Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Transkrypt

1 lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci liski zeru) i jedynk (stn npięci liski npięciu zsilni zwykle V lu w nowszych ukłdch.b lu nwet.v). System operujący n dwóch stnch nzywmy dwójkowym lu też inrnym. W systemie dziesiętnym kolejne cyfry od prwej strony mją wrtość kolejnych potęg, podonie w dwójkowym są to kolejne potęgi dwójki: ( ),,,,,,,, ( ) itp. Czyli np. licz in dec. W celu zminy z systemu dziesiętnego n dwójkowy, wykonujemy n liczie dzielenie cłkowite przez, zpisując przy tym resztę z dzieleni i powtrzmy to ż dojdziemy do. Kolejne reszty to cyfry reprezentcji inrnej ułożone od njmłodszej (njmniej znczącej) do njstrszej (łącznie z końcową jedynką). Tk więc n przykłd: Licz Reszt Licz Reszt dec in () dec in. Uwg: wynik inrny wpisujemy odczytując reszty z dzieleni ptrząc od dołu do góry. Zpiszemy telę dl licz dziesiętnych, dwójkowych i szesnstkowych: dec in hex Widzimy, że jedn cyfr szesnstkow odpowid dokłdnie czterem cyfrom dwójkowym. Szesnstkowy zpis licz inrnych jest powszechnie stosowny, gdyż zmin jest o wiele łtwiejsz niż dl licz dziesiętnych, zpis jest krótszy. N przykłd jeden jt, który skłd się z ośmiu itów, możn przedstwić przy pomocy dwóch znków od do FF. B C D E F W celu zminy in hex grupujemy cyfry po (od njmłodszego itu), nstępnie kżdej grupie przypisujemy cyfrę szesnstkową (np. korzystjąc z teli). Tk więc: in BB hex. Zmin w drugą stronę wygląd nlogicznie: FCE hex in.

2 . Brmki logiczne Podstwą ukłdów logicznych są rmki, relizujące pewne funkcje logiczne. Odpowiednim stnom npięć n wejściu odpowid npięcie n wyjściu, przy czym npięcie interpretujemy jko, jego rk jko. (jest to tzw. logik dodtni). Podstwowe rmki wrz z ich symolmi: ND NND OR NOR XOR NOT B B B B B B Przykłd: Jką funkcję relizuje poniższy ukłd (wejście,b, wyjście Y)? y rozwiązć poniższe zdnie nleży dodć zmienne pomocnicze C,D,E orz sprwdzić ich stn w zleżności od wszystkich możliwych komincji wejść. CNND(,B) DNND(,C) ENND(B,C) XNND(D,E) B C D E X Więc po porównniu X z i B otrzymujemy, że XXOR(,B), X B. Jednym z zstosowń rmki XOR jest kontrol itu przystości, np. jeżeli mmy ity ( ) in, to wtedy, kiedy n itch jest nieprzyst licz jedynek, ntomist funkcj t jest równ, jeżeli licz jedynek (czyli itów zpełnionych) jest przyst. Możn to łtwo sprwdzić rozpisując telę dl np. zmiennych wejściowych. Bit przystości XOR(,,, ) Bit przystości XOR(,,, )

3 Przy pomocy rmek XOR możn opisć kod Gry : g g g g Ukłd ten zmieni kod inrny n kod Gry' N przykłd dl liczy mmy:,,,. g, g, g, g, więc w kodzie Gry jest on przedstwin jko. Jk łtwo zuwżyć, nstępujące po soie liczy przedstwione w kodzie Gry różnią się tylko jednym item (n przykłd dl licz i jest to i ). Znjdzie to później zstosownie między innymi przy minimlizcji. Zzwyczj kolejne stny itów przedstwimy w sposó pokzny w pierwszej kolumnie (), o odpowid to numercji w systemie dwójkowym, jednk przedstwinie ich w sposó pokzny w drugiej kolumnie (g) - czyli w kodzie Gry - powoduje, że zmin stnu itów n kolejny pociąg z soą zminę tylko jednego itu, co jk się później okże pozwl tworzyć ukłdy logiczne w rdziej ekonomiczny sposó. to jest ukłd konwertujący kod Gry n kod inrny:

4 . lger Boole Podstwowe twierdzeni lgery Boole : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c ( c Możn je łtwo udowodnić korzystjąc z tlic prwdy dl poszczególnych funkcji. Jk widć, opercje dodwni (OR) i mnożeni (ND) logicznego podlegją tkim smym prwom rozdzielności jk zwykłe dodwnie i mnożenie, le mją też kilk nietypowych włsności. Możn np. udowodnić wzór n : Przykłd wykorzystni twierdzeń: zminimlizowć funkcję (. ( c c (c ) lo też nstępującą funkcję: c c c c c c c (c ) (c ) c c c c Ten przykłd może n pierwszy rzut ok wydć się nieco zmieszny skorzystliśmy w nim dwukrotnie z twierdzeni, że B B, c ()( c Możn też zjąć się pierwszym przykłdem, gdzie: CNND(,B), DNND(,C), ENND(B,C), XNND(D,E). X DE (C)(BC) C BC (B) B(B) ( B)(B) ( B)( B) B B BB B B B B Jk widzieliśmy wcześniej funkcj t odpowid funkcji XOR, możn więc zuwżyć, że: B B B Uproszczeni dl funkcji XOR:

5 Przykłd: zminimlizowć ) ( ) ( ) ( Możn też zminimlizowć ukłd zdny w formie schemtu: c )c ( ( c c c )c ( ()( ()( ( () E D Y Możn też rozpisć tlicę prwdy dl funkcji Y(,, zdnych n o sposoy: c c c Y Sprwdziliśmy więc równowżność tych wyrżeń. Ćwiczeni nr z Teorii Ukłdów Logicznych Prowdzący: dr inż. Ernest Jmro Oprcowł: Dniel Strnowski c c D E Y