e dl [f(-, f( ] d f ( e dl [f(-, f( ]. Wyzcz symptoty fukcji: f ( [, y ] b c 7 f ( [ -, y - ] f ( [ -,, y - ] d f ( [y -, y ] e f ( e [, y ]. Sprwdź, że fukcj f jest ciągł: 9 f ( 6 b f ( e

22 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski POCHODNA FUNKCJI. Niech fukcj f będzie określo w pewym otoczeiu puktu, h tkie że h leży do tego otoczei. - rgumet wyjściowy, f( - wyjściow wrtość fukcji, h - przyrost rgumetu, f( h - końcow wrtość fukcji, f( h - f( przyrost fukcji, f ( h f ( - ilorz różicowy, h Defiicj. Pochod fukcji f w pukcie to gric ilorzu różicowego gdy przyrost rgumetu dąży do zer (o ile gric t istieje. Zpis: f ( h f ( f ( h h ie ozczeie: df ( f ( d Podobie moż zdefiiowć pochode jedostroe (leży rozptrywć jedostroe grice ilorzu różicowego. Pochodą rówą ± zywmy iewłściwą. Iterpretcj pochodej. Iterpretcj geometrycz. f ( tgα gdzie α jest ktem chylei styczej w pukcie (, f( do osi X. (dltego f( ie m pochodej dl, (brk styczej f( Iterpretcj ekoomicz. Dl młych (bliskich h mmy f ( h f ( f ( stąd f ( h f ( f ( h h ztem przyrost fukcji odpowidjący młemu przyrostowi rgumetu h jest wprost proporcjoly do h, współczyikiem proporcjolości jest f (.

23 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Różiczkowlość istieie pochodej, Różiczkowlość w przedzile różiczkowlość w kżdym pukcie tego przedziłu. Uwg. Jeśli f jest różiczkowl w pukcie to f jest ciągł w tym pukcie. (odwrot włsość ie jest prwdziw p. f(. Rchuek pochodych: f, g - różiczkowle w pukcie, c - stł, ( cf cf ( g f g f ± ± (pochod sumy (różic fukcji ( g f g f g f (pochod iloczyu fukcji g g f g f g f (pochod ilorzu fukcji Jeśli f g(h to ( h h g f (pochod fukcji złożoej Podstwowe wzory. ( r r r w szczególości ( c, (, (,, (. e e (, ogólie l (, ( l ogólie ( l log, cos (si si (cos, ( cos tg ( si ctg. Przykłd. ( ( ( ( ( ( (b ( ( ( ( e e e e (c ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6

24 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski ( ( ( (d ( ( b b l l l (e ( { e } ( e e ( l (l Twierdzeie (o pochodej fukcji odwrotej Niech. fukcj f będzie ciągł przedzile (,b,. fukcj f będzie mlejąc lbo rosąc przedzile (,b, /. f, (, b. ( f jest różiczkowl w pukcie y f( orz Wtedy fukcj odwrot / ( f ( y. / f ( Wzór te jest prwdziwy tkże dl pochodych jedostroych włściwych i iewłściwych. Uwg Pochode fukcji elemetrych są fukcjmi elemetrymi. Ekoomicze zstosowi pochodej. Stop wzrostu fukcji (tempo wzrostu fukcji. Zkłdmy, że fukcj f jest określo i różiczkowl w <A;, A >, f( >. f ( s ( (względ prędkość wzrostu fukcji w stosuku do f( f ( Koszt krńcowy. - wielkość produkcji, K( - cłkowity koszt produkcji, h - przyrost produkcji, K( h - K( przyrost kosztów produkcji, Mmy: K( h K( K ( h iech h (jmiejszy możliwy przyrost produkcji - zwiększmy produkcję o szt., wtedy K ( K ( K ( przyrost kosztów gdy produkcj wzrst o szt. koszt krcowy Podobie rozptrując popyt jko fukcję cey moż określić ceowy popyt krńcowy, popyt jko fukcję dochodu moż określić dochodowy popyt krńcowy, podż jko fukcję cey moż określić podż krńcową, zysk jko fukcję cey moż określić ceowy zysk krńcowy, zysk jko fukcję wielkości produkcji moż określić produkcyjy zysk krńcowy, itd.

25 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Przykłd. - wielkość produkcji, cłkowity koszt produkcji K( -,, Wtedy koszt krńcowy wyosi K( -, Ntomist przyrost kosztów produkcji wyosi K K( - K( (( - (,( - ( -, 999 -,( Obliczmy obie wielkości dl wybrych wrtości : K k Błąd wzgl. 8 89,,8% 7 79,6,6% ,9,% 68 68,,% 7 7,,7% ,8,9% 7 7 7,,% 8,,% 9 6 6,7,%,,% Koszt krńcowy jko fukcj produkcji 6 8 produkcj Wiosek. Koszt wyprodukowi dodtkowej sztuki mleje, gdy wielkość produkcji ie przekrcz ok. sztuk, potem zczy rosąć i dodtkow produkcj stje się corz miej opłcl. Elstyczość. Niech >, f( >. Elstyczość fukcji f w pukcie to liczb: E f f ( f (

26 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski iterpretcj: p - procet o jki zmiei się rgumet wyjściowy, q - procet o jki zmiei się wrtość fukcji skutek zmiy rgumetu wyjściowego, wtedy q E f p uzsdieie f ( h f ( f ( h / : f ( f ( h f ( f ( h f ( f ( f ( h f ( f ( h f ( f ( q / E f p / w szczególości jeśli p % to q E f ztem elstyczość fukcji w pukcie jest w przybliżeiu rów procetowej zmiie wrtości tej fukcji skutek zmiy rgumetu o % jego wrtości. Przykłd. - ce, p( 6 - (, fukcj popytu wtedy ( E p 6 p. dl E p, czyli jeśli ce wyosi i wzrośie o % (tz. do, to popyt spdie o,%. Ztem te popyt ie jest elstyczy (wrtość bezwzględ elstyczości jest miejsz od. Ntomist jeśli ce wzrośie od do (tz. o % to popyt spdie o %. ZASTOSOWANIE POCHODNEJ Reguł de lhospitl. Twierdzeie. Niech f, g - różiczkowle w pewym sąsiedztwie puktu orz f ( g( lub f ( g( istieje skończo lub iewłściw gric wtedy f ( f ( g( g ( f ( g ( Uwg. Powyższe twierdzeie jest rówież prwdziwe dl gric jedostroych i gric w ieskończoościch. Uwg. Powyższe twierdzeie stosuje się tylko w przypdku symboli ieozczoych i. 6

27 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Przykłd H , l H e H e H 6 H 6 e e l l { } ( H l l { } e e e Mootoiczość fukcji. Jeśli f ( > dl (, b to f( jest rosąc w przedzile (, b, Jeśli f ( < dl (, b to f( jest mlejąc w przedzile (, b, Jeśli f ( dl (, b to f( jest stł w przedzile (, b, Ekstremum fukcji. Fukcj f m w mksimum jeśli w pewym otoczeiu tego puktu f( < f( (. Fukcj f m w miimum jeśli w pewym otoczeiu tego puktu f( > f( (. Ekstremum mksimum lub miimum. Ekstremum ie musi pokrywć się z wrtością jwiększą (jmiejszą fukcji w przedzile. Wruek koieczy ekstremum. Jeśli fukcj f m w ekstremum i jest w tym pukcie różiczkowl to f ( Uwg. odwrote twierdzeie ie zchodzi (p. y, fukcj któr ie jest różiczkowl może mieć ekstremum (p. y, Wruek dostteczy ekstremum. Niech fukcj f będzie określo w pewym otoczeiu puktu. Jeśli f jest : - ciągł w - rosąc (mlejąc w lewostroym sąsiedztwie - mlejąc (rosąc w prwostroym sąsiedztwie wtedy f m w mksimum (miimum. 7

28 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Wruek dostteczy ekstremum fukcji różiczkowlej. f ( - f ( - f( m f( mi Przykłd. Wyzczyć przedziły mootoiczości i ekstrem fukcji f( D f R, fukcj f jest przyst. f ( e f ( < > f ( - f( m f m f( Zuwżmy, że e orz e Ztem prost y jest symptotą poziomą obustroą. e. Wrtość jwiększ i wrtość jmiejsz fukcji ciągłej w przedzile domkiętym <, b>: Fukcj ciągł w przedzile domkiętym <, b> osiąg wrtość jwiększą i wrtość jmiejszą. Wrtości te mogą być przyjmowe przez fukcję f jedyie końcch przedziłu lub w tkich puktch przedziłu (, b w których pochod f ( jest rów zero lub ie istieje. Przykłd. Wyzczyć jmiejszą i jwiększą wrtość fukcji f( e w przedzile [-, ]. Rozwiązie: Pochod f ( (e m miejsc zerowe i -. Ztem wrtość jwiększ to m(f(-, f(, f(, f(- 9e. Ztem wrtość jmiejsz to mi(f(-, f(, f(, f(-. Twierdzeie (Rolle Jeśli. fukcj f jest ciągł [,b]. fukcj f m pochodą (,b. f( f(b Wtedy istieje (, b / c, że ( c f. 8

29 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Iterpretcj geometrycz twierdzei Rolle N wykresie fukcji ciągłej przedzile domkiętym, różiczkowlej we wętrzu tego przedziłu i przyjmującej jedkowe wrtości jego końcch istieje pukt, w którym stycz jest poziom. Twierdzeie (Lgrge Jeśli fukcj f jest ciągł [,b] b fukcj f m pochodą (,b Wtedy istieje c (, b, że f / ( c f ( b f ( b Iterpretcj geometrycz twierdzei Lgrge N wykresie fukcji ciągłej przedzile domkiętym i różiczkowlej wętrzu tego przedziłu istieje pukt, w którym stycz do wykresu jest rówoległ do sieczej łączącej końce wykresu. Pochod rzędu drugiego (drug pochod f ( f ( tz. pochod rzędu jest pochodą pochodej rzędu. d f Ie ozczeie: d Przykłd: f( - f ( 6-8 f ( - 8 9

30 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Uwg. Fukcj f jest klsy C w przedzile (, b jeśli jest ciągł w tym przedzile. Fukcj f jest klsy C w przedzile (, b jeśli f istieje i jest ciągł w tym przedzile. Fukcj f jest klsy C w przedzile (, b jeśli f istieje i jest ciągł w tym przedzile. Zstosowi f Wruek dostteczy ekstremum. Twierdzeie. Niech f będzie klsy C w pewym otoczeiu puktu. Jeśli f ( orz f ( to f m w ekstremum. Przy czym jest to miimum gdy f ( > mksimum gdy f ( < Uwg. Jeśli f ( orz f ( to powyższe twierdzeie ie rozstrzyg o istieiu w ekstremum. Wypukłość fukcji. Fukcj f różiczkowl w (, b jest wypukł ku dołowi (wypukł w (, b jeśli stycz do wykresu w pukcie (, f( dl < < b leży poiżej wykresu fukcji. Fukcj f różiczkowl w (, b jest wypukł ku górze (wklęsł w (, b jeśli stycz do wykresu w pukcie (, f( dl < < b leży powyżej wykresu fukcji. Twierdzeie. Niech f będzie klsy C w (, b. Jeśli f ( < dl < < b to f jest wypukł ku górze w (, b (wklęsł. Jeśli f ( > dl < < b to f jest wypukł ku dołowi w (, b (wypukł. Przykłd. Dl fukcji Dl fukcji f (, mmy f ( > f (, mmy f ( <, ztem jest to fukcj wypukł., ztem jest to fukcj wklęsł. Pukt przegięci. Niech f będzie ciągł w pewym otoczeiu puktu. (, f( jest puktem przegięci jeśli f jest wypukł ku górze w pewym lewostroym sąsiedztwie puktu i f jest wypukł ku dołowi w pewym prwostroym sąsiedztwie puktu lub odwrotie. Twierdzeie. Niech f będzie klsy C w pewym otoczeiu puktu. Jeśli f ( orz f ( zmiei zk w to (, f( jest puktem przegięci. Przykłd. Dl fukcji f (, mmy f ( 6, f (, orz f ( < dl <, f ( > dl > ztem pukt (, jest to fukcj wypukł.

31 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski. Oblicz pochodą fukcji: ( POCHODNA - zdi f [ 6 ] f ( [ ] 6 f ( [ 7 ] f ( e [ ] e b c ( d ( e f ( l [ l ] f f ( g f ( h f ( e e ( ( e ( e 7 i f ( 8 8. Oblicz pochodą fukcji: f ( b f si ( [ si cos] ( cos [ cos si] c f ( [ 6 cos6] d f si 6 e f ( e e f f ( e e ( e e g f ( l 6 h [ ] f ( ( l

32 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski. Wyzcz ekstrem fukcji: f ( 6 7 [brk ekstr.] b f ( 9 [y m y(, y mi y( -8] c ( ( ( f [y m y(, y mi y( ] d f ( l [y mi y(/e -/e] e l f ( [brk ekstr.]. Wyzcz jmiejszą i jwiększą wrtość fukcji w podym przedzile: f ( 9 dl, [f(- -7, f( ] b f ( l dl, e [f(, f(e e ] c f ( dl, [f( -8, f( f(- ]. Oblicz drugą pochodą fukcji: f [ ] ( b ( f [ 9 ] f ( [ 6 ] c ( f [ 6 ] d ( ( ( 6. Wyzcz pukty przegięci fukcji: f ( [(, ] b ( ( ( f [(, -] c ( ( f [(, ] 7. Oblicz grice stosując regułę de l Hospitl: 8 [-] b [,6] l c [ ] d [] e e [ ] f [,] si e e e g [ ] h [,] si 8. Zbdj fukcje i szkicuj ich wykresy: f ( b f ( e

33 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski c d f ( ( f ( ( 9. Oblicz elstyczość fukcji: b ( [ ] f ( e [ ] f c f ( l l d f e ( [ ]. D jest fukcj podży: q( i fukcj popytu: p( /, > - ce. Wyzcz elstyczość podży i popytu dl cey rówowgi (ce przy której popyt jest rówy podż. Podj iterpretcję otrzymych wyików. [,, -] POCHODNE CZĄSTKOWE FUNKCJI f(, Fukcj dwóch zmieych: (, f (, Niech fukcj f będzie określo w pewym otoczeiu puktu (,,, y tkie że (, y leży do tego otoczei. Defiicj. f (, ie ozczeie: logiczie f (, ie ozczeie: y y f (, f (, f (, f (, f (, y f (, y f (, f y (, y Przykłd. Wyzczyć pochode cząstkowe fukcji f(, y. f (, y ; f y (, 6y (pochod cząstkow względem (pochod cząstkow względem

34 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski ( f ( yy f y y f f Pochode cząstkowe drugiego rzędu. f ( y f y f ( y f y dwie pierwsze to pochode czyste, dwie osttie to pochode miesze. Przykłd. Wyzczyć pochode cząstkowe rzędu drugiego fukcji f(, y. f f yy 6 f y 6y f y 6y Ekstremum fukcji. Fukcj f m w (, y mksimum jeśli w pewym otoczeiu tego puktu f(, < f(, y dl ((, (, y. Fukcj f m w (, y miimum jeśli w pewym otoczeiu tego puktu f(, > f(, y dl ((, (, y. Wruek koieczy ekstremum. Jeśli fukcj f m w (, y ekstremum i istieją w tym pukcie pochode cząstkowe to f (, y f y (, Wruek dostteczy ekstremum. Niech fukcj f będzie określo w pewym otoczeiu puktu (, y. Jeśli f m w pewym otoczeiu ciągłe pochode cząstkowe rzędu orz f, y f (, y ( y f (, y f (, y i Wf(, y f (, y f (, y wtedy f m w (, y ekstremum. y y yy > Jeśli f, y to jest miimum, jeśli f, y to jest mksimum, ( > ( < Uwg (wruek wykluczjący ekstremum. Jeśli Wf(, y < to w pukcie (, y ie m ekstremum. Uwg. Wf (, y f ( f ( y, y, y f ( f y ( yy, y, y f (, y f ( yy, y f ( y, y f ( y, y Uwg. Jeśli pochode cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe to f f. y y

35 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Przykłd. Wyzczyć ekstrem fukcji f(, 6 - y y. f (, y f y (, 6y f f yy y f f Pukty krytycze: (, ; (,. y Wf(, - < ztem w (, ie m ekstremum. Wf(, > ztem w (, jest ekstremum. Poiewż f > więc jest to miimum. Uwg Z pomocą pochodych cząstkowych moż zdefiiowć elstyczości cząstkowe. y POCHODNE CZĄSTKOWE- zdi. Wyzczyć pochode cząstkowe pierwszego rzędu fukcji: f [ f (, 6 y y, f (, y] (, y y y y b f (, y l f (, y, f y (, y l ( [ f (, y y, f (, y ] c f, y. Wyzczyć pochode cząstkowe drugiego rzędu fukcji: f (, y y y [ f (, y y, f (,, f (, 6 ] b f (, y l y f(,, f c f (, y yy yy (,, f y y (, [ f (, y, f (,, f (, ] yy y. Wyzcz ekstrem fukcji: f (, y y [f mi f(, -] b f (, y, y > [f mi f(, ] y

36 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski UZUPEŁNIENIE - FUNKCJE Defiicj Niech zbiory X, Y R będą iepuste. Fukcją określoą zbiorze X o wrtościch w zbiorze Y zywmy przyporządkowie kżdemu elemetowi X dokłdie jedego elemetu y Y. Fukcję tką ozczmy przez f : X Y. Wrtość fukcji f w pukcie ozczmy przez f(. Defiicj Niech f : X Y. Wtedy zbiór X zywmy dziedzią fukcji f i ozczmy przez D f, zbiór f ( Y : { } zywmy zbiorem wrtości fukcji f i ozczmy przez W f. Jeżeli dy jest tylko wzór określjący fukcję, to zbiór elemetów z R, dl których wzór te m ses liczbowy, zywmy dziedzią turlą fukcji. D f Defiicj Wykresem fukcji f : X Y zywmy zbiór {(, R : X, y f ( }. Podzbiór płszczyzy Oy jest wykresem pewej fukcji zmieej, gdy kżd prost pioow przeci go w co jwyżej jedym pukcie. Defiicj Fukcj f odwzorowuje zbiór X zbiór Y, gdy W f Y, Defiicj Fukcj f : X R jest przyst, jeżeli dl kżdego X zchodzi ( X orz f ( f (. Fukcj jest przyst, gdy oś Oy jest osią symetrii jej wykresu. Defiicj Fukcj f : X R jest ieprzyst, jeżeli dl kżdego X zchodzi ( X orz f ( f (. Fukcj jest ieprzyst, gdy początek ukłdu współrzędych jest środkiem symetrii jej wykresu. Defiicj Fukcj f jest ogriczo zbiorze A D f, jeżeli istieje stł M >, że dl kżdego A zchodzi f ( M. Fukcj jest ogriczo, gdy jej wykres mieści się między dwiem prostymi poziomymi. 6

37 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Fukcje mootoicze Fukcj f jest rosąc zbiorze A D f, jeżeli dl kżdego l < f < f (. [( ( ] (, A Fukcj f jest mlejąc zbiorze A D f, jeżeli dl kżdego l < f > f (. [( ( ] (, A Fukcj f jest iemlejąc zbiorze A D f, jeżeli dl kżdego < f f (. [( ( ] l (, A Fukcj f jest ierosąc zbiorze A D f, jeżeli dl kżdego < f f (. [( ( ] l (, A Fukcj f jest mootoicz zbiorze A D f, jeżeli jest rosąc lub mlejąc lub ierosąc lub iemlejąc tym zbiorze. Defiicj Niech zbiory X, Y, Z, W R będą iepuste, przy czym Y Z orz iech f : X Y, g : Z W. Złożeiem fukcji g i f zywmy fukcję g o f : X W określoą wzorem: ( f ( ( g o f ( g dl X. Podobie określ się złożeie większej liczby fukcji. Skłdie fukcji ie jest przemiee. Defiicj Fukcj f jest różowrtościow zbiorze A D f, jeżeli dl kżdego f f (. [( ( ] l (, A Defiicj rówowż dl kżdego A, [( l ( f f ( ] (. Jeżeli fukcj jest rosąc lbo mlejąc zbiorze A, to jest różowrtościow tym zbiorze. Defiicj Niech fukcj fukcji f zywmy fukcję f : X Y będzie różowrtościow dziedziie. Fukcją odwrotą do f : Y X f ( y określoą przez wruek: f (, gdzie X, y Y. Wykres fukcji f otrzymujemy z wykresu fukcji f odbijjąc go symetryczie względem prostej y. Fukcj odwrot do fukcji rosącej jest fukcją rosącą. Fukcj odwrot do fukcji mlejącej jest fukcją mlejącą. 7

38 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Uwg Dl kżdego orz Dl kżdego X zchodzi f ( f ( y Y zchodzi f ( f ( y. Fukcje elemetre Podstwowymi fukcjmi elemetrymi zywmy fukcje: stłe, potęgowe, wykłdicze, logrytmicze, trygoometrycze orz cyklometrycze. Fukcje, które moż otrzymć z podstwowych fukcji elemetrych z pomocą skończoej liczby dziłń rytmetyczych orz opercji złożei fukcji, zywmy fukcjmi elemetrymi. Wrtością bezwzględą (modułem zywmy fukcję określoą wzorem: Jest to fukcj elemetr, bo dl dl. < dl kżdego R. Wielomiem zywmy fukcję W : R R określoą wzorem W ( gdzie N {}, i R dl i orz. K, Liczbę zywmy stopiem wielomiu W i ozczmy przez stw lub degw. Fukcję, którą moż zpisć w postci ilorzu dwóch wielomiów zywmy fukcją wymierą. Uwg. y y log, >, jest podstwą logrytmu, >. Logrytm przy podstwie e z liczby zywmy logrytmem turlym i ozczmy przez l ; l log e. Logrytm przy podstwie z liczby zywmy logrytmem dziesiętym i ozczmy przez lg ; lg log. Uwg. Fukcję wykłdiczą przy podstwie e ozczmy iekiedy przez ep; ep e. 8

39 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski. Oblicz: ( MATEMATYKA I - zdi powtórzeiowe. b c d ( e f. Zbdj zbieżość szeregu:! b!! ( c d... e... f 8. Oblicz: e b l c l cos d e e f ( si. Wyzcz symptoty fukcji: f ( b f (. Wyzcz ekstrem fukcji: 8 f ( e b f ( 6. Nszkicuj wykresy stępujących fukcji popytu f ( [fukcj Törquist popytu dobr podstwowe ( dochód] dl < b f ( ( dl [fukcj Törquist popytu dobr wyższego rzędu ] dl < c f ( ( dl [fukcj Törquist popytu dobr luksusowe] d f ( t e [(tred logistycz popyt owy towr ryku (t czs] 7. Wyzcz jmiejszą i jwiększą wrtość fukcji f w dym przedzile: f ( <-, > b f ( <-,; -,> 8. Koszt cłkowity wyprodukowi to frby wyosi K(, -,. Widomo, że ce p zleżeć będzie od podży według zleżości: p( 88 -,. Przy jkiej wielkości produkcji zysk ze sprzedży frby będzie jwiększy? 9. Wyzczyć utrg krńcowy i elstyczość, gdy dy jest utrg cłkowity U ( <, > dl liczby jedostek towru i (podć iterpretcję.. Fukcj kosztów przeciętych jest określo wzorem k(, Obliczyć elstyczość kosztu przeciętego i cłkowitego dl.. D jest fukcj podży: q( - i fukcj popytu: p( -, > - ce. 9

40 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski Wyzcz elstyczość podży i popytu dl cey rówowgi (ce przy której popyt jest rówy podż. Podj iterpretcję otrzymych wyików.. D jest fukcj popytu: p( 9 - i fukcj kosztów cłkowitych: K(p 9 p, > - ce; p > - popyt. Wyzcz fukcję kosztów jko fukcję cey K(. Wyzcz fukcję dochodu D(. Nrysuj wykresy K( i D( w jedym ukłdzie współrzędych, zzcz obszr zysku i strt. Wyzcz ceę mksymlizującą dochód.. Wyzcz pukty przegięci fukcji: f (.. Wyzczyć pochode cząstkowe fukcji f(, Oblicz f (, ; f y (,. e y. Wyzczyć pochode cząstkowe rzędu drugiego fukcji f(, Oblicz f (, f (, f (, f (, yy y y y. y 6. Wyzczyć ekstrem fukcji f(, y y, b f(, y y -y c f(, e ( y. ODPOWIEDZI.. -, b e -6, c e, d, e, f -/.. rozbieży, b zbieży, c zbieży, d zbieży, e rozbieży, f rozbieży.., b, c, d, e, f s. pioow, y - s. ukoś, b y s. poziom.. f mi f(, f m f( /e, b f mi f(±. 7. f mi f(- -6, f m f(- 7, b f mi f(-, -,, f m f( dl 9. dl : 6;,86 dl : 8;,96.. Ek( -,; EK(,..,,; -,67.. (, - p.p. y. f (, e y y f y (, e f, ( -e; f y (,. y. f ( f yy ( y f ( y ( f f (, -, f yy (,, f y (, f y (, 6. f mi f(,, b f m f(,, c f mi f(-, - e -.

41 MATEMATYKA I - Lucj Kowlski MATEMATYKA I - TEST 8 (. Ile wyosi gric:? 9 ( A B - C D. Ile wyosi gric:? A B, C D -,. Dl jkiej wrtości k fukcj si dl f ( jest fukcją ciągłą? k dl A / B / C D. D jest fukcj kosztów k( (. Ile wyosi koszt krńcowy, gdy? A 6 B C 768 D. Ile wyosi elstyczość fukcji f ( w pukcie? A B /9 C 6 D 9/ 6. Ile wyosi pochod fukcji f ( l l w pukcie e? A B e C /e D 7. Fukcj f ( m pochodą f (. Fukcj t m mksimum w pukcie A B - C ie m mksimum D 8. Fukcj f ( m symptotę poziomą A y B y - C y D y 9. Fukcj f ( m w przedzile [-, -] jmiejszą wrtość rówą A B, C, D. D jest fukcj dwóch zmieych f (, y y. Ile wyosi wrtość pochodej cząstkowej f w pukcie (,? A B C D Odpowiedzi: A, D, A, C, D, 6C, 7B, 8B, 9C, A Litertur: R.Kozrzewski, W.Mtuszewski, J.Zchrski, Mtemtyk dl ekoomistów, część, J.Gwiecki, Mtemtyk dl ekoomistów,

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb. Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce

Bardziej szczegółowo

1.1 Pochodna funkcji w punkcie

1.1 Pochodna funkcji w punkcie Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę

Bardziej szczegółowo

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński

Bardziej szczegółowo

Collegium Novum Akademia Maturalna

Collegium Novum Akademia Maturalna Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu

Bardziej szczegółowo

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015 dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Kotkt: e-mil: krzysztof.zyjewski@uwm.edu.pl kosultcje: po 18 listopd 7.55-8.55, pok. A0/19 (ie termiy możliwe po uprzedim kotkcie milowym)

Bardziej szczegółowo

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012. Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.

Bardziej szczegółowo

Macierze w MS Excel 2007

Macierze w MS Excel 2007 Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Rchuek prwdopodobieństw MA5 Wydził Elektroiki, rok kd. 20/2, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 7: Zmiee losowe dwuwymirowe. Rozkłdy łącze, brzegowe. Niezleżość zmieych losowych. Momety. Współczyik

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe

Ciągi i szeregi liczbowe Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony Dorot oczek, roli Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy i rozszerzoy Ozczei: wymgi koiecze; wymgi podstwowe; R wymgi rozszerzjące; D wymgi dopełijące; W

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Jan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I

Jan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I J Nwrocki MATEMATYKA cz Aliz mtemtycz I Politechik Wrszwsk Politechik Wrszwsk Wydził Smochodów i Mszy Roboczych Kieruek "Edukcj techiczo iformtycz" -54 Wrszw, ul Nrbutt 84, tel () 849 4 7, () 4 8 48 ipbmvrsimrpwedupl/spi/,

Bardziej szczegółowo

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Granica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych

Granica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych Gric cigu puktów Ztem Cig puktów P P ; jest zie do puktu P ; gd P P [ ] Oliczm gric cigu l Poiew l l wic cig l jest zie i jego gric jest pukt π π [ ] Oliczm gric cigu si π π π π Poiew si si wic cig si

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 25.01.2003 r.

Matematyka finansowa 25.01.2003 r. Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI

MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

WZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B )

WZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B ) . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A. Kżdy ziór jest wyzczoy przez swoje elemety.

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element MATEMATYKA Wykłd 4 (Funkcje) Pisząc f : (,b) R rozumiemy Ŝe kŝdemu (, b) przyporządkowny zostł dokłdnie jeden element y R. Wykresem funkcji nzywmy zbiór pr (,f()) n płszczyźnie skłdjącej się ze wszystkich

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Wykªad

Analiza Matematyczna Wykªad Aliz Mtemtycz Wykªd Spis tre±ci 1 Wst p 1 2 Ci gi liczbowe 2 3 Gric ci gu 4 4 Gric fukcji 6 5 Asymptoty fukcji 9 6 Ci gªo± fukcji 10 7 Pochod fukcji 11 8 Ekstrem fukcji 13 9 Cªk ieozczo 16 10 Cªk ozczo

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n 6 Szeregi Fourier Defiij Dwie fuje ψ :< > C zywmy fujmi ortogolymi przedzile < > gdy ψ Defiij Ciąg fuji ) :< > C zywmy ułdem ortogolym przedzile < > gdy fuje są prmi ortogole przedzile < > tz gdy j j λ

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Technologiczno- Humanistyczny w Radomiu Radom 2013

Uniwersytet Technologiczno- Humanistyczny w Radomiu Radom 2013 Uiwesytet Techologiczo- Huistyczy w Rdoiu Rdo 3 Podstwy tetyki fisowej D Zbigiew Śleszyński ted Bizesu i Fisów Międzyodowych Wydził kooiczy tudi podyploowe OWOCZ UŁUGI BIZOW Teść wykłdu: Powtók z tetyki

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) szkicuje wykres funkcji f ( x)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) szkicuje wykres funkcji f ( x) l. 3iA WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Ozczei: wymgi koiecze (dopuszczjący); P wymgi podstwowe (dostteczy); R wymgi rozszerzjące (dobry); D wymgi dopełijące (brdzo

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.

Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów. Zestw wzoów mtemtyzy zostł pzygotowy dl potze egzmiu mtulego z mtemtyki oowiązująej od oku 00. Zwie wzoy pzydte do ozwiązi zdń z wszystki dziłów mtemtyki, dltego może służyć zdjąym ie tylko podzs egzmiu,

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Mteriły dydktycze Mtemtyk Semestr II Wykłdy Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Przpomnijm definicję ilorzu róŝnicowego : Definicj (ilorzu róŝnicowego) : Ilorzem róŝnicowm funkcji f : (,b) R odpowidjącm

Bardziej szczegółowo