EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych

Transkrypt

1 EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl dr Ad Ćiel (A3-A4 p.3, tel. 3-7, ciel@gh.edu.pl ; Podręcziki Gewert M, Skoczyls Z. Aliz tetycz i. Deiicje twierdzei i wzory, Przykłdy i zdi, Kolokwi i egziy. Oicy wydwicz GIS Przyjujey stępujące ozczei zbiorów liczbowych: N={,, } zbiór liczb turlych Z={, ±, ±, } zbiór liczb cłkowitych p Q= q : p Z, q N zbiór liczb wyierych { } R zbiór liczb rzeczywistych (N, ) jest dobrze uporządkowy A N A (tz.w kżdy podzbiorze zbioru N istieje eleet jiejszy (Q, ) jest gęsto uporządkowy x, y Q x< y z Q : x< z< y (uwg <b b i b) (tz. poiędzy dwo liczbi wyieryi zwsze oż zleźć trzecią liczbę wyierą) De. Zbiór A R jest ogriczoy z góry, jeżeli De. Zbiór A R jest ogriczoy z dołu, jeżeli M R x A R x A x M x De. Zbiór A R jest ogriczoy, gdy jest o rówocześie ogriczoy z dołu i z góry De. Niech A R będzie zbiore ogriczoy z góry. Liczbę R zywy krese góry x A : x zbioru A, co zpisujey =supa ε> y A ε y De. Niech A R będzie zbiore ogriczoy z dołu. Liczbę R zywy krese doly x A : x zbioru A, co zpisujey =ia ε> y A + ε y Uwg: Kres zbioru A ie usi leżeć do zbioru A (R, ) jest uporządkowy w sposób ciągły, tz. prwdziw jest stępując: Zsd ciągłości zbioru liczb rzeczywistych kżdy iepusty ogriczoy z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych posid kres góry kżdy iepusty ogriczoy z dołu podzbiór zbioru liczb rzeczywistych posid kres doly Zstosowie zsdy ciągłości do zdeiiowi potęgi o dowoly wykłdiku β R liczby R+. potęg o wykłdiku cłkowity = L 3, rzy = potęg o wykłdiku wyiery = i{ x Q : x> x } ; potęg o wykłdiku rzeczywisty β x dl > = i{ : x Q x β} ; dl << β β = ( ) =

2 EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl Przypoieie podstwowych iorcji o ukcjch Widoo, że liczbę rzeczywistą oż idetyikowć z pukte osi liczbowej prę liczb z pukte płszczyźie. Podobie ukcję oż idetyikowć z jej wykrese. Prowdzi to do stępującej deiicji ukcji. De. Przez ukcję, której rguety pochodzą ze zbioru X, wrtości ze zbioru Y rozuiey podzbiór X Y, przy czy spełioy jest wruek ( x, y ) ( x, y y x X y, ) y Y = y, czyli kżdeu eleetowi x zbioru X odpowid co jwyżej jede eleet y zbioru Y Róże zpisy: ( x, y) xy (. Piszey też : X Y Pojęci związe z ukcji Dziedzi D { x X : y ( } = y Y = = y Y : x X Przeciwdziedzi CI { ( } Niech : X Y i D = X Wówczs ukcję zywy odwzorowie zbioru X De. (obcięcie ukcji) Jeżeli : X Y, A X, A φ to obcięcie ukcji do zbioru A zywy ukcję : A Y, tką że x A A (=( (zwężeie dziedziy) A FUNKCJE RZECZYWISTE to ukcje o wrtościch w R Niech : X R i g: X R będą ukcji rzeczywistyi określoy ty sy zbiorze X. De. (Su, różic, iloczy i ilorz ukcji rzeczywistych) ( + g)( ( + g( ( g)( ( g( ( g)( ( g( ( ( g ; zł. x X g( g( De. Fukcj : X R jest ogriczo z góry, gdy ( M Fukcj : X R jest ogriczo z dołu, gdy M R x X ( R x X Fukcje rzeczywiste zieej rzeczywistej Niech : R D R będzie ukcją rzeczywist zieej rzeczywistej De:. jest rosąc w D x < x x ) ( ) x, x D ( x, x D x ( ( x x, x D x ( > ( x x, x D x ( ( x jest ielejąc w D ) jest lejąc w D ) jest ierosąc w D )

3 EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl Powyższe ukcje zywy ukcji ootoiczyi Fukcje okresowe De. jest okresow ( x± D ( x± ( ) t > x D = x Dodtią liczbę T = { t> : ( x± D ( x± ( } }> (o ile istieje) zywy t D = okrese podstwowy. Uwg: { }ozcz eleet jiejszy zbioru{ }. dl x Q Uwg. Fukcj Dirichlet D( = jest okresow, ie okresu podstwowego dl x Q (jest ikrookresow). De: jest przyst x D ( ( x D = jest ieprzyst x D ( = ( Wże typy ukcji: ( x D : X Y, D = X ) jest różowrtościow (ijekcj) x x x ) ( x ) x, x X y Y x X jest ukcją (surjekcją) ( ( jest ukcją wzjeie jedozczą (bijekcją) jest ijekcją i surjekcją jedocześie Złożeie ukcji: : X Y, g: Y CI D g Z ( g o ) : X x ( g o )( = g( ( ) Fukcj odwrot: Niech : : X Y będzie bijekcją zbioru X zbiór Y. Fukcją odwrotą do zywy ukcję Y X określo przez wruek: Przykłd ( y) = x (, gdzie x X, y Y..5 Rozwży ukcję six obciętą do π π przedziłu [, ]. Fukcj odwrot do tej obciętej ukcji si, to ukcj rcsi. rcsix x= si y Dokłdiej π π x [,], y [, ] Pozostłe ukcje cykloetrycze będą oówioe ćwiczeich. -.5 Fukcje eleetre to ukcje stłe, potęgowe, wykłdicze, trygooetrycze, odwrote do ich logryticze, cykloetrycze, orz tkie ukcje, które oż otrzyć z powyższych przez skończoą ilość dziłń rytetyczych orz złożeń. Fukcji eleetryi są więc wieloiy i ukcje wyiere. 3

4 EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl CIĄGI RZECZYWISTE Ciągie o wyrzch rzeczywistych zywy rzeczywistą ukcję : N R określoą zbiorze liczb turlych () = () = itd. Ozczei: - -ty wyrz ciągu ( ) = - ciąg o wyrzie ogóly De. (gricy ciągu) Ciąg ( ) = jest zbieży do g (co zpisujey li = g ), gdy ε> N : g ε. Twierdzeie (o jedozczości gricy). Jeżeli ciąg gricę, to tylko jedą. g g Dowód (Nie wpros. Przypuśćy, że ciąg te dwie róże grice g i g. Weźy ε =. W 3 przedzile [ g ε, g + ε] leżą prwie wszystkie wyrzy ciągu w przedzile [ g ε, g + ε] leży skończo ilość wyrzów ciągu, co przeczy teu, że g jest gricą ciągu. De. Ciąg rozbieży, to ciąg, który ie jest zbieży. Szczególie wże są dw typy ciągów rozbieżych ( ) jest rozbieży do + li =+ M> N : M ( ) jest rozbieży do Zbieżość, ogriczoość o N li = < N : o Tw: Kżdy ciąg zbieży jest ogriczoy (iczej- wrukie koieczy zbieżości ciągu jest jego ogriczoość) Dowód: Niech g ozcz gricę. Wybierjąc ε=, z deiicji gricy prwie wszystkie wyrzy (to zczy wszystkie począwszy od ) ciągu leżą w przedzile [g-, g+]. Poz przedziłe oże być jedyie skończo liczb wyrzów. Stąd x{,..., o, g, g+ } = M Uwg Twierdzeie odwrote ie jest prwdziwe Np. = ( ) pokzuje, że ogriczoość ie jest wrukie wystrczjący zbieżości. N Niech ( k ) będzie rosący ciągie liczb turlych ( ) dowoly ciągie liczb rzeczywistych. 4

5 EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl Ciąg ( ) zywy podciągie ciągu ( ). Podciąg otrzyujey wiec z ciągu poijjąc iektóre k jego wyrzy. Tw. Bolzo-Weierstrss. Z kżdego ogriczoego ciągu liczb rzeczywistych oż wybrć podciąg zbieży. Dowód (szkic). Ciąg jest ogriczoy, więc wszystkie jego wyrzy leżą w pewy przedzile dokięty. Dzieliy te przedził dw przedziły dokięte rówej długości. Przyjiej w jedy z przedziłów jest ieskończeie wiele wyrzów ciągu. Z tego przedziłu wybiery jede z wyrzów dl wybrego przedziłu dokiętego powtrzy powyższe czyości wybierjąc wyrz ciągu o uerze wyższy iż wybry w poprzedi kroku itd. Dostjey ciąg przedziłów dokiętych i pewie podciąg. Częścią wspólą zstępującego ciągu przedziłów dokiętych jest dokłdie jede pukt gric wybrego podciągu. Tw. Jeżeli ciąg gricę, to kżdy jego podciąg jest zbieży do tej sej gricy. li = g li = g. Dow. W przedzile [g-ε, g+ε] leżą prwie wszystkie wyrzy ciągu ( ) więc tkże prwie wszystkie wyrzy podciągu ( ). k k k Tw. Ciąg ootoiczy i ogriczoy jest zbieży. Dow. Rozwży przypdek ciągu rosącego ( ), ogriczoego od góry (dl lejącego i ogriczoego od dołu logiczie). Niech {,,...} ozcz zbiór wyrzów ciągu ( ) : - podzbiór R. Z złożei {,,...} jest ogriczoy od góry N M Z zsdy ciągłości zbioru R istieje (dokłdie jed liczb rzeczywis g= sup{,,...} Z deiicji kresu g i ε > g ε, z złożei ootoiczości g ε Podsuowując te kty: co ozcz, że li = g. Przykłd. ( ) = + ε > N > g ε g ε g g + ε g ε + 3- ogriczoy od góry istieje gric (powiedzy e) > - e = li +. Z iych obliczeń widoo, że e = li +, Przykłd = = + + N - ogriczoy od góry. jest zbieży do N + > - g = li Ze wzoru ogólego + =. Dokoując w tej rówości przejści griczego ( + g i + g ) otrzyujey: g = + g. Stąd g=. 5