ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).

Transkrypt

1 ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: = Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: = 4 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: = 4 5 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: = Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 = 6 7 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: = 3 8 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 = 9 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: = 35 0 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej > i dl kżdej liczby rzeczywistej > 0 zchodzi ierówość: > Udowodić, że dl kżdej liczby turlej > zchodzi ierówość: / > 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej > zchodzi ierówość: > Udowodić, że prostych p lszczyźie, z których kżde dwie mj pukt wspóly, le żde trzy ie przechodz przez jede pukt, dzieli te p lszczyze cze ści 4 Niech p =, p = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 =, itd, p jest t liczb pierwsz Dowieść, że p > 3 dl 5 N okre gu obro > puktów i kżdy po l czoo odcikiem kżdym iym Czy moż wykreślić te odciki jedym ci giem tk, by koiec pierwszego by l pocz tkiem drugiego, koiec drugiego pocz tkiem trzeciego itd i żeby przy tym koiec osttiego odcik by l pocz tkiem pierwszego 6 Niech π ozcz liczbe liczb pierwszych ie wie kszych od liczby turlej Udowodić, że π dl 8 7! Z lóżmy, że liczby x, x,, x mj te sm zk i x >, x >,, x > Dowieść, że x x x 3 x x x x Wyjśić, kiedy zchodzi rówość 8! Udowodić, że jeśli sum liczb dodtich jest rów, to ich iloczy jest ie jest wie kszy iż 9 Udowodić, ze szchowice wymiru 4k 4k moż obejść ruchem skoczk szchowego przechodz c dok ldie jede rz przez kżde pole 0 Niech F =, F =, F 3 =, F 4 = 3,, F = =F F Dowieść, że dl kżdej liczby turlej zchodzi rówość F F F = Udowodić, że dl kżdej liczby turlej liczb 000 jest podziel przez 37

2 Udowodić, że 7 jest dzielikiem liczby Udowodić, że 3 jest dzielikiem liczby 000 dl kżdej liczby turlej 4 Czy wśród liczb,, 3,, 0 wie cej jest tych, w których zpisie dziesie tym wyste puje siódemk co jmiej rz, czy tych, które zpisujemy ie używj c siódemki? Przelizowć przypdki = 3, = 6, = 7, = 0 5 Wierzcho lki k t leż okre gu Żde pukt wewe trzy ko l ie leży trzech przek tych tego wielok t N ile cze ści dziel te p lszczyze wszystkie boki i przek te tego wielok t? 6 Wykzć, że b 4 = b 6 b 4b 3 b 4 7 Wykzć, że b c = b c b c bc dl dowolych, b, c R 8 Wykzć, że b c 3 = 3 b 3 c 3 3 b 3b 3 c 3c 3b c 3bc 6bc dl dowolych, b, c R 9 Wykzć, że b c =! k!l!m! k b l c m przy czym sumowie rozci g sie tkie wszystkie trójki ieujemych liczb c lkowitych, że k l m = 30 Udowodić, że! k!l!m! = 3 przy czym sumowie rozci g sie tkie wszystkie trójki ieujemych liczb c lkowitych, że k l m = 3! Udowodić, że = 0 3! Udowodić, że 0 4 = 33! Udowodić, że 3 5 = 34 Obliczyć Obliczyć b x y x by dl dowolych, b, x, y R 37! c wtedy i tylko wtedy, gdy c c 38! b = b wtedy i tylko wtedy, gdy b 0 39 Jeśli b, to b 0 Czy twierdzeie odwrote jest prwdziwe? 40 Jeśli x y z =, to x y z 3 4 Jeśli b > 0, to b b 4 x x > 0 i x 4 x 3 x x > 0 dl kżdego x R 43 x x x x = x dl kżdego x R 44! Dl jkich x R zchodzi x < 7? 45! Dl jkich x R zchodzi x > 7? 46 Dl jkich x R zchodzi x x 6 = 8? 47 Dl jkich x R zchodzi x x 9? 48 Dl jkich x R zchodzi x x >? 49 Dl jkich x R zchodzi x 4 >? x x5 50! Niech mx, b ozcz wie ksz z liczb, b, mi, b miejsz z ich, mx, = = = mi, Dowieść, że mx, b = b b Wyrzić podobie mi, b 5 W kżde z pó l ieskończoej krty kwdrtowej wpiso liczbe turl w te sposób, ze jeśli, b, c, d s liczbmi wpisymi w pol przyleg le do pol, którym zlz l sie liczb, to b c d 4 Dowieść, że w kżde pole wpiso te sm liczbe turl 5! Niech = 3, = 8, = 3 dl =,, Dowieść, że dl =,, 53 Zleźć wszystkie tkie pry liczb c lkowitych x, y, że zchodzi rówość xy = x y Autorem tego zdi jest prof dr hb Mciej Skwrczyński

3 54 Zleźć dwie osttie cyfry liczby Ile zer m końcu liczb ! 56 W 948 r wiek Adrzej by l rówy cyfrze jedości w liczbie rówej sumie cyfr roku jego urodzei Ile lt mi l Adrzej w roku 957? 57 Udowodić, że jeśli N i x > y 0, x, y R to x y < x y 58 Udowodić, że jeśli > i N, to liczb 3 ie jest c lkowit 59 Udowodić, że jeśli 3 jest liczb turl, to liczb 4 jest iewymier 60 Udowodić, że = 4 6 Udowodić, że ste puj ce liczby: 3, 3 5, s iewymiere 6 Udowodić, że jeśli jest liczb turl, to liczb 3 jest iewymier 63 Zleźć kresy góry i doly zbioru A, jeśli A = : { k m : k, m, N} ; b { m : m, N } ; m c { x x : x R} ; d { x 4 : x R} ; e { x x 3x 8 : x R} ; f { x xy : x, y R } 64 Niech fx = x 3 3x Udowodić, że fx > 0 dl x 3 ; b fx < 0 dl x ; c fx fy 45 x y dl x, y [, 3] ; d istiej tkie liczby rzeczywiste < 0 < b < < c, że f = fb = fc = 0 e Zleźć mksymle przedzi ly pó lproste, których fukcj f jest mootoicz 65 Udowodić, że jeśli A, B R s iepustymi zbiormi, to sup{ b: A, b B} = sup A sup B ; b if{ b: A, b B} = if A if B ; c sup{ b: A, b B} = sup A if B ; d if{ b: A, b B} = if A sup B ; d if{ b: A, b B} = if A sup B ; e supa B = mx{sup A, sup B} ; f sup{ b: A, b B} = mxsupa supb, supa ifb, ifa supb, ifa ifb 66 Zleźć sup { x y: x y = 4, x [0, 4], y [0, 4] } 67 Zleźć sup { xyz: x y z = 6, x, y, z [0, 6] } 68 Zleźć kresy zbioru X zdefiiowego z pomoc wzoru: X = { b bc c bcd d cd 69 Zleźć, jeśli t gric istieje, gdy = db :, b, c, d > 0} ; b 3 3 ; c ; d ; e ; f ; g k k k, k N ; h ; i ; j ; k ; l 3 3 ; 3

4 m ; 3 ; o qq q, q < ; p q, q < ; r q 3q q, q < 70 Wykzć, że gric skończo 7 Wykzć, że gric jest o rów 0 7 Wykzć, że gric 3 istieje i wyjśić, czy jest o 3 4 istieje i wyjśić, czy 3 istieje i wyjśić, czy jest o rów 0 73 Wykzć, że gric 3 istieje i wyjśić, czy jest o skończo 74 Niech =, =, = skończo grice, Wykzć, ze ci g m 75 Wykzć, że = ; b 3 5 = ; c = e ; d = e 76 Wykzć, że jeśli = k, dl k N, to zchodzi wzór: = e k 77 Udowodić, że kżdy ci g zbieży zwier wyrz jmiejszy lub jwie kszy 78 Wykzć, że jeśli ci g zwier tkie dw podci gi i zbieże do tej smej k k gricy g, że kżdy wyrz ci gu jest wyrzem co jmiej jedego z tych dwóch podci, to = g 79 Wyrzy ci gu s ieujeme Dl dowolych liczb turlych m, spe lio jest ierówość m m Wykzć, że ci g o wyrzie m skończo grice 80 Niech > 0 i = Udowodić, że ci g m skończo grice 8 Niech = 0, = i = dl kżdego =,, 3, Wykzć, że ci g m skończo grice i zleźć j 8 Niech 0 = 9, = 7 i = 3 3 dl kżdego = 0,,, Wyjśić, czy ci g jest jest zbieży Jeśli m grice, zleźć j 83 Niech c be dzie liczb dodti Niech = c i iech = c Wykzć, że ci g m skończo grice i zleźć j 84 Niech i b be d liczbmi dodtimi Niech = b i iech = Wykzć, że istiej tkie liczby dodtie c i q 0,, że dl kżdej liczby turlej spe lio jest ierówość < cq Wskzć kokret pre liczb c, q w przypdku = 5 i b = 3 Moż wywioskowć st d, że ci g jest brdzo szybko zbieży do liczby, p że liczb dok ldych cyfr liczby przy zst pieiu przez co jmiej podwj sie dl dostteczie dużych, przy czym w przypdku = 5, b = 3 jest tk ieoml od smego pocz tku Twierdzeie sformu lowe w tym zdiu utor tego tekstu lubi zywć twierdzeiem o scliu 4

5 85 Wykzć, że jeśli g > 0 jest liczb iewymier, p Z, q N dl =,, 3, i p q = g, to zchodzi rówość p = = q 86 Z lóżmy, że ci g ie jest ogriczoy z góry, i z do lu orz że = 0 Udowodić, że dl kżdej liczby rzeczywistej x istieje tki ściśle ros cy ci g m, że x = m m, czyli: kżd liczb rzeczywist x jest gric pewego podci gu ci gu 87 Dowieść, że jeśli = g, to = g Podć przyk ld tkiego ci gu b, który ie m gricy, że istieje gric b b b 88 Dowieść, że jeśli zchodzi rówość = g i wszystkie wyrzy ci gu s dodtie, to prwdziwy jest wzór = g Podć przyk ld tkiego ci gu liczb dodtich b, który ie m gricy, że istieje gric b b b 89 Dowieść, że jeśli zchodzi rówość = g i wszystkie wyrzy ci gu s dodtie, to prwdziwy jest wzór = g Podć przyk ld tkiego ci gu liczb dodtich b, który ie m gricy, że istieje gric b b b 90 Niech = i =, orz b = i b = b b Udowodić, że sup{ : N} = if{b : N} 9 Zleźć 3 3 x 9 Dl dowolej liczby x R zleźć 93 Zleźć! 94 Niech x R Zleźć x x x 95 Udowodić, że dl dowolej liczby rzeczywistej x i dl dowolej liczby turlej istiej tkie c lkowite liczby k, l, że kx l < 96 Dowieść, że k k k = k k k 97 Dowieść, że k k k k = k k dl dowolego k N dl dowolego k N 98! Niech > be dzie liczb rzeczywist, l turl Wykzć, że l = 0 99! Podć przyk ld tkiego ci gu o gricy, że rówość k = 0 jest spe lio dl kżdego k N 00 Niech > b > 0 be d liczbmi rzeczywistymi Niech = b, b = b Niech = b i b = = b dl,, 3, Udowodić, że ci gi i b s zbieże i to do wspólej gricy 0 Dowieść, że kżd liczb z przedzi lu [0, ] jest gric pewego podci gu ci gu o wyrzie 0 Dl dowolego k N obliczyć k 03 Dl dowolych liczb, b > 0 obliczyć b 04 Dy jest tki ci g, że z kżdego jego podci gu m moż wybrć podci g, którego gric jest g Udowodić, że = g 5

6 05 Niech i be d liczbmi dodtimi Zdefiiujmy ci g idukcyjie w ste puj cy sposób : = 3 dl =,, Zleźć w zleżości od 06 Niech x be dzie liczb dodti Zleźć x x 4 x w zleżości od x Obliczyć 08! Dowieść, że jeśli istieje z istiei gricy, to istieje i obie grice s rówe Czy wyik istieie gricy? i obie grice s rówe 09! Dowieść, że jeśli istieje, to istieje 0 Niech,,,, 3,, be d dowolymi ogriczoymi ci gmi liczb rzeczywistych Udowodić, że istieje wtedy tki ściśle ros cy ci g m liczb turlych, że wszystkie ci gi,m,,m, 3,m, s zbieże jest ich ieskończeie wiele! Korzystj c z poprzediego zdi wykzć, że wśród trójk tów wpisych w okr g o promieiu istieje trójk t o jwie kszym obwodzie Moż skorzystć z poprzediego zdi De s tkie ko l K, K, K 3,, że dl dowolej liczby turlej ko l K, K, K 3,, K moż tk umieścić w kwdrcie Q, by ich we trz by ly prmi roz l cze Dowieść, że w kwdrcie Q moż tk umieścić wszystkie ko l K, K, K 3,, by we trz kżdej pry by ly roz l cze 3 Niech be dzie ci giem liczb dodtich, który zwier podci g zbieży do liczby 0 Wykzć, że istieje ieskończeie wiele wskźików, dl których wyrz jest miejszy od wszystkich wyrzów, które go poprzedzj, tz istieje ieskończeie wiele tkich liczb k, że k < j dl wszystkich umerów j < k 4 Z lóżmy, że wyrzy iemlej cego ci gu s dodtie Wykzć, że zbiór z lożoy z gric wszystkich podci ci gu jest przedzi lem domkie tym 5 Niech be dzie ci giem dodtich liczb c lkowitych Defiiujemy: r = 3 4 Wykzć, że ci g r jest zbieży orz że jego gric jest iewymier 6! Dowieść, że jeśli ci g liczb c lkowitych m skończo grice, to prwie wszystkie wyrzy tego ci gu s rówe 7! Zleźć tkie dw ci gi i b, że = = b i b = 0, b = 3, c = 7, d =, e =, f ie istieje 8! Zleźć tkie dw ci gi i b, że = 0, = i b = 0, b = 3, c = 7, d =, e =, f ie istieje 6

7 9! Zleźć tkie dw ci gi i b, że = 0, b = 0 i b = 0, b = 3, c = 7, d =, e =, f ie istieje 0! Zleźć tkie dw ci gi i b, że =, b = i = 0, b = 3, c = 7, b d =, e =, f ie istieje! Zleźć tkie ci gi i b, że > 0, = 0, b = 0 orz = 0, b = 3, c = 7, b d =, e =, f ie istieje Niech fx = x x dl 0 x Niech =, = f dl =,, 3 Udowodić, że dl kżdego [0, ] ci g m grice 3 Niech 5 0 i = 0 30 dl = 0,,, 3, Zleźć grice ci gu w zleżości od 0 4 Niech = dl = 0,,, 3, Wyjśić, czy ci g m grice i zleźć j, jeśli istieje Wyik może zleżeć od 0 5 Niech fx = x Niech =, = f dl =,, 3 Dowieść, że istieje tk liczb [0, ], że dl kżdej liczby x [0, ] istieje podci g ci gu, którego gric jest liczb x 7