A A A A11 A12 A1. m m mn

Transkrypt

1 DODTEK NR. GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy ajważiejsze defiicje rachuku macierzowego i omówimy iektóre fukcje i trasformacje macierzy ajbardziej przydate w zastosowaiach umeryczych a w szczególości w metodzie elemetów skończoych. D.. DEFINICJE Skalar - jest wielkością określoą tylko przez swoją wartość która może wyrażać się liczbą rzeczywistą. Typowymi przykładami wielkości skalarych są: masa temperatura czas długość itp. Skalary będziemy ozaczać literami pisaymi czcioką pochyłą. Wektor - jest wielkością określoą przez swój moduł oraz kieruek i zwrot. Przykładami wielkości wektorowych są: siła przemieszczeie prędkość obrót. Wektory będziemy ozaczali małymi literami pisaymi czcioką prostą pogrubioą. Macierz - jest tablicą zawierającą ajczęściej skalary ale może też zawierać wektory lub ie macierze. Elemety macierzy azywamy jej składowymi. Jest to bardzo wygoda forma prezetacji dużej ilości jedolitych daych z którymi mamy do czyieia w metodach umeryczych. Przykładowy zapis macierzy którymi posługujemy się w tej książce wygląda astępująco: m m m. Macierze kwadratowe (mają rówą liczbę kolum i wierszy) i prostokąte (mają różą liczbę kolum i wierszy) ozaczać będziemy dużymi literami pisaymi czcioką prostą i pogrubioą. Macierz kolumowa - azywać ją będziemy też wektorem zawiera tylko jedą kolumę składowych. Ozaczać ją będziemy tak jak wektory. Macierz jedostkowa - jest macierzą kwadratową której składowe są rówe zeru poza tymi które leżą a główej przekątej (elemety diagoale). Elemety diagoale rówe są jedości. Macierz jedostkową ozaczymy dużą literą I oraz w iektórych przypadkach ideksem wskazującym rozmiary tej macierzy: 35

2 I Składowe macierzy jedostkowej moża zapisać przy pomocy delty Kroeckera I gdzie ii 0 gdy i j. Macierz trójkąta - jest macierzą zawierającą składowe zerowe poad główą przekątą (-macierz trójkąta dola) lub poiżej (U-macierz trójkąta góra) U U U U U U 0 U U U 0 0 U U U Macierz pasmowa - jest macierzą zawierającą róże od zera składowe tylko w pobliżu główej przekątej p 0 pasm= szerokość pasma 0 p - szerokość półpasma W metodzie elemetów skończoych po odpowiedim przegrupowaiu rówań rówowagi macierzami pasmowymi są macierze sztywości. Macierz symetrycza - jest macierzą o składowych spełiających rówaie sym ji W metodzie elemetów skończoych macierzami symetryczymi są macierze sztywości. Macierz traspoowaa - jest macierzą w której przegrupowao składowe tak że kolumy stały się wierszami: 36

3 T B B ji. Traspozycję macierzy ozaczać będziemy dużą prostą literą T pisaą jako ideks góry. Główa przekąta macierzy jest tą przekątą która przebiega od składowej przez pozostałe składowe o rówych ideksach wiersza i kolumy tz.... ii.... główa przekąta D.. DODWNIE I ODEJMOWNIE MCIERZY Operację dodawaia macierzy defiiujemy astępująco: C B C B czyli składowe macierzy C która jest wyikiem dodawaia macierzy oraz macierzy B są sumami odpowiedich składowych oraz B. Dodawaie macierzy możliwe jest tylko wtedy gdy oba składiki ( i B) mają jedakową liczbę wierszy i kolum. Dodawaie jest operacją przemieą: C B B. alogiczie defiiujemy odejmowaie macierzy: D B D B Przykład r B C B D B

4 D.3. MNOŻENIE MCIERZY PRZEZ SKR (SKOWNIE MCIERZY) Skalowaiem macierzy azywamy operację a jej składowych zdefiiowaą astępująco: E E czyli składowe macierzy E które powstają w wyiku pomożeia macierzy przez skalar są iloczyami składowych macierzy i liczby. Przykład r = E Powstała w wyiku skalowaia macierz E ma oczywiście taką samą liczbę wierszy i kolum jak macierz. D.4. MNOŻENIE MCIERZY C B Niech C będzie wyikiem możeia macierzy i B: wtedy składowe macierzy C powstają jako wyik możeia wierszy macierzy przez kolumy macierzy B co zapisać moża astępująco: C B ik kj k gdzie - ilością kolum macierzy. Jak widać możeie macierzy i B tylko wtedy jest wykoywale gdy ilość kolum macierzy jest taka sama jak ilość wierszy macierzy B. Macierz C która powstaje w wyiku możeia ma ilość wierszy rówą ilości wierszy macierzy a liczbę kolum rówą liczbie kolum macierzy B. 38

5 C B i i i B B B j B B B B j B B B B B j m C m m Przykład r B C B T B T = = = = = = = = = = = = = = = = = = C

6 Przykład r 4. Ciekawy wyik daje możeie macierzy wierszowej przez macierz kolumową: 3 a b 3 4 T ca b c ( 3 3 4( )) Wyikiem jest macierz c o wymiarach x czyli skalar. Możeie wektorów a T bazywa się więc możeiem skalarym. Możeie macierzy ie jest a ogół operacją przemieą tz. B B awet gdy uda się je wykoać (możliwe jest to dla macierzy kwadratowych). Podamy jeszcze iektóre warte zapamiętaia defiicje dotyczące możeia macierzy: B C BC BC B C I I T T T B B. D.5. WYZNCZNIK MCIERZY Wyzaczik jest skalarą fukcją macierzy kwadratowej którą zapisujemy astępująco: det. Obliczeie wartości wyzaczika polega a sumowaiu iloczyów utworzoych ze wszystkich permutacji składowych macierzy : I p 3 det p 3 gdzie p ozacza wszystkie permutacje I p - ilość iwersji w permutacjach. 40

7 Wartość wyzaczika obliczyć też moża stosując tzw. rozwiięcie aplace a względem wyrazów dowolego wiersza lub kolumy: det lub k mk mk - rozwiięcie wiersza m m det k km km - rozwiięcie kolumy m m. ozacza tu dopełieie algebraicze elemetu macierzy: i j gdzie jest miorem macierzy * * czyli wyzaczikiem macierzy powstałej przez usuięcie z macierzy wiersza i oraz kolumy j. Rozwiięcie aplace a ależy prowadzić tak długo aż otrzymamy macierze x których wyzacziki moża obliczyć bezpośredio: det det B. Zay jest też sposób (reguła Sarrusa) obliczeia wyzaczików 3x3: B B B B B B B B B BB B33 BB3 B3 B3B B3 B 3 B B 3 B B B 33 B B 3 B 3. Nie ależy go jedak stosować dla macierzy o większej ilości wierszy i kolum. Warto też zapamiętać użyteczą zależość: detb det det B która pomoże am efektywie wyzaczać wyzacziki iloczyów macierzy. osobliwą. Gdy wyzaczik macierzy jest rówy zeru macierz taką azywamy macierzą D.6. MCIERZ ODWROTN Macierzą odwrotą do macierzy azywamy macierz spełiającą waruek: I. 4

8 Składowe macierzy odwrotej moża wyzaczyć przez skalowaie traspoowaej macierzy dopełień algebraiczych: T i j T det gdzie jest macierzą dopełień algebraiczych: T i j - miorem czyli wyzaczikiem macierzy która powstaje przez usuięcie z macierzy wiersza i i kolumy j. Jak łatwo zauważyć ie moża zaleźć macierzy odwrotej do macierzy osobliwej gdyż wymagałoby to dzieleia przez zero. Macierz T azywaa jest macierzą dołączoą macierzy. Macierz dołączoą moża utworzyć dla dowolej (awet osobliwej) macierzy. Przykład r 5. Poszukujemy macierzy odwrotej do macierzy: Obliczymy ajpierw wyzaczik aby przekoać się czy operacja odwróceia macierzy będzie możliwa. Wyzaczik macierzy obliczymy korzystając z reguły Sarrusa: det Obliczamy koleje dopełieia algebraicze:

9 a stąd mamy D.7. ROZKŁD N MCIERZE TRÓJKĄTNE U Macierz ieosobliwą rozłożyć moża a iloczy macierzy trójkątych: gdzie jest macierzą trójkątą dolą a U macierzą trójkątą górą. Proces taki azywamy triagularyzacją dekompozycją lub faktoryzacją macierzy. Metoda dekompozycji macierzy zapoczątkowaa została przez M.H.Doolittle a (878) a późiej odkrywaa była jeszcze kilkakrotie przez: Cholesky ego (ok.96).c.itkea (93) T.Baachewicza (938) oraz P.D.Crouta (94). Metodę Cholesky ego opisał Beoit w 94 r. Składowe macierzy trójkątych i U obliczyć moża korzystając z procedur zapropoowaych przez Crouta lub Baachewicza: ii i =... i ik kj k U U j = i... U jj j U ik kj k i = j.... Obliczaie składowych wykouje się a zmiaę wierszami dla macierzy U i kolumami dla macierzy (metoda Crouta) lub kolejo wiersz macierzy U wiersz macierzy (metoda Baachewicza [5]). Rozkład a macierze trójkąte ma bardzo duże zaczeie praktycze gdyż jest używay jako efektywa metoda rozwiązywaia układów rówań liiowych. x y Rozwiązaie układu rówań moża uzyskać dwuetapowo. W etapie pierwszym stosujemy podstawieia które upraszczają am układ rówań do postaci: U Ux z 43

10 Ux y z y która ułatwia rozwiązaie: z y z y z itd. i z y z i i ik k k. ii Procedura zastosowaa tutaj azywa się podstawieiem w przód gdyż sekwecyjie wyliczamy iewiadome z z... z i... z. Ux z Etap drugi polega a wyzaczeiu wartości iewiadomych z rówaia co robimy podobą metodą tyle że stosujemy podstawieie wstecz zaczyając od ostatiej składowej: x z U x z U x U itd. x z U x i i ik k k i. ii Czas rozwiązaia układu rówań tą metodą proporcjoaly jest do 3 /3 gdzie jest ilością rówań. iczba T D = 3 /3 azywaa jest kosztem metody Doolittle a i jest szacukową ilością możeń i dzieleń które trzeba wykoać aby rozwiązać układ rówań. D.8. TRINGURYZCJ MCIERZY SYMETRYCZNYCH Gdy macierz kwadratowa jest symetrycza (i oczywiście ieosobliwa) moża poday w poprzedim pukcie rozkład jeszcze uprościć zauważając że: T lub U T U. lgorytm rozkładu macierzy symetryczej a macierze trójkąte podał jako pierwszy Cholesky (w 96) a iezależie od iego Baachewicz (w 938). Metoda zwykle azywaa jest metodą Cholesky ego. W Polsce używaa jest azwa metoda Baachewicza- Cholesky ego. 44

11 0 dla j > i Składowe macierzy trójkątej dolej wyzaczoej tą metodą są rówe: i ii ii ik k j ik jk k dla j < i. jj W rówaiach określających składowe leżące a główej przekątej macierzy występuje pierwiastek kwadratowy. Wyrażeie pod pierwiastkiem może być oczywiście ujeme wtedy wyrazy macierzy są zespoloe. Moża jedak udowodić [5] że dla macierzy symetryczych dodatio określoych składowe ii są zawsze liczbami rzeczywistymi. Czas dekompozycji macierzy symetryczej metodą Baachewicza-Cholesky ego jest proporcjoaly do T B-CH = 3 /6. Przykład r 6. Zaleźć macierz trójkątą dolą taką że T. Należy wykorzystać metodę Baachewicza-Cholesky ego Wyzaczymy koleje róże od zera składowe macierzy trójkątej dolej :

12 D.9. MCIERZE ORTOGONNE T Istieje grupa macierzy mająca własość: która iezwykle uprasza rozwiązywaie układu rówań. O macierzach tych mówimy że są macierzami ortogoalymi. Własość tą wykazują macierze obrotów wektorów: c s R s c gdzie c cos s si a jest kątem obrotu. Sprawdzimy ortogoalość tej macierzy rówaiem R R T I : c s c s c s cssc s c s c 0 sc cs c s 0. Tą własość macierzy obrotu wykorzystujemy w wielu rozdziałach książki. 46

13 DODTEK NR. GEBR MCIERZY D.. DEFINICJE D.. DODWNIE I ODEJMOWNIE MCIERZY D.3. MNOŻENIE MCIERZY PRZEZ SKR (SKOWNIE MCIERZY) D.4. MNOŻENIE MCIERZY D.5. WYZNCZNIK MCIERZY D.6. MCIERZ ODWROTN... 4 D.7. ROZKŁD N MCIERZE TRÓJKĄTNE D.8. TRINGURYZCJ MCIERZY SYMETRYCZNYCH D.9. MCIERZE ORTOGONNE