Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Transkrypt

1 Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia podstaw metody elemetów skończoych Algorytmy obliczeiowe MES wymagają iejedokrotie szerszej zajomości rachuku macierzy Macierzą prostokątą [ a ] o wymiarach azywamy fukcję, która każdej uporządkowaej parze zmieych aturalych ( i, k ), i =, 2,, m, k =, 2,, przyporządkowuje liczbę rzeczywistą a Macierz zapisujemy w postaci tablicy prostokątej mającej m wierszy i kolum: a a a a 2 3 a a a a [ A] = a ij = (D) a a a a m m2 m3 m W przypadku, gdy m = macierz azywamy kwadratową Macierzą diagoalą azywamy macierz kwadratową, w której wszystkie elemety poza leżącymi a główej przekątej (diagoali) są rówe zeru ( a = 0, i j) ij Macierz [ A] azywać będziemy wektorem-kolumą i ozaczać { } { } A a i = i =, 2,, m Macierz [ A] azywać będziemy wektorem-wierszem i ozaczać A = a i i =, 2,, Macierzą pasmową azywamy macierz kwadratową, której wszystkie iezerowe elemety leżą a przekątej główej (diagoali) i w k rówoległych do diagoali liiach z każdej stroy ( a jj = 0 jeśli i j > k ) A = 2 k+ Liczbę (2k + ) azywamy szerokością pasma, a liczbę ( k + ) szerokością półpasma macierzy [ A ] Macierzą jedostkową o wymiarze azywamy macierz diagoalą o jedostkowych elemetach iezerowych

2 Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa 2 z [ I ] = [ δ ] = gdzie δ ozacza symbol Kroeckera: δ = gdy i = k, δ = 0, gdy i k Macierzą traspoowaą macierzy [ A] = [a] azywamy macierz [ A] przez przestawieie wierszy i kolum W szczególości mamy q = { q} i { q} Macierzą symetryczą azywamy macierz kwadratową, dla której [ A] [ A] a m (D2) = [ a ] powstałą ki = q = ( = a ) ki Podstawowe działaia a macierzach A a B b Sumą macierzy [ ] = [ ] i [ ] = [ ] azywamy macierz [ C] [ a b ] = + Operacja dodawaia macierzy wymaga zgodości wymiarów macierzy składowych Iloczyem macierzy [ A] [ a ] [ B] = [ λ a ] = przez liczbę rzeczywistą λ azywamy macierz Iloczyem macierzy [ A] = [ a ] przez macierz [ B] = [ b ] azywamy macierz [ C] = [ c ] taką, że: = aijb jk j= c p p i =,2,, m, (D3) k =,2,, p Możeie macierzy jest możliwe jedyie w przypadku, gdy liczba kolum pierwszej macierzy jest rówa liczbie wierszy drugiej macierzy [ A][ B] [ B][ A] Możeie macierzy ie jest przemiee ( ) W podręczych obliczeiach iloczy macierzy oblicza się często za pomocą tak zwaego schematu Falka: b b k b p b bk bp a c a2 a c p a 2 a c i ai a c m am m cmp 2

3 Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa 3 z 7 c = a b = a b + a b + + a b ij jk i k i2 2k i k j= Wybrae własości działań a macierzach [ A] [ B] [ C] = [ A] [ B] [ C] (D4) ( ) ( ) 2 α[ A] [ B] ( α[ A] ) [ B] [ A] ( α[ B] ) 3 ( ) = = (D5) [ A] [ B] = [ B] [ A] (D6) Wyzacz macierzy Wyzacziem macierzy kwadratowej [ ] [ ] det[ A ], która zdefiiowaa jest przez związki ) dla 2) dla 2 = det [ A] = a A = det [ A] a a22 a2 a2 2 2 = a azywamy liczbę rzeczywistą = (D7) 3) dla 3 wyzacz obliczyć moża wybierając dowoly wiersz r i stosować tzw rozwiięcie Laplace'a det [ A] = arα r + ar 2α r arα r = aα (D8) a azywamy dopełieiem algebraiczym elemetu j a macierzy [A] i obliczamy wg wzoru r+ j α = ( ) det (D9) [ M ] gdzie [ M ] jest podmacierzą macierzy [A] powstałą przez wykreśleie r-tego wiersza i j-tej kolumy macierzy [A] W szczególości dla = 3 otrzymamy wybierając r = det[ A] = a ( a22 a33 a23 a32 ) a2 ( a2 a33 a23 a3) + (D0) + a3 ( a2 a32 a22 a3) Wyzacz obliczyć moża rówież stosując aalogicze rozwiięcie Laplace'a względem wybraej kolumy Macierz, której wyzacz jest rówy zeru azywamy macierzą osobliwą Rzędem macierzy A azywamy ajwiększy wymiar podmacierzy kwadratowej powstałej przez wykreśleie części wierszy i kolum, dla której wyzacz jest róży od zera Rzędem macierzy ieosobliwej o wymiarze jest więc Rząd macierzy osobliwej jest miejszy iż jego wymiar Wybrae własości wyzacza: Jeżeli jakiekolwiek dwa wiersze (kolumy) są liiowo zależe (dają się przedstawić w postaci liiowej kombiacji pozostałych) to wartość wyzacza jest rówa zeru 3

4 Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa 4 z 7 2 det[ A] = det[ A] 3 Wyzacz macierzy diagoalej jest rówy iloczyowi jej elemetów diagoalych det [ A] [ B] = det[ A] det[ B] 4 ( ) Macierz odwrota Macierzą odwrotą ieosobliwej macierzy [ A] azywamy macierz [ ] [ A] [ A] = [ A] [ A] = [ I] = [ δ ] Istieje dokładie jeda macierz odwrota macierzy ieosobliwej [ A] [ ] A = det A α, a macierzy [A] gdzie a są dopełieiami algebraiczymi elemetów taką, że Układ rówań liiowych Zagadieie włase Układ m rówań liiowych z iewiadomymi aij x j = bi ( i =,2,, m) j= zapisać moża w postaci macierzowej A x = b [ ]{ } { } Układ azywamy sprzeczym, gdy ie posiada żadego rozwiązaia, ozaczoym - gdy posiada dokładie jedo rozwiązaie, albo ieozaczoym, gdy posiada ieskończeie wiele rozwiązań wierdzeie Kroeckera-Cappelliego uzależia istieie rozwiązaia układu od rzędów macierzy układu i macierzy rozszerzoej [ C] [ A] a a2 a = am am2 a m a a2 a b a a a b = ( + ) am am2 am bm Rzędem macierzy [A] azywamy ajwiększy wymiar kwadratowej podmacierzy R [ A ] macierzy [A] mającej róży od zera wyzacz i ozaczamy ( ) Zgodie z twierdzeiem Kroeckera-Cappelliego a) układ rówań jest sprzeczy, gdy R( A) R( C) b) układ rówań jest ozaczoy, gdy R( A) = R( C) = c) układ jest ieozaczoy, gdy R( A) = R( C) < W przypadku macierzy kwadratowej ( m = ) układ jest więc ozaczoy jedyie w przypadku, gdy det[ A] 0 Rozwiązaiem układu jest wtedy 4

5 Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa 5 z 7 { x} = [ A] { b} Rozwiązywaie układów rówań metodą poszukiwaia macierzy odwrotej jedak zazwyczaj ie jest stosowae Ie, bardziej efektywe metody poszukiwaia rozwiązaia wymagają zwykle miejszej liczby operacji arytmetyczych W przypadku jedorodego układu rówań z iewiadomymi [ A] x = 0 { } { } istieje zawsze rozwiązaie trywiale { x } = { 0} Rozwiązaia ietrywiale istieją wtedy i tylko wtedy, gdy R ([ A] ) <, a więc w przypadku, gdy det[ A ] = 0 Wartości włase i wektory włase x azywamy odpowiedio wartością własą i wektorem Liczbę λ i iezay wektor { } własym macierzy [ A], jeśli spełiają rówość [ A]{ x} λ{ x} = Wektor własy może być wyzaczoy jedyie z dokładością do moża, tz c x jest im rówież jeśli { x } jest wektorem własym to { } Po przekształceiu rówaia własego do postaci: [ A] λ[ I] x = 0 ( ){ } { } stwierdzić moża, że wartości włase λ i są pierwiastkami wielomiau charakterystyczego macierzy [A] p( λ) = det [ A] λ[ I] = λ + β λ + β λ + + β = 0 ( ) 2 2 Numerycze rozwiązaie zagadieia własego ie polega jedak a rozwiązaiu wielomiau charakterystyczego Stosowae są zwykle ie, przeważie iteracyje techi obliczeiowe Forma kwadratowa Dodatia określoość Wyrażeie typu ij i j [ ]{ }, Q = a x x =x A x i= j= gdzie [A] jest macierzą symetryczą azywamy formą kwadratową zmieych i =, 2,, Jeśli dla dowolego iezerowego wektora { x } Q > 0 to formę kwadratową azywamy dodatio określoą Jeśli Q < 0 formę azywamy ujemie określoą e same określeia stosowae są w stosuku do macierzy [A] defiiującej fukcję kwadratową (dodatia i ujema określoość) Uogólioą formą kwadratową azywamy wyrażeie typu: ij i j i i i= j= i= [ ]{ } { } Q = a x x + b x = x A x + x b Ekstremum formy kwadratowej jest określoe przez waruki Q = 0, i =, x i x i, 5

6 Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa 6 z 7 Powyższe waruki zapisae w postaci macierzowej przyjmują w przypadku symetryczej macierzy [ A ] postać [ A]{ x} { b} 2 + = 0 Otrzymay układ rówań liiowych staowi waruek koieczy i dostateczy Q x a w przypadku, gdy macierz [A] jest dodatio ( ) ekstremum formy kwadratowej { } określoa staowi waruek miimum Szczególe własości macierzy typowego układu rówań w MES (symetria, pasmowość, dodatia określoość) są wykorzystywae w procedurach obliczeiowych dla zwiększeia efektywości obliczeń PRZYKŁADY PRZYKŁAD Niech 2 [ A] = 3 4 Obliczmy [ A] [ A] Według schematu Falka: czyli 5 7 [ C] = [ A] [ A] = PRZYKŁAD 2 Wykazać, że macierz sztywości elemetu belki [k] jest osobliwa 6 3l 6 3l 2 2 2EJ 3l 2l 3l l [ k] = 3 l 6 3l 6 3l 2 2 3l l 3l 2l W macierzy [k] zauważyć moża liiową zależość między wierszami (i kolumami), stąd wiosek, że wyzacz musi być zerowy Na przykład wiersz pierwszy jest wyiem przemożeia wiersza trzeciego przez Wiersz pierwszy może być też otrzymay przez sumowaie wierszy drugiego i czwartego i podzieleie wyu przez l 6

7 Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa 7 z 7 PRZYKŁAD 3 Niech 2 [ A] = Wyzaczyć [ ] Wyzaczamy ajpierw wartość wyzacza: A det[ A ] = 2 ( ) ( 0 0) + ( ) ( 0 0) + ( ) ( 0 0) = 2 = det[ A ] = Ozacza to, że istieje macierz odwrota Macierz dopełień algebraiczych jest w tym przypadku rówa: Stąd [ A] = [ ] Sprawdzamy: det[ A] α 0 [ α ] = 2 0 A 0 0 [ ] = [ A] [ A] = 0 0 = [ I ] 7