WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Transkrypt

1 WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość i inne. Do określeni wielkości wektorowej nie wystrcz podnie jednej liczby. Przykłdem tkiej wielkości jest sił. Aby ją określić, nleży podć wrtość bezwzględną, kierunek w przestrzeni orz zwrot. W ogólnym przypdku, by określić wektor, nleży znć: ) Wrtość bezwzględną wektor, zwną modułem lub długością, b) Kierunek, czyli prostą, n której leży wektor (linię dziłni), c) Zwrot, d) Punkt przyłożeni. Nie wszystkie wielkości wektorowe wymgją dl swego określeni podni wszystkich wymienionych cech. Z tego punktu widzeni rozróżnimy: wektory zczepione, wektory przesuwne lub ślizgjące się orz wektory swobodne. Wektory 1

2 Wektory, cd. Wektory - zczepione Do ich określeni wymgją podni wszystkich czterech cech. Wektorów tkich nie możn przemieszczć ni przesuwć. Wektory - przesuwne Są określone z pomocą modułu, zwrotu orz linii dziłni. Tkie wektory mogą być jedynie przesuwne wzdłuż prostych, n których leżą. Wektory - swobodne Są określone przez moduł, zwrot orz kierunek równoległy do ich linii dziłni. Ozncz to, że wektor swobodny możn dowolnie przemieszczć, równolegle do kierunku jego dziłni. W nszych rozwżnich będziemy zjmowć się wektormi swobodnymi. Grficznie wektory przedstwi się z pomocą odcink skierownego. Wektory 2

3 Wektory, cd. Oznczeni wektorów:, b, υ, F, b,, F Oznczeni modułu:,, Istotną włsnością wektorów jest to, że możn je skłdć (dodwć) zgodnie z regułą równoległoboku. Dodwnie i odejmownie wektorów ) sum - metod równoległoboku lub metod wieloboku N ogół: b b Wektory 3

4 Dodwnie i odejmownie wektorów, cd. b) różnic - różnicą wektorów i b jest tki wektor c, który dodny do wektor b dje wektor N ogół: b b Mnożenie wektor przez sklr b - sklr. b Kierunki wektorów b i są zgodne. Zwrot: zgodny ze zwrotem, gdy 0, przeciwny zwrotowi, gdy 0. Wektory 4

5 Wersor Kżdy wektor możn przedstwić w postci e (lub równowżnie e ) e - wektor jednostkowy, wersor wektor Wersor jest wielkością bezwymirową: e Rzut wektor n oś Rzut wektor n oś jest sklrem, zdefiniownym jko cos Rysunek przedstwi interpretcję geometryczną rzutu wektor n oś l. Rzut wektor n oś może być dodtni, ujemny lub równy zeru. l Wektory 5

6 Wyrżenie wektor przez jego rzuty n osie ukłdu współrzędnych Wektor możn przedstwić w postci liniowej kombincji wersorów e x i e y : x ex y ey lub ogólnie: x ex y ey z ez x y z x, y, z - skłdowe wektor x y z, x y z Wektory 6

7 Wektor położeni Do określni położeni jkiegoś wybrnego punktu P w krtezjńskim ukłdzie współrzędnych x, y, z używny jest wektor położeni r r xex yey zez r x y z Iloczyn sklrny wektorów Iloczyn sklrny b dwóch wektorów, i b, jest sklrem zdefiniownym nstępująco: b b cos Włściwości iloczynu sklrnego Jeśli /2, to b Iloczyn sklrny jest: - przemienny: b b, - rozdzielny względem dodwni: b c... b c... Wektory 7

8 Iloczyn sklrny wersorów osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni ee, ik - symbol Kronecker, i k i k ik 1 0 i k i k Zleżność iloczynu sklrnego od skłdowych: b x bx y by z bz Pondto możn pokzć, że: x ex, y ey, z ez Iloczyn wektorowy wektorów Iloczynem wektorowym wektorów i b jest wektor c dny wzorem c b sin n n - wersor normlny do płszczyzny, w której leżą wektory i b i tworzący z tymi wektormi ukłd prwoskrętny. Wektory 8

9 Iloczyn wektorowy wektorów, cd. c b b sin n Długość (moduł) wektor, będącego iloczynem wektorowym wektorów i b, jest liczbowo równ polu powierzchni równoległoboku rozpiętego n wektorch i b. c b b sin Dw sposoby zpisu iloczynu wektorowego: b lub [ b ] [ b] b Wektory 9

10 Iloczyn wektorowy wektorów, cd. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny b b Iloczyn wektorowy jest rozdzielny względem dodwni b c... b c... Iloczyny wektorowe wersorów osi ukłdu współrzędnych ex ex ey ey ez ez ex ey ez, ey ez ex, ez ex ey 0 Wektory 10