Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

Transkrypt

1 Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j = orz i j = 0. Stąd otrzymujemy wzór b = ( x i + y j) (b x i + b y j) = x b x + y b y. Ztem b cos ϕ = x b x + y b y, cos ϕ = xb x + y b y b Iloczyn sklrny wektorów i b w przestrzeni określmy tk jk n płszczyźnie, tj. b = b cos ϕ. Poniewż i i = j j = k k = orz i j = i k = j k = 0, b = ( x i + y j + z k) (bx i + b y j + b z k) = = x b x + y b y + z b z. Przypomniny geometryczny iloczyn sklrny jest inspircją do zdefiniowni ogólniejszego pojęci iloczynu w dowolnej przestrzeni liniowej. W przeciwieństwie do geometrii, terz njpierw określimy iloczyn sklrny, dopiero potem długość wektor.. Iloczyn sklrny: definicj Iloczyn sklrny określimy osobno dl przestrzeni rzeczywistej i dl przestrzeni zespolonej. Definicj. W przestrzeni rzeczywistej V określony jest iloczyn sklrny, jeśli kżdej prze wektorów v, w V przyporządkown jest liczb rzeczywist, oznczon przez v, w, przy czym przyporządkownie to m nstępujące włsności:. v, w = w, v (symetri),. αv, w = α v, w dl α R (jednorodność),. v + v, w = v, w + v, w (ddytywność), 4. dl dowolnego v V jest v, v 0, przy czym v, v = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0.

2 Wprwdzie zkłdmy tylko ddytywność i jednorodność ze względu n pierwszą zmienną, le ksjomt pozwl wywnioskowć to smo dl drugiej zmiennej. Np. v, αw = αw, v = α w, v = α v, w Przestrzeń, w której jest określony iloczyn sklrny nzywmy przestrzenią euklidesową.. Odwzorownie, : R R R określone wzorem: v, w = α β + α β + α β, gdzie v = (α, α, α ), w = (β, β, β ) jest iloczynem sklrnym w R. Jest to zwykły, znny z kursu geometrii, iloczyn sklrny. Zmist v, w = (α, α, α ), (β, β, β ) możn w tym przypdku pisć (α, α, α ) (β, β, β ).. Ogólniej, wzór: n v, w = α β + α β + α n β n = α i β i dl v = (α, α, α n ), w = (β, β, β n ) określ iloczyn sklrny w R n.. W przestrzeni funkcji ciągłych C(, b) iloczyn sklrny możn wprowdzić wzorem: Np. w przestrzeni C(0, π): f, g = cos x, sin x = cos x, cos x = b π 0 f(x)g(x) dx. π 0 i= cos x sin x dx = 0, cos x dx = π. Iloczyn sklrny w przestrzeni zespolonej określmy nstepująco. Definicj. W przestrzeni zespolonej V iloczyn sklrny to funkcj V V C której wrtość n prze wektorów (v, w) oznczymy przez v, w, przy czym spełnione są nstępujące włsności:. v, w = w, v (skośn symetri),. αv, w = α v, w dl α C (jednorodność),. v + v, w = v, w + v, w (ddytywność), 4. dl dowolnego v V jest v, v 0, przy czym v, v = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0. Iloczyn sklrny w przestrzeni zespolonej nie jest już jednorodny ( nie jest tkże liniowy) ze względu n drugą zmienną. Mmy bowiem v, βw = βw, v = β w, v = β w, v = β v, w. Przestrzeń zespoloną, w której jest określony iloczyn sklrny, nzywmy przestrzenią unitrną. Wzór: n v, w = α β + α β + α n β n = α i β i dl v = (α, α, α n ), w = (β, β, β n ) określ iloczyn sklrny w C n. i=

3 . Norm wektor Widomo, że n płszczyźnie, tj. w R długość wektor v = (α, β) określ się wzorem: Ale v, v = α + β, inczej: v = α + β v = v, v Definicj. Niech V będzie przestrzenią euklidesową lub unitrną. Normę (długość) wektor określmy wzorem v = v, v. Wektory v, w nzywmy ortogonlnymi (prostopdłymi) gdy Piszemy: v w. Włsności normy v, w = 0. Twierdzenie. Dl dowolnego sklr α i dowolnych wektorów v, w mmy:. αv = α v,. v > 0 dl v 0,. v, w v w (nierówność Schwrz 4. v + w v + w (nierówność trójkąt). Dowód nierówności Schwrz. Jeśli w = 0, to nierówność jest prwdziw. Złóżmy, że w 0. Dl dowolnego z C mmy v zw, v zw 0, czyli Przyjmijmy z = v,w w,w. v, v z v, w z w, v + z z w, w 0. czyli v, w v, w v, w v, w v, v v, w w, v + w, w 0, w, w w, w w, w w, w v v, w w 0, v, w v w. Dl zwykłego iloczynu sklrnego w R n nierówność Schwrz przyjmuje postć: n x k y k n n k= Ntomist dl iloczynu sklrnego w przestrzeni funkcji ciągłych C(, b) określonego wzorem f, g = b f(x)g(x) dx wygląd on tk b b b f(x)g(x) dx f (x) dx g (x) dx. Hermn Schwrz (84-9) k= x k k= y k

4 Dowód nierówności trójkąt. le v + w = v + w, v + w = v + re v, w + w, re v, w v, w v w. Stąd v + w ( v + w ). Obliczjąc pierwistki otrzumujemy nierówność trójkąt. Nierówność trójkąt zwdzięcz swą nzwę oczywistej interpretcji geometrycznej. W geometrii mmy też regułę równoległoboku: sum kwdrtów długości czterech boków równoległoboku równ jest sumie kwdrtów długości dwóch przekątnych. Jej wersj dl przestrzeni euklidesowej bądź unitrnej nzyw się tożsmością równoległoboku i m postć: v + w + v w = ( v + w ) Dowód tożsmości równoległoboku. v + w + v w = v + w, v + w + v w, v w = = v + w + v, w + w, v + v + w v, w w, v = = ( v + w ) 4. Bz ortogonln. Definicj 4. Dw wektory v i w nzywją się ortogonlnymi, gdy v, w = 0. Zbiór {v, v,..., v n } nzyw się ortogonlnym zbiorem wektorów, gdy:. wszystkie wektory v i, i =,,..., n są niezerowe,. v i, v j = 0 dl i j. Ortogonlny zbiór wektorów, w którym wszystkie wektory mją długość jeden, nzyw się zbiorem ortonormlnym. Zdnie. Wykzć, że w R 4 zbiór wektorów (,, 4, 5), (0,,, ), (0,,, ) jest ortogonlny. Jk zwykle, gdy iloczyn nie jest wyrźnie określony, przyjmujemy, że chodzi o stndrdowy iloczyn sklrny. Obliczmy iloczyny: (,, 4, 5) (0,,, ) = 0 + ( ) ( ) ( ) = 0, (,, 4, 5) (0,,, ) = 0 + ( ) ( ) = 0, (0,,, ) (0,,, ) = ( ) + + ( ) ( ) = 0. Twierdzenie. Niech {v, v,..., v n } będzie ortogonlnym zbiorem wektorów. Wtedy. zbiór {λ v, λ v,..., λ n v n } jest tkże ortogonlny dl dowolnych sklrów λ i 0,. zbiór { v v, v v,..., v v n n} jest ortonormlny. Wżne jest nstępujące twierdzenie. Twierdzenie. Kżdy ortogonlny zbiór wektorów jest liniowo niezleżny. D o w ó d. Niech {v, v,..., v n } będzie ortogonlny i przypuśćmy, że Obliczmy iloczyn sklrny wektorów v, v : v = λ v + λ v + + λ n v n = 0. 0 = 0, v = λ v + λ v + + λ n v n, v = = λ v, v + λ v, v + + λ n v n, v = = λ v = λ v. Stąd λ = 0 i podobnie λ = λ =... = λ n = 0. 4

5 Definicj 5. Bzę przestrzeni V skłdjącą się z wektorów ortogonlnych nzywmy bzą ortogonlną. Njwżniejszą cechą tej bzy jest, że współrzędne wektor w bzie ortogonlnej są łtwe do wyznczeni. Istnieją proste wzory, które podmy w nstępującym twierdzeniu. Twierdzenie 4. (o rozwinięciu) Niech {v, v,..., v n } będzie bzą ortogonlną przestrzeni V z iloczynem sklrnym,. Jeśli v jest dowolnym wektorem przestrzeni V, to: v = v, v v v + v, v v v + + v, v n v n v n jest przedstwieniem v jko kombincji liniowej wektorów bzy. D o w ó d. Wektory v i stnowią bzę, v = λ v + λ v + + λ n v n dl pewnych sklrów λ i. Mnożąc tę równość sklrnie przez v i otrzymujemy v, v i = λ i v i, λ i = v, v i v i. Przykłd. Wykzć, że B = {(,, ), (,, ), (4, 7, )} jest bzą ortogonlną przestrzeni R i przedstwić wektor x = (ξ, ξ, ξ ) w tej bzie. Obliczmy: (,, ) (,, ) = 0, (,, ) (4, 7, ) = 0, (,, ) (4, 7, ) = 0. Ztem wektory są prmi ortogonlne, tworzą bzę. Obliczmy iloczyny sklrne: (ξ, ξ, ξ ) (,, ) = ξ ξ + ξ, (ξ, ξ, ξ ) (,, ) = ξ + ξ + ξ, (ξ, ξ, ξ ) (4, 7, ) = 4ξ + 7ξ + ξ, nstępnie normy wektorów bzy. Są to kolejno, 6, 66. Ztem ( ξ ξ + ξ x =, ξ + ξ + ξ, 4ξ ) + 7ξ + ξ Jeżeli dn bz nie jest ortogonln, to możn ją zstąpić bzą ortogonlną stosując lgorytm nzywny procedurą ortogonlizcji Grm Schmidt. Nie będziemy jej jednk opisywć. 5. Mcierz ortogonln W tym rozdzile zkłdmy, że ciłem sklrów jest R. Twierdzenie 5. Dl dowolnej mcierzy A stopni n nstępujące wrunki są równowżne: ) A jest odwrcln i A = A T, ) wiersze mcierzy A są ortonormlne, ) kolumny mcierzy A są ortonormlne. Jorgen Grm (850-96), Erhrd Schmidt ( ) 5

6 D o w ó d. Pierwszy wrunek jest równowżny równości AA T = A T A = I. () Niech v, v,..., v n oznczją wiersze mcierzy A. Wtedy vj T A T, elementem (i, j) mcierzy AA T jest v i, v j. Ztem wrunek AA T = I znczy, że { 0 gdy i j, v i, v j = gdy i = j, jest j-tą kolumną mcierzy () (). Podobnie dowodzi się, że () (). Mcierz stopni n nzywmy ortogonlną, jeśli spełni jeden ( i wszystkie) z powyższych wrunków. Np. mcierz A = [ jest ortogonln, bo v = v = i v, v = 0. Ztem [ ] A = A T = ] Ogólniej, mcierz obrotu [ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ jest ortogonln dl dowolnego ϕ. Ntomist mcierz B = [ nie jest ortogonln, bo v, v = 0. Przykłd. Niech π = (π, π,... π n ) będzie permutcją liczb {,,..., n}. Określmy mcierz A = [ ij ] wzorem {, gdy j = πi ij = 0, gdy j π i Mcierz A nzywmy mcierzą permutcyjną. Np. gdy π = (,, ), to 0 0 A = Dl dowolnej mcierzą permutcyjnej A = [ ij ] mmy AA T = I, poniewż w kżdym wierszu jest dokłdnie jeden element różny od 0. Ztem A jest mcierzą ortogonlną. W szczególności A = A T. Z wrunku () możn wywnioskowć dwie wżne włsności mcierzy ortogonlnych. Twierdzenie 6..) Jeżeli mcierz A jest ortogonln, to det A = lub det A =..)Jeżeli A i B są mcierzmi ortogonlnymi tego smego stopni, to AB też jest mcierzą ortogonlną. D o w ó d.. Poniewż zwsze det A = det A T dl mcierzy ortogonlnej det A = det A T, = det I = det AA = det AA T = det A det A T = (det A). Stąd det A = ±. 6 ] ].

7 . Mmy (AB)(AB) T = (AB)B T A T = A(BB T )A T = AA T = (AB) = (AB) T. Uwg. Podn definicj mcierzy ortogonlnej jest wygodn w tym sensie, że łtwo jest sprwdzić, czy dn mcierz jest ortogonln. Geometryczny sens jest tki, że przeksztłcenie określone mcierzą ortogonlną zchowuje długość wektor, tzn. Av = v. Tkie przeksztłcenie nzywmy izometrią. W szczególności łtwo jest interpretowć mcierze ortogonlne stopni. Jeżeli det A =, to A jest mcierzą obrotu płszczyzny, jeżeli A =, to A określ symetrię płszczyzny względem pewnej prostej. 6. Ortogonln digonlizcj mcierzy symetrycznych Digonlizcją mcierzy A nzywmy znlezienie mcierzy nieosobliwej P tkiej, że mcierz P AP jest digonln. Pokżemy, że jeśli mcierz A jest symetryczn, to zwsze możn znleźć ortogonlną mcierz digonlizującą P. Mcierz symetryczną określ wrunek A = A T. Dl mcierzy -kolumnowych p, q iloczyn sklrny określmy wzorem p, q = p T q Twierdzenie 7. Niech A będzie rzeczywistą mcierzą symetryczną stopni n, u, v R n. Wtedy Au T, v T = u T, Av T. D o w ó d. Au T, v T = ( Au T ) T v T = ( (u T ) T A T ) v T = = (u T ) T ( A v T ) = u T, Av T. Twierdzenie 8. Dl dowolnej mcierzy symetrycznej A wektory włsne odpowidjące różnym wrtościom włsnym są ortogonlne. D o w ó d. Niech Au T = λu T, Av T = µv T. Wtedy: stąd λ u T, v T = λu T, v T = Au T, v T = u T, Av T = = u T, µv T = µ u T, v T, (λ µ) u T, v T = 0, u T, v T = 0 Mcierz A nzywmy ortogonlnie digonlizowlną gdy możn znleźć mcierz ortogonlną P tką, że P AP jest digonln. Twierdzenie 9. (spektrlne) Niech A będzie mcierzą kwdrtową stopni n. Nstępujące wrunki są równowżne: ) A m ortonormlny zbiór wektorów włsnych, b) A jest ortogonlnie digonlizowln, c) A jest symetryczn. Przykłd. Dl mcierzy A =

8 znleźć mcierz ortogonlną P tką, że P AP jest digonln. Mmy λ 0 c A (λ) = λ 0 λ = λ 9λ = λ(λ )(λ + ). Wrtościmi włsnymi są λ = 0,,. Odpowiednie wektory włsne: v = (,, ), v = (,, ), v = (,, ) są ortogonlne. Poniewż v = v = v =, v, v, v są wektormi ortonormlnymi. Stąd mcierz P = jest ortogonln (czyli P = P T ) orz P T AP = n podstwie lgorytmu digonlizcji